Centro del círculo de nueve puntos

Centro del círculo de nueve puntos
El triángulo, la circunferencia circunscrita a él (negro) y su centro (negro), las alturas del triángulo (la parte de la altura situada dentro del círculo de Euler es azul, y fuera es negra) y el círculo de nueve puntas ( azul) y su centro (azul)
coordenadas baricéntricas	$a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:$ $b^{2}(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:$ ${\displaystyle c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^{2}-b^{2})^{2))$
Coordenadas trilineales	${\ estilo de visualización \ cos (BC): \ cos (CA): \ cos (AB)}$
código ECT	X(5)
puntos conectados
isogonalmente conjugado	punto kosnita

El centro del círculo de nueve puntos es uno de los puntos notables del triángulo . A menudo se le conoce como . ${\ estilo de visualización O_ {9}}$

El círculo de nueve puntos , o círculo de Euler, pasa por nueve puntos importantes del triángulo: los puntos medios de los lados, las bases de las tres alturas y los puntos medios de los segmentos que conectan el ortocentro con los vértices del triángulo. El centro de este círculo aparece como el punto X(5) en la Enciclopedia de centros de triángulos de Clark Kimberling [1] [2] .

Propiedades

El centro del círculo de nueve puntos se encuentra en la línea de Euler del triángulo a medio camino entre el ortocentro y el centro del círculo circunscrito . El baricentro también se encuentra en esta línea a una distancia de 2/3 del ortocentro al centro de la circunferencia [2] [3] , de modo que ${\ estilo de visualización O_ {9}}$ $H$ $O$ $METRO$

O_{9}O=O_{9}H=3O_{9}M~.

Así, si se conoce un par de estos cuatro centros, la posición de los otros dos es fácil de encontrar.

Andrew Guinand en 1984, investigando el problema ahora conocido como el problema del triángulo de Euler , demostró que si se da la ubicación de estos centros para un triángulo desconocido, entonces el incentro del triángulo se encuentra dentro del círculo ortocentroidal (un círculo cuyo diámetro es el segmento entre el baricentro y el ortocentro). Solo un punto dentro de este círculo no puede ser el centro del círculo inscrito: es el centro de nueve puntos. Cualquier otro punto dentro de este círculo define un solo triángulo [4] [5] [6] [7] .
La distancia del centro del círculo de nueve puntos al incentro satisface las fórmulas: $yo$

IO_{9}<{\dfrac {1}{2}}IO~,

IO_{9}={\dfrac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {R}{2}}~,

2R\cdot IO_{9}=OI^{2}~,

donde y son los radios de las circunferencias circunscrita e inscrita , respectivamente. $R$ $r$

El centro del círculo de nueve puntos es el centro de los círculos circunscritos del triángulo mediano , el ortotriángulo y el triángulo de Euler [8] [3] . En términos generales, este punto es el centro del círculo circunscrito de un triángulo que tiene tres de los nueve puntos enumerados como vértices.
El centro del círculo de nueve puntos coincide con el baricentro de cuatro puntos - tres puntos del triángulo y su ortocentro [9] .
De los nueve puntos del círculo de Euler, tres son los puntos medios de los segmentos que conectan los vértices con el ortocentro (los vértices del triángulo de Euler-Feuerbach). Estos tres puntos son los reflejos de los puntos medios de los lados del triángulo sobre el centro del círculo de nueve puntos.
Así, el centro del círculo de nueve puntos sirve como centro de simetría , traduciendo el triángulo medio en el triángulo de Euler-Feuerbach (y viceversa) [3] .
De acuerdo con el teorema de Lester , el centro del círculo de nueve puntos se encuentra en el mismo círculo con otros tres puntos: dos puntos de Fermat y el centro del círculo circunscrito [10] .

El punto de Kosnita de un triángulo, asociado con el teorema de Kosnita , es conjugado isogonalmente al centro del círculo de nueve puntos [11] . (ver imagen)
La línea que pasa por los dos puntos de Vecten y se cruza con la línea de Euler en el centro de los nueve puntos del triángulo . ${\ estilo de visualización X (485) X (486)}$ ${\ estilo de visualización X (485)}$ ${\ estilo de visualización X (486)}$ $A B C$

Las coordenadas trilineales del centro del círculo de nueve puntos son [1] [2] :

{\ estilo de visualización \ cos (BC): \ cos (CA): \ cos (AB)}

=\cos A+2\cos B\cos C:\cos B+2\cos C\cos A:\cos C+2\cos A\cos B

=\cos A-2\sin B\sin C:\cos B-2\sin C\sin A:\cos C-2\sin A\sin B

=bc[a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}]:ca[b^{2 }(c^{2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}]:ab[c^{2}(a^{2}+b^ {2})-(a^{2}-b^{2})^{2}]~.

a\cos(BC):b\cos(CA):c\cos(AB)

=a^{2}(b^{2}+c^{2})-(b^{2}-c^{2})^{2}:b^{2}(c^{ 2}+a^{2})-(c^{2}-a^{2})^{2}:c^{2}(a^{2}+b^{2})-(a^ {2}-b^{2})^{2}~.

↑ 1 2 Kimberling, 1994 , pág. 163–187.
↑ 1 2 3 4 Encyclopedia of Triangle Centers , consultado el 23 de octubre de 2014.
↑ 1 2 3 Dekov, 2007 .
↑ Popa, 2007 , pág. 1–9.
↑ Euler, 1767 , pág. 103–123.
↑ Guinand, 1984 , pág. 290–300.
↑ Franzsen, 2011 , pág. 231-236.
↑ Aquí no se debe confundir el triángulo de Euler de la teoría de números (como el triángulo de Pascal) y el triángulo de Euler como un triángulo formado por puntos de Euler. Los puntos de Euler son los puntos medios de los segmentos que conectan el orocentro con los vértices del triángulo.
↑ The Encyclopedia of Triangle Centers atribuye esta observación a Randy Hutson (2011).
↑ Yiu, 2010 , pág. 175–209.
↑ Rigby, 1997 , pág. 156–158.

Kimberling. Puntos centrales y rectas centrales en el plano de un triángulo // Revista Matemáticas. - 1994. - T. 67 , núm. 3 . — .
Popa. Problema de determinación del triángulo de Euler // Forum Geometricorum. - 2007. - T. 7 .
Dekov. Centro de nueve puntos // Revista de geometría euclidiana generada por computadora. — 2007.
Euler. Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum (latín) // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. - 1767. - T. 11 .
Andrew P. Guinand. Líneas de Euler, centros tritangentes y sus triángulos // American Mathematical Monthly . - 1984. - T. 91 , núm. 5 . — .
William N. Franzsen. La distancia del incentro a la línea de Euler // Forum Geometricorum. - 2011. - Edición. 11 _
Paul Yuu. Los círculos de Lester, Evans, Parry y sus generalizaciones // Forum Geometricorum. - 2010. - T. 10 .

Rigby. Breves notas sobre algunos teoremas geométricos olvidados // Mathematics and Informatics Quarterly. - 1997. - vol. 7.

Weisstein, Eric W. Nine-Point Center (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex