Representación irreductible

Una representación irreducible de una estructura algebraica es una representación distinta de cero que no tiene su propia subrepresentación cerrada en . ${\ estilo de visualización (\ rho, V)}$ $A$ ${\ estilo de visualización (\ rho | _ {W}, W), W \ subconjunto V}$ $\{\rho (a):a\en A\}$

Cualquier representación unitaria de dimensión finita en un espacio vectorial hermitiano [1] es una suma directa de representaciones irreducibles. Dado que las representaciones irreducibles siempre son indescomponibles (es decir, no pueden descomponerse más en una suma directa de representaciones), estos términos a menudo se confunden. Sin embargo, en el caso general, existen muchas representaciones reducibles pero indescomponibles, como la representación bidimensional de los números reales, actuando a través de matrices unipotentes triangulares superiores. $V$

Historia

La teoría de representación de grupos fue generalizada por Richard Brouwer en la década de 1940, dando una teoría de representación modular , en la que las operaciones matriciales operan en un espacio vectorial sobre un campo de características arbitrarias , en lugar de un espacio vectorial sobre el campo de números reales o sobre el campo de los números complejos . La estructura análoga a la representación irreducible en la teoría resultante es el módulo simple . $k$

Resumen

Sea una representación, es decir, un homomorfismo del grupo , donde es un espacio vectorial sobre el campo . Si elegimos una base para , se puede considerar una función (homomorfismo) de un grupo a un conjunto de matrices invertibles, y en este contexto la representación se denomina representación matricial . Sin embargo, todo se simplifica mucho si consideramos el espacio sin base. $\rho$ ${\ estilo de visualización \ rho: G \ a GL (V)}$ $GRAMO$ $V$ $F$ $B$ $V$ $\rho$ $V$

Un subespacio lineal se llama -invariante si para todos y todos . la restricción a un subespacio invariante se conoce como subrepresentación . Se dice que una representación es irreducible si solo tiene subrepresentaciones triviales (todas las representaciones pueden formar una subrepresentación con subrepresentaciones invariantes triviales , por ejemplo, con todo el espacio vectorial y {0} ). Si existe un subespacio invariante no trivial propio , se dice que la representación es reducible . ${\ estilo de visualización W \ subconjunto V}$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ rho (g) w \ en W}$ $g\in g$ ${\ estilo de visualización w \ en W}$ $\rho$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización W \ subconjunto V}$ ${\ estilo de visualización \ rho: G \ a GL (V)}$ $GRAMO$ $V$ $\rho$

Notación y terminología para representaciones de grupos

Los elementos de un grupo pueden ser representados por matrices , aunque el término "representado" tiene un significado específico y preciso en este contexto. Una representación de grupo es un mapeo de elementos de grupo a un grupo lineal completo de matrices. Sean a , b , c ... denotan elementos del grupo G con un producto de grupo que no se refleja en ningún símbolo, es decir, ab es el producto de grupo de a y b , que también es un elemento del grupo G. Deje que las representaciones se denoten con la letra D . La representación del elemento a se escribe como

D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21 }&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2 }&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}

Por definición de representaciones de grupo, la representación de un producto de grupo se traduce en la multiplicación de matrices de representación :

{\ Displaystyle D (ab) = D (a) D (b)}

Si e es un elemento neutro del grupo (de modo que ), entonces D ( e ) es la matriz identidad , ya que debemos tener $ae=ea=a$

D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)

y lo mismo para los demás elementos del grupo. Las dos últimas afirmaciones cumplen el requisito de que D sea un homomorfismo de grupo .

Representaciones descomponibles e indescomponibles

La representación es descomponible si se puede encontrar una matriz similar P para la transformación de similitud [2] :

D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P

que diagonaliza cualquier matriz en la vista en bloques diagonales : cada uno de los bloques es una representación del grupo independientemente uno del otro. Se dice que las representaciones D ( a ) y D′ ( a ) son equivalentes [3] . La representación se puede descomponer en una suma directa de k matrices :

D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)} (a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1) }(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a)

por lo que D ( a ) es descomponible y normalmente las etiquetas de las matrices de descomposición se escriben entre paréntesis, como D ( n ) ( a ) para n = 1, 2, ..., k , aunque algunos autores escriben etiquetas numéricas sin paréntesis.

La dimensión de D ( a ) es igual a la suma de las dimensiones de los bloques:

\dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^ {(k)}(a)]

Si esto no es posible, es decir , entonces la representación es indescomponible [2] [4] . $k=1$

Ejemplos de representaciones irreducibles

Representación trivial

Todos los grupos tienen una representación trivial irreducible unidimensional. De manera más general, cualquier representación unidimensional es irreducible debido a la ausencia de subespacios no triviales adecuados. $GRAMO$

Representaciones complejas irreducibles

Las representaciones complejas irreducibles de un grupo finito G se pueden describir utilizando los resultados de la teoría de caracteres . En particular, todas estas representaciones se pueden descomponer en una suma directa de representaciones irreducibles, y el número de representaciones irreducibles de un grupo es igual al número de clases de conjugación [5] . $GRAMO$ $GRAMO$

Las representaciones complejas irreducibles se dan exactamente mediante aplicaciones , donde es la raíz -ésima de la unidad . $\mathbb{Z } /n\mathbb{Z }$ $1\mapsto\gamma$ $\gama$ $norte$

Sea representación compleja -dimensional con base . Luego se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles $V$ $norte$ $S_{n}$ ${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n))$ $V$

V_{triv}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)

y el subespacio ortogonal viene dado por la fórmula:

V_{std}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C},\sum _{i} =1}^{n}a_{i}=0\derecha\}

La primera representación irreducible es unidimensional e isomorfa a la representación trivial . La segunda es dimensional y se conoce como representación estándar [5] .

S_{n}

n-1

S_{n}

Que sea un grupo. Una representación regular de un grupo es un espacio vectorial complejo libre con una base con acción de grupo , denotado como Todas las representaciones irreducibles aparecen en la expansión como una suma directa de representaciones irreducibles. $GRAMO$ $GRAMO$ $\{e_{g}\}_{g\in G}$ $g\cdot e_{g'}=e_{gg'}$ $\mathbb {C} G.$ $GRAMO$ ${\ estilo de visualización \ mathbb {C} G}$

Aplicaciones en física teórica y química

En mecánica cuántica y química cuántica , cada conjunto de estados propios degenerados de un operador hamiltoniano constituye un espacio vectorial V para representar el grupo de simetría del hamiltoniano, un "multiplete", que se estudia mejor mediante la reducción a partes irreducibles. Por lo tanto, la notación de representación irreducible le permite asignar etiquetas a los estados y predecir cómo se dividirán cuando se o vayan a otro estado en V . Así, en mecánica cuántica, las representaciones irreducibles del grupo de simetría del sistema determinan parcial o totalmente las etiquetas de los niveles de energía del sistema, lo que permite determinar las reglas de selección [6] .

Grupos de mentiras

Grupo Lorentz

Las representaciones irreducibles D ( K ) y D ( J ) , donde J es un generador de rotación y K es un generador de impulso , se pueden utilizar para construir una representación de espinor del grupo de Lorentz , ya que están relacionadas con las matrices de espín de la mecánica cuántica . Esto les permite ser utilizados para derivar ecuaciones de onda relativistas [7] .

Véase también

Álgebra asociativa

módulo sencillo
Módulo indescomponible
Representación en álgebra asociativa

Grupos de mentiras

Representación del álgebra de mentiras
Teoría de la representación de grupos SU(2)
Teoría de la representación de grupos SL2(R)
Teoría de la representación del grupo de Galileo
Teoría de la representación de difeomorfismos de grupo
Teoría de la representación del grupo de Poincaré
Teorema del mayor peso

Notas

↑ Definición Un espacio vectorial de dimensión finita sobre un campo C equipado con una forma hermitiana definida positiva se denomina espacio hermitiano ( Nikitin 2010 ), ( Timofeeva 2017 )
↑ 12 Wigner , 1959 , pág. 73.
↑ Tung, 1985 , pág. 32.
↑ Tung, 1985 , pág. 33.
↑ 12 Serre , 1977 .
↑ Diccionario de química, Answers.com . Diccionario Oxford de Química. Consultado el 20 de marzo de 2019. Archivado desde el original el 3 de marzo de 2016. (indefinido)
↑ Jaroszewicz, Kurzepa, 1992 , pág. 226–267.

Literatura

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N. V. Timofeeva. Álgebra lineal. Álgebra moderna. Parte 2. - Yaroslavl: YarSU, 2017. - P. 52. - ISBN 978-5-8397-1118-1 .
Wigner EP Teoría de grupos y su aplicación a la mecánica cuántica de espectros atómicos. - Prensa académica, 1959. - (Física pura y aplicada).
Tung WK Teoría de grupos en física . - World Scientific, 1985. - ISBN 978-997-1966-560 .
Jean Pierre Serre. Representaciones lineales de grupos finitos . - Springer-Verlag, 1977. - ISBN 978-0387901909 .
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Libros

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Artículos

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Lectura para leer más

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Enlaces

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Diccionario McGraw-Hill de términos científicos y técnicos . Consultado el 20 de marzo de 2019. Archivado desde el original el 3 de marzo de 2016. (indefinido)

teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
Grupos topológicos	grupos de mentiras Grupo ortogonal O(n) Grupo ortogonal especial SO(n) Grupo unitario U(n) Grupo unitario especial SU(n) Grupo simpléctico Sp(n) Simple excepcional grupo lorentz grupo de poincaré
Algoritmos en grupos	Schreier - Los Sims Todd - Coxeter Transformada de Fourier