Centro de la circunferencia inscrita

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Centro de la circunferencia inscrita
Circunferencia inscrita en un triangulo $A B C$
coordenadas baricéntricas	${\ estilo de visualización a: b: c}$
Coordenadas trilineales	1:1:1
código ECT	x(1)
puntos conectados
isogonalmente conjugado	ella es
adicional	centro de spieker
Anticomplementario	punto de Nagel
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El centro de la circunferencia inscrita de un triángulo ( incentro ) es uno de los puntos notables de un triángulo , el punto de intersección de las bisectrices de un triángulo . El centro de un círculo inscrito en un triángulo también se llama a veces incentro .

Se denota tradicionalmente por una letra latina (por la primera letra de la palabra inglesa "Incenter"). En la Enciclopedia de los Centros de los Triángulos, aparece bajo el símbolo . $yo$ ${\ estilo de visualización X (1)}$

Propiedades

El centro de la circunferencia inscrita de un triángulo está a la misma distancia de todos los lados del triángulo.

Para un triángulo con lados , y , vértices opuestos , y , respectivamente, el incentro divide la bisectriz del ángulo en relación con: $\triángulo ABC$ $a$ $b$ $C$ $A$ $B$ $C$ $A$ $\frac{b+c}{a}$ .

Si la continuación de la bisectriz del ángulo corta a la circunferencia circunscrita en el punto , entonces se cumple la igualdad: , donde es el centro de la excircunferencia tangente al lado ; esta propiedad del incentro se conoce como el teorema del trébol (también el lema del tridente , el teorema de Kleiner ). $B$ $\triángulo ABC$ $D$ $DA = DC = DI = DJ$ $j$ $C.A.$

La distancia entre el incentro y el centro de la circunferencia circunscrita se expresa mediante la fórmula de Euler : $yo$ $O$ $OI^2=R^2-2Rr$ ,

donde y son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita, respectivamente.

R

r

Las perpendiculares elevadas a los lados del triángulo en los puntos de contacto de las excircunferencias se cortan en un punto. Este punto es simétrico al centro de la circunferencia inscrita con respecto al centro de la circunferencia circunscrita [1] .

El incentro se puede encontrar como el centro de masa de los vértices de un triángulo si se coloca una masa igual a la longitud del lado opuesto en cada vértice (ver también el centro de Spieker ).

El incentro de un triángulo dado es el punto de Nagel del triángulo formado por sus 3 medianas ( punto medio del triángulo ). [2]

Lema de Verrier [3] . Los puntos de tangencia de los círculos de Verrier (semicírculos) con los lados se encuentran en una línea recta que pasa por el centro del círculo inscrito ( incentro ) (Ver figura gris a continuación).

El teorema de Rigby . Si trazamos una altura y una excircunferencia que la toca por el otro lado a cualquier lado de un triángulo acutángulo , entonces el punto de contacto de este último con este lado, el punto medio de la altura mencionada, y también el incentro están en uno línea recta. [4] .

- Del teorema de Rigby se deduce que 3 segmentos que conectan el punto medio de cada una de las 3 alturas de un triángulo con el punto de contacto de un excírculo dibujado del mismo lado que la altura se cortan en el incentro .

El tercer teorema de Thebo . Sea un triángulo arbitrario , sea un punto arbitrario del lado , sea el centro de una circunferencia tangente a los segmentos y circunscrita a la circunferencia, sea el centro de una circunferencia tangente a los segmentos y circunscrita a la circunferencia. Entonces el segmento pasa por el punto - el centro del círculo inscrito en , y al mismo tiempo , donde . $A B C$ $D$ $antes de Cristo$ $yo_1$ ${\ Displaystyle AD, BD}$ $\Delta ABC$ $yo_{2}$ $CD,ANUNCIO$ $\Delta ABC$ $Yo_{1}Yo_{2}$ $yo$ $\Delta ABC$ $I_{1}I:II_{2}=\nombre del operador {tg}^{2}{\frac {\phi }{2))$ $\phi =\ángulo BDA$
Un punto débil en un triángulo es aquel que puede encontrar un gemelo por su conjugación ortogonal fuera del triángulo. Por ejemplo, el incentro , el punto de Nagel y otros son puntos débiles , porque permiten obtener puntos similares cuando se aparean fuera del triángulo. [5] .

Véase también

Notas

↑ Myakishev A. G. . Elementos de geometría triangular. - M. : MTSNMO, 2002. - 32 p. - (Biblioteca "Educación Matemática", número 19). — ISBN 5-94057-048-8 . - S. 11, pág.5.
↑ Honsberger, R. Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX. Washington, DC: Matemáticas. Asoc. amer 1995. Pág. 51, Artículo (b).// https://b-ok.cc/book/447019/c8c303
↑ Efremov D. Nueva geometría de un triángulo . - Odessa, 1902. - S. 130. - 334 p.
↑ Ross Honsberger , "3. Una colinealidad improbable" en "Episodios en la geometría euclidiana de los siglos XIX y XX" (Washington, DC: The Mathematical Association of America, 1996, ISBN 978-0883856390 ), p. 30, figura 34
↑ Myakishev A. Caminar en círculos: de Euler a Taylor // Matemáticas. ¡Todo para el maestro! Nº 6 (6). Junio. 2011. pág. 11, columna derecha, segundo párrafo desde arriba// https://www.geometry.ru/persons/myakishev/papers/circles.pdf

Literatura

Curso optativo de matemáticas. 7-9 / Comp. I. L. Nikolskaya. - M .: Educación , 1991. - S. 88-90. — 383 pág. — ISBN 5-09-001287-3 .

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex