Mosaico Ammann-Binker

El mosaico de Ammann-Binker es un mosaico no  periódico que se puede obtener con un conjunto aperiódico de prototipos , como lo hizo Robert Ammann en la década de 1970, o con el método de cortar y proyectar, como fue realizado de forma independiente por F. P. M. Binker. Dado que todas las teselas producidas por estas teselas no son periódicas, las teselaciones de Ammann-Binker se consideran no periódicas. Se encuentran entre los cinco conjuntos de mosaicos encontrados por Ammann y se describen en el libro Tilings and Patterns [1] .

Los mosaicos de Ammann-Binker tienen muchas propiedades similares a los mosaicos de Penrose más famosos . De estos, los más destacados son:

• No son periódicas, lo que significa que carecen de simetría traslacional .
• Cualquier región finita (fragmento) de un mosaico aparece un número infinito de veces en este mosaico y, de hecho, en cualquier otro mosaico. Por lo tanto, las teselaciones infinitas se ven similares entre sí cuando solo se consideran fragmentos finitos.
• Son cuasi -cristalinos  , como la estructura física del mosaico de Ammann-Binker que da la difracción de Bragg . El patrón de difracción muestra tanto la simetría óctuple subyacente como el orden de largo alcance. Este orden refleja el hecho de que los mosaicos no se organizan a través de la simetría de traslación, sino a través de un proceso que a veces se denomina "reducción" o "relleno".

Se han propuesto varios métodos para describir mosaicos: reglas de emparejamiento, sustitución, corte y proyección [2] y revestimientos [3] [4] . En 1987, Wang, Chen y Kuo anunciaron el descubrimiento de cuasicristales con simetría octogonal [5] .

Descripción de los mosaicos

Una opción común de juego de mosaicos para mosaicos Ammann-Binker incluye rombos de 45º y 135º (estos rombos se muestran en azul en la figura en la parte superior de la página) y cuadrados (se muestran en blanco). Los cuadrados se pueden dividir en pares de triángulos rectángulos isósceles . (Esto se hace en la figura anterior). Las reglas de correspondencia o las relaciones de sustitución para estos cuadrados/triángulos, sin embargo, no representan todas las simetrías.

De hecho, las reglas de emparejamiento de mosaicos ni siquiera reflejan las simetrías especulares proporcionadas por las reglas de sustitución.

Reglas de sustitución para un conjunto regular de fichas.

Un conjunto alternativo de mosaicos, también descubierto por Ammann y denominado "Ammann 4" por Grünbaum y Shepard [1] , consta de dos figuras no convexas con ángulos rectos. Una figura consiste en dos cuadrados que se cruzan a lo largo de un cuadrado más pequeño, mientras que la segunda consiste en un cuadrado con un cuadrado adicional en el costado. La siguiente figura muestra las formas y piezas del mosaico.

Una regla de sustitución para un conjunto alternativo de fichas.

Un vínculo entre dos conjuntos de fichas.

Aparte de las puntas de flecha en los bordes de un conjunto regular de mosaicos, las reglas de coincidencia para ambos conjuntos se pueden expresar especificando partes de puntas de flecha grandes en los vértices y requiriendo que se ensamblen en una punta de flecha completa.

Katz [6] estudió otras teselaciones obtenidas eliminando las restricciones en los vértices y manteniendo solo las restricciones en las flechas de los bordes. Dado que estos requisitos son satisfechos por las reglas de sustitución, cualquier mosaico nuevo tiene una secuencia infinita de copias "ampliadas" obtenidas mediante la aplicación sucesiva de las reglas de sustitución. Cada mosaico en esta secuencia es indistinguible de un verdadero mosaico de Ammann-Binker a mayor escala. Dado que algunas de estas teselas son periódicas, no se puede determinar ningún patrón en las teselas que obligue a una teselación no periódica cuando se considera un número finito de teselas. La orientación de las flechas en los vértices, que fuerza la construcción de un teselado no periódico, sólo puede deducirse así de un teselado infinito completo.

El teselado también tiene la propiedad extrema de que entre teselados cuyos rombos se alternan (es decir, si dos rombos son adyacentes o están separados por una fila de cuadrados, tienen orientaciones diferentes), la proporción de cuadrados es mínima en el teselado de Ammann-Binker. [7]

Números de Pell y la Proporción de Plata

El mosaico de Ammann-Binker está estrechamente relacionado con la sección plateada ( ) y los números de Pell .

• El esquema de sustitución representa la razón como un valor de escala - su matriz es una matriz de sustitución de Pell, y la secuencia de palabras obtenida por la sustitución tiene la propiedad de que el número de elementos y es igual a los números de Pell sucesivos.
• Los valores propios de la matriz de sustitución son y .
• En un conjunto alternativo de mosaicos, el lado largo es el doble de largo que los lados cortos.
• Un conjunto de " gusanos de Conway ", formado por diagonales cortas y largas de rombos, está dado por las líneas anteriores, donde r denota la diagonal corta y R la larga [8] .

Rayas de Ammann para azulejos ordinarios. Si los segmentos exteriores en negrita se toman como unidades de longitud, las franjas dividen los bordes en segmentos de longitud y .

Rayas de Ammann para mosaicos alternativos. Tenga en cuenta que las franjas del mosaico asimétrico se extienden parcialmente más allá del mosaico.

Corte y proyecto de construcción

Los panales de los hipercubos tienen una simetría rotacional óctuple, correspondiente a la simetría rotacional óctuple del teseracto . La matriz de rotación correspondiente a esta simetría es:

Transformando esta matriz a nuevas coordenadas a través de

Esta tercera matriz corresponde a una rotación de 45° (en las dos primeras coordenadas) y 135° (en las otras dos). Ahora podemos obtener el mosaico de Ammann-Binker proyectando las caras de los hipercubos en las dos primeras o las dos últimas coordenadas.

Alternativamente, se puede obtener un mosaico de Ammann-Binker colocando rombos y cuadrados alrededor de los puntos de intersección de pares de celdas cuadradas idénticas ubicadas en un ángulo de 45º. Estas dos técnicas fueron desarrolladas por Binker en su artículo.

La construcción Klotz es una incrustación relacionada de alta dimensión de panales de hipercubo , como se detalla en el artículo de Baake y Joseph [9] . La región de aceptación octogonal se puede subdividir aún más, cada una de las cuales proporciona exactamente una configuración de vértice. Además, el área relativa de cualquiera de estas regiones corresponde a la frecuencia de aparición del vértice correspondiente en el mosaico infinito.

Notas

1. ↑ 1 2 Grünbaum, Shephard, 1986 .
2. ↑ Benker, 1982 .
3. ↑ Gähler, 1998 , pág. 95.
4. ↑ Abraham, Gähler, 1999 , pág. 860.
5. ↑ Wang, Chen, Kuo, 1987 , pág. 1010-1013.
6. ↑ Katz, 1994 , pág. 141–189.
7. ↑ Bédaride N., Fernique Th., The Ammann-Beenker Tilings Revisited arXiv Archivado el 31 de agosto de 2020 en Wayback Machine .
8. ↑ Socolar, 1989 , pág. 10519-10551.
9. ↑ Baake, Joseph, 1990 , pág. 8091ff.

Literatura

• B. Grünbaum , G. C. Shephard. Mosaicos y Patrones. - NY: WH Freemann & Co, 1986. - ISBN 0-7167-1193-1 .
• FPM Beenker. Teoría algebraica de teselaciones no periódicas del plano mediante dos bloques de construcción simples: un cuadrado y un rombo // Informe TH. - Eindhoven: Technische Hogeschool, 1982. - vol. 82-WSK-04 .
• F. Gahler. Actas de la 6ª Conferencia Internacional sobre Cuasicristales / S. Takeuchi,T. Fujiwara. - Singapur: World Scientific Publishing Company, 1998. - ISBN 9789810233433 .
• S. Ben Abraham, F. Gähler. Cubriendo la descripción del grupo de cuasicristales octogonales de MnSiAl // Phys. Rvdo. - 1999. - T. B60 . - S. 860 .
• Wang N., Chen H., Kuo K.,. Cuasicristal bidimensional con simetría rotacional óctuple // Phys Rev Lett. - 1987. - T. 59 . - S. 1010-1013 .
• A. Katz. Capítulo: Más allá de los cuasicristales // Reglas de emparejamiento y cuasiperiodicidad: las teselaciones octogonales. - Berlín, Heidelberg: Springer, 1994. - V. 3. - (Centre de Physique des Houches). — ISBN 978-3-540-59251-8 .
• JES Socolar. Cuasicristales octogonales y dodecagonales simples // Physical Review B. - 1989. - V. 39 , no. 15 _ -doi : 10.1103 / PhysRevB.39.10519 .
• M Baake, D José. Configuraciones de vértices ideales y defectuosas en el cuasilretículo plano octogonal // Revisión física B. - 1990. - T. 42 . -doi : 10.1103/ physrevb.42.8091 .

Enlaces

• Entrada de la Enciclopedia Tilings .
• Azulejos de Ammann-Beenker en el sitio web de John Savard .
• Muestra las líneas de Ammann para el mosaico y las reglas de sustitución .