Producto escalar

Producto punto (a veces llamado producto interior ) - el resultado de una operación en dos vectores , que es un escalar , es decir, un número que no depende de la elección del sistema de coordenadas . Se utiliza para determinar la longitud de los vectores y el ángulo entre ellos.

Por lo general, para el producto escalar de vectores y se utiliza una de las siguientes notaciones. $\matemáticas {a}$ $\matemáticas {b}$

{\ estilo de visualización (\ mathbf {a}, \ mathbf {b})}

\mathbf {a} \cdot \mathbf {b} ,\ {\vec {a}}\cdot {\vec {b}}

o simplemente

\mathbf {a} \mathbf {b}

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle

y la segunda notación se usa en mecánica cuántica para vectores de estado [1] .

{\displaystyle\langle a|b\rangle;}

En el caso más simple , es decir, en el caso de un espacio euclidiano real de dimensión finita, a veces utilizan la definición "geométrica" del producto escalar de vectores distintos de cero y como el producto de las longitudes de estos vectores por el coseno del ángulo entre ellos [2] : $\matemáticas {a}$ $\matemáticas {b}$

(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta ).

Una definición equivalente: el producto escalar es el producto de la longitud de la proyección del primer vector sobre el segundo y la longitud del segundo vector (ver figura). Si al menos uno de los vectores es cero, entonces el producto se considera cero [3] .

El concepto de producto interior también tiene un gran número de generalizaciones para varios espacios vectoriales , es decir, para conjuntos de vectores con las operaciones de suma y multiplicación por escalares . La definición geométrica anterior del producto escalar asume una definición preliminar de los conceptos de la longitud de un vector y el ángulo entre ellos. En las matemáticas modernas, se utiliza el enfoque inverso: el producto escalar se define axiomáticamente y, a través de él, las longitudes y los ángulos [4] . En particular, el producto interno se define para vectores complejos , espacios multidimensionales e infinitamente dimensionales , en álgebra tensorial .

El producto punto y sus generalizaciones juegan un papel muy importante en el álgebra vectorial , la teoría de variedades , la mecánica y la física. Por ejemplo, el trabajo de una fuerza durante el desplazamiento mecánico es igual al producto escalar del vector fuerza y el vector desplazamiento [5] .

Definición y propiedades

Diremos que un producto escalar está definido en un espacio vectorial real o complejo si a cada par de vectores de se le asigna un número de ese cuerpo numérico sobre el que se da cumpliendo los siguientes axiomas. $L$ $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $L$ ${\ estilo de visualización (\ mathbf {a}, \ mathbf {b})}$ ${\ estilo de visualización L,}$

Para cualquier tres elementos del espacio y cualquier número , la igualdad es verdadera: (linealidad del producto escalar con respecto al primer argumento). $\mathbf {a} _{1},\mathbf {a} _{2},\mathbf {b}$ $\matemáticas {L}$ $\Alfa Beta$ $(\alpha \mathbf {a} _{1}+\beta \mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )=\alpha (\mathbf {a} _{1},\mathbf {b} )+\beta (\mathbf {a} _{2},\mathbf {b} )$
Para cualquier , la igualdad es verdadera , donde la barra significa conjugación compleja . $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )={\overline {(\mathbf {b} ,\mathbf {a} )))$
Para cualquiera tenemos: , y sólo para (definición positiva y no degeneración del producto escalar, respectivamente). ${\ estilo de visualización \ mathbf {a}}$ $(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )\geqslant 0$ ${\ estilo de visualización (\ mathbf {a}, \ mathbf {a}) = 0}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {a} = 0}$

Tenga en cuenta que el Axioma 2 implica que es un número real. Por tanto, el Axioma 3 tiene sentido, a pesar de los valores complejos (en el caso general) del producto escalar. Si no se cumple el axioma 3, entonces el producto se llama indefinido o indefinido . ${\ estilo de visualización (\ mathbf {a}, \ mathbf {a})}$

Si no es solo para , entonces el producto se llama cuasiescalar [6] . ${\ estilo de visualización (\ mathbf {a}, \ mathbf {a}) = 0}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {a} = 0}$

De estos axiomas se obtienen las siguientes propiedades:

Conmutatividad para vectores reales : $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=(\mathbf {b} ,\mathbf {a} );$
distributividad con respecto a la suma :y $(\mathbf {a} +\mathbf {b} ,\mathbf {c} )=(\mathbf {a} ,\mathbf {c} )+(\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$ $(\mathbf {c} ,\mathbf {a} +\mathbf {b} )=(\mathbf {c} ,\mathbf {a} )+(\mathbf {c} ,\mathbf {b} ) ;$
linealidad involutiva con respecto al segundo argumento :(en el caso deuno real, simplemente linealidad con respecto al segundo argumento). $(\mathbf {a} ,(\alpha_{1}\mathbf {b}_{1}+\alpha_{2}\mathbf {b}_{2}))={\overline {\ alfa _{1))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _{1})+{\overline {\alpha _{2))}(\mathbf {a} ,\mathbf {b} _ {2});$ $L$
$(\alpha \mathbf {a} ,\beta \mathbf {b} )=\alpha {\overline {\beta ))(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )$ (que es lo mismo que para real ). ${\ estilo de visualización \ alfa \ beta (\ mathbf {a}, \ mathbf {b})}$ $L$

También hay propiedades que no están relacionadas con estos axiomas:

no asociatividad con respecto a la multiplicación por un vector [7] ':; $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\mathbf {c} \neq \mathbf {a} (\mathbf {b} ,\mathbf {c} )$
ortogonalidad : dos vectores distintos de cero a y b son ortogonales si y solo si ( a , b ) = 0 (definiciones a continuación ).

Comentario. En física cuántica, el producto escalar (de funciones de onda que tienen valores complejos) se suele definir como lineal en el segundo argumento (y no en el primero), respectivamente, en el primer argumento será involutivamente lineal. Por lo general, no hay confusión, ya que la notación tradicional para el producto escalar en la física cuántica también es diferente: , es decir, los argumentos están separados por un tubo en lugar de una coma, y los corchetes son siempre corchetes angulares. ${\ estilo de visualización \ langle \ phi | \ psi \ rangle}$

Definición y propiedades en el espacio euclidiano

Vectores reales

En el espacio euclidiano real bidimensional, los vectores se definen por sus coordenadas: conjuntos de números reales en una base ortonormal . Puede definir el producto escalar de vectores de la siguiente manera [4] : $norte$ $norte$ $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\puntos a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\puntos b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+a_{3}b_{3}+\dots +a_ {n}b_{n}.

La verificación muestra que se cumplen los tres axiomas.

Por ejemplo, el producto escalar de vectores y se calculará de la siguiente manera: ${\ estilo de visualización (1,3,-5)}$ ${\ estilo de visualización (4,-2,-1)}$

{\begin{alineado}\ (1,3,-5)\cdot (4,-2,-1)&=1\cdot 4+3\cdot (-2)+(-5)\cdot (-1)\\&=4-6+5\\&=3.\end{alineado}}

Se puede probar [8] que esta fórmula es equivalente a la definición en términos de proyección o en términos de coseno: $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\theta ).$

Vectores complejos

Para vectores complejos , definimos de manera similar [9] : $\mathbf {a} =(a_{1},a_{2}\puntos a_{n}),\mathbf {b} =(b_{1},b_{2}\puntos b_{n})$

\langle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \rangle =\sum _{k=1}^{n}a_{k}{\overline {b_{k))}=a_{1} {\overline {b_{1}}}+a_{2}{\overline {b_{2}}}+\cdots +a_{n}{\overline {b_{n}}}.

Ejemplo (para ): $n=2$ $(1+i,2)\cdot (2+i,i)=(1+i)\cdot ({\overline {2+i)))+2\cdot {\overline {i))= (1+i)\cdot (2-i)+2\cdot (-i)=3-i.$

Propiedades

Además de las propiedades generales del producto escalar, lo siguiente es cierto para los vectores euclidianos multidimensionales:

a diferencia de la multiplicación escalar ordinaria, donde si ab = ac y a ≠ 0, entonces b es igual a c , esto no es cierto para la multiplicación escalar vectorial: si a b = a c , es decir, a (b − c) = 0 , entonces en general el caso a y b − c son solo ortogonales; pero el vector'b − c ' generalmente no es igual a 0 , es decir, b ≠ c ;
regla del producto : para funciones vectoriales diferenciables a ( t ) y b ( t ) la relación ( a ( t ), b ( t ))′ = a ′( t ) ⋅ b ( t ) + a ( t ) ⋅ b ′ ( t ) [10] ;
estimación del ángulo entre vectores: en la fórmula , el signo está determinado solo por el coseno del ángulo (las normas vectoriales son siempre positivas). Por lo tanto, el producto escalar es mayor que 0 si el ángulo entre los vectores es agudo y menor que 0 si el ángulo entre los vectores es obtuso; $(\mathbf {\mathbf {a} } ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} |\cdot |\mathbf {b} |\cdot \cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}$
la proyección de un vector en la dirección definida por el vector unitario : $\matemáticas {a}$ $\matemáticas {e}$ $a_{e}=(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {e} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}=|\mathbf {a} |\cos \angle {(\mathbf {a} ,\mathbf {e} )}$ , porque $|\mathbf {e} |=1;$
el área de un paralelogramo atravesado por dos vectores y es igual a ${\ estilo de visualización \ mathbf {a}}$ ${\ estilo de visualización \ mathbf {b}}$ ${\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b} )-(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )^{2 }}}.$

Teorema del coseno en el espacio real

El teorema del coseno se deriva fácilmente usando el producto escalar. Sean los lados del triángulo los vectores a , b y c , los dos primeros de los cuales forman el ángulo θ , como se muestra en la imagen de la derecha. Luego, siguiendo las propiedades y definición del producto escalar en términos de coseno:

${\begin{alineado}\mathbf {\color {naranja}c} \cdot \mathbf {\color {naranja}c} &=(\mathbf {\color {rojo}a} -\mathbf {\color {azul}b} )\cdot (\mathbf {\color {rojo}a} -\mathbf {\color {azul}b} )\\&=\mathbf {\color {rojo}a} \cdot \mathbf { \color {rojo}a} -\mathbf {\color {rojo}a} \cdot \mathbf {\color {azul}b} -\mathbf {\color {azul}b} \cdot \mathbf {\color {rojo } }a} +\mathbf {\color {azul}b} \cdot \mathbf {\color {azul}b} \\&=|\mathbf {\color {rojo}a} |^{2}-\mathbf { \color {rojo}a} \cdot \mathbf {\color {azul}b} -\mathbf {\color {rojo}a} \cdot \mathbf {\color {azul}b} +|\mathbf {\color { azul}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {rojo}a} |^{2}-2\mathbf {\color {rojo}a} \cdot \mathbf {\color { azul }b} +|\mathbf {\color {azul}b} |^{2}\\&=|\mathbf {\color {rojo}a} |^{2}+|\mathbf {\color {azul } b} |^{2}-2|\mathbf {\color {rojo}a} |{\cdot }|\mathbf {\color {azul}b} |\cos \mathbf {\color {púrpura}\theta } .\\\end{alineado}}$

Definiciones relacionadas

En el enfoque axiomático moderno, ya sobre la base del concepto de producto escalar de vectores, se introducen los siguientes conceptos derivados [11] :

La longitud de un vector, que generalmente se entiende como su norma euclidiana :

|\mathbf {a} |={\sqrt {(\mathbf {a} ,\mathbf {a} )))

(El término "longitud" generalmente se aplica a vectores de dimensión finita, pero en el caso de calcular la longitud de un camino curvilíneo, a menudo se usa en el caso de espacios de dimensión infinita).

El ángulo entre dos vectores distintos de cero del espacio euclidiano (en particular, el plano euclidiano) es un número cuyo coseno es igual a la relación del producto escalar de estos vectores al producto de sus longitudes (normas): $\varphi$

\cos \varphi ={\frac {(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )}{|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |}}\ (0\leqslant \varphi \leqslant \pi ).

Estas definiciones nos permiten mantener la fórmula: y en el caso general. La exactitud de la fórmula del coseno está garantizada por la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky [12] : $(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\cos(\varphi )$

Para cualquier elemento de un espacio vectorial con un producto escalar, se cumple la siguiente desigualdad: $\mathbf {a} ,\mathbf {b}$

\vert (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )\vert ^{2}\leqslant (\mathbf {a} ,\mathbf {a} )(\mathbf {b} ,\mathbf {b } )

Si el espacio es pseudo-euclidiano , el concepto de ángulo se define solo para vectores que no contienen líneas isotrópicas dentro del sector formado por los vectores. En este caso, el propio ángulo se introduce como un número cuyo coseno hiperbólico es igual a la relación entre el módulo del producto escalar de estos vectores y el producto de sus longitudes (normas):

|(\mathbf {a} ,\mathbf {b} )|=|\mathbf {a} ||\mathbf {b} |\operatorname {ch} \varphi .

Ortogonales (perpendiculares) son vectores cuyo producto escalar es igual a cero. Esta definición se aplica a cualquier espacio con un producto interno definido positivo. Por ejemplo, los polinomios ortogonales son en realidad ortogonales (en el sentido de esta definición) entre sí en algún espacio de Hilbert.
Un espacio (real o complejo) con un producto interno definido positivo se llama espacio pre-Hilbert .
- En este caso, un espacio real de dimensión finita con un producto escalar positivo-definido también se llama euclidiano , y uno complejo se llama espacio hermitiano o unitario .
El caso en que el producto escalar no es de signo definido conduce al llamado. espacios con métrica indefinida . El producto escalar en tales espacios ya no genera una norma (y por lo general se introduce adicionalmente). Un espacio real de dimensión finita con una métrica indefinida se llama pseudo-euclidiano (el caso especial más importante de tal espacio es el espacio de Minkowski ). Entre los espacios de dimensión infinita con una métrica indefinida, los espacios de Pontryagin y los espacios de Kerin juegan un papel importante .

