Análisis complejo

El análisis complejo [1] , la teoría de las funciones de una variable compleja (o variable compleja ; abreviada como TFCF ) es una sección del análisis matemático en la que se consideran y estudian las funciones de un argumento complejo .

Conceptos generales

Cada función compleja puede considerarse como un par de funciones reales de dos variables: definiendo sus partes real e imaginaria, respectivamente. Las funciones se llaman componentes de una función compleja . $w=f(z)=f(x+iy)$ ${\ estilo de visualización f (z) = u (x, y) + iv (x, y),}$ $tú, v$ $f(z)$

Además, siempre que hablemos de la acotación de una función compleja, nos referimos a la acotación de su módulo (lo que implica la acotación en el sentido habitual de ambos componentes).

El concepto de límite para una secuencia y una función se introduce de la misma forma que en el caso real, reemplazando el valor absoluto por un módulo complejo. Si , entonces y Lo contrario también es cierto: la existencia del límite de la función misma se sigue de la existencia de los límites de los componentes, y los límites de los componentes serán los componentes del límite. La continuidad de una función compleja también se define de la misma forma que en el caso real, y es equivalente a la continuidad de sus dos componentes [2] . $\lim _{{z\to a+bi}}f(z)=A+Bi$ $\lim_{\underset {y\to b}{x\to a}}u(x,y)=A$ $\lim_{\underset {y\a b}{x\a}}v(x,y)=B.$

Todos los teoremas principales sobre el límite y la continuidad de funciones reales también tienen lugar en el caso complejo, si esta extensión no está relacionada con la comparación de cantidades complejas por más o menos . Por ejemplo, no existe un análogo directo del teorema sobre los valores intermedios de una función continua.

$\varepsilon$ -La vecindad de un número se define como un conjunto de puntos menores que : $z_{0}$ $z$ $z_{0}$ $\varepsilon$

|z-z_{0}|<\varepsilon

En el plano complejo , la vecindad es el interior de un círculo [2] de radio con centro en . $\varepsilon$ $\varepsilon$ $z_{0}$

Punto en el infinito

En el análisis complejo, a menudo es útil considerar el plano complejo completo [3] , complementado en comparación con el punto habitual en el infinito : con este enfoque, se considera que una secuencia infinitamente creciente (en valor absoluto) converge al punto en el infinito . No se realizan operaciones algebraicas con infinito, aunque se cumplen varias relaciones algebraicas: $z=\infty.$

${\frac {z}{\infty}}=0;z+\infty =\infty (z\neq \infty)$
$z\cdot \infty =\infty ;{\frac {z}{0}}=\infty (z\neq 0)$

$\varepsilon$ Se considera que la vecindad de un punto en el infinito es el conjunto de puntos cuyo módulo es mayor que , es decir, la parte exterior de la vecindad del origen. $z$ ${\dfrac{1}{\varepsilon))$ ${\dfrac{1}{\varepsilon))$

Diferenciación

Definición

La derivada de una función compleja de un argumento se define de la misma forma que para una función real [4] : $w=f(z)$

f'(z)={\frac {df}{dz}}=\lim _{\underset {h\in \mathbb {C} }{h\to 0}}{\frac {f(z +h)-f(z)}{h}}.

Si existe este límite, se dice que la función es diferenciable u holomorfa . Donde

f(z+h)-f(z)={\frac {df}{dz}}\cdot h+o(h),

donde - " o " es pequeño .

o

Hay que tener en cuenta una característica importante: dado que la función compleja está dada en el plano, la existencia del límite reducido hace que sea el mismo tendiendo desde cualquier dirección. Este hecho impone restricciones significativas en la forma de las funciones componentes y determina su relación rígida ( condiciones de Cauchy-Riemann , también son condiciones de Euler-D'Alembert) [4] : $z$ $tu,\;v$

{\frac {\parcial u}{\parcial x))={\frac {\parcial v}{\parcial y));\qquad {\frac {\parcial u}{\parcial y))= -{\frac {\v parcial}{\x parcial}),

o, en forma abreviada,

{\frac {\parcial f}{\parcial x))={\frac {\parcial f}{i\parcial y)).

Esto implica que la diferenciabilidad de los componentes y no es suficiente para la diferenciabilidad de la función en sí. $tu$ $v$

Además, existen las siguientes propiedades que distinguen el análisis complejo del análisis real [4] :

Cualquier función compleja diferenciable en alguna vecindad de un punto es derivable un número ilimitado de veces y es analítica , es decir, su serie de Taylor converge a una función dada en todos los puntos de esta vecindad (en la literatura, junto con el término función analítica , también se utilizan sus sinónimos “ función holomorfa ”, “ función regular ”). $z$
( Teorema de Liouville ): Si una función es diferenciable en todo el plano complejo y no es una constante, entonces su módulo no se puede acotar.
Ambas componentes de una función compleja diferenciable son funciones armónicas , es decir, satisfacen la ecuación de Laplace :

{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial x^{2))}+{\frac {\parcial ^{2}u}{\parcial y^{2))}=0;\qquad {\frac {\parcial ^{2}v}{\parcial x^{2}}}+{\frac {\parcial ^{2}v}{\parcial y^{2}}}=0.

Cualquier función armónica puede ser un componente tanto real como imaginario de una función diferenciable. En este caso, el otro componente se determina de forma única (a partir de las condiciones de Cauchy-Riemann), hasta un término constante.

Así, cualquier función compleja derivable es una función de la forma , donde son las funciones armónicas interconectadas de dos argumentos. $tu+iv$ $tu,\;v$

Otras propiedades

Sean las funciones y diferenciables en el dominio Entonces y también son derivables en este dominio. Si no se anula en la región , entonces será diferenciable en La composición de funciones es diferenciable en todos los lugares donde se define. Si la derivada de una función en la región no se anula, entonces existe una función inversa a ella y será diferenciable. $f(z)$ $g(z)$ $G\subseteq \mathbb {C} .$ $f(z)\pm g(z)$ $f(z)\cdot g(z)$ $g(z)$ $GRAMO$ ${\frac{f(z)}{g(z)))$ $GRAMO.$ $f(g(z))$ $w=f(z)$ $GRAMO$ $z=\varfi (w)$

La derivada de la suma, diferencia, producto, cociente, composición de funciones y función inversa se calcula utilizando las mismas fórmulas que en el análisis real.

El significado geométrico de la derivada

Cada función compleja define algún mapeo del plano complejo con coordenadas en otro plano complejo con coordenadas . Al mismo tiempo, la expresión $w=f(z)=u(x,\;y)+iv(x,\;y)$ $(x,\;y)$ $(u,\;v)$

\izquierda|{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}\right|=k(h)

cuando es pequeño , se puede interpretar geométricamente como el factor de escala que realiza este mapeo cuando se mueve de un punto a otro . La existencia de un límite , es decir, el módulo de la derivada , significa que el factor de escala es el mismo en cualquier dirección desde el punto , es decir, no depende de la dirección. En términos generales, el factor de escala varía de un punto a otro [5] . $h$ $z$ $z+h$ ${\ estilo de visualización \ lim _ {h \ a 0} k (h)}$ $|f^{\prime}(z)|=k$ $z$

Si el factor de escala , entonces en la vecindad del punto , las distancias entre los puntos aumentan, y el factor de escala se llama factor de estiramiento . Si el factor de escala , entonces en la vecindad del punto , las distancias entre los puntos disminuyen, y el factor de escala se llama factor de compresión . Ejemplo de la función : en un punto la derivada es 4, por lo que todas las longitudes se cuadriplican. $k>1$ $z$ $k<1$ $z$ $f(z)=z^{2}+2z-1$ $z=1$

En cuanto al argumento de la derivada, determina el ángulo de rotación de una curva suave que pasa por un punto dado . Todas las curvas suaves se giran en el mismo ángulo en esta pantalla. Los mapas que preservan los ángulos se llaman conformes ; por lo tanto, cualquier función compleja diferenciable define un mapeo conforme (en la región donde su derivada no desaparece) [6] . Este hecho está asociado con el uso generalizado de funciones complejas en cartografía e hidrodinámica [7] . $z$

Integración

Integración de funciones complejas

El concepto de función compleja antiderivada (integral indefinida) se introduce de la misma forma que en el caso real. Sin embargo, no existe un análogo de la integral definida en el intervalo de a en el plano complejo, ya que el camino desde el punto inicial hasta el final es ambiguo. Por lo tanto, la forma principal de la integral compleja es la integral curvilínea , que depende de un camino particular. A continuación indicaremos las condiciones bajo las cuales la integral no depende del camino, y entonces se puede definir correctamente la integral “de punto a punto”. $a$ $b$

Deje que la ecuación en la que el parámetro t se dirige desde algún valor inicial a al valor final b defina una curva suave por tramos en el plano complejo, dotada de una dirección, y la función se define en los puntos de esta curva. La dirección en la que se mueve el parámetro determina el recorrido específico de la curva: no importa cuál es mayor - b o a . [8] Dividir el segmento de parametrización en partes iguales ${\ estilo de visualización z = z (t),}$ $\gama$ $f(z)$ $norte$ $t_{0},t_{1}\cdots t_{n-1},t_{n}\dos puntos$

$a=t_{0}<t_{1}<\ldots <t_{n}=b,$ si a < b ;
o si a > b , $a=t_{0}>\ldots >t_{n}=b,$

y considere la suma integral:

\sum _{k=1}^{n}f{\big (}z(t_{k}){\big )}\cdot {\big (}z(t_{k})-z( t_{k-1}){\grande)}.

El límite de esta suma a medida que aumenta sin límite se llama integral (compleja) sobre la curva (dirigida) de la función dada ; se denota: $norte$ $\gama$ $f(z)$

{\ estilo de visualización \ int _ {\ gamma} f (z) dz.}

Para cualquier función continua a lo largo de , esta integral existe y se puede calcular a través de la integral real habitual sobre el parámetro: $f(z)$ $\gama$

\int_{\gamma}f(z)dz=\int_{a}^{b}f(z(t))z'(t)dt=\int_{\gamma}(u~ dx-v~dy)+i\int _{\gamma}(v~dx+u~dy).

Aquí están los componentes . De esta representación se puede ver que las propiedades de la integral compleja son similares a las de la integral curvilínea real de segunda clase. $tu,\;v$ $f(z)$

Integral de contorno

De particular interés práctico son las integrales a lo largo de un contorno (cerrado) , es decir, a lo largo de una curva suave por tramos sin puntos de autointersección , en la que el punto inicial coincide con el punto final. El contorno se puede omitir en dos direcciones; positivo es la dirección en la que el área delimitada por el contorno se encuentra a la izquierda en la dirección de viaje.

Si la curva forma un contorno cerrado, se utiliza una notación especial para la integral: $\gama$

{\ Displaystyle \ punto _ {\ gamma} f (z) dz.}

A veces, la flecha en el círculo indica la dirección: en sentido horario o antihorario.

Hay un importante teorema de la integral de Cauchy : para cualquier función que sea analítica en un dominio simplemente conexo y para cualquier lazo cerrado , la integral sobre ella es igual a cero: $f(z)$ $A\subseteq \mathbb {C} ,$ $\gamma \subseteq A$

{\displaystyle \oint _{\gamma}f(z)dz=0{.))

Corolario: sea la función analítica en un dominio simplemente conexo y los puntos del dominio estén conectados por alguna curva . Entonces la integral depende solo de los puntos , pero no de la elección de la curva que los conecta , por lo que se puede denotar $f(z)$ $A\subseteq \mathbb {C} ,$ $z_{1},z_{2}$ $A$ $\gama$ ${\ estilo de visualización \ estilo de texto \ int _ {\ gamma} f (z) dz}$ $z_{1},z_{2}$ $\gama$ $\textstyle \int \limits _{z_{1}}^{z_{2}}f(z)dz.$

Si se cumplen las condiciones del teorema de Cauchy, entonces podemos introducir el concepto de integral indefinida para . Para hacer esto, fijamos un cierto punto dentro de la región y consideramos la integral: $f(z)$ $z_{0}$

F(z)=\int _{z_{0}}^{z}{f(w)dw}.

La derivada es , por lo tanto , la antiderivada de La familia de antiderivadas que difieren en una constante (dependiendo de la elección de ) forma una integral indefinida. El teorema de Newton-Leibniz [9] sostiene : ${\ estilo de visualización F' (z)}$ $f(z)$ $F(z)$ ${\ estilo de visualización f (z).}$ $z_{0}$

\int _{z_{1}}^{z_{2}}{f(z)\,dz}=F(z_{2})-F(z_{1}).

Hay una generalización del teorema de la integral de Cauchy para una región conexa múltiple: si una función es analítica en una región conexa múltiple cerrada , entonces su integral sobre el contorno exterior de la región es igual a la suma de las integrales sobre todos los contornos internos (en el misma dirección que a lo largo de la exterior) [10] . Esta generalización es conveniente de aplicar si el dominio contiene un punto singular de una función (definición de un punto singular más abajo ), donde la función no es analítica o no está definida.

Otras herramientas poderosas para explorar integrales complejas y reales:

La fórmula integral de Cauchy y sus consecuencias: el principio del módulo máximo , teoremas del valor medio ;
el teorema del residuo fundamental .

Teoremas de unicidad y continuación analítica

El cero de una función es el punto en el que la función se anula: . $f(z)$ $z_{0}$ $f(z_{0})=0$

Teorema de los ceros de una función analítica . Si los ceros de una función , que es analítica en el dominio , tienen un punto límite dentro , entonces la función se desvanece en todas partes . $f(z)$ $D$ $D$ $f(z)$ $D$

Corolario: si una función es analítica en un dominio y no es idénticamente cero en él, entonces en cualquier subdominio cerrado acotado solo puede tener un número finito de ceros. $f(z)$ $D$ $C\subconjunto D$

El teorema de unicidad de una función analítica. Sea una secuencia convergente infinita de diferentes puntos del dominio .Si dos funciones analíticas coinciden en todos los puntos de esta secuencia, entonces son idénticamente iguales en $\{z_n\}$ ${\ estilo de visualización D.}$ $f(z),g(z)$ ${\ estilo de visualización D.}$

En particular, si dos funciones analíticas coinciden en alguna curva suave por tramos en , entonces coinciden en todas partes en . Esto significa que los valores de una función analítica, incluso en una pequeña área del dominio, determinan completamente el comportamiento de la función en todo el dominio de su definición. Habiendo dado una función analítica en una curva (por ejemplo, en el eje real), determinamos únicamente su extensión (si es posible) a un área más amplia, que se llama la continuación analítica de la función original. $D$ $D$

Todas las funciones de análisis estándar ( polinomio , función fraccionaria lineal, función de potencia , exponencial , funciones trigonométricas, funciones trigonométricas inversas , logaritmo ) permiten la continuación analítica al plano complejo. Al mismo tiempo, las mismas identidades algebraicas, diferenciales y otras se mantendrán para sus continuaciones analíticas como para el original real, por ejemplo:

\sin ^{2}z+\cos ^{2}z=1;\qquad e^{u}\cdot e^{v}=e^{u+v}.

Expansión de la serie

Serie de potencia

La definición de la suma de una serie de números y los signos de convergencia en el análisis complejo son prácticamente los mismos que en el análisis real, con el valor absoluto reemplazado por un módulo complejo; la excepción son los signos de convergencia, en los que se comparan más o menos los elementos de la serie en sí, y no sus módulos.

Cualquier función diferenciable en un punto se expande en una vecindad de este punto en una serie de potencias de Taylor : $z_{0}$

f(z)=\sum_{{n=0}}^{\infty}a_{n}(z-z_{0})^{n}

Los coeficientes de la serie se calculan utilizando las fórmulas habituales. Esta serie converge a una función en algún círculo de radio con centro en el punto , que sirve como un análogo del intervalo de convergencia de la serie real. La serie converge absolutamente en este círculo y diverge fuera de él. En este caso, 3 casos son posibles. $f(z)$ $R$ $z_{0}$

La serie converge en un círculo de radio finito y distinto de cero.
La serie converge en todo el plano complejo, es decir, . Estas funciones se llaman números enteros . $R=\infty$
La serie converge sólo en el punto . Ejemplo: . Tales puntos se llaman singulares por la función . Los puntos no singulares se llaman regulares . El interior del círculo de convergencia consta de puntos regulares. $z_{0}$ $\sum _{{n=0}}^{\infty}n!(z-z_{0})^{n}$ $z_{0}$ ${\ estilo de visualización f (z).}$

El límite del círculo de convergencia contiene al menos un punto singular. De ello se deduce que el radio del círculo de convergencia en un punto es igual a la distancia desde el punto singular más cercano a él. $z_{0}$ $z_{0}$

Teorema de Abel : si es el radio del círculo de convergencia de una serie de potencias, entonces en cualquier círculo con el mismo centro, pero de menor radio, la serie converge uniformemente . $R$

Serie de Laurent

Es de gran interés práctico estudiar el comportamiento de una función cerca de un punto singular aislado , es decir, un punto en la vecindad del cual la función es analítica, pero en el punto mismo no es analítico o no está definido. La serie de potencias es inútil aquí, por lo que se presenta la serie de Laurent más general :

\sum_{{n=-\infty}}^{{\infty}}c_{n}(z-z_{0})^{n}=\sum_{{n=0}}^{{\ infty }}c_{n}(z-z_{0})^{n}+\sum _{{n=1}}^{{\infty }}{\frac {c_{{-n}}}{ (z-z_{0})^{n}}}

Si la región de convergencia de la serie de Laurent no está vacía, entonces es un anillo circular : . $r<|z-z_{0}|<R$

Teorema principal : si una función es analítica en un anillo circular, entonces puede ser representada en este anillo por una serie de Laurent convergente y de forma única. $f(z)$

En cuanto a una serie de potencias, los límites del anillo de convergencia están determinados por la distribución de puntos singulares de la función. Basándonos en la forma de la serie de Laurent, podemos sacar algunas conclusiones sobre el comportamiento de la función cerca del punto . $z_{0}$

Punto singular removible : si la serie de Laurent no contiene elementos con potencias negativas . Entonces esto es solo una serie de potencias que define una función en algún círculo que rodea a . La suma de la serie en este círculo es finita y puede diferir solo en el punto , por lo que basta con redefinir , para que la función se vuelva analítica en todo el círculo. Se cumple el siguiente criterio: si una función cercana es analítica y acotada, entonces es un punto singular removible. ${\displaystyle z-z_{0))$ $z_{0}$ $f(z)$ $z_{0}$ ${\ estilo de visualización f (z_ {0})}$ $z_{0}$ $z_{0}$
Polo : si la serie de Laurent contiene un número finito de elementos con potencias negativas . En este caso, la función en el punto es infinita (módulo). ${\displaystyle z-z_{0))$ $z_{0}$
Punto singular esencial : si la serie de Laurent contiene un número infinito de elementos con potencias negativas . En este caso, la función en el punto no puede definirse correctamente como continua. ${\displaystyle z-z_{0))$ $z_{0}$

Aplicaciones en análisis real

Con la ayuda de la teoría de los residuos , que forma parte del TFKP, se calculan muchas integrales complejas sobre contornos cerrados.

Los medios de análisis complejo explican algunos puntos que no pueden interpretarse fácilmente en términos de análisis de materiales. Tomemos un ejemplo clásico: la función

f(x)={\frac{1}{1+x^{2}}}

es continua e infinitamente diferenciable en toda la recta real. Considere su serie de Taylor

{\frac {1}{1+x^{2}}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots

Esta serie converge sólo en el intervalo , aunque no son especiales para los puntos . $(-1;\;1)$ $\pm 1$ $f(x)$

La situación se aclara al pasar a la función de variable compleja , que tiene dos puntos singulares: . En consecuencia, esta función se puede expandir a una serie de Taylor solo en el círculo . $f(z)={\frac{1}{1+z^{2}}}$ $\pm yo$ $\Delta =\{z\dos puntos |z|<1\}$

Historia

El trabajo fundamental en análisis complejo está asociado con los nombres de Euler , Riemann , Cauchy , Weierstrass y muchos otros matemáticos famosos. La teoría de los mapeos conformes comenzó a desarrollarse rápidamente debido a las aplicaciones existentes en ingeniería, los métodos y resultados de análisis complejos se utilizan en la teoría analítica de números . Una nueva oleada de interés en el análisis complejo está asociada con la dinámica compleja y la teoría de los fractales .

Véase también

función analítica
Deducción (análisis complejo)
Función holomorfa
Análisis de cuaterniones
Números complejos
Análisis complejo multivariante
función monogénica
La línea real extendida proyectivamente es un análogo unidimensional del plano complejo, complementado por un punto sin signo en el infinito .

