Puntos de Torricelli

Los puntos Torricelli son dos puntos desde los cuales todos los lados de un triángulo son visibles en un ángulo de 60° o en un ángulo de 120°. Estos puntos en el triángulo están "pareados". Estos puntos a veces se denominan puntos de Fermat o puntos de Fermat-Torricelli .

Los dos Puntos Torricelli son los puntos de intersección de los segmentos de línea que conectan los vértices del triángulo:
- con los vértices libres correspondientes de triángulos equiláteros construidos en lados opuestos del triángulo (hacia afuera) - el primer punto de Torricelli
- con los vértices libres correspondientes de triángulos regulares construidos en lados opuestos dentro del triángulo - el segundo punto de Torricelli .

Propiedades

El primer punto de Torricelli es el punto del triángulo desde el cual todos los lados se ven en un ángulo de 120° (por definición).
El primer punto de Torricelli tiene la suma más pequeña de distancias a los vértices del triángulo. Sólo existe en triángulos con ángulos menores de 120°; además, es único y, por tanto, es un caso especial del punto de Fermat existente en cualquier triángulo.
Los dos puntos de Torricelli y el punto de Lemoine se encuentran en la misma línea.
Los puntos de Torricelli son conjugados isogonalmente a los puntos de Apolonio .
Construimos dos líneas, cada una de las cuales pasa por el punto de Apolonio y el punto de Torricelli, que es diferente de su isogonal conjugada . Tales líneas se cortarán en el punto de intersección de las medianas (en el centroide del triángulo ).
Teorema de Lester [1] . En cualquier triángulo escaleno, los dos puntos de Torricelli , el centro de los nueve puntos y el centro del círculo circunscrito se encuentran en el mismo círculo ( el círculo de Leicester ).

Una hipérbola de Kiepert es una hipérbola circunscrita que pasa por un baricentro y un ortocentro . Si construimos triángulos isósceles similares en los lados de un triángulo (hacia afuera o hacia adentro) y luego conectamos sus vértices a los vértices opuestos del triángulo original, entonces tres de esas líneas se intersecarán en un punto, que se encuentra en la hipérbola de Kiepert. En particular, en esta hipérbola se encuentran los puntos de Torricelli y los puntos de Napoleón (puntos de intersección de Cevian que conectan los vértices con los centros de triángulos regulares construidos en lados opuestos) [2] .

Nota

Por cierto, en la primera figura de la derecha, los centros de los tres triángulos equiláteros son ellos mismos los vértices de un nuevo triángulo equilátero ( Teorema de Napoleón ). Además, . $AA'=BB'=CC'$

Literatura

Granja de puntos
Punta Torricelli
Ejemplo práctico de construcción del punto de Fermat (Español)
Puntos notables del triángulo.
El problema de Fermat-Torricelli y su desarrollo// http://pmpu.ru/vf4/algebra2/optimiz/distance/torri
* Dm. Efremov. Nueva geometría triangular 1902
Protasov V. Yu. Máximos y mínimos en geometría . — M. : MTsNMO. — 56 págs. - (Biblioteca "Educación Matemática", número 31).

Véase también

Notas

↑ Yiu, 2010 , pág. 175–209.
↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria.- 2011. - S. 125-126.

Literatura

Paul Yuu. Los círculos de Lester, Evans, Parry y sus generalizaciones // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex