Mosaico de dominó

Un mosaico de fichas de dominó en una región en el plano euclidiano  es un mosaico de fichas de dominó , que están formados por la unión de dos cuadrados unitarios conectados a lo largo de un borde. De manera equivalente, es una coincidencia en el gráfico de celosía formado al colocar un vértice en el centro de cada cuadrado del área y conectar dos vértices si los dos cuadrados correspondientes son adyacentes.

El popular canal matemático de YouTube Mathologer tiene un video sobre el tema de las particiones de dominó [1] .

Funciones de altura

Para algunas clases de mosaicos en una red regular en espacios bidimensionales, se puede definir una función de altura que asigna un número entero a cada vértice de la red. Por ejemplo, dibujemos un tablero de ajedrez, fijemos un punto con una altura de 0, luego para cualquier vértice hay una ruta desde allí. En este camino, definimos la altura de cada vértice (es decir, los vértices de los cuadrados) como la altura del vértice anterior más uno si el cuadrado está a la derecha en el camino de a negro, y menos uno en caso contrario.

Se puede encontrar información más detallada en el artículo de Kenion y Okunkov [2] .

Condición de altura de Thurston

William Paul Thurston (1990) describe una prueba para determinar si una región simplemente conectada formada por la unión de cuadrados unitarios en el plano tiene una teselación de dominó. Forma un grafo no dirigido que tiene como vértices los puntos ( x , y , z ) en un retículo entero tridimensional , y cada punto del cual está conectado a cuatro vecinos: si x  +  y es par, entonces ( x , y , z ) se conecta a ( x  + 1, y , z  + 1), ( x  − 1, y , z  + 1), ( x , y  + 1, z  − 1) y ( x , y  − 1, z  − 1 ), mientras que si x  +  y ( x , y , z ) es impar, se conecta a ( x  + 1, y , z  − 1), ( x  − 1, y , z  − 1), ( x , y  + 1, z  + 1) y ( x , y  − 1, z  + 1). El límite de una región, considerado como una secuencia de puntos enteros en el plano ( x , y ), se eleva de forma única (dada una altura inicial determinada) a un camino en este gráfico 3D. Una condición necesaria para la existencia de un mosaico del área con fichas de dominó es la cerrazón del camino (es decir, el camino resultante debe formar una curva cerrada simple). Sin embargo, esta condición no es suficiente. Usando un análisis más cuidadoso de la frontera, Thurston dio un criterio necesario y suficiente para la existencia de un mosaico de un dominio.

Teselaciones del área de conteo

El número de formas de teselar un rectángulo con fichas de dominó fue calculado de forma independiente en 1961 por Temperley y Fisher [3] y Castellain [4] y este número es igual a

Si m y n son ambos impares, la fórmula da correctamente un número cero de mosaicos de dominó posibles.

Un caso especial es el teselado de un rectángulo con n fichas de dominó, que da como resultado la secuencia de Fibonacci (secuencia A000045 en OEIS ) [5] .

Otro caso especial se da para cuadrados con m = n = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12,… - 1, 2, 36, 6728, 12988816, 258584046368, 53060477521960000,… ( secuencia OEIS A004003 ).

Estos números se pueden encontrar escribiéndolos como el Pfaffiano de una matriz asimétrica , cuyos valores propios se pueden encontrar explícitamente. Esta técnica se puede aplicar a muchos objetos matemáticos, como el cálculo bidimensional clásico de la función de correlación dímero-dímero en mecánica estadística .

El número de mosaicos de una región es muy sensible a las condiciones de contorno y puede cambiar significativamente con cambios aparentemente insignificantes en la forma de la región. Esto se puede ilustrar con el número de mosaicos de diamantes aztecas de orden n , donde el número de mosaicos es 2 ( n  + 1) n /2 . Si se reemplaza por un "diamante azteca extendido" de orden n con tres filas largas en el medio en lugar de dos, el número de mosaicos se reduce a un número mucho más pequeño D( n , n ), el número de Delannoy , que solo tiene exponencial , no un crecimiento superexponencial por n . Para un "diamante azteca reducido" de orden n con solo una fila central larga, solo hay un mosaico.

Véase también

Notas

  1. ↑ Vídeo en el canal de YouTube Mathologer
  2. ↑ Kenyon, Okounkov, 2005 , pág. 342–343.
  3. ↑ Temperley, Fisher, 1961 .
  4. ↑ Kasteleyn, 1961 .
  5. ↑ Klarner y Pollack 1980 , p. 45–52.

Enlaces

Literatura

 mosaicos geometricos
Periódico
aperiódico
Otro
Por configuración de vértice
Esférico
correcto
semi-
correcto
Hiperbólico
_
  • 3 2 .4.3.5
  • 3 2 .4.3.6
  • 3 2 .4.3.7
  • 3 2 .4.3.8
  • 3 2 .4.3.∞
  • 3 2 .5.3.5
  • 3 2 .5.3.6
  • 3 2 .6.3.6
  • 3 2 .6.3.8
  • 3 2 .7.3.7
  • 3 2 .8.3.8
  • 3 3 .4.3.4
  • 3 2 .∞.3.∞
  • 3 4 .7
  • 3 4 .8
  • 3 4 .∞
  • 3 5 .4
  • 3 7
  • 3 8
  • 3∞ _
  • (3.4) 3
  • (3.4) 4
  • 3.4.6 2.4 _
  • 3.4.7.4
  • 3.4.8.4
  • 3.4.∞.4
  • 3.6.4.6
  • (3.7) 2
  • (3.8) 2
  • 3.14 2
  • 3.16 2
  • (3.∞) 2
  • 3.∞ 2
  • 4 2 .5.4
  • 4 2 .6.4
  • 4 2 .7.4
  • 4 2 .8.4
  • 4 2 .∞.4
  • 4 5
  • 4 6
  • 4 7
  • 4 8
  • 4∞ _
  • (4.5) 2
  • (4.6) 2
  • 4.6.12
  • 4.6.14
  • V4.6.14
  • 4.6.16
  • V4.6.16
  • 4.6.∞
  • (4.7) 2
  • (4.8) 2
  • 4.8.10
  • V4.8.10
  • 4.8.12
  • 4.8.14
  • 4.8.16
  • 4.8.∞
  • 4.10 2
  • 4.10.12
  • 4.12 2
  • 4.12.16
  • 4.14 2
  • 4.16 2
  • 4.∞ 2
  • (4.∞) 2
  • 5 4
  • 5 5
  • 5 6
  • 5∞ _
  • 5.4.6.4
  • (5.6) 2
  • 5.8 2
  • 5.10 2
  • 5.12 2
  • (5.∞) 2
  • 6 4
  • 6 5
  • 6 6
  • 6 8
  • 6.4.8.4
  • (6.8) 2
  • 6.8 2
  • 6.10 2
  • 6.12 2
  • 6.16 2
  • 7 3
  • 74 _
  • 7 7
  • 7.6 2
  • 7.8 2
  • 7.14 2
  • 8 3
  • 8 4
  • 8 6
  • 8 8
  • 8 12
  • 8.6 2
  • 8.16 2
  • ∞ 3
  • ∞ 4
  • ∞ 5
  • ∞∞ _
  • ∞.6 2
  • ∞.8 2