Matemáticas en la antigua Grecia

El concepto de matemática griega antigua abarca los logros de los matemáticos de habla griega que vivieron entre el siglo VI a. C. y el siglo VI a. C. mi. y el siglo V d.C. mi.

La matemática como ciencia nació en la Antigua Grecia [1] [2] . En los países contemporáneos de Hellas, las matemáticas se usaban para necesidades cotidianas (cálculos, medidas) o, por el contrario, para rituales mágicos destinados a descubrir la voluntad de los dioses ( astrología , numerología , etc.). Los griegos abordaron el asunto desde un ángulo diferente: propusieron la tesis " Los números gobiernan el mundo ". O, como Galileo formuló la misma idea dos milenios después: “el libro de la naturaleza está escrito en el lenguaje de las matemáticas ” [3] .

Los griegos probaron la validez de esta tesis en aquellas áreas en las que tuvieron éxito: la astronomía , la óptica , la música , la geometría y, más tarde, la mecánica . Se notaron éxitos impresionantes en todas partes: el modelo matemático poseía un poder predictivo innegable. Al mismo tiempo, los griegos crearon la metodología de las matemáticas y completaron su transformación de un conjunto de algoritmos semiheurísticos a un sistema integral de conocimiento. Por primera vez, el método deductivo se convirtió en la base de este sistema , mostrando cómo deducir nuevas verdades a partir de verdades conocidas, y la lógica de la derivación garantiza la verdad de los nuevos resultados. El método deductivo también te permite identificar conexiones no obvias entre conceptos, hechos científicos y áreas de las matemáticas.

Fuentes

La mayoría de los trabajos antiguos sobre matemáticas no han sobrevivido hasta el día de hoy y se conocen solo por referencias a autores y comentaristas posteriores, principalmente Pappus de Alejandría (siglo III), Proclo (siglo V), Simplicius (siglo VI), etc. Las obras sobrevivientes del primero a su vez deberían llamarse los " Comienzos " de Euclides y los libros individuales de Aristóteles , Arquímedes , Apolonio y Diofanto .

Período inicial

Hasta el siglo VI a. mi. Las matemáticas griegas no se destacaron de ninguna manera. Como de costumbre, se dominaron el conteo y la medición. La numeración griega (registro de números), como luego la romana, era aditiva, es decir, se sumaban los valores numéricos de los números. Su primera versión ( ático o herodiano ) contenía signos de letras para 1, 5, 10, 50, 100 y 1000. En consecuencia, se dispuso un tablero de conteo ( ábaco ) con guijarros. Por cierto, el término cálculo (cálculo) proviene del cálculo  , un guijarro. Un guijarro perforado especial indicaba cero.

Más tarde (a partir del siglo V a. C.), se adoptó la numeración alfabética en lugar de la numeración ática: las primeras 9 letras del alfabeto griego denotaban los números del 1 al 9, las siguientes 9 letras eran decenas y el resto eran centenas. Para no confundir números y letras, se dibujó un guión sobre los números. Los números mayores de 1000 se escribieron posicionalmente, marcando dígitos adicionales con un trazo especial (abajo a la izquierda). Las marcas especiales permitieron representar números mayores de 10.000.

En el siglo VI a. mi. comienza el "milagro griego": aparecen dos escuelas científicas a la vez: los jonios ( Tales de Mileto , Anaxímenes , Anaximandro ) y los pitagóricos . Conocemos los logros de los primeros matemáticos griegos principalmente por referencias a autores posteriores, principalmente comentaristas de Euclides , Platón y Aristóteles .

Tales , un rico comerciante, aprendió bien las matemáticas y la astronomía babilónicas, probablemente durante los viajes comerciales. Los jonios , según Eudemo de Rodas , dieron las primeras pruebas de varios teoremas geométricos simples  , por ejemplo, que los ángulos verticales son iguales [4] . Sin embargo, el papel principal en la creación de las matemáticas antiguas pertenece a los pitagóricos .

Escuela pitagórica

Pitágoras , el fundador de la escuela, es una persona legendaria, y es imposible verificar la fiabilidad de la información que nos ha llegado sobre él. Aparentemente, él, como Tales, viajó mucho y también estudió con los sabios egipcios y babilónicos . Regresando alrededor del 530 a. mi. a Magna Graecia (una región del sur de Italia), fundó algo así como una orden espiritual secreta en la ciudad de Croton . Fue él quien presentó la tesis " Los números gobiernan el mundo ", y con una energía excepcional se dedicó a su justificación. A principios del siglo V antes de Cristo e., después de un discurso político fallido, los pitagóricos fueron expulsados ​​​​del sur de Italia y la unión dejó de existir, pero la popularidad de la doctrina de la dispersión solo aumentó. Las escuelas pitagóricas aparecieron en Atenas , en las islas y en las colonias griegas, y sus conocimientos matemáticos, estrictamente resguardados de los extraños, se convirtieron en propiedad común [5] .

Muchos de los logros atribuidos a Pitágoras son probablemente mérito de sus alumnos. Los pitagóricos se dedicaban a la astronomía , la geometría , la aritmética (teoría de números) , crearon la teoría de la música . Pitágoras fue el primer europeo en comprender el significado del método axiomático, destacando claramente los supuestos básicos ( axiomas , postulados) y los teoremas que se deducen de ellos [5] .

La geometría de los pitagóricos se limitaba principalmente a la planimetría (a juzgar por los trabajos posteriores que nos han llegado, muy ampliamente expuestos) y finalizaba con la demostración del " teorema de Pitágoras ". Aunque también se han estudiado poliedros regulares .

Se construyó una teoría matemática de la música . La dependencia de la armonía musical de las proporciones de los números enteros (longitud de las cuerdas) fue un fuerte argumento pitagórico a favor de la armonía matemática primordial del mundo, cantada por Kepler 2000 años después . Estaban seguros de que "los elementos de los números son los elementos de todas las cosas... y que todo el mundo en su conjunto es armonía y número " [6] . La base de todas las leyes de la naturaleza, creían los pitagóricos, es la aritmética, y con su ayuda uno puede penetrar en todos los secretos del mundo. A diferencia de la geometría, su aritmética no se construyó sobre una base axiomática, las propiedades de los números naturales se consideraban evidentes, pero las pruebas de los teoremas también se llevaron a cabo de manera constante aquí. Los conceptos de cero y números negativos aún no han surgido [5] .

Los pitagóricos estaban muy avanzados en la teoría de la divisibilidad , pero les gustaban demasiado los números " triangulares ", " cuadrados ", " perfectos ", etc., a los que, aparentemente, se les daba un significado místico. Aparentemente, las reglas para construir " tripas pitagóricas " ya estaban abiertas entonces; fórmulas exhaustivas para ellos se dan en Diofanto . La teoría de los máximos comunes divisores y los mínimos comunes múltiplos también es aparentemente de origen pitagórico. Construyeron una teoría general de fracciones (entendidas como razones ( proporciones ), ya que la unidad se consideraba indivisible), aprendieron a realizar comparaciones (reducir a un denominador común) y las 4 operaciones aritméticas con fracciones. Los pitagóricos conocían, mucho antes de los Principia de Euclides , la división de números enteros con resto y el “ algoritmo euclidiano ” para encontrar el máximo común divisor en la práctica . Las fracciones continuas como objeto independiente solo se señalaron en los tiempos modernos, aunque sus parciales incompletos se obtienen naturalmente en el algoritmo de Euclides [5] .

La primera grieta en el modelo pitagórico del mundo fue su propia prueba de irracionalidad , formulada geométricamente como la inconmensurabilidad de la diagonal de un cuadrado con su lado (siglo V a. C.). La imposibilidad de expresar la longitud de un segmento por un número puso en entredicho el principio fundamental del pitagorismo. Incluso Aristóteles, que no compartía sus puntos de vista, expresó su asombro por el hecho de que haya cosas que "no se pueden medir con la medida más pequeña" [7] .

El talentoso pitagórico Teeteto trató de salvar la situación . Él (y más tarde Eudoxo ) propuso una nueva comprensión del número, que ahora se formulaba en lenguaje geométrico, y no surgieron problemas de conmensurabilidad. Theaetetus también desarrolló una teoría completa de la divisibilidad y una clasificación de las irracionalidades. Al parecer, también conocía el concepto de número primo y el teorema fundamental de la aritmética [8] .

Posteriormente, ya en tiempos modernos, resultó que la construcción del álgebra numérica sobre la base de la geometría fue un error estratégico de los pitagóricos. Por ejemplo, desde el punto de vista de la geometría, las expresiones y ni siquiera tenían una interpretación geométrica, y por tanto no tenían sentido; lo mismo se aplica a los números negativos. Más tarde , Descartes hizo lo contrario, construyó la geometría sobre la base del álgebra, y realizó grandes progresos [9] .

El misticismo numerológico de los pitagóricos condujo a menudo a conclusiones arbitrarias y especulativas. Por ejemplo, estaban seguros de la existencia de la Anti-Tierra invisible, ya que sin ella el número de esferas celestes (el cielo inferior, el Sol, la Luna y 6 planetas) no conforma el número perfecto 10. En general, a pesar de la abundancia de misticismo y prejuicios excéntricos, los méritos de los pitagóricos en el desarrollo y sistematización del conocimiento matemático antiguo son invaluables.

siglo V a.C. mi. — Zenón, Demócrito

En el siglo V a.C. mi. hubo nuevos desafíos al optimismo de los pitagóricos.

El primero de ellos son los tres problemas clásicos de la antigüedad : doblar el cubo , trisección del ángulo y cuadratura del círculo . Los griegos se adhirieron estrictamente al requisito: todas las construcciones geométricas deben llevarse a cabo con la ayuda de un compás y una regla, es decir, con la ayuda de líneas perfectas: líneas rectas y círculos. Sin embargo, no fue posible encontrar una solución a estos problemas por métodos canónicos. Algebraicamente, esto significaba que no todos los números se pueden obtener usando 4 operaciones aritméticas y sacando la raíz cuadrada.

El destacado geómetra pitagórico, el autor de los " Principios " preeuclidianos, el primer conjunto de conocimientos geométricos, Hipócrates de Quíos , se dedicó sin éxito a la cuadratura del círculo .

Los dos primeros problemas se reducen a ecuaciones cúbicas . Más tarde, Arquímedes dio una solución general a tales ecuaciones usando secciones cónicas , sin embargo, muchos comentaristas continuaron encontrando tales métodos inaceptables. Hipias de Elis ( siglo V aC ) demostró que una cuadratriz (la primera curva trascendental en la historia de las matemáticas) era útil para la trisección de un ángulo ; por cierto, también resuelve el problema de la cuadratura del círculo ( Dinostratus , siglo IV a. C.).

Además de estos problemas, los griegos exploraron activamente el "problema de la división del círculo": qué polígonos regulares se pueden construir con un compás y una regla. Sin dificultad, fue posible dividir el círculo en 3, 4, 5, 15 partes y también duplicar los valores enumerados. Pero nadie logró construir un heptágono con regla y compás. Al final resultó que, aquí también obtenemos una ecuación cúbica. La teoría completa fue publicada solo por Gauss en el siglo XIX.

El segundo golpe al pitagorismo lo asestó Zenón de Elea , ofreciendo otro tema para las reflexiones seculares de los matemáticos. Expresó más de 40 paradojas (aporías) , de las cuales las más famosas son tres aporías sobre el movimiento. A pesar de los repetidos intentos de refutarlos e incluso ridiculizarlos, siguen siendo, sin embargo, objeto de un análisis serio. Tocan las cuestiones más delicadas de los fundamentos de las matemáticas: finitud e infinidad , continuidad y discreción . Las matemáticas eran entonces consideradas un medio de conocimiento de la realidad, y la esencia de las disputas podía expresarse como la inadecuación de un modelo matemático continuo e infinitamente divisible de materia físicamente discreta [10] .

A finales del siglo V a.C. mi. vivió otro destacado pensador: Demócrito . Es famoso no sólo por la creación del concepto de átomos . Arquímedes escribió que Demócrito encontró el volumen de la pirámide y el cono , pero no dio pruebas de sus fórmulas. Probablemente, Arquímedes tenía en mente la prueba por agotamiento , que aún no existía en ese momento.

siglo IV a.C. mi. — Platón, Eudoxo

Ya a principios del siglo IV a.C. mi. Las matemáticas griegas estaban muy por delante de todos sus maestros y su rápido desarrollo continuó. En el 389 a. mi. Platón funda su escuela en Atenas , la famosa Academia . Los matemáticos que se unieron a la Academia se pueden dividir en dos grupos: los que recibieron su educación matemática fuera de la Academia y los estudiantes de la Academia. Entre los primeros estaban Teeteto de Atenas , Arquitas de Tarento y más tarde Eudoxo de Cnido ; entre los segundos están los hermanos Menechmus y Dinostratus .

El propio Platón no realizó investigaciones matemáticas específicas, pero publicó razonamientos profundos sobre la filosofía y la metodología de las matemáticas. Y el alumno de Platón, Aristóteles , nos dejó invaluables notas sobre la historia de las matemáticas.

Eudoxo de Knidos fue el primero en crear un modelo geocéntrico del movimiento de las luminarias con 27 esferas. Este diseño fue desarrollado posteriormente por Apolonio , Hiparco y Ptolomeo , quienes aumentaron el número de esferas a 34 e introdujeron los epiciclos. También posee dos descubrimientos destacados: la teoría general de las relaciones (el modelo geométrico de los números reales) y el análisis antiguo: el método de agotamiento .

siglo III a.C. mi. — Euclides, Arquímedes, Apolonio

Después de las conquistas de Alejandro Magno , Alejandría de Egipto se convirtió en el centro científico del mundo antiguo. Ptolomeo I fundó en ella la Mouseion (Casa de las Musas) e invitó allí a los científicos más destacados. Fue la primera academia estatal en el mundo de habla griega, con la biblioteca más rica (cuyo núcleo era la biblioteca de Aristóteles), que en el siglo I a. mi. constaba de 70.000 volúmenes.

Los científicos alejandrinos combinaron el poder computacional y el conocimiento antiguo de los matemáticos babilónicos y egipcios con los modelos científicos de los helenos. La trigonometría plana y esférica, la estática y la hidrostática, la óptica, la música, etc., han experimentado importantes avances.Eratóstenes especificó la longitud del meridiano e inventó su famoso “ tamiz ”. En la historia de las matemáticas se conocen tres grandes geómetras de la antigüedad , y sobre todo - Euclides con sus " Principios ". Los Trece Libros de los Comienzos  son la base de las matemáticas antiguas, el resultado de su desarrollo de 300 años y la base para futuras investigaciones. La influencia y autoridad de este libro ha sido enorme durante dos mil años.

La base de las matemáticas descrita por Euclides fue ampliada por otro gran científico: Arquímedes , uno de los pocos matemáticos de la antigüedad que estaba igualmente dispuesto a dedicarse tanto a la ciencia teórica como a la aplicada. Él, en particular, habiendo desarrollado el método de agotamiento , pudo calcular las áreas y volúmenes de numerosas figuras y cuerpos que antes no habían sucumbido a los esfuerzos de los matemáticos.

El último de los tres grandes fue Apolonio de Perge , autor de un profundo estudio de las secciones cónicas .

El declive de la ciencia antigua

Después de Apolonio (desde el siglo II a. C.), comenzó una decadencia en la ciencia antigua. No aparecen nuevas ideas profundas. En el 146 a. mi. Roma captura Grecia, y en el 31 a. mi. — Alejandría.

Entre los pocos logros:

• descubrimiento de la concoide ( Nycomedes );
• la conocida fórmula de Heron para el área de un triángulo ( siglo I d. C.);
• un significativo estudio de geometría esférica por Menelao de Alejandría ;
• finalización del modelo geocéntrico del mundo de Ptolomeo ( siglo II dC), que requirió un profundo desarrollo de la trigonometría plana y esférica .

Es necesario señalar la actividad de Pappus de Alejandría ( siglo III ). Fue solo gracias a él que nos llegó información sobre los científicos antiguos y sus trabajos.

En el contexto de estancamiento y decadencia general, la figura gigantesca de Diofanto  , el último de los grandes matemáticos antiguos, el "padre del álgebra", se destaca con fuerza.

Después del siglo III d.C. mi. la escuela de Alejandría existió durante unos 100 años: la llegada del cristianismo y los frecuentes disturbios en el imperio redujeron drásticamente el interés por la ciencia. Todavía aparecen trabajos académicos separados en Atenas, pero en 529 Justiniano cerró la Academia de Atenas como un semillero de paganismo.

Algunos científicos se mudaron a Persia o Siria y continuaron su trabajo allí. De ellos, los científicos de la India y los países islámicos recibieron los tesoros sobrevivientes del conocimiento antiguo .

Conclusión

Las matemáticas griegas sorprenden, ante todo, por la belleza y riqueza de su contenido. Muchos científicos de la Nueva Era notaron que aprendieron los motivos de sus descubrimientos de los antiguos. Los rudimentos del análisis se notan en Arquímedes, las raíces del álgebra en Diofanto, la geometría analítica en Apolonio, etc. Pero esto no es ni siquiera el punto principal. Dos logros de las matemáticas griegas sobrevivieron con creces a sus creadores [11] .

Primero, los griegos construyeron las matemáticas como una ciencia holística con su propia metodología basada en leyes lógicas claramente formuladas.

En segundo lugar, proclamaron que las leyes de la naturaleza son comprensibles para la mente humana y que los modelos matemáticos son la clave de su conocimiento.

En estos dos aspectos, las matemáticas antiguas son bastante modernas.

Notas

1. ↑ Petrov Yu. P. Historia y filosofía de la ciencia. Matemáticas, informática, informática. SPb.: BHV-Peterburg, 2005. ISBN 5-94157-689-7 , 448 páginas, página 9.
2. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , p. 232..
3. ↑ Schmutzer E., Schutz W. Galileo Galilei . - M. : Mir, 1987. - S.  116 . — 140 s.
4. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , p. 240..
5. ↑ 1 2 3 4 Prasolov, 2018-2019 , pág. 38-43.
6. ↑ Aristóteles . Metafísica. Traducción y notas de A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, págs. 26-27.
7. ↑ Aristóteles . Metafísica. Traducción y notas de A. V. Kubitsky. M.-L., 1934, página 22.
8. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , p. 260..
9. ↑ John J. O'Connor y Edmund F. Robertson . Descartes  es  una biografía del archivo MacTutor .
10. ↑ Ver Aporia#Modern Interpretation de Zeno para más detalles .
11. ↑ Bashmakova I. G., 1958 , p. 436-437..

Literatura

• Bashmakova I. G. Conferencias sobre la historia de las matemáticas en la antigua Grecia // Investigación histórica y matemática . - M .: Fizmatgiz , 1958. - N° 11 . - S. 225-440 .
• Van der Waerden . Ciencia del despertar. Matemáticas del antiguo Egipto, Babilonia y Grecia. — M .: Nauka, 1959. — 456 p.
• Vygodsky M. Ya. Aritmética y álgebra en el mundo antiguo. - M. : Nauka, 1967.
• Glazer G.I. Historia de las matemáticas en la escuela. - M. : Educación, 1964. - 376 p.
• Depman I. Ya. Historia de la aritmética. Una guía para profesores. ed. segundo. - M.: Educación, 1965.
• Historia de las matemáticas / Editado por A. P. Yushkevich , en tres volúmenes. - M. : Nauka , 1970. - T. I.
• Kline M. Matemáticas. Pérdida de certeza . — M .: Mir, 1984. — 446 p.
• Neugebauer O. Ciencias exactas en la antigüedad. - M., 1968.
• Prasolov VV Historia de las matemáticas, en dos volúmenes. - M. : MTSNMO , 2018-2019.
  • Volumen 1: 296 págs. ISBN 978-5-4439-1275-2 , 978-5-4439-1276-9, 2018.
  • Volumen 2: 304 págs. ISBN 978-5-4439-1275-2 , 978-5-4439-1277-6, 2019.
• Rosenfeld B. A. Apolonio de Perge. (2004)
• Rybnikov K. A. Historia de las matemáticas. - M. : Ed. Universidad Estatal de Moscú, 1994. - 496 p. — ISBN 5-211-02068-5 .
• Lector sobre la historia de las matemáticas. Aritmética y Álgebra. Teoría de los números. Geometría / Ed. A. P. Yushkevich . - M. : Educación, 1976. - 318 p.

Enlaces

• Matemáticas // Diccionario Enciclopédico de Brockhaus y Efron  : en 86 volúmenes (82 volúmenes y 4 adicionales). - San Petersburgo. , 1890-1907.