Regla final de subdivisión

En matemáticas , la regla de la subdivisión finita es una forma recursiva de dividir un polígono y otras formas bidimensionales en partes cada vez más pequeñas. Las reglas de subdivisión en este sentido son una generalización de los fractales . En lugar de repetir el mismo patrón una y otra vez, hay ligeros cambios en cada paso, lo que permite texturas más ricas mientras se mantiene el soporte para el elegante estilo fractal [1] . Las reglas de subdivisión se utilizan en arquitectura, biología e informática, así como en el estudio de variedades hiperbólicas . Las sustituciones de fichas son una regla de subdivisión bien estudiada.

Definición

La regla de subdivisión toma un mosaico en el plano con polígonos y lo convierte en un nuevo mosaico dividiendo cada polígono en polígonos más pequeños. La regla es finita si solo hay un número finito de formas de dividir cada polígono. Cada forma de dividir una ficha se denomina tipo de ficha . Cada tipo de mosaico está representado por una etiqueta (generalmente una letra). Cada tipo de mosaico se divide en tipos de mosaico más pequeños. Cada borde también se divide en un número finito de tipos de borde . Las reglas finales de subdivisión solo pueden subdividir teselas compuestas de polígonos etiquetados con tipos de teselas. Tales mosaicos se denominan complejos de subdivisión para la regla de subdivisión. Dado cualquier complejo de subdivisión para la regla de subdivisión, podemos dividirlo una y otra vez para obtener una secuencia de mosaicos.

Por ejemplo, una división binaria tiene un tipo de mosaico y un tipo de borde:

Dado que los mosaicos son solo quads, una subdivisión binaria puede dar un mosaico que consiste solo en quads. Esto significa que los complejos de subdivisión son mosaicos de cuadriláteros. El mosaico puede ser correcto , pero no tiene por qué serlo:

Aquí comenzamos con cuatro quads y los subdividimos dos veces. Todos los cuadrados son mosaicos tipo A.

Ejemplos de reglas finales de subdivisión

La subdivisión baricéntrica es un ejemplo de una regla de subdivisión con un tipo de arista (que se subdivide en dos aristas) y un tipo de mosaico (un triángulo que se subdivide en 6 triángulos más pequeños). Cualquier superficie triangulada es un complejo de subdivisión baricéntrico [1] .

Se puede obtener un mosaico de Penrose usando la regla de subdivisión en un conjunto de cuatro tipos de mosaicos (las curvas en la siguiente tabla solo ayudan a mostrar cómo encajan los mosaicos):

Nombre Azulejos iniciales Generación 1 Generación 2 Generación 3
semideltoides
media flecha
Sol
Estrella

Algunas asignaciones racionales dan lugar a reglas de subdivisión finitas [2] . Incluyen la mayoría de las pantallas Latte [3] .

Cualquier complemento alternativo simple e inseparable de un nudo o enlace tiene una regla de subdivisión con algunas fichas que no se subdividen según los límites del complemento del enlace [4] . Las reglas de subdivisión muestran cómo se vería el cielo nocturno si alguien viviera en el complemento del nodo En este caso, el universo se envuelve a sí mismo (es decir, no está simplemente conectado ), y el observador vería la parte visible del universo repitiéndose en un mosaico infinito. La regla de subdivisión describe este mosaico.

La regla de subdivisión se ve diferente para diferentes geometrías. Aquí está la regla de subdivisión para un trébol que no es un enlace hiperbólico :

Y aquí está la regla de división para los anillos de Borromeo que son hiperbólicos:

En cada caso, la regla de subdivisión opera en alguna teselación de la esfera (es decir, el cielo nocturno), pero es más fácil dibujar una pequeña porción del cielo estrellado correspondiente a un solo mosaico subdividido muchas veces. Esto es lo que sucede con el trébol:

Y para anillos borromeos:

Reglas de subdivisión en otras dimensiones

Las reglas de subdivisión se pueden generalizar a otras dimensiones [5] . Por ejemplo, la subdivisión baricéntrica es aplicable en todas las dimensiones. La subdivisión binaria también se puede generalizar a otras dimensiones (donde los hipercubos se dividen por hiperplanos medianos), como en la prueba del lema de Heine-Borel .

Definición estricta

La regla de subdivisión final consta de lo siguiente [1] .

1. Un complejo CW bidimensional finito , llamado complejo de subdivisión , con una estructura de celda fija tal que es la unión de 2 celdas cerradas. Suponemos que para cada 2 celdas cerradas del complejo hay una estructura CW en 2 discos cerrados tal que tiene al menos dos vértices, los vértices y las aristas están contenidos en , y el mapeo característico a está restringido a un homeomorfismo a cada celda abierta.

2. Un complejo CW bidimensional finito , que es una subdivisión de .

3. Mapeo continuo de celdas , llamado mapeo de subdivisión , cuya restricción a cada celda abierta es un homeomorfismo.

Cada complejo CW en la definición anterior (con mapeo característico ) se denomina tipo de mosaico .

-complejo para la regla de subdivisión es un complejo CW bidimensional , que es la unión de 2 celdas cerradas, junto con un mapeo continuo de celdas , cuya restricción a cada celda abierta es un homeomorfismo. Podemos subdividir en un complejo al requerir que el mapeo generado se restrinja a un homeomorfismo para cada celda delimitada. de nuevo -complejo con mapeo . Repitiendo el proceso, obtenemos una secuencia de complejos subdivididos con aplicaciones .

La subdivisión binaria es un ejemplo: [6]

Se puede crear un complejo de subdivisión pegando los bordes opuestos de un cuadrado, lo que convierte el complejo de subdivisión en un toro . La pantalla de subdivisión es una pantalla de doble toro, que envuelve el meridiano sobre sí mismo dos veces, y lo mismo para la latitud. Es decir, es una cubierta cuádruple . El plano en mosaico con cuadrados es el complejo de subdivisión para esta regla de subdivisión con el mapeo estructural dado por el mapeo de cobertura estándar. En la subdivisión, cada cuadrado del plano se subdivide en cuadrados de un cuarto de tamaño.

Propiedades cuasi-isométricas

Las reglas de subdivisión se pueden utilizar para estudiar las propiedades cuasi-isométricas de ciertas superficies [7] . Dada una regla de subdivisión y un complejo de subdivisión , podemos construir un gráfico llamado gráfico histórico que registre las acciones de la regla de subdivisión. El gráfico consta de los gráficos duales de cada paso , junto con los bordes que conectan cada mosaico con sus subdivisiones .

Las propiedades cuasiisométricas de los gráficos históricos se pueden estudiar mediante reglas de subdivisión. Por ejemplo, el gráfico histórico es una cuasi-isometría de un espacio hiperbólico exactamente cuando las reglas de subdivisión son conformes , como se describe en el teorema de mapeo combinatorio de Riemann [7] .

Aplicaciones

El mosaico de Girih en la arquitectura islámica es un mosaico autosimilar que se puede modelar mediante reglas de subdivisión finitas [8] . En 2007 , Peter Lu la Universidad de Harvard y el profesor Paul Steinhardt de la Universidad de Princeton publicaron un artículo en la revista Science conjeturando que estos mosaicos tienen propiedades consistentes con mosaicos cuasi -cristalinos fractales autosimilares como los mosaicos de Penrose el mosaico se propuso en 1974) , pero los mosaicos girih se utilizaron cinco siglos antes [9] [10] .

Las superficies subdivididas en gráficos por computadora usan reglas de subdivisión para refinar una superficie a cualquier nivel de precisión dado. En estas subdivisiones de superficie (como la superficie subdividida de Catmull-Clark ) se toma una malla poligonal (utilizada para animación 3D en películas) y se refina a una malla con una gran cantidad de polígonos agregando y cambiando puntos de acuerdo con varios recursos recursivos. fórmulas [11] . Aunque se desplazan muchos puntos en este proceso, cada malla nueva es combinatoriamente una subdivisión de la malla anterior (lo que significa que para cualquier borde y vértice de la malla anterior, puede especificar un borde y un vértice de la malla nueva, además de algunos bordes más). y vértices).

Las reglas de subdivisión han sido utilizadas por Cannon, Floyd y Parry (2000) para estudiar las estructuras de los organismos biológicos en crecimiento [6] . Cannon, Floyd y Parry desarrollaron un modelo de crecimiento matemático que demuestra que algunos sistemas, definidos por reglas simples de subdivisión finita, dan como resultado objetos (en su caso, un tronco de árbol) cuyas formas de gran volumen fluctúan ampliamente con el tiempo, aunque el local gobierna el las subdivisiones siguen siendo las mismas [6] . Cannon, Floyd y Parry también aplicaron su modelo al análisis del crecimiento de tejido en ratas [6] . Sugirieron que la naturaleza "curvada negativamente" (o no euclidiana) de las estructuras microscópicas de crecimiento de los organismos biológicos es una de las razones clave por las que los organismos a gran escala no parecen cristales o poliedros, sino que, de hecho, en muchos los casos se asemejan a los fractales auto-similares [6] . En particular, sugirieron que tal estructura local "curvada negativamente" se manifiesta en la naturaleza altamente plegada y altamente conectada de los tejidos del cerebro y los pulmones [6] .

Hipótesis de Cannon

Cannon , Floyd y Parry fueron los primeros en estudiar las reglas de subdivisión finita en un intento de probar la siguiente conjetura:

Conjetura de Cannon : cualquier grupo hiperbólico de Gromov con una 2-esfera en el infinito actúa geométricamente sobre un 3-espacio hiperbólico [7] .

