Teorema del coseno

El teorema del coseno es un teorema de la geometría euclidiana que generaliza el teorema de Pitágoras a triángulos planos arbitrarios.

Redacción

Para un triángulo plano con lados y un ángulo de lado opuesto , la relación es verdadera: $a B C$ $\alfa$ $a$

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha

El cuadrado de un lado de un triángulo es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos lados menos el doble del producto de estos lados por el coseno del ángulo entre ellos [1]

Evidencia

Prueba clásica

Considere el triángulo ABC . Del vértice C al lado AB se baja la altura CD . Del triángulo ADC se sigue:

AD=b\cos \alfa

dónde

DB=cb\cos \alfa

Escribamos el teorema de Pitágoras para dos triángulos rectángulos ADC y BDC :

h^{2}=b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad \qquad (1)

h^{2}=a^{2}-(cb\cos \alpha )^{2}\qquad \qquad (2)

Igualamos las partes derechas de las ecuaciones (1) y (2) y:

b^{2}-(b\cos \alpha )^{2}=a^{2}-(cb\cos \alpha )^{2}

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos \alpha

El caso en que uno de los ángulos de la base es obtuso (y la altura cae sobre la continuación de la base) es completamente análogo al considerado.

Expresiones para los lados b y c:

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cos\beta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma

. Prueba a través de coordenadas

Una de las pruebas es la prueba de ello en el plano de coordenadas.

Introducimos un triángulo arbitrario ABC en el plano de coordenadas de modo que el punto A coincida con el origen de coordenadas, y la recta AB esté sobre la recta OX . Introduzcamos la notación AB = c , AC = b , CB = a , un ángulo CAB = α (por ahora supondremos que α ≠ 90°).
Entonces el punto A tiene coordenadas (0;0), el punto B (c;0). A través de la función sen y cos , así como del lado AC \ u003d b , derivamos las coordenadas del punto C. C (b×cosα; b×sinα). Las coordenadas del punto C permanecen sin cambios para el ángulo obtuso y agudo α .
Conociendo las coordenadas C y B , y sabiendo también que CB = a , habiendo hallado la longitud del segmento, podemos hacer una igualdad: Dado que (la principal identidad trigonométrica), entonces queda demostrado el Teorema. Para un ángulo recto α , el teorema también funciona cos90° = 0 y a²=b²+c² - el conocido teorema de Pitágoras. Pero como el método de las coordenadas se basa en el teorema de Pitágoras, su demostración mediante el teorema del coseno no es del todo correcta.
$a^{2}=(b\cos{a}-c)^{2}+b^{2}\sin^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}\cos^{2}{a}-2bc\cos {a}+c^{2}+b^{2}\sin^{2}{a}$
$a^{2}=b^{2}(\cos ^{2}{a}+\sen ^{2}{a})+c^{2}-2bc\cos {a}$

$\cos^{2}{a}+\sin^{2}{a}=1$
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cos {a}$

Prueba a través de vectores

A continuación nos referimos a operaciones en vectores, no a longitudes de segmentos. $AC=AB+BC=>BC=AC-AB=>BC^{2}=AC^{2}+AB^{2}-2\cdot AC\cdot AB$

Dado que el producto escalar de los vectores es igual al producto de sus módulos (longitudes) y el coseno del ángulo entre ellos, la última expresión se puede reescribir: donde a, b, c son las longitudes de los vectores correspondientes
$a^{2}=b^{2}+c^{2}-2\cdot b\cdot c\cdot \cos \alpha$

Consecuencias

El teorema del coseno se puede usar para encontrar el coseno del ángulo de un triángulo. $\cos {\alpha }={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}$

En particular,

Si , el ángulo α es agudo $b^{2}+c^{2}-a^{2}>0$
Si , el ángulo α es recto (si el ángulo α es recto , entonces el teorema del coseno se convierte en el teorema de Pitágoras ) $b^{2}+c^{2}-a^{2}=0$
Si , el ángulo α es obtuso $b^{2}+c^{2}-a^{2}<0$

El teorema del coseno también se puede escribir de la siguiente forma [2] :

a^{2}=(b+c)^{2}-4\cdot b\cdot c\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

a^{2}=(bc)^{2}+4\cdot b\cdot c\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

. Prueba

Las dos últimas fórmulas se derivan instantáneamente de la fórmula principal del teorema del coseno (ver cuadro arriba), si en su parte derecha usamos las fórmulas para expandir el cuadrado de la suma (para la segunda fórmula, el cuadrado de la diferencia) de dos términos en un trinomio cuadrado, que es un cuadrado perfecto. Para obtener el resultado final (las dos fórmulas anteriores) en el lado derecho, también debe usar las conocidas fórmulas trigonométricas:

1+\cos \alpha =2\cdot \cos ^{2}(\alpha /2)

1-\cos \alpha =2\cdot \sin ^{2}(\alpha /2)

Por cierto, la segunda fórmula formalmente no contiene cosenos, pero todavía se llama el teorema del coseno.

Encontrando explícitamente de las dos últimas fórmulas y , obtenemos las conocidas fórmulas geométricas [2] : $\cos(\alfa /2)$ $\sin(\alpha /2)$ ${\displaystyle \cos {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {p(pa)}{bc))))$ , , , donde p es el semiperímetro de . ${\displaystyle \sin {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pc)}{bc))))$ $\operatorname {tg} {\frac {\alpha }{2}}={\sqrt {\frac {(pb)(pc)}{p(pa)))}$
Finalmente, usando los lados derechos de las fórmulas para y y la conocida fórmula para el área de un triángulo: , así como la conocida fórmula para el seno de un ángulo doble, después de pequeñas transformaciones, obtenemos obtener la conocida fórmula de Heron para el área de un triángulo: , donde p es el semiperímetro . $\cos(\alfa /2)$ $\sin(\alpha /2)$ $S_{\triángulo ABC}={\frac {1}{2}}bc\sen \alpha$ $\sin \alpha =2\sin(\alpha /2)\cos(\alpha /2)$ $S_{\triángulo ABC}={\sqrt {p(pa)(pb)(pc)))$

Para otros ángulos

El teorema del coseno para los otros dos ángulos es:

c^{2}\ =a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma

b^{2}\ =a^{2}+c^{2}-2ac\cos \beta

A partir de estos y de la fórmula principal, los ángulos se pueden expresar:

\alpha =\arccos \left({\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}\right)

\beta =\arccos \left({\frac {a^{2}+c^{2}-b^{2}}{2ac}}\right)

\gamma =\arccos \left({\frac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}}\right)

Historia

Los enunciados generalizadores del teorema de Pitágoras y equivalentes al teorema del coseno se formularon por separado para los casos de ángulos agudos y obtusos en las oraciones 12 y 13 del Libro II de los Elementos de Euclides .

En los escritos de al-Battani se han aplicado enunciados equivalentes al teorema del coseno para un triángulo esférico . [3] :105 El teorema del coseno para un triángulo esférico en su forma habitual fue formulado por Regiomontanus , quien lo llamó el "teorema de Albategnius" en honor a al-Battani.

En Europa, el teorema del coseno fue popularizado por François Viet en el siglo XVI. A principios del siglo XIX, comenzó a escribirse en la notación algebraica aceptada hasta el día de hoy.

Variaciones y generalizaciones

Teoremas del coseno (geometría esférica) o teorema del coseno para un ángulo triédrico .
Teoremas del coseno (geometría de Lobachevsky)
Identidad del paralelogramo . La suma de los cuadrados de las diagonales de un paralelogramo es igual a la suma de los cuadrados de sus lados (ver también el Teorema de Ptolomeo ): $AC^{2}+BD^{2}=AB^{2}+BC^{2}+CD^{2}+DA^{2}.$

Para espacios normados euclidianos

Deje que la norma asociada con el producto escalar se dé en el espacio euclidiano , es decir, . Entonces el teorema del coseno se formula de la siguiente manera: $mi$ $\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ={\sqrt {({\vec {a}},{\vec {a}}))))$

teorema _
$\left\Vert {\vec {a}}-{\vec {b}}\right\Vert ^{2}=\left\Vert {\vec {a}}\right\Vert ^{2}+\left \Vert {\vec {b}}\right\Vert ^{2}-2({\vec {a}},{\vec {b}})$

Para cuadriláteros

Al elevar al cuadrado la identidad , puedes obtener el enunciado, a veces llamado teorema del coseno para cuadriláteros : ${\overline {AD}}={\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {CD}}$

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B-2ac\cos \omega -2bc\cos \angle C

, donde es el ángulo entre las rectas AB y CD .

\omega

O de otro modo:

d^{2}=a^{2}+b^{2}+c^{2}-2ab\cos \angle B+2ac\cos(\angle A+\angle D)-2bc\cos \angle C

La fórmula también es válida para un tetraedro, es decir, el ángulo entre los bordes que se cruzan.

w

Utilizándolo, puedes encontrar el coseno del ángulo entre las aristas que se cruzan y conociendo todas las aristas del tetraedro:

a

C

\cos w=(b^{2}+d^{2}-e^{2}-f^{2})/2ac

Donde y , y son pares de aristas cruzadas del tetraedro.

b

d

mi

F

Un análogo indirecto para un cuadrilátero

La relación de Bretschneider es una relación en un cuadrilátero , un análogo indirecto del teorema del coseno:

Entre los lados a, b, c, d y los ángulos opuestos y las diagonales e, f de un cuadrilátero simple (que no se corta a sí mismo), se cumple la relación: ${\ estilo de visualización \ alfa, \ gamma}$

e^{2}f^{2}=a^{2}c^{2}+b^{2}d^{2}-2abcd\cos(\alfa +\gamma)

Si un cuadrilátero degenera en un triángulo y un vértice cae en un lado, entonces se obtiene el teorema de Stewart .
El teorema del coseno para un triángulo es un caso especial de la relación de Bretschneider si el centro del círculo circunscrito del triángulo se elige como el cuarto vértice.

Simples

S_{i}S_{j}\cos \angle A={\frac {(-1)^{(n-1+i+j))){2^{n-1}((n- 1)!)^{2))}{\begin{vmatriz}0&1&1&1&\puntos &1\\1&0&d_{12}^{2}&d_{13}^{2}&\puntos &d_{1(n+1)} ^{2}\\1&d_{21}^{2}&0&d_{23}^{2}&\puntos &d_{2(n+1)}^{2}\\1&d_{31}^{2}&d_{ 32}^{2}&0&\puntos &d_{3(n+1)}^{2}\\\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\dpuntos &\vpuntos \\1&d_{(n+1) 1}^{2}&d_{(n+1)2}^{2}&d_{(n+1)3}^{2}&\puntos &0\\\end{vmatriz}}

al mismo tiempo, debemos tachar la línea y la columna donde se encuentra o . $d_{ij}$ $d_{ji}$

A es el ángulo entre las caras y , es la cara opuesta al vértice i, es la distancia entre los vértices i y j . $Si}$ $S_{j}$ $Si}$ $d_{ij}$

Véase también

Notas

↑ L. S. Atanasyan , V. F. Butuzov, S. B. Kadomtsev y otros. Geometría 7-9: libro de texto. para educación general instituciones - 15ª ed. — M.: Ilustración, 2005. — S. 257. — 384 p.: il. — ISBN 5-09-014398-6
↑ 1 2 Korn G. A., Korn T. M. Manual de matemáticas para científicos e ingenieros . - M. : " Nauka ", 1974. - S. 51. - 832 p.
↑ Florián Cajori. Una historia de las matemáticas - 5ª edición 1991

Literatura

Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 vols.- M .: MTSNMO , 2004.- S. 84-85. — ISBN 5-94057-170-0 .

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex

Trigonometría
General	Resumen de trigonometría Historia Uso Funciones Reverso Raramente usado trigonometría generalizada
Directorio	identidades constantes exactas mesas circulo unitario
Leyes y teoremas	teorema del seno Teorema de pitágoras teorema del coseno Teorema de la tangente teorema de la cotangente resolver triángulos
Análisis matemático	Sustitución trigonométrica Integrales ( funciones inversas ) Derivados