Teoría de Kaluza-Klein

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La teoría de Kaluza-Klein es una de las teorías multidimensionales de la gravedad , que permite combinar dos interacciones físicas fundamentales: la gravedad y el electromagnetismo . La teoría fue publicada por primera vez en 1921 por el matemático alemán Theodor Kaluza , quien extendió el espacio de Minkowski al espacio de 5 dimensiones y derivó de las ecuaciones de su teoría las ecuaciones de la relatividad general y las ecuaciones clásicas de Maxwell . La justificación de la inobservabilidad de la quinta dimensión (su compacidad) fue propuesta por el físico sueco Oscar Klein en 1926 [1] .

Esta teoría fue una de las primeras teorías exitosas que sentaron las bases para la interpretación geométrica de los campos de norma (a saber, el único conocido en el momento de su creación, además de la gravedad, el campo electromagnético). También fue la primera teoría de unificación exitosa que, aunque no condujo a descubrimientos confirmados experimentalmente, era una teoría internamente consistente e ideológicamente significativa que no contradecía el experimento.

La versión original de la teoría no incluía otras interacciones fundamentales (fuertes y débiles) no conocidas en ese momento, y tampoco había espacio para partículas con espín semientero. Pero la idea de teorías de campos unificados multidimensionales con espacios complementarios compactados ha encontrado aplicación en las teorías modernas de supersimetría , supergravedad y supercuerdas [2] .

Historia

El enfoque geométrico en la física fue establecido por R. Descartes , I. Kant y G. Galileo . Durante mucho tiempo, el concepto de curvatura del espacio no pudo surgir en la ciencia debido al predominio de las ideas sobre la homogeneidad del espacio y el tiempo, que se basaba en el quinto axioma de Euclides y coincidía con la experiencia cotidiana [3] . El rechazo del axioma del paralelismo de las rectas llevó a N. I. Lobachevsky al descubrimiento de una nueva geometría (no euclidiana) en un espacio con curvatura negativa . B. Riemann descubrió otro tipo de geometría no euclidiana con curvatura positiva , cuando no hay una sola línea paralela a la dada (líneas geodésicas) que pase por ningún punto que no se encuentre en esta línea [4] . La geometría esférica de Riemann describe el mundo con un volumen finito. W. Clifford predijo algunas consecuencias de la geometría esférica, consideró ideas sobre el mundo de un escarabajo arrastrándose sobre una esfera y planteó una pregunta sobre la geometría de nuestro Universo y su conexión con la física:

Preguntémonos si no podemos considerar igualmente como un cambio en el carácter físico aquellas acciones que de hecho deben su origen a cambios en la curvatura de nuestro espacio. ¿No resultará que todas o algunas de las causas que llamamos físicas tienen su origen en la estructura geométrica de nuestro espacio? [5]

La suposición esencial de Clifford era la conexión entre el campo eléctrico y la geometría del espacio [6] . Pero los científicos empeñados en la búsqueda de una descripción geométrica del mundo no pudieron llegar a la construcción de una teoría general de la relatividad antes de la inclusión del tiempo como una de las coordenadas de nuestro espacio, que fue promovida en los trabajos de H. Lorentz , A. Einstein , G. Minkowski [7] . En 1913, M. Grossman y A. Einstein sugirieron que la interacción gravitacional se debe a la curvatura del espacio-tiempo de 4 dimensiones. A la vuelta de 1915 y 1916, casi simultáneamente, aparecieron ecuaciones para el campo gravitatorio en los trabajos de A. Einstein y D. Hilbert [8] .

La física teórica describe el mundo a través de las matemáticas, busca encontrar la universalidad en sus leyes. Newton notó que la gravedad que actúa sobre una manzana es la misma gravedad que controla el movimiento de los cuerpos celestes. Hoy se conocen cuatro interacciones fundamentales, y la teoría moderna considera la posibilidad de describir todas las interacciones de manera unificada invocando dimensiones superiores [9] . En este contexto, la teoría cuántica de campos en el espacio de cinco dimensiones (5D) es una extensión natural de la teoría general de la relatividad (GR) de Einstein [10] .

Gunnar Nordström intentó por primera vez combinar la teoría de la gravedad con el electromagnetismo, invocando la quinta dimensión, en 1914. Pero en este caso, al potencial vectorial electromagnético se le añadió la quinta componente, que es el potencial gravitacional newtoniano, ya que su teoría apareció antes que la relatividad general, y no asumió la naturaleza tensorial del potencial gravitacional [11] , y permitiendo escribir las ecuaciones de Maxwell en cinco dimensiones [12 ] [13] .

El desarrollo de la teoría de las cinco dimensiones (5D) se divide en tres etapas. La conjetura original se debe a Theodor Kaluza , quien envió sus resultados a Einstein en 1919 [14] y los publicó en 1921 [15] . Kaluza presentó una extensión 5D puramente clásica de la relatividad general con un tensor métrico de 15 componentes. 10 componentes se identifican con una métrica de espacio-tiempo de cuatro dimensiones, cuatro componentes con un potencial de vector electromagnético y un componente con un campo escalar no identificado , que Kaluza no consideró, a veces llamado " radión " o "dilatón". En consecuencia, las ecuaciones de Einstein 5D dan las ecuaciones de Einstein 4D para el campo , las ecuaciones de Maxwell para el campo electromagnético y la ecuación para el campo escalar. Kaluza también introdujo la hipótesis de la "condición cilíndrica", según la cual ninguno de los componentes de la métrica de cinco dimensiones depende explícitamente de la quinta coordenada. Sin este supuesto, aparecen términos que incluyen derivadas de los campos con respecto a la quinta coordenada, que, al igual que el campo escalar, no se observan en los experimentos. Este grado adicional de libertad es tal que las ecuaciones del campo de quintas coordenadas se vuelven increíblemente complejas. La física estándar en 4D aparece cuando se impone una condición cilíndrica, y las matemáticas correspondientes adquieren una forma más simple [16] .

En 1926, Oskar Klein dio a la teoría clásica de Kaluza de cinco dimensiones una interpretación cuántica de acuerdo con los descubrimientos de Heisenberg y Schrödinger [17] [18] . Klein planteó la hipótesis de que la quinta dimensión está enrollada y es microscópica para explicar la condición cilíndrica, y el movimiento cíclico en la quinta dimensión puede explicar naturalmente la cuantización de la carga del electrón [19] . Klein sugirió que la geometría de la quinta dimensión adicional podría ser circular con un radio de 10 −30 cm . Klein también contribuyó a la teoría clásica al proporcionar una métrica 5D correctamente normalizada [18] . El trabajo sobre la teoría del campo de Kaluza continuó en la década de 1930 por Einstein y sus colegas en Princeton [20] .

La teoría original de Kaluza-Klein se considera incorrecta por varias razones. En particular, la compactación de la quinta dimensión lleva a la conclusión de que las partículas que dominarán el mundo deben tener masas de Planck, lo que no se observa en el experimento. Este problema se conoce como el problema de la jerarquía de masas . Ignorar el campo escalar de Calucei tampoco permite explicar la presencia de energía oscura en nuestro Universo [19] . También, según Einstein, la condición cilíndrica, que es la causa de la aparición de las masas, excluye la interpretación geométrica de las masas [21] .

En la década de 1940, la teoría clásica se completó y las ecuaciones de campo completas, incluido el campo escalar, fueron obtenidas por tres grupos de investigación independientes [22] : Thiry [23] [24] [25] , trabajando en Francia en una disertación con Lichnerovich ; Jordan, Ludwig y Müller en Alemania [26] [27] [28] [29] [30] , con contribuciones críticas de Pauli y Fierz; y Scherrer [31] [32] [33] que trabajaba solo en Suiza. El trabajo de Jordan condujo a la teoría del tensor escalar de Brans-Dicke [34] ; Bruns y Dike obviamente no sabían nada de Tiri y Scherrer. Las ecuaciones completas de Kaluza con la condición cilíndrica son bastante complejas y la mayoría de las revisiones en inglés, así como las traducciones al inglés de Thiry, contienen algunos errores. Los tensores de curvatura para las ecuaciones completas de Kaluza se calcularon utilizando el sistema informático de álgebra tensorial en 2015 [35] , comprobando los resultados de Ferrari [36] y Coquero y Esposito-Farese [37] . Williams [38] consideró la forma covariante 5D de la fuente (tensor de energía-momento) .

La hipótesis de Kaluza

En su artículo de 1921 [15] , Kaluza utilizó todos los elementos de la teoría clásica de cinco dimensiones: la métrica, las ecuaciones de campo, las ecuaciones de movimiento, el tensor de energía-momento y la condición cilíndrica. Sin usar parámetros libres, extendió la relatividad general a cinco dimensiones.

Comencemos con una hipótesis sobre la forma de la métrica de cinco dimensiones. , donde los índices latinos cubren cinco dimensiones. También presentamos una métrica de espacio-tiempo de cuatro dimensiones , donde los índices griegos cubren las cuatro dimensiones habituales de espacio y tiempo; El 4-vector se identifica con el vector potencial electromagnético; y campo escalar [39] . Luego dividimos la métrica 5D para que la métrica 4D esté enmarcada por un vector potencial electromagnético con un campo escalar en la quinta posición de la diagonal. Esto se puede representar como: ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${\ Displaystyle {g} _ {\ mu \ nu}}$ $A^{\mu }$ $\fi$

{\widetilde {g}}_{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu }&\phi ^ {2}A_{\mu }\\\phi ^{2}A_{\nu }&\phi ^{2}\end{bmatriz}}\,.

Más precisamente, uno puede escribir

{\widetilde {g}}_{\mu \nu }\equiv g_{\mu \nu }+\phi ^{2}A_{\mu }A_{\nu },\qquad {\widetilde { g))_{5\nu }\equiv {\widetilde {g))_{\nu 5}\equiv \phi ^{2}A_{\nu },\qquad {\widetilde {g))_{55 }\equiv\phi ^{2}\,,

donde el índice indica la quinta coordenada por convención, mientras que las primeras cuatro coordenadas tienen índices 0, 1, 2 y 3. La métrica inversa correspondiente es $5$

{\widetilde {g}}^{ab}\equiv {\begin{bmatrix}g^{\mu \nu }&-A^{\mu }\\-A^{\nu }&g_{\ alfa \beta }A^{\alpha }A^{\beta }+{1 \over \phi ^{2}}\end{bmatrix}}\,.

Esta expansión es bastante general y todos los términos son adimensionales. Kaluza luego aplica el aparato de la relatividad general estándar a esta métrica . Las ecuaciones de campo se derivan de las ecuaciones de Einstein de cinco dimensiones , mientras que las ecuaciones de movimiento se derivan de la hipótesis geodésica de cinco dimensiones. Las ecuaciones de campo resultantes dan tanto ecuaciones generales de relatividad como electrodinámicas; las ecuaciones de movimiento dan la ecuación de cuatro dimensiones de la geodésica y la ley de la fuerza de Lorentz [40] , y se encuentra que la carga eléctrica se identifica con el movimiento en la quinta dimensión.

La hipótesis métrica implica que hay un elemento de longitud de cinco dimensiones invariante [39] : ${\ estilo de visualización \ nombre del operador {d} \! s}$

\operatorname {d} \!s^{2}\equiv {\widetilde {g}}_{ab}\operatorname {d} \!x^{a}\operatorname {d} \!x^{ b}=g_{\mu \nu }dx^{\mu }\nombre del operador {d} \!x^{\nu }+\phi ^{2}\left(A_{\nu }\nombre del operador {d} \ !x^{\nu }+\nombre del operador {d} \!x^{5}\right)^{2}\,.

Ecuaciones de campo de la conjetura de Kaluza

Las ecuaciones de campo de la teoría 5D nunca fueron definidas correctamente por Kaluza o Klein porque ignoraron el campo escalar. La derivación de las ecuaciones de campo completas de Kaluza generalmente se atribuye a Thiry [24], quien obtuvo las ecuaciones de campo en el vacío. Kaluza [15] originalmente escribió el tensor de energía-momento para su teoría, y Thiry incluyó el tensor de energía-momento en su disertación. Pero, como describió Gonner [22] , varios grupos independientes trabajaron en ecuaciones de campo en la década de 1940 y antes. Thiry es quizás más conocido solo porque Applequist, Chodos y Freund publicaron una traducción al inglés de su trabajo en su libro de reseñas [41] . Applequist y otros también publicaron una traducción al inglés del artículo de Kaluza. Las obras de Jordan no han sido traducidas al inglés [26] [27] [29] . Williams [35] obtuvo las primeras ecuaciones de campo de Kaluza correctas en inglés, incluido el campo escalar .

Para obtener las ecuaciones de campo 5D, los símbolos de conexión 5D Christoffel se calculan a partir de la métrica 5D y el tensor de Ricci 5D se calcula a partir de los símbolos de conexión 5D Christoffel. ${\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}$ ${\widetilde {g}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

Los resultados clásicos de Thiry y otros autores se obtuvieron utilizando la condición cilíndrica:

{\parcial {\widetilde {g}}_{ab} \over \parcial x^{5}}=0

Sin esta suposición, las ecuaciones de campo se vuelven mucho más complejas, dando lugar a muchos más grados de libertad que pueden identificarse con varios campos nuevos. Paul Wesson y sus colegas intentaron debilitar la condición cilíndrica para obtener términos adicionales que pudieran identificarse con campos de materia [42] , para lo cual Kaluza [15] insertó manualmente el tensor de energía-momento.

La objeción a la idea original de Kaluza fue utilizar la quinta dimensión, pero sin su dinámica. Sin embargo, Thiry argumentó [22] que interpretar la ley de la fuerza de Lorentz en términos de una geodésica de 5 dimensiones contradice fuertemente la existencia de una quinta dimensión, independientemente de la condición cilíndrica. Por lo tanto, la mayoría de los autores utilizaron la condición cilíndrica al derivar las ecuaciones de campo. Además, normalmente se asumen ecuaciones de vacío para las cuales

{\widetilde {R}}_{ab}=0

dónde

{\widetilde {R}}_{ab}\equiv \partial _{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{c}-\partial_{b}{\widetilde {\ Gamma }}_{ca}^{c}+{\widetilde {\Gamma }}_{cd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ab}^{d}-{\widetilde {\ Gamma }}_{bd}^{c}{\widetilde {\Gamma }}_{ac}^{d}

{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}\equiv {1 \over 2}{\widetilde {g}}^{ad}\left(\partial _{b}{\widetilde {g}}_{dc}+\parcial _ {c}{\widetilde {g}}_{db}-\parcial_{d}{\widetilde {g}}_{bc}\right)

Las ecuaciones de campo de vacío obtenidas de esta forma por Thiry [24] y el grupo de Jordan [26] [27] [29] se escriben a continuación.

La ecuación de campo para se obtiene de ${\ Displaystyle A ^ {\ nu}}$

{\widetilde {R}}_{55}=0\Rightarrow \Box \phi ={1 \over 4}\phi ^{3}F^{\alpha \beta }F_{\alpha \beta }

donde , , y es la derivada covariante tetradimensional estándar. La ecuación muestra que el campo electromagnético es la fuente del campo escalar. Tenga en cuenta que no se puede suponer que el campo escalar sea constante sin imponer una restricción adecuada al campo electromagnético. Las interpretaciones anteriores de Kaluza y Klein no describían adecuadamente el campo escalar y no tenían en cuenta la restricción resultante del campo electromagnético, asumiendo un campo escalar constante. ${\displaystyle F_{\alpha \beta }\equiv \parcial _ {\alpha }A_{\beta }-\parcial _{\beta }A_{\alpha })$ ${\ Displaystyle \ Box \ equivalente g ^ {\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} \ nabla _ {\ nu}}$ ${\ estilo de visualización \ nabla _ {\ mu}}$

La ecuación de campo para el tensor de Ricci de cuatro dimensiones se obtiene de $R_{\mu\nu}$

{\widetilde {R}}_{5\alpha }=0={1 \over 2}g^{\beta \mu }\nabla _{\mu }\left(\phi ^{3}F_ {\ alfa \ beta } \ derecho)

Si el campo escalar es constante, entonces tiene la forma de las ecuaciones de vacío de Maxwell.

{\begin{alineado}{\widetilde {R}}_{\mu \nu }-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{\mu \nu }{\widetilde {R} }&=0\Rightarrow \\R_{\mu \nu }-{1 \sobre 2}g_{\mu \nu }R&={1 \sobre 2}\phi ^{2}\left(g^{\ alfa \beta }F_{\mu \alpha }F_{\nu \beta }-{1 \over 4}g_{\mu \nu }F_{\alpha \beta }F^{\alpha \beta }\right) +{1 \sobre \phi }\left(\nabla _{\mu }\nabla _{\nu }\phi -g_{\mu \nu }\Box \phi \right)\end{alineado))

donde es el escalar estándar 4D Ricci. $R$

Un resultado notable se deriva de esta ecuación, llamada por A. Salam "el milagro de Kaluza" [43] : la forma exacta del tensor de energía-momento del campo electromagnético surge de las ecuaciones de vacío 5D como fuente en las ecuaciones 4D: el campo del vacío. Otro milagro implica la explicación de la invariancia de gauge [44] . La forma del tensor energía-momento del campo electromagnético nos permite finalmente identificarlo con el vector potencial electromagnético. Para ello, se debe escalar el campo utilizando la constante de transformación : . La relación anterior muestra que la constante debe ser de la forma $A^{\mu }$ $k$ ${\displaystyle A^{\mu }\rightarrow kA^{\mu ))$

{k^{2} \over 2}={8\pi G \over c^{4}}{1 \over \mu _{0}}={2G \over c^{2}}{ 4\pi\epsilon _{0}}

donde es la constante gravitacional y es la permeabilidad magnética del espacio libre . En la teoría de Kaluza, la constante gravitacional puede entenderse como una constante de acoplamiento electromagnético en una métrica. También existe un tensor de energía-momento para un campo escalar. El campo escalar se comporta como una constante gravitacional variable en términos de modular la conexión del tensor de energía-momento del campo electromagnético con la curvatura del espacio-tiempo. El signo en la métrica se fija de acuerdo con la teoría 4D, por lo que las densidades de energía electromagnética son positivas. A menudo se supone que la quinta coordenada es espacial en su firma en la métrica. $GRAMO$ $\mu_{0}$ ${\ estilo de visualización \ phi ^ {2}}$

En presencia de materia, se viola la condición de vacío 5D. De hecho, Kaluza no esperaba esto. Las ecuaciones de campo completas requieren el cálculo del tensor de Einstein 5D

{\widetilde {G}}_{ab}\equiv {\widetilde {R}}_{ab}-{1 \over 2}{\widetilde {g}}_{ab}{\widetilde {R }}

como se ve en la reconstrucción del tensor de energía-momento del campo electromagnético anterior. Los tensores de curvatura 5D son complejos, y la mayoría de las revisiones en inglés contienen errores en sus traducciones al inglés o en los mismos que ellos [24] . Consulte Williams [35] para obtener un conjunto completo de tensores de curvatura 5D con una condición cilíndrica calculada con un programa de álgebra de tensores. ${\widetilde {G}}_{ab}$ ${\widetilde {R}}_{ab}$

Ecuaciones de movimiento a partir de la hipótesis de Kaluza

Las ecuaciones de movimiento se derivan de la hipótesis geodésica de cinco dimensiones [15] en términos de la 5-velocidad : ${\widetilde {U}}^{a}\equiv dx^{a}/ds$

{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {\nabla }}_{b}{\widetilde {U}}^{a}={d{\widetilde {U}}^{a } \over ds}+{\widetilde {\Gamma }}_{bc}^{a}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}=0

Esta ecuación se puede transformar de varias maneras y ha sido estudiada de diversas formas por autores como Kaluza [15] , Pauli [45] , Gross y Perry [46] , Hegenberg y Kunstatter [47] y Wesson y Ponce de Leon [48]. ] , pero para una mejor comprensión, es útil volver a convertirlo al elemento de longitud de 4 dimensiones habitual , que está relacionado con el elemento de longitud de 5 dimensiones , como se muestra arriba: ${\displaystyle c^{2}d\tau^{2}\equiv g_{\mu \nu }dx^{\mu }dx^{\nu ))$ $ds$

ds^{2}=c^{2}d\tau ^{2}+\phi ^{2}\left(kA_{\nu }dx^{\nu }+dx^{5}\right )^{2}

Entonces la ecuación geodésica 5D se puede escribir [49] para los componentes espaciotemporales de la 4-velocidad,

{\begin{alineado}&U^{\nu }\equiv {dx^{\nu } \over d\tau }\\&{dU^{\nu } \over d\tau }+{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }U^{\alpha }U^{\beta }+2{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu } U^{\alpha }U^{5}+{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }\left(U^{5}\right)^{2}+U^{\mu {d \sobre d\tau }\ln \left({cd\tau \sobre ds}\right)=0\end{alineado}}

Un término cuadrático en , da como resultado una ecuación geodésica 4D más algunos términos electromagnéticos: ${\displaystyle U^{\nu ))$

{\widetilde {\Gamma }}_{\alpha \beta }^{\mu }=\Gamma _{\alpha \beta }^{\mu }+{1 \over 2}g^{\mu \nu }k^{2}\phi ^{2}\left(A_{\alpha }F_{\beta \nu }+A_{\beta }F_{\alpha \nu }-A_{\alpha }A_{ \beta }\parcial _ {\nu }\ln \phi ^{2}\right)

El término, lineal en , conduce a la ley de la fuerza de Lorentz : ${\displaystyle U^{\nu ))$

{\widetilde {\Gamma }}_{5\alpha }^{\mu }={1 \over 2}g^{\mu \nu }k\phi ^{2}\left(F_{\ alfa \nu }-A_{\alpha }\parcial _ {\nu }\ln \phi ^{2}\right)

Esta es otra expresión del "milagro de Kaluza". La misma hipótesis para la métrica 5D que produce el tensor de energía-momento del campo electromagnético en las ecuaciones de Einstein también da la ley de fuerza de Lorentz en la ecuación de movimiento junto con la ecuación geodésica 4D. Sin embargo, el cumplimiento de la ley de fuerza de Lorentz requiere que la componente de 5 velocidades a lo largo de la quinta dimensión se identifique con la carga eléctrica:

kU^{5}=k{\frac {dx^{5}}{d\tau}}\rightarrow {q \over mc}

donde es la masa de la partícula y es la carga eléctrica de la partícula. Así, la carga eléctrica se entiende como movimiento a lo largo de la quinta dimensión. El hecho de que la ley de fuerza de Lorentz pueda entenderse como una geodésica en 5 dimensiones fue la principal motivación de Kaluza para considerar la hipótesis de 5 dimensiones incluso en presencia de la condición cilíndrica estéticamente desagradable. $metro$ $q$

Pero hay un problema: el término, que es cuadrático en , conduce a la ecuación ${\ estilo de visualización U^{5}}$

{\widetilde {\Gamma }}_{55}^{\mu }=-{1 \over 2}g^{\mu \alpha }\parcial _{\alpha }\phi ^{2}

Si no hay gradiente en el campo escalar, entonces el término cuadrático desaparece. Pero por lo demás, de la expresión anterior se sigue ${\ estilo de visualización U^{5}}$

{\displaystyle U^{5}\sim c{q/m \over G^{\frac {1}{2))))

Para partículas elementales . El término cuadrático en debe dominar en la ecuación, posiblemente en contradicción con los hechos experimentales. Esta fue la principal deficiencia de la teoría de 5 dimensiones vista por Kaluza [15] , que consideró en su artículo original. Yu. S. Vladimirov destaca las siguientes deficiencias de la teoría: el significado físico del quinto componente y el componente - del tensor métrico no está claro; la causa de la condición cilíndrica no está clara; tal unión es formal y no da nuevas predicciones comprobables experimentalmente y otras [50] . $U^{5}>{\rm {10}}^{20}c$ ${\ estilo de visualización U^{5}}$ ${\ estilo de visualización G_ {55}}$

La ecuación de movimiento para se simplifica especialmente bajo la condición cilíndrica. Comencemos con una forma alternativa de la ecuación geodésica escrita para una covariante de 5 velocidades: ${\ estilo de visualización U^{5}}$

{d{\widetilde {U}}_{a} \over ds}={1 \over 2}{\widetilde {U}}^{b}{\widetilde {U}}^{c}{ \parcial {\widetilde {g}}_{bc} \over \parcial x^{a}}

Esto significa que, teniendo en cuenta la condición cilíndrica , la constante de movimiento en 5 dimensiones es: ${\widetilde {U}}_{5}$

{\widetilde {U}}_{5}={\widetilde {g}}_{5a}{\widetilde {U}}^{a}=\phi ^{2}{cd\tau \over ds}\left(kA_{\nu }U^{\nu }+U^{5}\right)={\rm {constante))

La hipótesis de Kaluza sobre el tensor energía-momento de la materia

Kaluza [15] propuso utilizar el tensor de energía-momento de materia 5D en la forma ${\widetilde {T}}_{M}^{ab}$

{\widetilde {T}}_{M}^{ab}=\rho {dx^{a} \over ds}{dx^{b} \over ds}

donde es la densidad y el elemento de longitud definido anteriormente. $\rho$ $ds$

Luego, el componente espacio-tiempo da un tensor de energía-momento típico de la materia polvorienta :

{\widetilde {T}}_{M}^{\mu \nu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{\nu } \over ds}

La parte mixta sirve como fuente de 4 corrientes para las ecuaciones de Maxwell:

{\widetilde {T}}_{M}^{5\mu }=\rho {dx^{\mu } \over ds}{dx^{5} \over ds}=\rho U^{ \mu }{q \sobre kmc}

Así como una métrica de cinco dimensiones incluye una métrica de cuatro dimensiones enmarcada por un vector potencial electromagnético, un tensor de energía-momento de cinco dimensiones incluye un tensor de energía-momento de cuatro dimensiones enmarcado por un vector de corriente de cuatro.

