Mosaico pitagórico

Un mosaico pitagórico ( mosaico con dos cuadrados ) es un mosaico del plano euclidiano con cuadrados de dos tamaños diferentes, en el que cada cuadrado toca con sus cuatro lados a cuatro cuadrados de diferente tamaño. Con base en este mosaico, es posible demostrar (intuitivamente) el teorema de Pitágoras [2] , por lo que el mosaico se denominó pitagórico [1] . El mosaico se utiliza a menudo como patrón de suelo de baldosas . En este contexto, un mosaico también se conoce como patrón de clase [3] .

Topología y simetría

El mosaico pitagórico es el único mosaico con dos cuadrados de diferentes tamaños, en el que dos cuadrados no tienen un lado común y, al mismo tiempo, dos cuadrados cualesquiera del mismo tamaño pueden relacionarse entre sí por la simetría del mosaico [ 4] .

Topológicamente, el teselado pitagórico tiene la misma estructura que el teselado cuadrado truncado de cuadrados y octágonos regulares [5] . Los cuadrados más pequeños en el mosaico pitagórico están adyacentes a cuatro mosaicos grandes, al igual que los cuadrados en el mosaico cuadrado truncado, mientras que los cuadrados más grandes en el mosaico pitagórico están adyacentes a ocho vecinos, alternativamente grandes y pequeños, al igual que los octágonos en el mosaico truncado. mosaico cuadrado. Sin embargo, los dos mosaicos tienen simetrías diferentes: el mosaico cuadrado truncado tiene simetría diédrica alrededor del centro de cada mosaico, mientras que el mosaico pitagórico tiene un conjunto cíclico más pequeño de simetrías alrededor de los puntos correspondientes, formando una simetría p4 [6] . El mosaico es quiral , lo que significa que no se puede obtener de la imagen especular solo mediante traslaciones y rotaciones paralelas.

Un mosaico uniforme  es un mosaico en el que cada mosaico es un polígono regular y en el que existe una simetría que asigna cualquier vértice a cualquier otro vértice. Por lo general, se requiere adicionalmente un mosaico uniforme para que los mosaicos se toquen de borde a borde, pero si se elimina esta restricción, entonces hay ocho mosaicos uniformes adicionales: cuatro se forman a partir de tiras infinitas de cuadrados o triángulos regulares, tres se forman por mosaicos regulares. triángulos y hexágonos regulares, y el octavo es mosaico pitagórico [7] .

El teorema de Pitágoras y los cortes

El mosaico se llama pitagórico porque los matemáticos árabes del siglo IX An-Nairizi y Thabit ibn Qurra lo utilizaron para demostrar el teorema de Pitágoras , y en el siglo XIX el matemático aficionado británico Henry Perigal [1] [8] [9] . Si los lados de dos cuadrados que forman un mosaico se denotan con las letras y , entonces la distancia más cercana entre los puntos correspondientes de cuadrados idénticos será , donde es la longitud de la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos catetos son iguales a y . Por ejemplo, en la imagen de la izquierda, dos cuadrados del mosaico pitagórico tienen longitudes de 5 y 12 unidades, y la longitud del lado del mosaico cuadrado superpuesto (líneas rojas) es 13, que corresponde al triple pitagórico (5 ,12,13).

Al superponer un retículo cuadrado de lado sobre un mosaico pitagórico, se puede obtener un corte en cinco partes de dos cuadrados desiguales de lado y , a partir del cual se puede hacer un cuadrado de lado , esto demuestra que los dos cuadrados más pequeños en total tienen la misma área que el cuadrado grande. Del mismo modo, la superposición de dos teselas pitagóricas puede utilizarse para obtener un corte en seis partes de dos cuadrados desiguales, a partir de los cuales se pueden sumar otros dos cuadrados desiguales [8] [10] .

Secciones aperiódicas

Aunque el mosaico pitagórico en sí mismo es periódico (tiene una red cuadrada de traslaciones paralelas), sus secciones pueden usarse para formar secuencias unidimensionales no periódicas [11] .

En la "construcción en bloques" de secuencias aperiódicas, se construye un mosaico pitagórico con dos cuadrados, cuya relación entre las longitudes de los lados es irracional (igual a ). En este caso, se elige una línea paralela a los lados de los cuadrados, y se genera una secuencia de valores binarios según el cuadrado que corta la línea: 0 corresponde a la intersección del cuadrado más grande y 1 corresponde a la intersección del cuadrado menor. En esta secuencia, la proporción de ocurrencias de ceros y unos está en relación . Esta proporción no puede obtenerse mediante una secuencia periódica de ceros y unos, ya que es irracional [11] .

Si elige la proporción áurea como cualidad , la secuencia de ceros y unos formados de esta manera tiene la misma estructura recursiva que la palabra de Fibonacci  : se puede dividir en subcadenas de la forma "01" y "0" ( es decir, sin dos consecutivos) y si estas dos subcadenas se reemplazan sucesivamente por cadenas más cortas "0" y "1", obtenemos otra cadena con la misma estructura [11] .

Resultados relacionados

De acuerdo con la conjetura de Keller , cualquier mosaico del plano por cuadrados idénticos debe contener dos cuadrados que se toquen de borde a borde [12] . No hay dos cuadrados en un mosaico pitagórico que toquen borde con borde [4] , pero este hecho no viola la conjetura de Keller, ya que no todos los cuadrados son iguales.

El mosaico pitagórico se puede generalizar al espacio euclidiano tridimensional como un mosaico de cubos de dos tamaños diferentes que se tocan de manera similar. Attila Bölcskey llama teselaciones de Rogers a estos teselados tridimensionales . Sugirió que en cualquier dimensión mayor que tres, hay una forma única de teselar un espacio de hipercubo de dos tamaños diferentes con propiedades similares a las descritas anteriormente (dos hipercubos no tienen un lado común y dos hipercubos del mismo tamaño pueden ser mapeados). entre sí por simetría de mosaico) [13] [14] .

Burns y Rigby han encontrado algunos prototipos , incluido el copo de nieve de Koch , que se pueden usar para teselar un avión con dos o más copias de varios tamaños [15] [16] . Un artículo anterior de Danzer, Grünbaum y Shepard da otro ejemplo, un pentágono convexo que solo forma un mosaico en el plano en una combinación de dos dimensiones [17] . Aunque el mosaico pitagórico utiliza dos tamaños diferentes de cuadrados, los cuadrados no tienen las mismas propiedades que los prototipos indicados, que solo se pueden teselar con dos (o más) teselas de diferentes tamaños, ya que el plano se puede teselar con cuadrados del mismo tamaño. mismo tamaño.

Notas

1. ↑ 1 2 3 Nelsen, 2003 , pág. 5–8.
2. ↑ Wells, 1991 , pág. 260–261.
3. ↑ Hopscotch: Es más que un juego de niños. — Tile Inc., agosto de 2008. .
4. ↑ 1 2 Martini, Makai, Soltan, 1998 , p. 481–495.
5. ↑ Grünbaum y Shephard 1987 , p. 171.
6. ↑ Grünbaum y Shephard 1987 , p. 42.
7. ↑ Grünbaum y Shephard 1987 , p. 73–74.
8. ↑ 1 2 Águilo, Fiol, Fiol, 2000 , p. 341–352.
9. ↑ Grünbaum y Shephard 1987 , p. 94.
10. ↑ Frederickson, 1997 , pág. 30–31.
11. ↑ 1 2 3 Steurer, Deloudi, 2009 , pág. 91–92.
12. ↑ Keller ya conocía la exactitud de esta conjetura para mosaicos bidimensionales, pero más tarde se demostró que la conjetura no es cierta para las dimensiones ocho y superiores. Para revisiones de los resultados relacionados con la hipótesis, ver ( Zong 2005 ).
13. ↑ Bölcskei, 2001 , pág. 317–326.
14. ↑ Dawson ( 1984 ) proporcionó un dibujo de un mosaico tridimensional que atribuye a Rogers, pero citó un artículo de 1960 de Richard Guy .
15. ↑ Burns, 1994 , pág. 193–196.
16. ↑ Rigby, 1995 , pág. 560–561.
17. ↑ Danzer, Grünbaum, Shephard 1982 , p. 568–570+583–585, Figura 3.