Aquí la acción geométrica es una acción compacta, completamente discontinua de isometrías. La conjetura fue parcialmente resuelta por Grigory Perelman en su prueba [12] [13] [14] de la conjetura de Thurston , que establece (en particular) que cualquier grupo hiperbólico de Gromov que sea un grupo de una variedad 3 debe actuar geométricamente en una hiperbólica 3 espacios. Sin embargo, queda por demostrar que el grupo hiperbólico de Gromov con una 2-esfera en el infinito es un grupo de una 3-variedad.

Cannon y Swenson demostraron [15] que un grupo hiperbólico con una esfera 2 en el infinito tiene una regla de subdivisión asociada. Si esta regla de subdivisión es conforme en cierto sentido, el grupo será un grupo de 3 variedades con la geometría de un 3 espacio hiperbólico [7] .

Teorema de mapeo combinatorio de Riemann

Las reglas de subdivisión dan la secuencia de mosaicos de una superficie, y los mosaicos dan la idea de distancia, longitud y área (asumiendo que cada mosaico tiene longitud y área 1). En el límite, la distancia que resulta de estas teselaciones puede, en cierto sentido, converger a una estructura analítica en la superficie. El teorema de mapeo combinatorio de Riemann da una condición necesaria y suficiente para que esto suceda [7] .

Se requiere cierta preparación para formular el teorema. El mosaico del anillo da dos invariantes, y , llamados módulos de aproximación . Son similares al módulo clásico de un anillo [16] . Se determinan usando funciones de peso . La función de ponderación asigna a cada mosaico un número no negativo denominado ponderación . Para cualquier ruta , puede especificar la longitud como la suma de los pesos de todos los mosaicos en la ruta. Definimos la altura de un camino en como el mínimo de la longitud de todos los caminos posibles que conectan el límite interior con el límite exterior. La circunferencia de un círculo en es el mínimo de la longitud de todos los caminos posibles que forman un ciclo en el anillo (es decir, no homotópica a cero en R). El área del anillo en se define como la suma de los cuadrados de todos los pesos en . Ahora vamos a definir

.

Tenga en cuenta que estas cantidades son invariantes bajo la escala métrica.

Una secuencia de mosaicos es conforme ( ) si el valor de la celda tiende a 0 y:

  1. Para todos los anillos, los módulos que se aproximan y para todos los suficientemente grandes se encuentran en el mismo intervalo de la forma
  2. Dado un punto en la superficie, una vecindad del punto y un entero , entonces existe un anillo al separar x del complemento , de modo que los módulos de aproximación del anillo son mayores que el número de algunos [7] .

Enunciado del teorema

Si una secuencia de mosaicos en una superficie es conforme ( ) en el sentido descrito anteriormente, entonces hay una estructura conforme en la superficie y una constante que depende solo de la cual los módulos clásicos y módulos de aproximación (para suficientemente grande ) de cualquier anillo dado es -comparable, lo que significa que se encuentran en el mismo intervalo [7] .

Consecuencias

Del teorema del mapeo combinatorio de Riemann se deduce que un grupo actúa geométricamente si y solo si el grupo es hiperbólico de Gromov, tiene una esfera en el infinito y las reglas naturales de subdivisión en la esfera dan una secuencia de mosaicos que son conformes en el sentido descrito anteriormente. . Por lo tanto, la conjetura de Cannon será cierta si todas esas reglas de subdivisión son conformes [15] .

Notas

  1. ↑ 1 2 3 Cannon, Floyd, Parry, 2001 , pág. 153-196.
  2. ↑ Cannon, Floyd, Parry, 2007 , pág. 128-136.
  3. ↑ Cannon, Floyd, Parry, 2010 , pág. 113-140.
  4. ↑ Rushton, 2010 , pág. 1-13.
  5. ↑ Rushton, 2012 , pág. 23–34.
  6. ↑ 1 2 3 4 5 6 Cannon, Floyd, Parry, 2000 , pág. 65-82.
  7. ↑ 1 2 3 4 5 6 7 Cannon, 1994 , pág. 155-234.
  8. ↑ Lu, 2007 , pág. 1106-1110.
  9. ↑ Lu, Steinhardt, 2007 , pág. 1106-1110.
  10. ↑ Cifras suplementarias Archivado el 26 de marzo de 2009.
  11. ↑ Zorín, 2006 .
  12. ↑ Perelman, Grisha (11 de noviembre de 2002), La fórmula de entropía para el flujo de Ricci y sus aplicaciones geométricas, arΧiv : math.DG/0211159 [math.DG]. 
  13. ↑ Perelman, Grisha (10 de marzo de 2003), Flujo de Ricci con cirugía en tres múltiples, arΧiv : math.DG/0303109 [math.DG]. 
  14. ↑ Perelman, Grisha (17 de julio de 2003), Tiempo de extinción finito para las soluciones del flujo de Ricci en ciertas variedades, arΧiv : math.DG/0307245 [math.DG]. 
  15. ↑ 1 2 Cannon, Swenson, 1998 , pág. 809-849.
  16. ↑ El módulo de un anillo es el recíproco de la longitud extrema de una familia de curvas cerradas en un anillo

Literatura

Enlaces