Símplex

Un tetraedro simplex o n - dimensional (del latín simplex 'simple') es una figura geométrica , que es una generalización n - dimensional de un triángulo .

Definición

Un simplex (más precisamente, un n -simplex , donde el número n se llama la dimensión del simplex) es la envolvente convexa de n  + 1 puntos en un espacio afín (de dimensión n o mayor) que se supone que son afinemente independientes (es decir, no se encuentran en un subespacio de dimensión n  - 1). Estos puntos se denominan vértices del [1] [2] simplex .

Un símplex se puede caracterizar como el conjunto de todas las posibles combinaciones convexas de sus vértices : $Ai}$

\Delta =\left\{\sum _{i=0}^{n}t_{i}A_{i}:\left(\sum _{i=0}^{n}t_{i} =1\derecha)\cuña (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\derecha\}.

Definiciones relacionadas

Un simplex abierto es un conjunto de todas las posibles combinaciones baricéntricas de sus vértices con coeficientes positivos (en este caso, un simplex con los mismos vértices que satisface la definición del apartado anterior también se denomina simplex cerrado ; de acuerdo con la terminología de general topología , un símplex cerrado es el cierre del símplex abierto correspondiente, y este símplex abierto es un kernel abierto de un símplex cerrado) [1] [3] .
El esqueleto de un símplex es el conjunto de todos sus vértices [4] .
Las aristas de un símplex son los segmentos que conectan sus vértices [5] .
Las caras de dimensión s de un símplex se denominan símplex de dimensión s , cuyos esqueletos son subconjuntos del esqueleto del símplex original [6] .
Se dice que un símplex está orientado si su núcleo es un conjunto bien ordenado ; se supone que los órdenes que difieren entre sí por una permutación uniforme de vértices definen la misma orientación (un 0-simplex orientado es un punto al que se le asigna un signo: “más” o “menos”) [6] [7 ] .
Un símplex que se encuentra en el espacio euclidiano se llama regular si todas sus aristas tienen la misma longitud [8] .

Símplex estándar

El estándar n - simplex es un subconjunto del espacio aritmético , definido como [9] $\mathbb{R} ^{n+1}$

\Delta ^{n}=\left\{(t_{0},\dots,t_{n}):\left(\sum_{i=0}^{n}t_{i}=1 \right)\cuña (\forall i\;t_{i}\geqslant 0)\right\}.

Sus vértices son puntos [9]

mi 0 = (1, 0, …, 0), mi 1 = (0, 1, …, 0), … e n = (0, 0, …, 1).

Hay un mapeo uno a uno canónico de un n - simplex estándar a cualquier otro n - simplex Δ con coordenadas de vértice : ${\ estilo de visualización (v_ {0}, v_ {1}, \ puntos, v_ {n})}$

(t_{0},\dots,t_{n})\mapsto\sum_{i}t_{i}v_{i}.

Los valores para un punto dado del simplex Δ se denominan sus coordenadas baricéntricas [3] . $t_{yo}$

Propiedades

Un símplex de n dimensiones tiene vértices, cualquiera de los cuales forma una cara de k dimensiones. $n+1$ $k+1$
- En particular, el número de k caras dimensionales en un n - simplex es igual al coeficiente binomial ${\tbinom {n+1}{k+1)).$
- En particular, el número de caras de mayor dimensión coincide con el número de vértices y es igual a . $n+1$
El volumen orientado de un n - simplex en un espacio euclidiano n - dimensional se puede determinar mediante la fórmula $V={\frac {1}{n!}}\det(v_{1}-v_{0},v_{2}-v_{0},\dots,v_{n}-v_{0 }).$
- El determinante de Cayley-Menger permite calcular el volumen de un símplex, conociendo las longitudes de sus aristas: $V^{2}={\frac {(-1)^{n-1}}{2^{n}(n!)^{2}}}{\begin{vmatrix}0&1&1&1&\dots &1 \\1&0&d_{01}^{2}&d_{02}^{2}&\puntos &d_{0n}^{2}\\1&d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\puntos &d_{1n}^{2}\\1&d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\puntos &d_{2n}^{2}\\\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\dpuntos &\vpuntos \\1&d_{n0}^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\puntos &0\\\end{vmatriz}},$

donde es la distancia entre los vértices i -ésimo y j -ésimo, n es la dimensión del espacio . Esta fórmula es una generalización de la fórmula de Heron para triángulos.

d_{ij}=|v_{i}-v_{j}|

El volumen de un n -simplex regular de lado unidad es . ${\frac {\sqrt {n+1}}{n!\cdot 2^{n/2}}}$

El radio de la esfera n -dimensional descrita satisface la relación $R$ ${\ estilo de visualización (R \ cdot V) ^ {2} = T,}$

donde es el volumen del símplex, y

V

T={\frac {(-1)^{n}}{2^{n+1}{(n!)}^{2}}}{\begin{vmatrix}0&d_{01}^{ 2}&d_{02}^{2}&\puntos &d_{0n}^{2}\\d_{10}^{2}&0&d_{12}^{2}&\puntos &d_{1n}^{2} \\d_{20}^{2}&d_{21}^{2}&0&\puntos &d_{2n}^{2}\\\vpuntos &\vpuntos &\vpuntos &\dpuntos &\vpuntos \\d_{n0 }^{2}&d_{n1}^{2}&d_{n2}^{2}&\puntos &0\\\end{vmatriz}}.

Construcción

Si la dimensión de un espacio es n , entonces se puede dibujar un hiperplano a través de cualquiera de sus n puntos , y hay conjuntos de n  + 1 puntos a través de los cuales no se puede dibujar el hiperplano. Por lo tanto, n  + 1 es el número mínimo de dichos puntos en el espacio n - dimensional que no se encuentran en el mismo hiperplano; estos puntos pueden servir como vértices de un poliedro n - dimensional [10] .

El poliedro n - dimensional más simple con n  + 1 vértices se denomina símplex ( también se acepta el nombre " tetraedro n - dimensional "). En espacios de menor dimensión, esta definición corresponde a las siguientes figuras [11] :

0-simplex ( punto ) — 1 vértice;
1-simplex ( segmento ) — 2 vértices;
2-simplex ( triángulo ) - 3 vértices;
3-simplex ( tetraedro ) - 4 vértices.

Todas estas figuras tienen tres propiedades comunes.

Según la definición, el número de vértices de cada figura es uno más que la dimensión del espacio.
Existe una regla general para convertir simples de dimensiones inferiores en simples de dimensiones superiores. Consiste en que desde algún punto del símplex se dibuja un rayo que no se encuentra en la capa afín de este símplex y se elige un nuevo vértice en este rayo, que está conectado por aristas a todos los vértices del original . símplex.
Como sigue del procedimiento descrito en el párrafo 2, cualquier vértice del símplex está conectado por aristas a todos los demás vértices.

Esfera descrita

Una n - esfera se puede describir alrededor de cualquier n - simplex en el espacio euclidiano .

Prueba

Para un 1-simplex esta afirmación es obvia. La 1-esfera descrita serán dos puntos equidistantes del centro del segmento, coincidiendo con los extremos del segmento, y su radio será R = a /2. Agreguemos un punto más al 1-simple y tratemos de describir un 2-esfera alrededor de ellos.

Construimos una 2-esfera s 0 con radio a /2 de tal manera que el segmento AB es su diámetro . Si el punto C está fuera del círculo s 0 , al aumentar el radio del círculo y desplazarlo hacia el punto C , puede asegurarse de que los tres puntos estén en el círculo. Si el punto C se encuentra dentro del círculo s 0 , entonces puedes ajustar el círculo debajo de este punto aumentando su radio y desplazándolo en la dirección opuesta al punto C. Como se puede ver en la figura, esto se puede hacer en cualquier caso cuando el punto C no se encuentra en la misma línea que los puntos A y B. La ubicación asimétrica del punto C con respecto al segmento AB tampoco es un impedimento .

Considerando el caso general, supongamos que existe una ( n  − 1)-esfera S n −1 de radio r circunscrita alrededor de alguna figura ( n −1)-dimensional. Coloca el centro de la esfera en el origen de coordenadas. La ecuación de la esfera se verá como

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\dots +x_{n-1}^{2}=r^{2}. \qquad(1)

Construyamos una n -esfera centrada en el punto (0, 0, 0, ... 0, h S ) y radio R , y

R^{2}=r^{2}+h_{S}^{2}.

La ecuación de esta esfera.

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\puntos +x_{n-1}^{2}+(x_{n}- h_{S})^{2}=r^{2}+h_{S}^{2},

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\puntos +x_{n-1}^{2}=r^{2}- x_{n}^{2}+2x_{n}h_{S}.\qquad (2)

Sustituyendo x n = 0 en la ecuación (2), obtenemos la ecuación (1). Así, para cualquier h S , la esfera S n −1 es un subconjunto de la esfera S n , es decir, su sección por el plano x n = 0.

Supongamos que el punto C tiene coordenadas ( x 1 , x 2 , x 3 , ..., x n ). Transformemos la ecuación (2) a la forma

x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}+\puntos +x_{n-1}^{2}+x_{n}^{ 2}=r^{2}+2x_{n}h_{S}

y sustituimos las coordenadas del punto C en él :

X_{1}^{2}+X_{2}^{2}+X_{3}^{2}+\puntos +X_{n-1}^{2}+X_{n}^{ 2}=r^{2}+2X_{n}h_{S}.

La expresión del lado izquierdo es el cuadrado de la distancia RC desde el origen hasta el punto C , lo que nos permite llevar la última ecuación a la forma

R_{C}^{2}=r^{2}+2X_{n}h_{S},

de donde podemos expresar el parámetro h S :

h_{S}={\frac{R_{C}^{2}-r^{2}}{2X_{n}}}.

Obviamente, h S existe para cualquier R C , X n y r , excepto para X n = 0. Esto significa que si el punto С no está en el plano de la esfera S n −1 , siempre se puede encontrar un parámetro h S tal que sobre la esfera S n de centro (0, 0, 0, ..., h S ) estarán tanto la esfera S n −1 como el punto C . Por lo tanto, una n -esfera se puede describir alrededor de cualquier n  + 1 puntos si n de estos puntos se encuentran en la misma ( n  − 1) -esfera, y el último punto no se encuentra con ellos en la misma ( n  − 1) - plano.

Argumentando por inducción , se puede argumentar que una n -esfera se puede describir alrededor de cualquier n  + 1 puntos, siempre que no se encuentren en el mismo  plano ( n − 1).

Número de caras de un símplex

Un símplex tiene n  + 1 vértices, cada uno de los cuales está conectado por aristas a todos los demás vértices.

Como todos los vértices de un símplex están interconectados, cualquier subconjunto de sus vértices tiene la misma propiedad. Esto significa que cualquier subconjunto de L  + 1 vértices de un simplex define su cara L -dimensional, y esta cara es en sí misma un L -simplex. Entonces, para un símplex, el número de caras L -dimensionales es igual al número de formas de elegir L  + 1 vértice del conjunto total de n  + 1 vértices.

Denote por el símbolo K ( L , n ) el número de caras L -dimensionales en un politopo n -; entonces para el n - simplex

K(L,n)=C_{n+1}^{L+1},

donde es el número de combinaciones de n a k . ${\displaystyle C_{n}^{k))$

En particular, el número de caras de mayor dimensión es igual al número de vértices y es igual a n  + 1:

K(0,n)=K(n-1,n)=n+1.

Relaciones en el símplex regular

Para un símplex regular n -dimensional denotamos:

$a$ - largo de lado;
$H_n$ - altura;
$V_{n}$ - volumen;
$R_n$ es el radio de la esfera circunscrita;
$r_{n}$ es el radio de la esfera inscrita;
$\alpha_{n}$ - ángulo diedro .

Después

$H_{n}=a{\raíz cuadrada {\frac {n+1}{2n}}}=R_{n}{\frac {n+1}{n}}$
$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}={\frac {R_{n}^ {n}}{n!}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n}}}$
$R_{n}=a{\raíz cuadrada {\frac{n}{2(n+1)))}$
$r_{n}={\frac {a}{\sqrt {2n(n+1)}}}={\frac {R_{n}}{n}}$
$\cos \alpha ={\frac{1}{n}}$ [ocho]
$R_{n}=H_{n}{\frac{n}{n-1}}$
$a^{2}=H_{n}^{2}+R_{n-1}^{2}$
$V_{n}={\frac{1}{n}}V_{n-1}H_{n}$
$r_{n}^{2}=R_{n}^{2}-R_{n-1}^{2}$

Fórmulas para un símplex regular

Número de caras L-dimensionales	$K(L,n)={\tbinom {n+1}{L+1}}$
Altura	$H_{n}=a{\raíz cuadrada {\frac{n+1}{2n))}$	$H_{n}=R_{n}{\frac{n+1}{n}}$	$H_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{2}}$	$H_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{3}}$	$H_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{4}}$
Volumen	$V_{n}={\frac {a^{n}}{n!}}{\sqrt {\frac {n+1}{2^{n}}}}$	$V_{n}={\frac {R_{n}^{n}}{n!)}}{\sqrt {\left({\frac {n+1}{n}}\right)^{n} } }$	$V_{2}=a^{2}{\frac {\sqrt {3}}{4}}$	$V_{3}=a^{3}{\frac {\sqrt {2}}{12}}$	$V_{4}=a^{4}{\frac {\sqrt {5}}{96}}$
Radio de la esfera circunscrita	$R_{n}=a{\raíz cuadrada {\frac{n}{2(n+1)))}$	$a=R_{n}{\sqrt {\frac {2(n+1)}{n))}$	$R_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{3}}$	$R_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{4}}$	$R_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{5}}$
Radio de la esfera inscrita	$r_{n}={\frac{a}{\sqrt {2n(n+1)))}$	$r_{n}={\frac {R_{n}}{n}}$	$r_{2}=a{\frac {\sqrt {3}}{6}}$	$r_{3}=a{\frac {\sqrt {6}}{12}}$	$r_{4}=a{\frac {\sqrt {10}}{20}}$
Ángulo diedro	$\cos \alpha ={\frac{1}{n}}$

Simplexes en topología

Un símplex topológico es un subconjunto de un espacio topológico que es homeomorfo a un símplex de algún espacio afín (o, de manera equivalente, a un símplex estándar de la dimensión correspondiente). El concepto de simplex topológico subyace a la teoría de los complejos simpliciales (un complejo simplicial es un espacio topológico representado como una unión de simples topológicos que forman una triangulación de un espacio dado) [12] .

Véase también

Notas

↑ 1 2 Aleksandrov y Pasynkov, 1973 , p. 197-198.
↑ Zalgaller V. A. . Simplex // Enciclopedia matemática. T. 4 / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M .: Enciclopedia soviética , 1984. Copia de archivo fechada el 21 de enero de 2022 en Wayback Machine - 1216 stb. - Stb. 1151.
↑ 1 2 Aleksandrov, 1968 , p. 355.
↑ Alexandrov y Pasynkov, 1973 , p. 198.
↑ Boltyansky, 1973 , p. 211.
↑ 1 2 Baladze D. O. . Complejo // Enciclopedia Matemática. Vol. 2 / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M .: Enciclopedia soviética , 1984. Copia de archivo fechada el 20 de noviembre de 2012 en Wayback Machine - 1104 stb. - Stb. 995-1101.
↑ Rudin U. . Fundamentos del análisis matemático. 2ª ed. — M .: Mir , 1976. — 319 p. - S. 257-258.
↑ 1 2 Parks H. R., Wills D. C. . Un cálculo elemental del ángulo diedro del n -simplex regular // The American Mathematical Monthly , 2002, 109 (8). - Pág. 756-758. -doi : 10.2307/ 3072403 .
↑ 1 2 Kostrikin y Manin, 1986 , p. 200-201.
↑ Aleksándrov, 1968 , pág. 353-355.
↑ Kostrikin y Manin, 1986 , p. 201.
↑ Khokhlov A. V. . Espacio simplicial // Enciclopedia matemática. T. 4 / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M .: Enciclopedia soviética , 1984. Copia de archivo fechada el 21 de enero de 2022 en Wayback Machine - 1216 stb. - Stb. 1168.

Literatura

P. S. Alexandrov . topología combinatoria. - M. - L .: GITTL , 1947. - 660 p.
P. S. Alexandrov . Conferencias sobre geometría analítica. — M .: Nauka , 1968. — 912 p.
P. S. Aleksandrov , B. A. Pasynkov. Introducción a la teoría de las dimensiones. Introducción a la teoría de los espacios topológicos ya la teoría general de la dimensión. — M .: Nauka , 1973. — 576 p.
V. G. Boltyansky . Control óptimo de sistemas discretos. — M .: Nauka , 1973. — 448 p.
A. I. Kostrikin , Yu. I. Manin . Álgebra lineal y geometría. 2ª ed. — M .: Nauka , 1986. — 304 p.
L. S. Pontryagin . Fundamentos de topología combinatoria. - M. - L .: GITTL , 1947. - 142 p. - S. 23-31.

Enlaces

Simplex : artículo de la Gran Enciclopedia Soviética .

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