Notas

↑
El acento doble se da según las siguientes fuentes:
- Gran Enciclopedia Soviética , 3ª ed. (1973), tomo 12, pág. 588, artículo Números complejos .
- Diccionario enciclopédico soviético (1982), p. 613, artículo Número complejo .
- La última edición del "Diccionario de las dificultades del idioma ruso" (Rosenthal D. E., Telenkova M. A., Iris-press, 2005, p. 273) indica ambas opciones: "números complejos (complejos)".
- En la Gran Enciclopedia Rusa (Volumen 14, 2010), los acentos se ofrecen simultáneamente: número complejo (pág. 691), pero análisis complejo (pág. 695).
- Diccionario de ortografía de la lengua rusa (6.ª edición, 2010), Diccionario de gramática de la lengua rusa, Diccionario de ortografía rusa de la Academia de Ciencias de Rusia , ed. V. V. Lopatina y varios otros diccionarios indican las opciones: " complejo " y " complejo (matemáticas)".
↑ 1 2 Smirnov VI, 2010 , p. 7-15..
↑ Sveshnikov A. G., Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja. Decreto. op., pág. 20-21.
↑ 1 2 3 Smirnov V.I., 2010 , pág. 15-22..
↑ Smirnov VI, 2010 , p. 22-23.
↑ Smirnov VI, 2010 , p. 24-25.
↑ Lavrentiev M. A., Shabat B. V. Problemas de hidrodinámica y sus modelos matemáticos . - M. : Nauka, 1973. (enlace inaccesible)
↑ Fikhtengolts, Grigory Mijailovich . Curso de cálculo diferencial e integral, capítulo 9, apartado 2. . Consultado el 8 de junio de 2021. Archivado desde el original el 19 de julio de 2020. (indefinido)
↑ Matemáticas, su contenido, métodos y significado (en tres volúmenes). - Academia de Ciencias de la URSS, 1956. - T. 2. - S. 204-205. — 397 pág.
↑ Smirnov VI, 2010 , p. 33.

Literatura

Evgrafov M. A. Funciones analíticas. - 2ª ed., revisada. y adicional — M .: Nauka , 1968. — 472 p.
Matemáticas del siglo XVIII // Historia de las matemáticas / Editado por A.P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka, 1972. - T. III.
Krasnov M. L., Kiselev A. I., Makarenko G. I. Funciones de una variable compleja. cálculo operacional. Teoría de la estabilidad. — M .: Nauka , 1981. — 304 p.
Lavrentiev M. A. , Shabat B. V. Métodos de la teoría de funciones de una variable compleja. - 4ª ed. — M .: Nauka , 1972 .
Sveshnikov A. G. , Tikhonov A. N. Teoría de funciones de una variable compleja. — M .: Nauka, 1967. — 304 p.
Smirnov V. I. Un curso de matemáticas superiores en tres volúmenes. - Ed. 10 - San Petersburgo. : BHV-Petersburg, 2010. - V. 3, parte 2. — 816 pág. - ISBN 978-5-9775-0087-6 .
Titchmarsh E. Teoría de funciones: Per. De inglés. - 2ª ed., revisada. — M .: Nauka , 1980. — 464 p.
Fikhtengol'ts G. M. Curso de cálculo diferencial e integral, en tres volúmenes. - M. : Fizmatlit, 2001. - ISBN 5-9221-0155-2 .
Shabat BV Introducción al análisis complejo. — M .: Nauka , 1969. — 577 p.

ramas de las matematicas

Portal "Ciencia"

fundamentos de las matematicas teoría de conjuntos lógica matemática álgebra de la lógica

Teoría de números ( aritmética )

Álgebra
Álgebra elemental	Solución de ecuación
Álgebra lineal	Cálculo vectorial matrices cálculo tensorial Álgebra multilineal
álgebra general	Álgebra conmutativa Teoría de la representación Álgebra diferencial Álgebra homológica Álgebra Universal Teoría de categorías

Análisis
Análisis clásico	Calculo diferencial Cálculo integral
teoría de funciones	Análisis armónico Análisis de cuaterniones Análisis complejo teoría de la medida Teoría de funciones de variable real análisis funcional Cálculo de variaciones
Ecuaciones diferenciales e integrales	Sistemas dinámicos y teoría ergódica Ecuaciones diferenciales común en derivadas parciales Ecuaciones Integrales
Análisis vectorial Análisis Global teoría de la catástrofe Análisis personalizado Análisis infinitesimal suave

Geometría y topología
Geometría	geometría algebraica Geometría analítica Geometría euclidiana Geometría no euclidiana Planimetría estereometría
Topología	Topología general topología algebraica Geometría diferencial y topología

Matemáticas discretas
combinatoria Teoría de grafos

Matemáticas Aplicadas
física matemática química matemática biología matemática Estadísticas matemáticas Modelado matemático Teoría de Algoritmos Métodos numéricos economía matemática matemáticas financieras Teoría de probabilidad La investigación de operaciones Teoría de juego

Portal "Matemáticas"
Categoría "Matemáticas"

diccionarios y enciclopedias	Gran danés gran ruso alrededor del mundo Britannica (en línea)
En catálogos bibliográficos	TIERRA : 4018935-1 J9U : 987007553156205171 LCCN : sh85052356 NKC : ph135388