La interpretación cuántica de Klein

La hipótesis original de Kaluza era la relatividad general puramente clásica y extendida. En el momento de la contribución de Klein, los descubrimientos de Heisenberg, Schrödinger y de Broglie estaban atrayendo mucha atención. El artículo de Klein en Nature [18] sugiere que la quinta dimensión es cerrada y periódica, y que la identificación de la carga eléctrica con el movimiento en la quinta dimensión puede interpretarse como ondas estacionarias con una longitud de onda similar a los electrones alrededor de un núcleo en el modelo de Bohr de un átomo. Entonces, la cuantización de la carga eléctrica podría entenderse bien en términos de múltiplos enteros del momento de cinco dimensiones. Combinando el resultado anterior de Kaluza en términos de carga eléctrica y la relación de cantidad de movimiento de De Broglie , Klein derivó una expresión para el modo 0 de tales ondas: ${\ estilo de visualización \ lambda ^ {5}}$ ${\ estilo de visualización U^{5}}$ $p^{5}=h/\lambda^{5}$

mU^{5}={cq \over G^{\frac {1}{2}}}={h \over \lambda ^{5}}\quad \Rightarrow \quad \lambda ^{5} \sim {hG^{\frac {1}{2}} \over cq}

donde es la constante de Planck. Klein encontró cm y, por lo tanto, una explicación para la condición cilíndrica en un valor tan pequeño. $h$ ${\ estilo de visualización \ lambda ^ {5} \ sim {\ rm {10}} ^ {-30}}$

El artículo de Klein en Zeitschrift für Physik del mismo año [17] brinda una discusión más detallada, que utiliza explícitamente los métodos de Schrödinger y de Broglie. Reprodujo gran parte de la teoría clásica de Kaluza descrita anteriormente y luego pasó a la interpretación cuántica de Klein. Klein resolvió una ecuación de onda similar a la de Schrödinger utilizando una expansión en términos de ondas de cinco dimensiones que resuenan en una quinta dimensión cerrada y compacta.

Interpretación de la teoría de grupos

En 1926, Oskar Klein sugirió que la cuarta dimensión espacial está envuelta en un círculo con un radio muy pequeño , de modo que una partícula que se mueva una pequeña distancia a lo largo de este eje regresará al punto de partida. La distancia que puede recorrer una partícula antes de alcanzar su posición inicial se denomina tamaño de la dimensión. Esta dimensión adicional es un conjunto compacto , y la construcción de esta dimensión compacta se denomina compactación .

En la geometría moderna, la quinta dimensión adicional se puede entender como el grupo U(1) , ya que el electromagnetismo se puede formular esencialmente como una teoría de calibre en un haz , un haz en un círculo , con un grupo de calibre U(1). En la teoría de Kaluza-Klein, este grupo asume que la simetría de norma es la simetría de espacios compactos circulares. Una vez que se acepta esta interpretación geométrica, es relativamente fácil cambiar que U(1) es un grupo de Lie general . Tales generalizaciones a menudo se denominan teorías de Yang-Mills . Si se hace una distinción, entonces las teorías de Yang-Mills surgen en el espacio-tiempo plano, mientras que Kaluza-Klein considera el caso más general del espacio-tiempo curvo. El espacio base de la teoría de Kaluza-Klein no necesita ser un espacio-tiempo de cuatro dimensiones; puede ser cualquier ( pseudo ) variedad de Riemann , variedad supersimétrica , orbifold , o incluso un espacio no conmutativo .

La construcción se puede describir aproximadamente como sigue [51] . Comenzamos considerando un paquete principal P con un grupo de calibre G sobre una variedad M. Dada una conexión en el paquete, una métrica en la variedad base y una métrica invariante de calibre en la tangente a cada fibra, podemos construir un paquete métrica definida en todo el paquete. Calculando la curvatura escalar de esta métrica de haz, encontramos que es constante en cada capa: este es el “milagro de Kaluza”. No hubo necesidad de imponer explícitamente una condición cilíndrica o compactar: por suposición, el grupo de calibre ya es compacto. Luego se toma esta curvatura escalar como la densidad del Lagrangiano y, partiendo de ello, se construye la acción de Einstein-Hilbert para el conjunto del haz. Las ecuaciones de movimiento, las ecuaciones de Euler-Lagrange , se pueden obtener de la manera habitual considerando una acción estacionaria con respecto a las variaciones de la métrica en la variedad subyacente o la conexión de calibre. Las variaciones con respecto a la métrica base dan las ecuaciones de campo de Einstein en la variedad base, donde el tensor de energía-momento está dado por la curvatura de la conexión de calibre . Por otro lado, la acción es estacionaria con respecto a las variaciones en la relación de calibre precisamente cuando la relación de calibre es una solución de la ecuación de Yang-Mills . Por lo tanto, al aplicar una sola idea: el principio de mínima acción a una sola cantidad: la curvatura escalar en el paquete (en su conjunto), se pueden obtener simultáneamente todas las ecuaciones de campo necesarias tanto para el espacio-tiempo como para el campo de norma.

Como enfoque para unificar fuerzas, es fácil aplicar la teoría de Kaluza-Klein en un intento de unificar la gravedad con fuerzas fuertes y electrodébiles usando el grupo de simetría SU(3) × SU(2) × U(1) del modelo estándar . Sin embargo, el intento de convertir esta interesante construcción geométrica en un modelo completo de la realidad falla debido a una serie de dificultades, incluido el hecho de que los fermiones deben introducirse artificialmente (en modelos no supersimétricos). Sin embargo, la teoría de Kaluza-Klein sigue siendo una piedra de toque importante en la física teórica y, a menudo, se incorpora a teorías más complejas. Se estudia por derecho propio como un objeto de interés geométrico en la teoría K.