Historia

El producto escalar fue introducido por W. Hamilton en 1846 [13] simultáneamente con el producto vectorial en relación con los cuaterniones , respectivamente, como la parte escalar y vectorial del producto de dos cuaterniones, cuya parte escalar es igual a cero [14 ] .

Variaciones y generalizaciones

En el espacio de funciones complejas o reales medibles integrables al cuadrado en algún dominio Ω, se puede introducir un producto escalar definido positivo:

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }f(x){\overline {g(x)))d\Omega

Cuando se utilizan bases no ortonormales, el producto escalar se expresa en términos de componentes vectoriales con la participación del tensor métrico [15] : $g_{ij}$

{\displaystyle (\mathbf {a} ,\mathbf {b} )=g_{ij}a^{i}b^{j))

Al mismo tiempo, la métrica misma (más precisamente, su representación en una base dada) está conectada de esta manera con los productos escalares de vectores base : $f_{yo}\$

g_{ij}=(\mathbf {f}_{i},\mathbf {f}_{j})

También se pueden introducir construcciones similares del producto escalar en espacios de dimensión infinita, por ejemplo, en espacios de funciones:

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits_{(\Omega_{1}\times \Omega_{2})}K(x_{1},x_{2 })f(x_{1})g(x_{2})d(\Omega _{1}\times \Omega _{2})

(\mathbf {f} ,\mathbf {g} )=\int \limits _{\Omega }K(x)f(x)g(x)d\Omega

donde K es una función definida positiva, en el primer caso simétrica con respecto a la permutación de argumentos (para x compleja - hermitiana) (si necesita tener el producto escalar definido positivo simétrico habitual).

La generalización más simple de un producto escalar de dimensión finita en álgebra tensorial es la convolución sobre índices repetidos.

Véase también

Notas

↑ Hall B.C. Teoría cuántica para matemáticos . - NY: Springer Science & Business Media , 2013. - xvi + 553 p. - (Textos de Grado en Matemáticas. Vol. 267). — ISBN 978-1-4614-7115-8 . Archivado el 31 de enero de 2016 en Wayback Machine - P. 85.
↑ Esto se refiere al ángulo más pequeño entre vectores que no exceda $\Pi.$
↑ Álgebra vectorial // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes). - M .: Enciclopedia soviética , 1977. - T. 1. - S. 634.
↑ 1 2 Gelfand, 1971 , pág. 30-31.
↑ Targ S. M. Trabajo de fuerza // Enciclopedia Física / Cap. edición A. M. Projorov . - M .: Gran Enciclopedia Rusa , 1994. - T. 4. - S. 193-194. - 704 pág. - ISBN 5-85270-087-8 .
↑ Kudryavtsev L. D. Análisis matemático. II vol. - M., Escuela Superior , 1970. - p. 316.
↑ Weisstein, Eric W. Dot Product Archivado el 29 de abril de 2021 en Wayback Machine . De MathWorld: un recurso web de Wolfram.
↑ Cálculo II - Producto escalar . tutorial.math.lamar.edu . Consultado el 9 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 9 de mayo de 2021. (indefinido)
↑ Gelfand, 1971 , pág. 86.
↑ Stewart, James (2016), Calculus (8 ed.), Cengage , Sección 13.2.
↑ Gelfand, 1971 , pág. 34.
↑ §9.5. Espacios lineales con producto interior: euclidianos y unitarios
↑ Crowe MJ Una historia del análisis vectorial: la evolución de la idea de un sistema vectorial . - Publicaciones Courier Dover, 1994. - S. 32. - 270 p. — ISBN 0486679101 . Archivado el 6 de marzo de 2019 en Wayback Machine .
↑ Hamilton WR Sobre los cuaterniones; o sobre un Nuevo Sistema de Imaginarios en Álgebra // Revista Filosófica. 3ra Serie. - Londres, 1846. - T. 29 . - S. 30 .
↑ Gelfand, 1971 , pág. 240.

Literatura

Gelfand I. M. Conferencias sobre álgebra lineal. - 4ª ed. — M .: Nauka, 1971. — 272 p.

Enlaces

Emelin A. Producto escalar de vectores . Recuperado: 14 de noviembre de 2019. (indefinido)

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Vectores y matrices

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Tipos de vectores	Vector unitario vector axial vector isotrópico Normal colinealidad vector cero Vector de radio Vector propio
Operaciones sobre vectores	producto escalar producto vectorial producto mixto Producto pseudoescalar Producto cruzado doble
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