Literatura

• Walter Steurer, Sofía Deloudi. Cristalografía de Cuasicristales: Conceptos, Métodos y Estructuras. - Springer, 2009. - T. 126. - S. 91–92. - (Serie Springer en Ciencia de Materiales). - ISBN 978-3-642-01898-5 . -doi : 10.1007 / 978-3-642-01899-2 .
• David pozos. El Diccionario Pingüino de Geometría Curiosa e Interesante . - Nueva York: Penguin Books, 1991. - págs  . 260-261 . — ISBN 0-14-011813-6 .
• Horst Martini, Endre Makai, Valeriu Soltan. Teselaciones unilaterales del plano con cuadrados de tres tamaños // Beiträge zur Algebra und Geometrie. - 1998. - T. 39 , núm. 2 . — S. 481–495 . .
• Branko Grünbaum, GC Shepard. Mosaicos y Patrones. - WH Freeman, 1987. - Pág. 171.
• Francesc Aguilo, Miquel Angel Fiol, Maria Lluïsa Fiol. Mosaicos periódicos como método de disección  // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , núm. 4 . — S. 341–352 . -doi : 10.2307/ 2589179 .
• Greg N. Frederickson. Disecciones: Plane & Fancy . - Cambridge University Press, 1997. - S.  30-31 .
• Chuanming Zong. Lo que se sabe sobre los cubos unitarios // Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense. - 2005. - T. 42 , núm. 2 . — S. 181–211 . -doi : 10.1090/ S0273-0979-05-01050-5 .
• Atila Bolcskei. Llenar el espacio con cubos de dos tamaños // Publicationes Mathematicae Debrecen. - 2001. - T. 59 , núm. 3-4 . — S. 317–326 .
• RJM Dawson. Sobre llenar el espacio con diferentes cubos enteros // Journal of Combinatorial Theory. Serie A. - 1984. - T. 36 , núm. 2 . — S. 221–229 . - doi : 10.1016/0097-3165(84)90007-4 .
• Chuanming Zong. Lo que se sabe sobre los cubos unitarios // Boletín de la Sociedad Matemática Estadounidense. - 2005. - T. 42 , núm. 2 . — S. 181–211 . -doi : 10.1090/ S0273-0979-05-01050-5 .
• Roger B. Nelsen. Pinturas, mosaicos de planos y pruebas // Math Horizons. - 2003. - Edición. noviembre _ — pág. 5–8 .
  • Reimpreso en Deanna Haunsperger, Stephen Kennedy. El borde del universo: celebrando diez años de Math Horizons. - Asociación Matemática de América, 2007. - S. 295-298. - ISBN 978-0-88385-555-3 .
  • Véase también Claudi Alsina, Roger B. Nelsen. Demostraciones encantadoras: un viaje a las matemáticas elegantes. - Asociación Matemática de América, 2010. - V. 42. - S. 168-169. — (Exposiciones matemáticas de Dolciani). - ISBN 978-0-88385-348-1 .
• Aidan Burns. 78.13 Teselaciones fractales  // Boletín matemático. - 1994. - T. 78 , núm. 482 . — S. 193–196 . — .
• Juan Rigby. 79.51 Teselar el plano con polígonos semejantes de dos tamaños  // Gaceta Matemática. - 1995. - T. 79 , núm. 486 . — S. 560–561 . — .
• Danzer L., Grünbaum B., Shephard GC Problemas no resueltos: ¿Pueden todos los mosaicos de un mosaico tener una simetría quíntuple? // El mensual matemático estadounidense. - 1982. - T. 89 , núm. 8 _ -doi : 10.2307/ 2320829 .
• Aguilo F., Fiol MA, Fiol ML Teselaciones periódicas como método de disección // American Mathematical Monthly. - 2000. - T. 107 , núm. 4 . -doi : 10.2307/ 2589179 .