Incluso en ausencia de una base completamente satisfactoria de la física teórica, la idea de explorar dimensiones adicionales compactadas es de considerable interés en las comunidades experimentales y astrofísicas . Se pueden hacer muchas predicciones con implicaciones experimentales reales (en el caso de grandes dimensiones extra y modelos distorsionados ). Por ejemplo, con base en los principios más simples, uno esperaría ondas estacionarias en una dimensión o dimensiones compactadas adicionales. Si la dimensión espacial adicional tiene un radio R , la masa invariable de tales ondas estacionarias será M n = nh / Rc, donde n es un número entero , h es la constante de Planck y c es la velocidad de la luz . Este conjunto de posibles valores de masa a menudo se denomina torre Kaluza-Klein . De manera similar, en la teoría cuántica de campos a temperaturas distintas de cero, la compactación de la dimensión temporal euclidiana conduce a las frecuencias de Matsubara y, por lo tanto, a un espectro de energía térmica discreta.

Sin embargo, el enfoque de Klein de la teoría cuántica es erróneo y, por ejemplo, conduce a una masa electrónica calculada del orden de la masa de Planck [52] .

Ejemplos de implicaciones verificables experimentalmente de la teoría incluyen el trabajo de la colaboración CDF , que volvió a analizar los datos del colisionador de partículas para identificar los efectos asociados con grandes dimensiones adicionales y modelos deformados .

Brandenberger y Wafa sugirieron que en el universo temprano , la inflación cósmica provocó que tres dimensiones espaciales se expandieran a dimensiones cosmológicas, mientras que las dimensiones restantes del espacio permanecieron microscópicas.

Teoría del espacio-tiempo-materia

Una variante particular de la teoría de Kaluza-Klein, conocida como teoría del espacio-tiempo-materia o teoría de la materia inducida , ha sido explorada principalmente por Paul Wesson y otros miembros del Consorcio Espacio-Tiempo-Materia [53] . Esta versión de la teoría señala que las soluciones a la ecuación

{\widetilde {R}}_{ab}=0

puede reformularse para que en cuatro dimensiones estas soluciones satisfagan las ecuaciones de Einstein

G_{\mu \nu }=8\pi T_{\mu \nu }\,

con la forma exacta T μν derivada de la condición de desaparición del tensor de Ricci en el espacio de cinco dimensiones. En otras palabras, no se utiliza la condición cilíndrica, y ahora se obtiene el tensor de energía-momento a partir de las derivadas de la métrica 5D con respecto a la quinta coordenada. Dado que el tensor de energía-momento generalmente se considera en un espacio de cuatro dimensiones con materia, el resultado anterior puede interpretarse como materia de cuatro dimensiones inducida por la geometría del espacio de cinco dimensiones.

En particular, las soluciones de solitón contienen la métrica de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker tanto en formas dominadas por radiación (universo temprano) como en formas dominadas por materia (universo tardío). Se puede demostrar que las ecuaciones generales concuerdan lo suficientemente cerca con las pruebas clásicas de la relatividad general para ser aceptables en términos de principios físicos, al mismo tiempo que permiten una libertad considerable para elegir modelos cosmológicos interesantes . ${\widetilde {R}}_{ab}=0$

Interpretación geométrica

La teoría de Kaluza-Klein tiene una exposición particularmente elegante en términos de geometría. En cierto sentido, esto es similar a la gravedad ordinaria en el espacio libre , excepto que se expresa en cinco dimensiones en lugar de cuatro.

Las ecuaciones de Einstein

Las ecuaciones que describen la gravedad ordinaria en el espacio libre se pueden obtener a partir de la acción aplicando el principio de variación a una determinada acción . Sea M una variedad ( pseudo ) riemanniana que puede tomarse como el espacio-tiempo de la relatividad general . Si g es una métrica en esta variedad, la acción S ( g ) se define como

S(g)=\int_{M}R(g)\mathrm {vol} (g)\,

donde R ( g ) es la curvatura escalar y vol( g ) es el elemento de volumen . Aplicar el principio variacional a la acción

{\frac {\delta S(g)}{\delta g))=0

obtenemos exactamente las ecuaciones de Einstein para el espacio libre:

R_{ij}-{\frac{1}{2}}g_{ij}R=0

donde R ij es el tensor de Ricci .

Ecuaciones de Maxwell

Por el contrario, las ecuaciones de Maxwell que describen el electromagnetismo pueden entenderse como las ecuaciones de Hodge de un haz U(1) principal o un haz circular con una fibra U(1) . Es decir, el campo electromagnético es una 2-forma armónica en el espacio de 2-formas diferenciables en la variedad . En ausencia de cargas y corrientes, las ecuaciones de Maxwell en campo libre tienen la forma ${\ estilo de visualización \ pi: P \ a M}$ $F$ ${\displaystyle\Omega^{2}(M)}$ $METRO$

\mathrm {d} F=0\quad {\text{y))\quad \mathrm {d} {\star }F=0.

¿ Dónde está la estrella de Hodge ? ${\ estilo de visualización \ estrella}$

Geometría de Kaluza-Klein

Para construir la teoría de Kaluza-Klein, se elige una métrica invariante en el círculo , es decir, la fibra del haz de electromagnetismo U(1). En esta discusión , una métrica invariante es simplemente una métrica que es invariante bajo rotaciones circulares. Supongamos que esta métrica le da al círculo una longitud total de . Luego, se consideran las métricas del paquete que son consistentes tanto con la métrica de la fibra como con la métrica del múltiple subyacente . Condiciones de consistencia: $S^{1}$ $\lambda$ ${\ estilo de visualización {\ sombrero ancho {g))}$ $PAGS$ $METRO$

La proyección en el subespacio vertical debe ser consistente con la métrica en la capa por encima del punto en la variedad . ${\ estilo de visualización {\ sombrero ancho {g))}$ ${\mbox{Vert}}_{p}P\subconjunto T_{p}P$ $METRO$
La proyección en el subespacio horizontal del espacio tangente en un punto debe ser isomorfa a la métrica en . ${\ estilo de visualización {\ sombrero ancho {g))}$ ${\mbox{Hor}}_{p}P\subconjunto T_{p}P$ ${\ estilo de visualización p \ en P}$ $gramo$ $METRO$ ${\ estilo de visualización \ pi (P)}$

La acción de Kaluza-Klein para tal métrica viene dada por

S({\widehat {g)))=\int _{P}R({\widehat {g)))\;{\mbox{vol))({\widehat {g)))\,

La curvatura escalar escrita en los componentes luego se expande a

R({\widehat {g)))=\pi ^{*}\left(R(g)-{\frac {\Lambda ^{2}}{2}}\vert F\vert ^{ 2}\derecho),

donde es el codiferencial de la proyección del haz de fibras . La conexión en la capa del haz está relacionada con el tensor del campo electromagnético ${\ estilo de visualización \ pi ^ {*}}$ ${\ estilo de visualización \ pi: P \ a M}$ $A$

\pi ^{*}F=\mathrm {d} A

Que tal conexión siempre exista, incluso para haces de topología arbitrariamente compleja, es el resultado de la homología y, en particular, de la teoría K. Aplicando el teorema de Fubini e integrando sobre la capa, obtenemos

S({\widehat {g)))=\Lambda \int _{M}\left(R(g)-{\frac {1}{\Lambda ^{2))}\vert F\vert ^{2}\right)\;{\mbox{vol}}(g)

Variando la acción con respecto a la componente , llegamos a las ecuaciones de Maxwell. Aplicando el principio variacional a la métrica base , obtenemos las ecuaciones de Einstein $A$ $gramo$

R_{ij}-{\frac {1}{2}}g_{ij}R={\frac {1}{\Lambda ^{2}}}T_{ij}

con el tensor de energía-momento dado como

T^{ij}=F^{ik}F^{jl}g_{kl}-{\frac {1}{4}}g^{ij}\vert F\vert^{2},

que a veces se denomina tensor de tensión de Maxwell .

La teoría original se define con una métrica de capa y permite que varíe de una capa a otra. En este caso, la conexión entre la gravedad y el campo electromagnético no es constante, sino que tiene su propio campo dinámico: radiónico . $\lambda$ $g_{55}$ $\lambda$

Generalizaciones

Arriba, el tamaño del bucle actúa como una constante de acoplamiento entre el campo gravitatorio y el campo electromagnético. Si la variedad base es de cuatro dimensiones, entonces la variedad P de Kaluza-Klein es de cinco dimensiones. La quinta dimensión es un espacio compacto , que se llama la dimensión compacta . El método de introducir dimensiones compactas para obtener una variedad multidimensional se denomina compactación . La compactación no realiza acciones de grupo sobre fermiones quirales, excepto en casos muy específicos: la dimensión de todo el espacio debe ser 2 mod 8, y el índice G del operador de Dirac del espacio compacto debe ser distinto de cero [54] . $\lambda$

El desarrollo anterior se generaliza más o menos directamente a los G -haces principales generales para algún grupo G de Lie arbitrario que ocupa el lugar de U(1) . En este caso, la teoría a menudo se denomina teoría de Yang-Mills . Si la variedad subyacente es supersimétrica , entonces la teoría resultante es una teoría supersimétrica de Yang-Mills.

Verificación experimental

No ha habido informes oficiales de signos experimentales u observacionales de dimensiones adicionales. Se han propuesto muchos métodos de búsqueda teóricos para detectar resonancias de Kaluza-Klein utilizando la interacción de masas de tales resonancias con el quark top . Sin embargo, la observación de tales resonancias en el Gran Colisionador de Hadrones es poco probable. Un análisis de los resultados del LHC en diciembre de 2010 limita severamente las teorías con grandes dimensiones adicionales [55] .

La observación del bosón de tipo Higgs en el LHC establece una nueva prueba empírica que se puede aplicar a la búsqueda de resonancias de Kaluza-Klein y partículas supersimétricas. Los diagramas de bucle de Feynman , que existen en las interacciones de Higgs, permiten que cualquier partícula con carga eléctrica y masa se mueva a lo largo de dicho bucle. Las partículas del modelo estándar que no sean el quark top y el bosón W no contribuyen mucho a la sección transversal observada en H → γγ , pero si aparecen nuevas partículas fuera del modelo estándar, podrían cambiar la relación del modelo estándar predicho H → γγ a la sección observada experimentalmente. Por lo tanto, medir cualquier cambio abrupto en H → γγ predicho por el modelo estándar es fundamental para el estudio de la física más allá de sus límites.

Otro artículo más reciente de julio de 2018 [56] da cierta esperanza a esta teoría; en el artículo discuten que la gravedad penetre en dimensiones superiores, como en la teoría de las branas. Sin embargo, el artículo muestra que el campo electromagnético y la gravedad tienen el mismo número de dimensiones, y este hecho confirma la teoría de Kaluza-Klein; si el número de dimensiones es en realidad 3 + 1 o en realidad 4 + 1 es un tema de debate adicional.

Véase también

Dimensiones adicionales universales

Notas

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teorías de la gravedad

Teorías estándar de la gravedad

Teorías alternativas de la gravedad

Teorías cuánticas de la gravedad

Teorías del campo unificado

física clásica

La teoría de la gravedad de Newton

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