Unidad cuadrada

Un cuadrado unitario  es un cuadrado cuyo lado es un segmento unitario . La unidad cuadrada es una unidad de área . A veces se requiere que en coordenadas rectangulares la esquina inferior izquierda del cuadrado unitario esté en el origen de coordenadas y sus lados sean paralelos a los ejes de coordenadas. En este caso, sus vértices tienen coordenadas , y .

Definiciones

A menudo, un cuadrado unitario significa cualquier cuadrado con un lado de 1.

Si se da un sistema de coordenadas rectangulares , entonces este término se usa a menudo en un sentido más estricto: un cuadrado unitario es un conjunto de puntos, cuyas coordenadas ( x e y ) se encuentran entre 0 y 1 :

En otras palabras, el cuadrado unitario es el producto directo I × I , donde I  es el segmento unitario .

En el plano complejo , un cuadrado unitario significa un cuadrado con vértices 0 , 1 , 1 + i e i [1] .

Unidad de área

El cuadrado unitario es una unidad de medida del área de una figura. Medir el área de una figura significa encontrar la razón entre el área de la figura y el área de un cuadrado unitario, es decir, cuántas veces se puede colocar un cuadrado unitario en una figura dada. [2] . Hay muchas razones para creer que el área fue determinada por las matemáticas de la antigua Babilonia [3] . En los " Principios " Euclides no tenía una unidad de longitud, lo que significa que no había concepto de unidad cuadrada. Euclides no midió las áreas con números, sino que consideró las proporciones de las áreas entre sí [4] .

Propiedades

• El área de un cuadrado unitario es 1, el perímetro  es 4 y la diagonal  es .
• El cuadrado unitario es un "círculo" de diámetro 1 en el sentido de la norma uniforme ( ), es decir, el conjunto de puntos que se encuentran a una distancia de 1/2 en el sentido de la norma uniforme del centro con coordenadas (1/2, 1/2) es un cuadrado unitario [5 ] .
• Cantor demostró que existe una correspondencia biunívoca entre el segmento unitario y el cuadrado unitario. Este hecho es tan contrario a la intuición que Cantor escribió a Dedekind en 1877 : "Lo veo, pero no lo creo" [6] [7] .
• Peano descubrió un hecho aún más sorprendente en 1890: resulta que hay un mapeo continuo de un segmento en un cuadrado. Un ejemplo de tal mapeo es la curva de Peano , el primer ejemplo de una curva de relleno de espacio. La curva de Peano especifica un mapeo continuo de un segmento unitario en un cuadrado, de modo que para cada punto del cuadrado hay un punto correspondiente del segmento [8] .
• Sin embargo, no existe un mapeo continuo uno a uno de un segmento a un cuadrado. La curva de Peano contiene múltiples puntos, es decir, pasa por algunos puntos del cuadrado más de una vez. Por lo tanto, la curva de Peano no define una correspondencia biunívoca . De hecho, es fácil probar que un segmento no es homeomorfo a un cuadrado, lo que significa que es imposible evitar varios puntos [9] .

Problema abierto

No se sabe (a partir de 2011) si existe un punto en el plano tal que la distancia a cualquier vértice de la unidad cuadrada sea un número racional . Sin embargo, se sabe que tal punto no existe en el límite del cuadrado [10] [11] .

Véase también

• esfera unitaria
• circulo unitario
• cubo unidad

Notas

1. ↑ Weisstein, Eric W. Unit Square  en el sitio web de Wolfram MathWorld .
2. ↑ Valery Gusev, Alexander Mordkovich. Matemáticas: una guía educativa y de referencia . Litros, 2016-06-10. - S. 436. - 674 pág. — ISBN 9785457404793 .
3. ↑ Peter StromRudman. Cómo sucedieron las matemáticas: los primeros 50.000 años . — Libros de Prometeo, 2007-01-01. - S. 108. - 316 pág. — ISBN 9781615921768 .
4. ↑ Saúl Stahl. Geometría de Euclides a Nudos . — Corporación de mensajería, 2012-05-23. — P. 99-100. — 481 pág. — ISBN 9780486134987 .
5. ↑ Athanasios C. Antoulas. Aproximación de Sistemas Dinámicos de Gran Escala . — SIAM, 2009-06-25. - S. 29. - 489 pág. — ISBN 9780898716580 .
6. ↑ Serguéi Demenok. Fractal: entre el mito y la artesanía . — Litros, 2016-06-08. - S. 156. - 298 pág. — ISBN 9785040137091 .
7. ↑ Michael J. Bradley. Los fundamentos de las matemáticas: 1800 a 1900 . - Editorial Infobase, 2006. - S. 104-105. — 177 pág. — ISBN 9780791097212 .
8. ↑ Serguéi Sizy. Problemas de matematicas. Olimpiadas de Estudiantes de la Facultad de Matemáticas y Mecánica de la Universidad Estatal de los Urales . — Litros, 2016-04-14. - S. 34. - 128 pág. — ISBN 9785040047086 . Archivado el 7 de abril de 2022 en Wayback Machine .
9. ↑ Alexander Shen, Nikolái Vereshchagin. Conferencias sobre lógica matemática y teoría de algoritmos. Parte 1. Inicios de la teoría de conjuntos . Litros, 2015-11-13. - S. 19. - 113 pág. — ISBN 9785457918795 . Archivado el 7 de abril de 2022 en Wayback Machine .
10. ↑ Guy, Richard K. (1991), Problemas sin resolver en teoría de números, vol. 1 (2ª ed.), Springer-Verlag, pág. 181-185  .
11. ↑ Barbara, Roy (marzo de 2011), El problema de la distancia racional , Mathematical Gazette, volumen 95(532): 59-61 , < http://journals.cambridge.org/action/displayAbstract?fromPage=online&aid=9458155 > con fecha de diciembre 24, 2015 en la Wayback Machine . 

Enlaces

• Weisstein, Eric W. Unit Square  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .