Teorema del automorfismo de Hurwitz

El teorema del automorfismo de Hurwitz limita el orden del grupo de automorfismos ( asignaciones conformes que conservan la orientación ) de una superficie de Riemann compacta de género g > 1, indicando que el número de tales automorfismos no puede exceder 84 ( g − 1). El grupo para el que se alcanza el máximo se denomina grupo de Hurwitz , y la superficie de Riemann correspondiente se denomina superficie de Hurwitz . Dado que las superficies compactas de Riemann son sinónimo de curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares , una superficie de Hurwitz también puede denominarse curva de Hurwitz [1] . El teorema lleva el nombre de Adolf Hurwitz , quien lo demostró en 1893 [2] .

El límite de Hurwitz también se cumple para curvas algebraicas sobre campos de característica 0 y sobre campos de característica positiva p > 0 para grupos cuyo orden es coprimo con p , pero no se puede cumplir sobre campos de característica p > 0 si p divide el orden del grupo . Por ejemplo, una doble cobertura de la línea proyectiva , ramificándose en todos sus puntos sobre un campo simple, tiene género , pero el grupo de orden actúa sobre él . ${\ estilo de visualización y^{2}=x^{p}-x}$ ${\ estilo de visualización g = (p-3)/2}$ $SL_{2}(p)$ $p^{3}-p$

Interpretación en términos de hiperbolicidad

Uno de los temas fundamentales de la geometría diferencial es la tricotomía entre las variedades de Riemann de curvatura positiva, cero y negativa K . Esto se encuentra en muchas situaciones y en diferentes niveles. En el contexto de las superficies de Riemann X , según el teorema de uniformización de Riemann , esta tricotomía se ve como una diferencia entre superficies de diferentes topologías:

X es una esfera , una superficie compacta de Riemann de género cero con K > 0;
X es un toro plano o curva elíptica , superficie de Riemann de género 1 con K = 0;
X es una superficie hiperbólica de género > 1 y K < 0.

Mientras que en el primer caso la superficie X admite infinitos automorfismos conformes (de hecho, el grupo de automorfismos conformes es un grupo de Lie de dimensión tres para la esfera y dimensión uno para el toro), una superficie de Riemann hiperbólica admite solo un conjunto discreto de automorfismos . El teorema de Hurwitz establece que, de hecho, es aún más cierto: establece un límite en el orden del grupo de automorfismos en función del género y describe las superficies de Riemann para las que este límite es exacto.

La idea de la prueba y la construcción de las superficies de Hurwitz

Por el teorema de uniformización, cualquier superficie hiperbólica X , es decir, una superficie para la cual la curvatura gaussiana es igual a menos uno en cualquier punto, está cubierta por un plano hiperbólico . Un mapeo conforme de una superficie corresponde a automorfismos del plano hiperbólico que conservan la orientación. Según el teorema de Gauss-Bonnet , el área superficial es igual a

A(X)=-2\pi \chi (X)=4\pi (g-1)

Para hacer que el grupo de automorfismos G en X sea lo más grande posible, necesitamos hacer que el área de su dominio fundamental D sea lo más pequeña posible para esta acción. Si el dominio fundamental es un triángulo con ángulos de vértice y , dando un mosaico del plano hiperbólico, entonces p , q y r serán números enteros mayores que uno, y el área es ${\ estilo de visualización \ pi / p, \ pi / q}$ ${\ estilo de visualización \ pi / r}$

A(D)=\pi (1-1/p-1/q-1/r)

Preguntémonos para qué números naturales la expresión

{\ estilo de visualización 1-1/p-1/q-1/r}

estrictamente positivo y lo más pequeño posible. Este valor mínimo es 1/42 y

{\ estilo de visualización 1-1/2-1/3-1/7 = 1/42}

da un triple único (hasta una permutación) de tales números. Esto significa que la orden | G | el grupo de automorfismos está limitado por el valor

A(X)/A(D)\leqslant 168(g-1)

Sin embargo, cálculos más precisos muestran que esta estimación se reduce a la mitad, ya que el grupo G puede contener transformaciones de inversión de orientación. Para automorfismos conformes que conservan la orientación, el límite será . ${\ estilo de visualización 84 (g-1)}$

Edificio

Para obtener un ejemplo de un grupo de Hurwitz, comenzamos con un mosaico (2,3,7) del plano hiperbólico. Su grupo de simetría completa es el grupo de triángulos completos (2,3,7) formado por reflexiones sobre los lados de un triángulo fundamental con ángulos , y . Debido a que el reflejo voltea el triángulo y cambia de orientación, podemos emparejar los triángulos y obtener un polígono de mosaico que conserva la orientación. La superficie de Hurwitz se obtiene "cerrando" parte de este mosaico infinito del plano hiperbólico en una superficie de Riemann de género g . Esto requerirá exactamente los mosaicos (que consisten en dos triángulos). $\pi/2$ $\pi /3$ ${\ estilo de visualización \ pi /7}$ ${\ estilo de visualización 84 (g-1)}$

Los siguientes dos mosaicos regulares tienen el grupo de simetría deseado. El grupo de rotación corresponde a rotaciones alrededor de un borde, vértice y cara, mientras que el grupo de simetría completa también puede incluir reflejos. Tenga en cuenta que los polígonos en el mosaico no son áreas fundamentales: el mosaico triangular (2,3,7) refina ambos mosaicos y no es regular.

Mosaico heptagonal de orden 3	Teselado triangular de orden 7

Las construcciones de Wythoff permiten mosaicos uniformes adicionales , dando ocho mosaicos uniformes , incluidos los dos que se muestran aquí. Todos ellos se obtienen a partir de superficies de Hurwitz y dan un mosaico de superficies (triangulación, mosaico por heptágonos, etc.).

De las consideraciones anteriores, podemos concluir que el grupo de Hurwitz G se caracteriza por la propiedad de que es un grupo de factores finitos de un grupo con dos generadores a y b y tres relaciones

{\ estilo de visualización a^{2}=b^{3}=(ab)^{7}=1,\,}

así G es un grupo finito generado por dos elementos de orden dos y tres cuyo producto es de orden siete. Más precisamente, cualquier superficie de Hurwitz, es decir, una superficie hiperbólica en la que se alcanza el orden máximo del grupo de automorfismos para superficies de un género dado, puede obtenerse mediante la construcción descrita. Esta es la última parte del teorema de Hurwitz.

Ejemplos de grupos y superficies de Hurwitz

El grupo de Hurwitz más pequeño es el grupo lineal especial proyectivo PSL(2,7) de orden 168, y la curva correspondiente es la cuartica de Klein . Este grupo también es isomorfo a PSL(3,2) .

La siguiente curva es una curva de McBeath con un grupo de automorfismos PSL(2,8) de orden 504. Hay muchos grupos finitos simples que son grupos de Hurwitz, por ejemplo, todos menos 64 grupos alternos son grupos de Hurwitz. El grupo más grande que no es de Hurwitz tiene el grado 167. Un 15 es el grupo alterno más pequeño, que es un grupo de Hurwitz.

La mayoría de los grupos lineales especiales proyectivos de gran rango son grupos de Hurwitz [4] . Hay menos grupos de Hurwitz entre esos grupos de rangos pequeños. Denotando p módulo 7 por el exponente , PSL(2, q ) es un grupo de Hurwitz si y solo si q =7 o . Además, PSL(3, q ) es un grupo de Hurwitz solo para q = 2, PSL(4, q ) no es un grupo de Hurwitz para ningún q , y PSL(5, q ) es un grupo de Hurwitz solo si o [5] . Del mismo modo, muchos grupos de tipo Lie son Hurwitz. Los grupos clásicos finitos de alto rango son grupos de Hurwitz [6] . Los grupos de Lie excepcionales de tipo G2 y los grupos de Ree de tipo 2G2 son casi siempre grupos de Hurwitz [7] . Otras familias de grupos de Lie excepcionales y retorcidos de bajo rango, como muestra Malle, son los grupos de Hurwitz [8] . $notario público}$ $q=p^{n_{p))$ ${\ estilo de visualización q = 7 ^ {4}}$ $q=p^{n_{p))$

Hay 12 grupos esporádicos que se pueden formar como grupos Hurwitz : grupos Janko J 1 , J 2 y J 4 , grupos Fischer Fi 22 y Fi' 24 , grupo Rudvalis , grupo Held , grupo esporádico de Thompson , Harada grupo -Norton , el tercer grupo de Conway Co 3 , el grupo de Lyons y "monster" [9] .

Órdenes máximos de grupos de automorfismos de superficies de Riemann

El orden máximo de un grupo finito que actúa sobre una superficie de Riemann de género g se da de la siguiente manera

Género g	Orden Máxima	Superficie	Grupo
2	48	Curva de Bolz	GL 2 (3)
3	168 (frontera Hurwitz)	Cuártica de Klein	PSL 2 (7)
cuatro	120	Traer curva	S5 _
5	192
6	150
7	504 (frontera de Hurwitz)	Curva de McBeath	PSL 2 (8)
ocho	336
9	320
diez	432
once	240

Véase también

Grupo triangular (2,3,7)

Notas

↑ Técnicamente hablando, la categoría de superficies de Riemann compactas y mapeos conformes que preservan la orientación es equivalente a la categoría de curvas algebraicas proyectivas complejas no singulares y morfismos algebraicos.
↑ Hurwitz, 1893 .
↑ ( Richter ) Tenga en cuenta que cada cara de un poliedro se compone de múltiples caras de mosaico: dos caras triangulares forman una cara cuadrada, y así sucesivamente, como en este dibujo explicativo Archivado el 3 de marzo de 2016 en Wayback Machine .
↑ Lucchini, Tamburini, Wilson, 2000 .
↑ Tamburini, Vsemirnov, 2006 .
↑ Lucchini, Tamburini, 1999 .
↑ Malle, 1990 .
↑ Malle, 1995 .
↑ Wilson, 2001 .

Literatura

Hurwitz A. Über algebraische Gebilde mit Eindeutigen Transformationen in sich // Mathematische Annalen . - 1893. - T. 41 , núm. 3 . - S. 403-442 . -doi : 10.1007/ BF01443420 .
Lucchini A., Tamburini MC Grupos clásicos de gran rango como grupos de Hurwitz // Journal of Algebra. - 1999. - T. 219 , núm. 2 . - S. 531-546 . — ISSN 0021-8693 . doi : 10.1006 / jabr.1999.7911 .
Lucchini A., Tamburini MC, Wilson JS Hurwitz grupos de gran rango // Revista de la Sociedad Matemática de Londres. segunda serie. - 2000. - T. 61 , núm. 1 . - S. 81-92 . — ISSN 0024-6107 . -doi : 10.1112/ S0024610799008467 .
centro comercial gunter Grupos de Hurwitz y G2(q) // Canadian Mathematical Bulletin . - 1990. - T. 33 , núm. 3 . - S. 349-357 . — ISSN 0008-4395 .
centro comercial gunter Grupos de Hurwitz excepcionales de pequeño rango // Grupos de tipo Lie y sus geometrías (Como, 1993). - Cambridge University Press , 1995. - V. 207. - S. 173-183. - (London Math. Soc. Lecture Note Ser.).
Tamburini MC, Vsemirnov M. Irreducible (2,3,7)-subgrupos de PGL(n,F) para n ≤ 7 // Journal of Algebra. - 2006. - T. 300 , núm. 1 . - S. 339-362 . — ISSN 0021-8693 . -doi : 10.1016/ j.jalgebra.2006.02.030 .
Wilson RA The Monster es un grupo de Hurwitz // Journal of Group Theory. - 2001. - T. 4 , núm. 4 . - S. 367-374 . -doi : 10.1515/ jgth.2001.027 .
David A. Richter. Cómo hacer el Grupo Mathieu M 24 .

Curvas algebraicas

Curvas Racionales

Cónica definida por cinco puntos
línea proyectiva
Curva normal racional
esfera de Riemann
Curva no plana de tercer orden

Curvas elípticas

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teoría aritmética	Contar puntos en una curva elíptica Polinomios de división Teorema de Hasse sobre curvas elípticas Teorema de torsión de Mazur Curva elíptica modular teorema de modularidad Teorema de Mordell-Weil Teorema de Nagell-Lutz Curva elíptica supersingular algoritmo de Shuf Algoritmo Shoof-Elkis-Atkin
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