Clase zhen

Las clases de Chern (o la clase de Chern ) son las clases características asociadas con paquetes de vectores complejos .

Las clases de Zhen fueron introducidas por Shiing-Shen Zhen [1] .

Enfoque geométrico

Idea básica y antecedentes

Las clases Zhen son clases características . Son invariantes topológicos asociados con paquetes de vectores en variedades suaves. La cuestión de si dos paquetes de vectores aparentemente diferentes son el mismo paquete puede ser un problema bastante difícil. Las clases de Chern dan una prueba simple: si las clases de Chern de un par de paquetes vectoriales no concuerdan, los paquetes vectoriales son diferentes. Lo contrario, sin embargo, no es cierto.

En topología, geometría diferencial y geometría algebraica , a menudo es importante contar cuántas secciones linealmente independientes tiene un paquete vectorial. Las clases de Chern dan alguna información sobre esto a través, por ejemplo, del teorema de Riemann-Roch y del teorema del índice de Atiyah-Singer .

Las clases de Zhen también son convenientes para cálculos prácticos. En geometría diferencial (y algunos tipos de geometría algebraica), las clases de Chern se pueden expresar como polinomios en los coeficientes de la forma de curvatura .

Construcción de clases Zhen

Existen varios enfoques para las clases, cada uno de los cuales se centra en propiedades ligeramente diferentes de las clases de Chern.

El enfoque original de las clases de Chern fue un enfoque desde el lado de la topología algebraica: las clases de Chern surgen a través de la teoría de la homotopía , que permite construir un mapa de la variedad asociada con el paquete V en el espacio de clasificación (un infinito Grassmanniano en este caso). Para cualquier paquete vectorial V sobre una variedad M , existe una aplicación f de M a un espacio de clasificación tal que el paquete V es igual a la imagen inversa (con respecto a f ) del paquete universal sobre el espacio de clasificación, y Chern Por lo tanto , las clases del paquete V pueden definirse como las imágenes inversas de las clases de Chern del paquete universal. Estas clases universales de Chern, a su vez, pueden escribirse explícitamente en términos de ciclos de Schubert .

Se puede demostrar que dos aplicaciones f y g de M a un espacio de clasificación cuyas imágenes inversas son el mismo paquete V deben ser homotópicas. Por lo tanto, las imágenes inversas con respecto a f y g de cualquier clase universal de Chern en la clase de cohomología de M deben ser la misma clase. Esto muestra que las clases de Chern de V están bien definidas.

El enfoque de Zheng se basa en la geometría diferencial mediante el uso de la curvatura descrita en este artículo. Zhen mostró que la definición anterior era, de hecho, equivalente a su definición. La teoría resultante se conoce como la teoría de Chen-Weil .

También está el enfoque de Alexander Grothendieck , quien demostró que basta axiomáticamente definir solo las clases de haces de líneas.

Las clases de Chern surgen naturalmente en la geometría algebraica . Las clases generalizadas de Chern en geometría algebraica se pueden definir para paquetes de vectores (o más precisamente, haces de poleas libres localmente ) sobre cualquier variedad no singular. Las clases algebraico-geométricas de Zhen no imponen restricciones al campo principal. En particular, los paquetes de vectores no necesitan ser complejos.

Independientemente del paradigma original, el significado intuitivo de la clase Chern se refiere a los 'ceros' de las secciones de un paquete vectorial. Por ejemplo, un teorema que establece que es imposible peinar una pelota con pelo ( el teorema del peinado del erizo ). Aunque, estrictamente hablando, la pregunta se refiere a un paquete vectorial real ("el pelo" en la pelota es una copia de la línea real), hay generalizaciones en las que el "pelo" es complejo (ver el ejemplo del erizo complejo peinándose teorema a continuación), o para espacios proyectivos unidimensionales sobre muchos otros campos.

La clase Chern de paquetes de líneas

(Sea X un espacio topológico del tipo de homotopía del complejo CW ).

Un caso especial importante ocurre cuando V es un paquete de líneas . Entonces, la única clase de Chern no trivial es la primera clase de Chern, que es un elemento del segundo grupo de cohomología del espacio X. Siendo la clase más alta de Zhen, es igual a la clase Euler del paquete.

La primera clase de Chern resulta ser una invariante completa , según la cual se clasifican los haces de líneas complejas en la categoría topológica. Es decir, existe una biyección entre las clases de haces lineales isomorfos sobre X y los elementos de H 2 ( X ; Z ) que relaciona al haz lineal con su primera clase Chern. Además, esta biyección es un homomorfismo de grupo (es decir, un isomorfismo):

c_{1}(L\oveces L')=c_{1}(L)+c_{1}(L')

;

el producto tensorial de haces de líneas complejos corresponde a la suma en el segundo grupo de cohomología [2] [3] .

En geometría algebraica , esta clasificación de paquetes de líneas complejas (clases de isomorfos) por la primera clase de Chern es una aproximación aproximada de la clasificación de paquetes de líneas holomorfas (clases de isomorfos) por clases de divisores linealmente equivalentes .

Para paquetes de vectores complejos con una dimensión mayor que uno, las clases de Chern no son invariantes completas.

Edificios

Con la ayuda de la teoría de Chen-Weyl

Dado un paquete vectorial hermitiano complejo V de rango complejo n sobre una variedad diferenciable M , un representante de cada clase de Chern (llamada forma de Chern ) c k ( V ) del paquete V viene dado por los coeficientes del polinomio característico de la forma de curvatura del haz V . $\Omega$

\det \left({\frac {it\Omega }{2\pi }}+E\right)=\sum_{k}c_{k}(V)t^{k}

El determinante se toma sobre un anillo de matrices n × n cuyos elementos son polinomios en t con coeficientes del álgebra conmutativa de incluso formas diferenciales complejas en M . La forma de curvatura del paquete V está dada por $\Omega$

\Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega ,\omega ]

donde es la forma de conexión , y d es el diferencial exterior , o la misma expresión en la que es la forma de calibre para el grupo de calibre para el paquete V. El escalar t se usa solo como una variable desconocida para generar la suma del determinante, y E significa una matriz identidad n × n . $\omega$ $\omega$

Las palabras que esta expresión da a un representante de la clase Zhen significan que la 'clase' aquí se define hasta la forma diferencial exacta . Es decir, las clases de Chern son clases de cohomología en el sentido de cohomología de De Rham . Se puede demostrar que la clase de cohomología de las formas de Chern no depende de la elección de la conexión en V .

Usando la identidad matricial tr(ln( X ))=ln(det( X )) y la serie de Maclaurin para ln( X + I ), esta expresión para la forma de Chern se expande a

\sum _{k}c_{k}(V)t^{k}=\left[I+i{\frac {\mathrm {tr} (\Omega )}{2\pi }}t+{ \frac {\mathrm {tr} (\Omega ^{2})-\mathrm {tr} (\Omega )^{2}}{8\pi ^{2}}}t^{2}+i{\ fracción {-2\mathrm {tr} (\Omega ^{3})+3\mathrm {tr} (\Omega ^{2})\mathrm {tr} (\Omega )-\mathrm {tr} (\Omega )^{3}}{48\pi ^{3}}}t^{3}+\cdots \derecha].

Con la ayuda de la clase de Euler

Uno puede definir la clase de Chern en términos de la clase de Euler. Este enfoque se utiliza en el libro de Milnor y Stashef [4] y enfatiza el papel de la orientación del paquete vectorial .

La principal observación es que el paquete vectorial complejo tiene una orientación canónica debido a que está conectado. Por lo tanto, uno puede definir la clase Chern más alta de un paquete como su clase Euler y trabajar con las clases Chern restantes por inducción. $GL_{n}(\mathbb{C} )$

La construcción exacta es la siguiente. La idea es cambiar la base para obtener un paquete de un rango menor. Sea un fibrado vectorial complejo sobre un espacio paracompacto B . Considerando B como una sección cero incrustada en E , establecemos y definimos un nuevo paquete vectorial: ${\ estilo de visualización \ pi: E \ flecha derecha B}$ ${\ estilo de visualización B' = EB}$

E'\a B',

cuya fibra es un factor de la fibra F del haz E a lo largo de la línea que atraviesa el vector v en F (un punto en B' está determinado por la fibra F del haz E y un vector distinto de cero de F .) [5] . Entonces E' tiene rango uno menos que el rango de E . De la secuencia de Gisin para el paquete : ${\ estilo de visualización \ pi |_ {B'}: B' \ a B}$

\cdots \to \operatorname {H} ^{k}(B;\mathbb {Z} ){\overset {\pi |_{B'}^{*}}{\to }}\operatorname { H} ^{k}(B';\mathbb {Z} )\to \cdots ,

vemos cuál es un isomorfismo para k < 2 n − 1. Sea ${\ estilo de visualización \ pi |_{B'}^{*}}$

c_{k}(E)={\begin{casos}{\pi |_{B'}^{*}}^{-1}c_{k}(E'),&k<n\\ e(E_{\mathbb {R} }),&k=n\\0,&k>n.\\\end{casos}}

Se necesita algo más de trabajo para verificar que los axiomas de clase de Zhen se cumplen para tal definición.

Ejemplos

El haz tangente complejo de la esfera de Riemann

Sea CP 1 la esfera de Riemann , un espacio proyectivo complejo unidimensional . Suponga que z es una coordenada local holomorfa en la esfera de Riemann. Sea V = T CP 1 un lápiz de vectores tangentes complejos de la forma a ∂/∂ z en cada punto, donde a es un número complejo. Probaremos una versión compleja del teorema del peinado del erizo : V no tiene secciones que no desaparezcan.

Para hacer esto, necesitamos el siguiente hecho: la primera clase de Chern de un paquete trivial es igual a cero, es decir,

c_{1}({\mathbf {C} \mathbf {P} }^{1}\times {\mathbf {C} })=0.

Esto se sigue del hecho de que un paquete trivial siempre tiene una conexión plana.

Demostremos que

c_{1}(V)\no =0.

Considere la métrica de Kähler

h={\frac {dzd{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Se puede demostrar que la forma de 2 curvaturas viene dada por

\Omega ={\frac {2dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2})^{2}}}.

Además, por la definición de la primera clase de Zhen

c_{1}=\left[{\frac {i}{2\pi }}\mathrm {tr} \\Omega \right].

Debemos demostrar que esta clase de cohomología es distinta de cero. Para ello basta con calcular la integral sobre la esfera de Riemann:

\int c_{1}={\frac {i}{\pi }}\int {\frac {dz\wedge d{\bar {z}}}{(1+|z|^{2} )^{2}}}=2

después de la transición al sistema de coordenadas polares . Según el teorema de Stokes , la integral de la forma exacta debe ser igual a 0, por lo que la clase de cohomología es distinta de cero.

Esto prueba que T CP 1 no es un fibrado vectorial trivial.

Espacio proyectivo complejo

Hay una secuencia exacta de paquetes [6] :

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P } ^{n))(1)^{\oplus (n+1)}\to T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\to 0,

donde es un haz estructural (es decir, un haz de líneas trivial), es un haz de Serre retorcido (es decir, un haz hiperplanos ), y el último término distinto de cero es un haz /haz tangente . ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1)$

Hay dos formas de obtener la secuencia anterior:

[7] Sean z 0 , … z n coordenadas en,y. Entonces tenemos: ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {n + 1}}$ ${\displaystyle \pi :\mathbb {C} ^{n+1}-0\to \mathbb {C} \mathbf {P} ^{n))$ ${\displaystyle U=\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}-\{z_{0}=0\))$ $\pi ^{*}d(z_{i}/z_{0})={z_{0}dz_{i}-z_{i}dz_{0} \sobre z_{0}^{2} },\,i\geq 1.$
En otras palabras, el haz cotangente , que es un módulo libre con base , está incluido en la secuencia exacta $\Omega_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}$ ${\mathcal {O}}_{U}$ $d(z_{i}/z_{0})$
$\textstyle \quad 0\to \Omega _{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}|_{U}{\overset {dz_{i}\mapsto e_{i}}{ \to }}\oplus _{1}^{n+1}{\mathcal {O}}(-1)|_{U}{\overset {e_{i}\mapsto z_{i}}{\to }}{\mathcal {O}}_{U}\to 0,\,i\geq 0,$ donde es la base del término medio. La misma secuencia es entonces exacta para todo el espacio proyectivo, y la secuencia anterior es dual con él. $e_{yo}$
Sea L una recta que pasa por el origen. Es fácil ver que el espacio tangente complejo a en un punto L es naturalmente isomorfo al conjunto de aplicaciones lineales de L a su complemento. [8] Así, el haz tangente se puede identificar con el haz de homomorfismos ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {n + 1}}$ $\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}$ ${\displaystyle T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n))$ $\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )$ donde es un paquete vectorial tal que . Esto implica: $\eta$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-1)\oplus \eta ={\mathcal {O}}^{\oplus (n+1)))$ $T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}\oplus {\mathcal {O}}=\operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),\eta )\ oplus \operatorname {Hom} ({\mathcal {O}}(-1),{\mathcal {O}}(-1))={\mathcal {O}}(1)^{\oplus (n+1 )}$ .

En vista de la aditividad de la clase completa de Chern c = 1 + c 1 + c 2 + … (es decir, las fórmulas de la suma de Whitney),

c(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}){\overset {\mathrm {def} }{=}}c(T\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n })=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(1))^{n+1}=(1+a)^{n+1 }

donde a es el generador canónico del grupo de cohomología . Es decir, tomado con un signo menos, el valor de la primera clase de Chern del paquete de líneas tautológicas (Nota: cuando E * es el dual de E .) En particular, para cualquier , $H^{2}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n},\mathbb {Z} )$ ${\mathcal {O}}_{\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n}}(-1)$ $c_{1}(E^{*})=-c_{1}(E)$ $k\geqslant0$

c_{k}(\mathbb {C} \mathbf {P} ^{n})={\binom {n+1}{k}}a^{k}.

Polinomio de Zhen

El polinomio de Chern es una forma conveniente de trabajar con clases de Chern y conceptos relacionados. Por definición, para un paquete vectorial complejo E , el polinomio de Chern c t del paquete E viene dado por:

c_{t}(E)=1+c_{1}(E)t+\cdots +c_{n}(E)t^{n}.

Esta no es una nueva invariante: la incógnita formal t simplemente refleja la potencia c k ( E ) [9] . En particular, está completamente definido por la clase Chern completa del paquete E - . ${\ Displaystyle c_ {t} (E)}$ $c(E)=1+c_{1}(E)+\cdots +c_{n}(E)$

La fórmula de la suma de Whitney, uno de los axiomas de las clases de Chern (ver más abajo), establece que c t es aditiva en el sentido:

c_{t}(E\o más E')=c_{t}(E)c_{t}(E').

Ahora, si es una suma directa de paquetes de líneas (complejas), entonces la fórmula de la suma de Whitney implica: ${\displaystyle E=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n))$

c_{t}(E)=(1+a_{1}(E)t)\cdots (1+a_{n}(E)t)

donde están las primeras clases de Chern. Las raíces , se denominan raíces de Chern del paquete E y determinan los coeficientes del polinomio. Eso es, $a_{i}(E)=c_{1}(L_{i})$ ${\ Displaystyle a_ {i} (E)}$

c_{k}(E)=\sigma_{k}(a_{1}(E),\ldots,a_{n}(E))

donde son polinomios simétricos elementales . En otras palabras, si consideramos a i como variables formales, c k son "iguales" . El hecho básico acerca de los polinomios simétricos es que cualquier polinomio simétrico en , digamos, ti es un polinomio en polinomios simétricos elementales en ti . Según el principio de división o de la teoría de anillos, cualquier polinomio de Chern se descompone en factores lineales después de un aumento en el anillo de cohomología. Por lo tanto, E no necesita ser una suma directa de paquetes de líneas. Conclusión ${\ estilo de visualización \ sigma _ {k}}$ ${\ estilo de visualización \ sigma _ {k}}$ ${\ Displaystyle c_ {t} (E)}$

"Uno puede calcular cualquier polinomio simétrico f en un paquete vectorial complejo E escribiendo f como un polinomio y luego reemplazándolo con ".

{\ estilo de visualización \ sigma _ {k}}

{\ estilo de visualización \ sigma _ {k}}

{\ Displaystyle c_ {k} (E)}

Ejemplo : Tenemos polinomios s k

t_{1}^{k}+\cdots +t_{n}^{k}=s_{k}(\sigma _{1}(t_{1},\ldots,t_{n}), \ldots,\sigma _{k}(t_{1},\ldots,t_{n}))

con y así sucesivamente (ver las identidades de Newton ). Suma ${\displaystyle s_{1}=\sigma_{1},s_{2}=\sigma_{1}^{2}-2\sigma_{2))$

\operatorname {ch} (E)=e^{a_{1}(E)}+\cdots +e^{a_{n}(E)}=\sum s_{k}(c_{1} (E),\ldots,c_{n}(E))/k!

se llama el carácter de Chern del paquete E cuyos primeros términos son: (omitimos E en la notación )

\operatorname {ch} (E)=\operatorname {rk} +c_{1}+{\frac {1}{2}}(c_{1}^{2}-2c_{2})+{ \frac {1}{6}}(c_{1}^{3}-3c_{1}c_{2}+3c_{3})+\cdots .

Ejemplo : La clase Todd del paquete E viene dada por:

{\begin{alineado}\operatorname {td} (E)&=\prod _{1}^{n}{a_{i} \over 1-e^{-a_{i))}=1 +{1 \sobre 2}c_{1}+{1 \sobre 12}(c_{1}^{2}+c_{2})+\cdots .\end{alineado}}

Nota : La observación de que la clase de Chern es esencialmente un polinomio simétrico elemental se puede utilizar para "definir" las clases de Chern. Sea G n un Grassmanniano infinito espacios vectoriales complejos n -dimensionales. Es un espacio clasificador en el sentido de que dado un paquete vectorial complejo E de rango n sobre X , existe una aplicación continua

f_{E}:X\a G_{n},

único hasta la homotopía. El teorema de Borel establece que el anillo de cohomología del Grassmannian G n es exactamente el anillo de polinomios simétricos, que son polinomios en polinomios simétricos elementales . Así, para la preimagen f E ${\ estilo de visualización \ sigma _ {k}}$

f_{E}^{*}:\mathbb {Z} [\sigma_{1},\ldots,\sigma_{n}]\to H^{*}(X,\mathbb {Z} ).

Dónde

c_{k}(E)=f_{E}^{*}(\sigma _{k}).

Nota : Cualquier clase característica es un polinomio en las clases de Chern por las siguientes razones. Sea un funtor contravariante que asocie con un complejo CW X el conjunto de clases de paquetes de vectores complejos isomórficos de rango n sobre X . Por definición, una clase característica es una transformación natural de un funtor de cohomología Las clases características forman un anillo debido a la estructura de anillo del anillo de cohomología. El lema de Yoneda establece que el anillo de clases características es exactamente el anillo de cohomología del Grassmannian G n : $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }$ $\operatorname {Vect} _{n}^{\mathbb {C} }=[-,G_{n}]$ $H^{*}(-,\mathbb {Z} ).$

\operatorname {Nat} ([-,G_{n}],H^{*}(-,\mathbb {Z} ))=H^{*}(G_{n},\mathbb {Z} )=\mathbb {Z} [\sigma _{1},\ldots,\sigma _{n}].

Propiedades de las clases de Zhen

Dado un paquete vectorial complejo E sobre un espacio topológico X , las clases de Chern del paquete E son una secuencia de elementos de cohomología del espacio X . la k -ésima clase de Chern del paquete E , generalmente denotada por c k ( V ), es un elemento

H 2 k ( X ; Z ),

cohomología del espacio X con coeficientes enteros . También se puede definir una clase Zhen completa

c(E)=c_{0}(E)+c_{1}(E)+c_{2}(E)+\cdots .

Debido a que los valores están en grupos de cohomología de enteros en lugar de cohomología con coeficientes reales, estas clases de Chern son ligeramente más claras que las del ejemplo de Riemann.

Definición axiomática clásica

Las clases de Zhen satisfacen los siguientes cuatro axiomas:

Axioma 1. para todos los paquetes E . ${\ estilo de visualización c_ {0} (E) = 1}$

Axioma 2. Naturalidad: Si es continua y f*E es el fibrado vectorial inducido del fibrado E , entonces . ${\ estilo de visualización f: Y \ a X}$ $c_{k}(f^{*}E)=f^{*}c_{k}(E)$

Axioma 3. La fórmula de la suma de Whitney : si es otro paquete vectorial complejo, entonces las clases de Chern de la suma directa están dadas por ${\ estilo de visualización F \ a X}$ $E\oplus F$

c(E\oplus F)=c(E)\sonrisa c(F);

eso es,

c_{k}(E\oplus F)=\sum_{i=0}^{k}c_{i}(E)\smile c_{ki}(F).

Axioma 4. Normalización: La clase completa de Chern de un paquete de líneas tautológicas sobre CP k es igual a 1 − H , donde H es el dual de Poincaré del hiperplano . ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{k-1}\subseteq \mathbf {CP} ^{k))$

El enfoque axiomático de Alexander Grothendieck

Alternativamente, Grothendieck [10] reemplazó estos axiomas con un poco menos de axiomas:

Naturalidad: (Igual que arriba)
Aditividad: si es una secuencia exacta de paquetes de vectores, entonces . ${\ estilo de visualización \ 0 \ a E' \ a E \ a E'' \ a 0}$ $c(E)=c(E')\sonrisa c(E'')$
Normalización: si E es un paquete de líneas , entonces , donde es la clase de Euler del paquete de vectores reales subyacente. $c(E)=1+e(E_{\mathbf {R} })$ $e(E_{\mathbf {R} })$

Demostró, usando el teorema de Leray-Hirsch , que la clase completa de Chern de un paquete vectorial complejo de rango finito se puede definir en términos de la primera clase de Chern de un paquete lineal definido tautológicamente.

Es decir, introduciendo la proyectivización P ( E ) de un haz vectorial complejo de rango n como un haz sobre B cuya fibra en un punto arbitrario es el espacio proyectivo de la fibra E b . El espacio total de este paquete P ( E ) está dotado de su paquete de línea complejo tautológico, que denotamos por , y la primera clase de Chern ${\ estilo de visualización E \ flecha derecha B}$ $b\en B$ $\tau$

c_{1}(\tau)=:-a

está restringida en cada capa de P ( E b ) a la clase con signo negativo (dual de Poincaré) del hiperplano, lo que genera la cohomología de la capa.

Clases

1,a,a^{2},\ldots,a^{n-1}\in H^{*}(\mathbf {P} (E))

forman así una familia de clases de cohomología que están restringidas a la base de cohomología de la capa. El teorema de Leray-Hirsch establece que cualquier clase en H* ( P ( E )) se puede escribir únicamente como una combinación lineal de 1, a , a 2 , …, a n −1 con clases en la base como coeficientes .

En particular, se pueden definir las clases de Chern del paquete E en el sentido de Grothendieck, que se denotan descomponiendo la clase de la siguiente manera: $c_{1}(E),\ldots c_{n}(E)$ ${\ estilo de visualización -a^{n))$

-a^{n}=c_{1}(E)\cdot a^{n-1}+\cdots +c_{n-1}(E)\cdot a+c_{n}(E) .

Puede comprobar que esta definición alternativa es la misma que cualquier otra definición.

Clase de último año de Zheng

De hecho, estas propiedades definen de forma única las clases de Chern. Resultan, entre otras cosas:

Si n es el rango complejo de V , entonces para todo k > n . Por lo tanto, la clase completa de Zhen se rompe. $c_{k}(V)=0$
La clase Chern más alta de un paquete V ( , donde n es el rango de V ) siempre es igual a la clase de Euler del paquete vectorial real subyacente. ${\ Displaystyle c_ {n} (V)}$

Clases de Chern en geometría algebraica

Descripción axiomática

Hay otra construcción de las clases de Chern que toma valores en el análogo algebro-geométrico del anillo de cohomología , el anillo de Zhou . Se puede demostrar que existe una teoría única de clases de Chern tal que, para un paquete vectorial algebraico dado sobre una variedad cuasiproyectiva, existe una secuencia de clases tal que ${\ estilo de visualización E \ a X}$ $c_{i}(E)\en A^{i}(X)$

${\ estilo de visualización c_ {0} (E) = 1}$
Para una viga reversible , ${\mathcal {O}}_{X}(D)$ $c_{1}({\mathcal {O}}_{X}(D))=[D]$
Dada una secuencia exacta de paquetes de vectores , la fórmula de la suma de Whitney se cumple: $0\a E'\a E\a E''\a 0,$ $c(E)=c(E')c(E'')$
${\ Displaystyle c_ {i} (E) = 0}$ por $i>{\text{rango}}(E)$
El mapeo se extiende a un morfismo de anillo. $E\mapsto c(E)$ $c:K_{0}(X)\a A^{\bullet}(X)$

Cálculos abstractos utilizando propiedades formales

Sumas directas de paquetes de líneas

Usando estas relaciones, podemos realizar numerosos cálculos para paquetes de vectores. Primero, tenga en cuenta que si tenemos paquetes de líneas , podemos formar una secuencia exacta corta de paquetes de vectores ${\mathcal {L}},{\mathcal {L}}'$

0\to {\mathcal {L}}\to {\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}'\to {\mathcal {L}}'\to 0

Usando las propiedades y , obtenemos $una$ $2$

{\begin{alineado}c({\mathcal {L}}\oplus {\mathcal {L}}')&=c({\mathcal {L}})c({\mathcal {L}} ')\\&=(1+c_{1}({\mathcal {L))))(1+c_{1}({\mathcal {L))'))\\&=1+c_{1 }({\mathcal {L}})+c_{1}({\mathcal {L}}')+c_{1}({\mathcal {L}})c_{1}({\mathcal {L} }')\end{alineado}}

Por inducción obtenemos

c(\bigoplus _{i=1}^{n}{\mathcal {L}}_{i})=c({\mathcal {L}}_{1})\cdots c({\ matemática {L}}_{n})

Paquetes duales a paquetes de línea

Dado que los paquetes de líneas en una variedad proyectiva suave están definidos por la clase de divisor , y el paquete de líneas dual está definido por la clase de divisor negativo , obtenemos $X$ ${\ estilo de visualización [D]}$ ${\ estilo de visualización - [D]}$

c_{1}({\mathcal {L}})=-c_{1}({\mathcal {L}}^{*})

Paquete tangente de un espacio proyectivo

Lo anterior se puede aplicar a la secuencia de Euler para el espacio proyectivo

0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^ {\oplus (n+1)}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to 0

calcular

{\begin{alineado}c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n)))c({\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n }})&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(1)^{\oplus (n+1)})\\c({\mathcal {T} }_{\mathbb {P} ^{n)))&=(1+H)^{n+1}\\&={n+1 \elegir 0}1+{n+1 \elegir 1}H+ \cdots +{n+1 \elegir n}H^{n}\end{alineado}}

donde está la clase de hiperplanos de grado 1. Nótese también que en el anillo de Zhou . $H$ ${\ estilo de visualización H^{n+1}=0}$ ${\ matemáticas {P}}^{n}$

Secuencia normal

El cálculo de las clases características de un espacio proyectivo es la base para el cálculo de las clases características de muchos otros espacios, ya que para cualquier subvariedad proyectiva suave existe una secuencia exacta corta $X\subconjunto \mathbb {P} ^{n}$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{n}}|_{X}\to {\mathcal {N } }}_{X/\mathbb {P} ^{n}}\a 0

quíntica tridimensional

Por ejemplo, considere una quíntica tridimensional en . Entonces se da el paquete normal y tenemos una sucesión exacta corta ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {4}}$ ${\mathcal {O}}_{X}(5)$

0\to {\mathcal {T}}_{X}\to {\mathcal {T}}_{\mathbb {P} ^{4}}|_{X}\to {\mathcal {O }}_{X}(5)\a 0

Denotemos la clase de hiperplanos en . Entonces la fórmula de la suma de Whitney nos da $h$ $A^{\bullet}(X)$

{\begin{alineado}c({\mathcal {T}}_{X})c({\mathcal {O}}_{X}(5))&=(1+h)^{5 }\\&=1+5h+10h^{2}+10h^{3}\end{alineado}}

Dado que el anillo Zhou de una hipersuperficie es difícil de calcular, consideraremos esta secuencia como una secuencia de haces coherentes en . esto nos da ${\ estilo de visualización \ mathbb {P} ^ {4}}$

c({\mathcal {T}}_{X})={\frac {1+5h+10h^{2}+10h^{3}}{1+5h}}

Tenga en cuenta que hay una serie de potencia formal

{\begin{alineado}{\frac {1}{1+5h}}&=1-5h+25h^{2}-125h^{3}+\cdots \\&=1-5h+25h ^{2}-125h^{3}\end{alineado}}

Usando esto podemos obtener

{\begin{alineado}c({\mathcal {T}}_{X})&=(1+5h+10h^{2}+10h^{3})(1-5h+25h^{ 2}-125h^{3})\\&=1+10h^{2}-40h^{3}\end{alineado}}

Usando el teorema de Gauss-Bonnet , podemos integrar la clase para calcular la característica de Euler. Esto se llama tradicionalmente la clase de Euler . Tenemos $c_{3}({\mathcal {T}}_{X})$

\int_{[X]}c_{3}({\mathcal {T}}_{X})=\int_{[X]}-40h^{3}=-200

ya que la clase se puede representar mediante cinco puntos (por el teorema de Bézout) . La característica de Euler se puede usar para calcular los números de Betti usando la definición de la característica de Euler y el teorema de la sección del hiperplano de Lefschetz . $h ^ 3$ $X$

Secuencia cotangente

Otro cálculo útil es el paquete cotangente para un espacio proyectivo. Podemos dualizar la sucesión de Euler y obtener

0\to \Omega_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)^{\oplus n +1}\a {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\a 0

Usando la fórmula de la suma de Whitney, obtenemos

{\begin{alineado}c(\Omega_{\mathbb {P} ^{n)))&=c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}^ {\oplus (n+1)})c({\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n)))\\&=(1-H)^{n+1}\\& =1-{n+1 \elige 1}H+{n+1 \elige 2}H^{2}+\cdots +{n+1 \elige n}(-1)^{n}H^{n} \end{alineado}}

Conceptos relacionados

El personaje de Zhen

Las clases de Chern se pueden utilizar para construir un homomorfismo de anillos a partir de la teoría K topológica de un espacio para completar su cohomología racional. Para un paquete de líneas L , el carácter de Chern viene dado por

\operatorname {ch} (L)=\exp(c_{1}(L)):=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {c_{1}(L)^ {m}}{m!}}.

De manera más general, si es una suma directa de paquetes de líneas con las primeras clases de Chern, el carácter de Chern se define de forma aditiva ${\displaystyle V=L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n))$ ${\ estilo de visualización x_ {i} = c_ {1} (L_ {i}),}$

\operatorname {ch} (V)=e^{x_{1}}+\cdots +e^{x_{n}}:=\sum _{m=0}^{\infty }{\frac {1}{m!}}(x_{1}^{m}+\cdots +x_{n}^{m}).

Esto se puede reescribir de la siguiente manera [11] :

\operatorname {ch} (V)=\operatorname {rk} (V)+c_{1}(V)+{\frac {1}{2}}(c_{1}(V)^{2 }-2c_{2}(V))+{\frac {1}{6}}(c_{1}(V)^{3}-3c_{1}(V)c_{2}(V)+3c_ {3}(V))+\cpuntos .

Esta última expresión, respaldada por el principio de división , se usa como la definición de ch(V) para paquetes de vectores arbitrarios V .

Si se usa una conexión para definir las clases de Chern cuando la base es una variedad (es decir , la teoría de Chern-Weil ), la expresión explícita para el carácter de Chern es

{\hbox{ch}}(V)=\left[{\hbox{tr}}\left(\exp \left({\frac {i\Omega }{2\pi }}\right)\ bien bien]

donde es la curvatura de la conexión. $\Omega$

El carácter de Chern es útil, entre otras cosas, porque permite calcular la clase de Chern de un producto tensorial. Más precisamente, satisface las siguientes igualdades:

{\hbox{ch}}(V\oplus W)={\hbox{ch}}(V)+{\hbox{ch}}(W)

{\hbox{ch}}(V\otimes W)={\hbox{ch}}(V){\hbox{ch}}(W).

Como se indicó anteriormente, utilizando el axioma de aditividad de Grothendieck para las clases de Chern, la primera de estas identidades se puede generalizar a la afirmación de que ch es un homomorfismo de grupos abelianos desde la teoría K K ( X ) hasta el espacio de cohomología racional X. La segunda identidad establece que este homomorfismo conserva el producto en K ( X ), y por lo tanto ch es un homomorfismo de anillos.

El carácter de Chern se utiliza en el teorema de Hirzebruch-Riemann-Roch .

Números Zhen

Si estamos trabajando con una variedad orientada de dimensión 2n , entonces cualquier producto de las clases de Chern de grado completo 2n puede emparejarse con la clase fundamental (o "integrada en la variedad"), dando un número entero, el número de Chern del paquete vectorial. Por ejemplo, si la variedad tiene dimensión 6, hay tres números de Chern linealmente independientes dados por c 1 3 , c 1 c 2 y c 3 . En general, si la variedad tiene dimensión 2n , el número de números de Chern independientes es igual al número de particiones de n .

Los números de Chern del paquete tangente de una variedad compleja (o casi compleja) se denominan números de Chern de la variedad y son invariantes importantes.

La clase de Chern en teorías de cohomología generalizada

Hay una generalización de la teoría de las clases de Chern, donde las cohomologías habituales se reemplazan por otras generalizadas . Las teorías para las que tal generalización es posible se denominan complejas orientables . Las propiedades formales de las clases de Chern siguen siendo las mismas, con una diferencia crítica: la regla para calcular la primera clase de Chern del producto tensorial de paquetes de líneas en términos de las primeras clases de Chern de la descomposición no es una adición (ordinaria), sino viene dado por una ley de grupo formal .

La clase Chern en geometría algebraica

En geometría algebraica, existe una teoría similar de clases de paquetes vectoriales de Chern. Hay varias variaciones, dependiendo de a qué grupos pertenecen las clases de Chern:

Para variedades complejas, las clases de Chern pueden tomar valores en la cohomología habitual (como arriba).
Para variedades sobre campos de forma general, las clases de Chern pueden tomar valores en teorías de cohomología como étale cohomology o l-adic cohomology .
Para variedades V sobre campos de forma general, las clases de Chern también pueden tomar valores en los homomorfismos de los grupos de Chow CH(V). Por ejemplo, la primera clase de Chern de un haz lineal sobre una variedad V es un homomorfismo de CH( V ) a CH( V ) que disminuye el grado en 1. Esto corresponde al hecho de que los grupos de Chow son análogos a los grupos de homología y los elementos de grupos de cohomología pueden considerarse homomorfismos de grupos de homología por el producto Whitney .

Las clases Chern de variedades con estructura

La teoría de clases de Chern es la fuente de invariantes de cobordismo para estructuras casi complejas .

Si M es una variedad casi compleja, entonces su paquete tangente es un paquete vectorial complejo. Las clases de Chern de M se definen entonces como las clases de Chern de su paquete tangente . Si M también es compacto y tiene dimensión 2 d , entonces cada monomio de grado completo 2 d en las clases de Chern se puede emparejar con la clase fundamental de la variedad M , dando un número entero, el número de Chern de la variedad M . Si M ′ es otra variedad casi compleja de la misma dimensión, entonces es bordante de M si y solo si el número de Chern de la variedad M ′ es el mismo que el número de Chern de la variedad M .

La teoría también se generaliza a paquetes de vectores simplécticos reales mediante el uso de estructuras casi complejas compatibles. En particular, las variedades simplécticas tienen una clase de Chern definida de forma única.

Clases de Chern sobre circuitos aritméticos y ecuaciones diofánticas

(Ver geometrías de Arakelov )

Véase también

clase Pontryagin
Clase de Stiefel-Whitney
Teoría de Zhen-Simons
clase de Euler
Clase Segre
Isomorfismo de Tom

Notas

↑ Chern, 1946 .
↑ Tu, Loring, 1995 , p. 267ss.
↑ Hatcher, 2003 .
↑ Milnor, Stasheff, 1974 .
↑ Nota: La notación aquí es diferente de la notación Milnor − Staszef, pero más natural.
↑ Esta secuencia a veces se llama la secuencia exacta de Euler .
↑ Harshorne, 1977 , pág. 176, cap. II. Teorema 8.13..
↑ Sea un grupo de números complejos que actúa en un espacio n -dimensional sin origen por multiplicación. Luego está el haz principal con la estructura grupo , cuya base es el espacio proyectivo complejo . La línea L en (que pasa por el origen) será un punto en el espacio . Katanaev, 2016 , 472 ${\displaystyle \mathbb {C} _{0}=\mathbb {C} \smallsetminus \{0\))$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\smallsetminus \{0\))$ $\mathbb {C} ^{n+1}{\stackrel {\pi }{\rightarrow }}\mathbb {CP} ^{n}$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} _ {0}}$ ${\displaystyle \mathbb {CP} ^{n}=(\mathbb {C} ^{n+1}\smallsetminus \{0\})/\mathbb {C}_{0))$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} ^ {n + 1}}$ ${\matemáticas {CP}}^{n}$
↑ En términos teóricos de anillos, hay un isomorfismo de anillos graduados : $H^{2*}(M,\mathbb {Z} )\to \oplus_{k}^{\infty}\eta (H^{2*}(M,\mathbb {Z} )) [t],x\mapsto xt^{|x|/2}$ donde a la izquierda está el anillo cohomológico de términos pares, está el anillo de homomorfismos que no tienen en cuenta la graduación, y x es homogéneo y tiene grado | x |. $\eta$
↑ Grothendieck, 1958 .
↑ (Ver también polinomio de #Cheng .) Tenga en cuenta que si V es una suma de haces de líneas, las clases de Chern de V se pueden expresar como polinomios simétricos elementales de . En particular, por un lado, $x_{yo}$ $c_{i}(V)=e_{i}(x_{1},\ldots,x_{n}).$ $c(V):=\sum_{i=0}^{n}c_{i}(V),$ y por otro lado, $c(V)=c(L_{1}\oplus \cdots \oplus L_{n})=\prod_{i=1}^{n}c(L_{i})=\prod_{ i=1}^{n}(1+x_{i})=\sum _{i=0}^{n}e_{i}(x_{1},\ldots,x_{n}).$ Por lo tanto, se pueden usar las identidades de Newton para expresar la suma de potencias de ch(V) de otra manera solo en términos de las clases de Chern de V , lo que da la fórmula requerida.

Literatura

Chern SS Clases características de variedades hermitianas // Annals of Mathematics . - Los Anales de Matemáticas, 1946. - V. 47 , no. 1 . — S. 85–121 . — ISSN 0003-486X . -doi : 10.2307/ 1969037. — .
Alejandro Grothendieck . La théorie des classes de Chern // Bulletin de la Société Mathematique de France. - 1958. - T. 86 . — S. 137–154 . — ISSN 0037-9484 .
Jürgen Jost. Geometría Riemanniana y Análisis Geométrico. — 4to. - Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , 2005. - ISBN 978-3-540-25907-7 . (Se da una breve descripción general introductoria de las clases de Zhen).
Mayo JP Un Curso Conciso de Topología Algebraica. - Prensa de la Universidad de Chicago, 1999. - ISBN 978-0226511832 .
John Willard Milnor , James D. Stasheff. clases características. — Prensa de la Universidad de Princeton; University of Tokyo Press, 1974. - V. 76. - (Annals of Mathematics Studies). - ISBN 978-0-691-08122-9 .
Elena Rubéi. Geometría algebraica, un diccionario conciso. - Berlín/Boston: Walter De Gruyter, 2014. - ISBN 978-3-11-031622-3 .
Raoul Bott Tu, Loring W. Formas diferenciales en topología algebraica. — Corre. 3. impresión.. - Nueva York [ua]: Springer, 1995. - S. 267ff. — ISBN 3-540-90613-4 .
Harshorne R. Geometría algebraica. - Springer-Verlag, 1977. - V. 52. - (Textos de Posgrado en Matemáticas). — ISBN 0-387-90244-9 . — ISBN 3-540-90244-9 .
Katanaev Mijaíl Oriónovich Métodos geométricos en física matemática. - La tercera versión, complementada de la versión extendida del curso de conferencias. - 2016. - (Un curso de conferencias en 2008-2016 en el centro científico y educativo del Instituto de la Academia de Ciencias de Moscú que lleva el nombre de V.A. Steklov.).

Allen Hatcher. Proposición 3.10 // Paquetes vectoriales y teoría K . — 2003.

Enlaces

Dieter Kotchick , Chern números de variedades algebraicas Archivado el 6 de junio de 2011 en Wayback Machine .