Grupo de puntos en el espacio 3D

Grupos de politopos , [n,3], (*n32)
Simetrías de involución C s , (*) [ ] =	Simetría cíclica C nv , (*nn) [n] =	Simetría diedro D nh , (*n22) [n,2] =
Simetría tetraédrica T d , (*332) [3,3] =	Simetría octaédrica O h , (*432) [4,3] =	Simetría icosaédrica I h , (*532) [5,3] =

Un grupo de puntos en el espacio tridimensional es un grupo de isometrías en el espacio tridimensional que no mueve el origen, o un grupo de isometrías de una esfera . El grupo es un subgrupo del grupo ortogonal O(3), el grupo de todas las isometrías que dejan fijo el origen, o, respectivamente, el grupo de las matrices ortogonales . O(3) es en sí mismo un subgrupo del grupo euclidiano E (3) de movimientos de un espacio tridimensional.

Los grupos de simetría de objetos son grupos de isometría. En consecuencia, el análisis de grupos de isometrías es el análisis de posibles simetrías . Todas las isometrías de un objeto 3D delimitado tienen uno o más puntos fijos (que no cambian de posición debido a la simetría). Elegimos el origen como uno de estos puntos.

El grupo de simetría de un objeto a veces se denomina grupo de simetría total en oposición a su grupo de rotación o su propio grupo de simetría , la intersección del grupo de simetría total y el grupo de rotación SO(3) del espacio tridimensional. El grupo de rotación de un objeto es el mismo que su grupo de simetría completo si y solo si el objeto es quiral .

Los grupos de puntos en el espacio tridimensional se utilizan mucho en química, especialmente cuando se describen las simetrías de una molécula y los orbitales moleculares que forman enlaces covalentes , y en este contexto estos grupos se denominan grupos de puntos moleculares .

Los grupos finitos de Coxeter son un conjunto especial de grupos de puntos formados por un conjunto de planos especulares que se cruzan en un punto. Un grupo de Coxeter de rango n tiene n espejos y está representado por un diagrama de Coxeter-Dynkin . La notación de Coxeter proporciona una notación de paréntesis equivalente al diagrama de Coxeter con símbolos de marcado para subgrupos de simetría rotacional y de otros puntos.

Estructura del grupo

SO(3) es un subgrupo de E + (3) , que consta de isometrías directas , es decir isometrías que preservan la orientación . Contiene isometrías de este grupo, dejando el origen sin movimiento.

O(3) es el producto directo de SO(3) y el grupo formado por la simetría central :

O(3) = SO(3) × { yo , − yo }

Por lo tanto, existe una correspondencia de 1 a 1 entre todas las isometrías directas e indirectas obtenidas por simetría central. También hay una correspondencia 1 a 1 entre todos los grupos de isometría directa de H en O(3) y todos los grupos de isometría de K en O(3) que contienen una inversión central:

K = H × { yo , − yo } H = K ∩ SO(3)

Por ejemplo, si H es un grupo C 2 , entonces K es igual a C 2h . Si H es un grupo C 3 , entonces K es igual a S 6 . (Consulte a continuación para obtener una definición de estos grupos).

Si el grupo de isometría directa H tiene un subgrupo L con índice 2, entonces, además del grupo que contiene simetría central, también hay un grupo correspondiente que contiene isometrías indirectas, pero que no contiene simetría central:

METRO = L ∪ ( ( H \ L ) × { − yo } ),

donde la isometría ( A , I ) se identifica con A. Un ejemplo sería C 4 para H y S 4 para M .

Así, M se obtiene de H mediante la simetría central de isometrías de H \ L . Este grupo M es un grupo abstracto isomorfo a H . Por el contrario, para todos los grupos de isometría que contienen isometrías indirectas pero sin simetría central, podemos obtener un grupo de rotación aplicando simetría central a las isometrías indirectas.

En dos dimensiones, el grupo cíclico de rotaciones de orden k C k (rotaciones en un ángulo de 180°/ k ) para cualquier entero positivo k es un subgrupo de O(2, R ) y SO(2, R ). En consecuencia, en el espacio tridimensional, para cualquier eje, el grupo cíclico de rotaciones de orden k alrededor del eje es un subgrupo normal de todas las rotaciones alrededor del eje. Dado que cualquier subgrupo con índice dos es normal, el grupo de rotación ( C n ) es normal tanto en el grupo obtenido al sumar simetrías especulares sobre planos que contienen los ejes ( C nv ) como en el grupo obtenido al sumar simetrías especulares sobre planos perpendiculares a los ejes ( C nh ).

Isometrías tridimensionales que dejan fijo el origen

Las isometrías del espacio R 3 que dejan fijo el origen y forman el grupo O( 3 , R ) se pueden dividir en grupos de la siguiente manera:

SO( 3 , R ):
- movimiento identico
- rotación alrededor de un eje que pasa por el origen en un ángulo distinto de 180°
- rotación alrededor de un eje que pasa por el origen en un ángulo igual a 180°
lo mismo con la simetría central ( x se traduce en −x ), es decir, respectivamente:
- simetría central
- rotación alrededor de un eje que pasa por el origen en un ángulo no igual a 180°, seguida de reflexión alrededor de un plano perpendicular al eje y que pasa por el origen
- reflexión sobre un plano que pasa por el origen

Las isometrías 4ª y 5ª, en particular, y en un sentido más amplio también la 6ª, se denominan rotaciones impropias .

Conjugación

Si se comparan las simetrías de dos objetos, el origen de las coordenadas de cada objeto se elige por separado, es decir, no tendrán necesariamente el mismo centro. Además, se considera que los objetos tienen el mismo tipo de simetría si sus grupos de simetría son grupos conjugados del grupo O(3) (dos subgrupos H 1 y H 2 de G son conjugados si existe g ∈ G tal que H 1 = g −1 H 2 g ).

Por ejemplo, dos objetos 3D tienen el mismo tipo de simetría si

ambos tienen simetría especular, pero con respecto a diferentes planos
ambos tienen simetría rotacional de orden 3, pero sobre ejes diferentes.

En el caso de múltiples planos de simetría y/o ejes de rotación, dos grupos de simetría son del mismo tipo si y solo si hay una rotación que asigna la estructura completa del primer grupo de simetría al segundo. (De hecho, puede haber más de una rotación, pero no un número infinito). La definición de conjugación también permite reflejar la estructura, pero esto no es necesario, ya que la estructura en sí es aquiral. Por ejemplo, si un grupo de simetría contiene un eje de orden 3, contiene rotaciones en dos direcciones opuestas (la estructura es quiral para 11 pares de grupos cristalográficos con un eje helicoidal).

Grupos de isometría infinita

Hay muchos grupos de isometría infinita, por ejemplo, el " grupo cíclico " (que se supone que es un grupo formado por un solo elemento, que no debe confundirse con un grupo con torsión ) formado por una rotación irracional alrededor de un eje. Podemos crear grupos abelianos no cíclicos agregando giros adicionales alrededor del mismo eje. También existen grupos no abelianos formados por rotaciones sobre diferentes ejes. Suelen ser (en general) grupos libres . Serán infinitos si no elige rotar de cierta manera.

Todos los infinitos grupos mencionados hasta aquí no son subgrupos topológicos cerrados del grupo O(3).

El grupo completo O(3) es un grupo de simetría esférica . SO(3) es el grupo de rotación correspondiente. Otros grupos de isometría infinita consisten en todas las rotaciones sobre un eje que pasa por el origen y la misma rotación con simetría especular adicional sobre planos que pasan por este eje y/o simetría especular sobre un plano que pasa por el origen y es perpendicular al eje. Estos grupos con espejos que pasan por el eje, con o sin espejo que pasa por el origen y perpendiculares al eje, son grupos de simetría para dos tipos de simetría cilíndrica . Tenga en cuenta que cualquier objeto físico que tenga infinitas simetrías de rotación también tendrá simetrías de espejo con respecto a los planos que pasan por el eje.

Grupos de isometría finitos

Las simetrías en el espacio tridimensional que dejan el origen en su lugar están completamente definidas por simetrías en la esfera centrada en el origen. Para grupos de puntos tridimensionales finitos, consulte también Grupos de simetría esférica .

Hasta la conjugación, el conjunto de grupos puntuales tridimensionales finitos consta de:

7 series infinitas con como máximo un eje de orden mayor que 2. Estos son grupos de simetría finitos en cilindros infinitos , o de manera equivalente, en cilindros finitos. Estos grupos a veces se denominan grupos de puntos prismáticos.
Grupos de 7 puntos con múltiples ejes de orden 3 o más. Estos son grupos de puntos finitos con múltiples ejes de orden 3, ya que los 7 incluyen tales ejes. Posibles combinaciones de ejes:
- 4 ejes orden 3
- 4 ejes de orden 3 y 3 de orden 4
- 10 ejes de orden 3 y 6 de orden 5

El conjunto de grupos de puntos es similar al grupo de transferencia discreto : 27 de 7 series infinitas y 5 de 7 restantes, 32 llamados grupos de puntos cristalinos en total. Véase también Teorema de restricción cristalográfica .

Siete series infinitas de grupos axisimétricos

Las series infinitas de grupos prismáticos tienen índice n , que puede ser cualquier número natural. En cada serie , el grupo de simetría n contiene una rotación de orden n alrededor del eje, es decir rotación de 360°/ n . El caso n =1 corresponde a la ausencia de movimiento. Hay cuatro series sin ejes adicionales de simetría rotacional (ver simetrías cíclicas ) y tres con ejes adicionales de simetría de orden 2 (ver simetría diédrica ). Pueden entenderse como grupos de puntos en el plano , extendidos por ejes de coordenadas y reflejos en ellos. Están relacionados con los grupos de borde [1] y pueden considerarse como grupos de borde que se repiten n veces alrededor del cilindro.

La siguiente tabla proporciona algunos tipos de notación para grupos de puntos: simbolismo de Hermann-Mogen (usado en cristalografía ), símbolos de Schoenflies (usados para describir la simetría molecular ), notación orbifold y notación de Coxeter . Los tres últimos no solo son convenientes para comprender las propiedades de los grupos de puntos, sino que también determinan el orden del grupo. Estas son entradas unificadas aplicables a grupos de papel tapiz y grupos de bordes . Para grupos cristalográficos, n está limitado a 1, 2, 3, 4 y 6. Si eliminamos las restricciones cristalográficas, obtenemos grupos para cualquier número natural.

Serie:

Herman - Mogena		Schoenflies	Orbifold [	Coxetera		Borde	Estructura ( Orden )	Ejemplo	Comentarios
Incluso n	impar n	Schoenflies	Orbifold [	Coxetera		(cilindro)	Estructura ( Orden )	Ejemplo	Comentarios
norte		C norte	nn	[n] +		p1	norte	Z norte ( norte )		simetría rotacional de orden n
2n_ _	norte	S2n _ _	× _	[2n + ,2 + ]		p11g	Z 2 norte (2 norte )		Simetría rotacional especular de orden n . No debe confundirse con grupos simétricos.
n /m	2n_ _	C n h	norte *	[n + ,2]		p11m	Z n × Dih 1 (2 n )
n mm	nm _	Cnv _ _	* nn	[norte]		p1m1	Din ( 2n ) _		simetría piramidal; en biología - simetría biradial
n 22	nº 2	Dn _	22n _	[n,2] +		p211	2n_ _	Dih n	simetría diedro
2n2m _ _	nm _	D n d , D n v	[2n,2 + ]		p2mg	4n_ _	Dih 2 n (2 n )		simetría antiprismática
n /mmm	2n2m _ _	D n h	* 22n	[n,2]		p2mm	Dih n × Dih 1 (4 n )		simetría prismática

Para n impar tenemos Z 2 n = Z n × Z 2 y Dih 2 n = Dih n × Z 2 .

Los conceptos de horizontal (h) y vertical (v), así como los correspondientes índices (inferiores), se refieren a planos de espejo adicionales que pueden ser paralelos al eje de rotación (vertical) o perpendiculares al eje de rotación (horizontal) .

Los grupos no triviales más simples tienen una simetría involutiva (el grupo abstracto Z 2 ):

C i - simetría central
C 2 - simetría rotacional de orden 2
C s - simetría especular , también llamada simetría bilateral .

El segundo de estos grupos es el primero de los grupos con un eje ( grupos cíclicos ) C n de orden n (aplicable también en el espacio bidimensional), que se generan por una sola rotación en un ángulo de 360°/ n . Además, se puede agregar un plano de espejo perpendicular al eje, lo que da un grupo C nh de orden 2 n , o un conjunto de n espejos que contienen el eje, lo que da un grupo C nv , también de orden 2 n . Este último es el grupo de simetría de una pirámide regular de n lados. Un objeto típico con grupo de simetría C n o D n es una hélice .

Si se suman los planos de reflexión vertical y los planos horizontales, sus intersecciones dan n ejes de rotación de 180°, por lo que el grupo ya no es uniaxial. Este nuevo grupo de orden 4n se llama Dnh . Sus subgrupos de rotación son el grupo diédrico D n de orden 2 n , que, sin embargo, tiene ejes de rotación de orden 2 perpendiculares al eje de rotación principal, pero no tiene planos de reflexión especular. Tenga en cuenta que en 2D D n incluye reflejos, que pueden verse como voltear objetos planos sin distinguir entre el frente y el reverso, pero en 3D las dos operaciones son diferentes: el grupo contiene "voltear" pero no reflejos.

Hay otro grupo en esta familia, llamado D nd (o D nv ), que tiene planos de espejo verticales que contienen el eje principal de rotación, pero en lugar de un espejo horizontal, tiene una isometría que combina la reflexión sobre un plano horizontal y la rotación a través de un ángulo de 180°/ n . D nh es el grupo de simetría de un prisma regular de (n+2) lados y de una bipirámide regular de (2n) lados . D nd es el grupo de simetría para un antiprisma regular de (n+2) lados , y también para un trapezoedro regular de (2n) lados . D n es el grupo de simetría del prisma parcialmente girado.

Los grupos D 2 y D 2 h son notables porque no tienen ejes de rotación especiales. Hay tres ejes perpendiculares de orden 2 [2] . D 2 es un subgrupo de simetrías poliédricas (ver más abajo) y D 2 h es un subgrupo de simetrías poliédricas T h y O h . D 2 se puede encontrar en homotetrámeros , como la concanavalina A , en complejos tetraédricos con cuatro ligandos quirales idénticos , o en moléculas como tetrakis(clorofluorometil) metano , si todos los grupos clorofluorometilo tienen la misma quiralidad. Los elementos de D 2 están en correspondencia 1 a 2 con las rotaciones dadas por los elementos reversibles de los cuaterniones de Lipschitz .

El grupo Sn se genera por una combinación de reflexión en el plano horizontal y rotación en un ángulo de 360° / n . Para n impar , el grupo coincide con el grupo generado por dos C nh separados de orden 2 n , y por lo tanto la notación S n no es necesaria. Sin embargo, incluso para n , son distintos y tienen órdenes de n . Al igual que D nd , el grupo contiene varias rotaciones impropias , pero ninguna rotación correspondiente.

Todos los grupos de simetría en las 7 series infinitas son diferentes, excepto por los siguientes cuatro pares iguales:

C 1h y C 1v : grupo de orden 2 con una reflexión ( C s )
D 1 y C 2 : grupo de orden 2 con una rotación de 180°
D 1 h y C 2 v : grupo de orden 4 con reflexión sobre un plano y rotación de 180° sobre una línea en ese plano
D 1 d y C 2 h : grupo de orden 4 con reflexión sobre un plano y rotación de 180° sobre una línea perpendicular a ese plano

S 2 es un grupo de orden 2 con una simetría única alrededor del punto ( C i )

Aquí "Igual" significa lo mismo hasta la conjugación en el espacio. Esto es más estricto que "hasta el isomorfismo algebraico". Por ejemplo, hay tres grupos distintos de orden dos en el primer sentido, pero solo uno en el segundo. De manera similar, por ejemplo, el grupo S 2n es algebraicamente isomorfo a Z 2n .

Los grupos se pueden construir así:

C n . Generado por un elemento, también llamado C n , correspondiente a una rotación de un ángulo de 2π/ n alrededor del eje. Los elementos del grupo son E (elemento de identidad), C n , C n 2 , ..., C n n −1 , correspondientes a la rotación en los ángulos 0, 2π/ n , 4π/ n , ..., 2( norte - 1) π/ norte .
S2n ._ _ _ El grupo es generado por el elemento C 2 n σ h , donde σ h es la reflexión (en un espejo perpendicular al eje). Sus elementos son elementos C n con elementos agregados C 2n σ h , C 2 n 3 σ h , ..., C 2 n 2 n −1 σ h .
C n h . El grupo es generado por el elemento C n y la reflexión σ h . Sus elementos son elementos del grupo C n con elementos añadidos σ h , C n σ h , C n 2 σ h , ..., C n n −1 σ h .
C nv ._ _ El grupo es generado por el elemento C n y la reflexión σ v en el espejo que pasa por el eje. Sus elementos son elementos del grupo C n con elementos añadidos σ v , C n σ v , C n 2 σ v , ..., C n n −1 σ v .
D n . El grupo es generado por el elemento C n y una rotación de 180° U = σ h σ v alrededor de una línea recta que se encuentra en un plano perpendicular al eje. Sus elementos son elementos del grupo C n con elementos añadidos U, C n U, C n 2 U, ..., C n n − 1 U.
D n d . El grupo es generado por los elementos C 2 n σ h y σ v . Sus elementos son elementos del grupo C n y elementos de los grupos S 2 n y C n v , junto con los elementos C 2 n σ h σ v , C 2 n 3 σ h σ v , ..., C 2 n 2 norte - 1 σ h σ v .
D n h . El grupo es generado por los elementos C n , σ h y σ v . Sus elementos son elementos del grupo C n con la adición de elementos de los grupos C n h , C n v y D n .

Tomando n igual a ∞, obtenemos un grupo con rotaciones axiales continuas:

G–M	Schoenflies	Orbifold	coxeter	Límite	grupo abstracto
∞	C∞ _	∞∞	[∞] +	C norte	Z∞ _	SO(2)
∞ , ∞/m	C∞h _	∞*	[2,∞ + ]	C norte h , S 2 norte	Dih 1 × Z∞	Z2 ×SO(2 )
∞ m	C∞v_ _	*∞∞	[∞]	Cnv _ _	Dih∞ _	O(2)
∞2	D∞ _	22∞	[2,∞] +	Dn _	Dih∞ _	O(2)
∞m, ∞ /mm	D∞h _	*22∞	[2,∞]	Dnh , Dnd _ _ _	Dih 1 × Z∞	Z2 ×O(2 )

Los siete grupos de puntos restantes

Los grupos de puntos restantes tienen una simetría muy alta o poliédrica porque tienen más de un eje de rotación de orden mayor que 2. Aquí, C n denota un eje de rotación de 360°/n y S n denota un eje de rotación impropio por el mismo ángulo. La columna de notación indica la notación orbifold (entre paréntesis), la notación de Coxeter ( diagrama de Coxeter ), el simbolismo completo de Hermann-Maugin y la forma abreviada si es diferente. Lista de grupos:

T , (332) [3,3] + () 23 pedido 12	simetría tetraédrica quiral	Hay cuatro ejes C 3 , cada uno de los cuales pasa por dos vértices del cubo (a lo largo de la diagonal mayor) o las alturas de un tetraedro regular , y tres ejes C 2 por los centros de las caras del cubo o los puntos medios de los lados (opuestos) de el tetraedro. Este grupo es isomorfo a A 4 , un grupo alterno de 4 elementos, y es el grupo de rotación de un tetraedro regular. El grupo es un subgrupo normal de los grupos T d , T h y simetrías octaédricas. Los elementos del grupo corresponden a rotaciones de 1 a 2, que están dadas por 24 unidades de cuaterniones de Hurwitz (" Grupo Tetraédrico Binario ").
Td , (*332) [3,3] () 4 3m pedido 24	simetría tetraédrica completa	Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que T, pero con seis planos de espejo, cada uno con dos aristas de cubo o una arista tetraédrica, un eje C 2 y dos ejes C 3 . Los ejes C 2 se convierten en los ejes S 4 . Este grupo es el grupo de simetría del tetraedro regular . T d es isomorfo a S 4 , el grupo simétrico de 4 letras, ya que existe una correspondencia de 1 a 1 entre los elementos de T d y 24 permutaciones de los cuatro 3.ordendeejes d corresponde a el conjunto de permutaciones de estos cuatro elementos. T d es un subgrupo normal de O h . Véase también isometría de un tetraedro regular .
Th , ( 3 *2) [3 + ,4] () 2/m 3 , m 3 pedido 24	simetría piriteédrica	Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que T con planos especulares paralelos a las caras del cubo. Los ejes C 3 se convierten en ejes S 6 y existe una simetría central. El grupo T h es isomorfo al grupo A 4 × Z 2 (ya que T y C i son subgrupos normales), pero no al grupo simétrico S 4 . Este es el grupo de simetría de un cubo, en cada una de cuyas caras se dibuja un segmento que divide el cubo en dos rectángulos iguales, y los segmentos de las caras adyacentes no tienen puntos comunes (conectan aristas diferentes). Las simetrías corresponden a permutaciones pares de las diagonales principales, combinadas con simetría central. El grupo también es una simetría del piriteedro , que es similar al cubo descrito anteriormente, en el que cada rectángulo se reemplaza por un pentágono con un eje de simetría, que tiene 4 lados iguales y un lado de diferente longitud (que corresponde a la línea segmento que divide la cara del cubo). Es decir, las caras del cubo sobresalen a lo largo de la línea divisoria y se vuelven más estrechas aquí. El grupo es un subgrupo (pero no un subgrupo normal) del grupo de simetría icosaédrica completa (como grupo isométrico, pero no solo como grupo abstracto), con 4 de los 10 ejes de orden 3. El grupo es un subgrupo normal del grupo O h .
O , (432) [4,3] + () 432 pedido 24	Simetría octaédrica quiral	Este grupo es similar al grupo T, pero los ejes C 2 se convierten en ejes C 4 y hay 6 ejes C 2 adicionales que pasan por los puntos medios de las aristas del cubo. Este grupo es isomorfo a S 4 porque sus elementos 1 a 1 corresponden a 24 permutaciones de los ejes de orden 3, como en T. Un objeto de simetría D 3 sobre uno de los ejes de orden 3 se obtiene por la acción de O sobre una órbita que consta de cuatro de esos objetos, y O corresponde al conjunto de permutaciones de estos cuatro elementos. El grupo es el grupo de rotación del cubo y el octaedro . Si las rotaciones están representadas por cuaterniones , O consta de 24 unidades de cuaterniones de Hurwitz y 24 cuaterniones de Lipschitz normados , normalizados por división por . Como antes, este es un partido de 1 a 2. ${\ sqrt {2}}$
Oh , (*432) [ 4,3] () 4/m 3 2/m, m 3 m pedido 48	simetría octaédrica completa	Este grupo tiene los mismos ejes de rotación que O , pero con planos de espejo que incluyen los planos de simetría T d y T h . El grupo es isomorfo a S 4 × Z 2 (ya que tanto O como C i son subgrupos normales), y es el grupo de simetría del cubo y el octaedro . Véase también cubo isométrico
yo , (532) [5,3] + () 532 pedido 60	simetría icosaédrica quiral	Grupo de rotaciones del icosaedro y dodecaedro . El grupo es un subgrupo normal con índice 2 del grupo de simetría completa I h . El grupo contiene 10 versiones del grupo D 3 y 6 versiones del grupo D 5 (simetrías rotacionales, como prismas y antiprismas). El grupo contiene también cinco versiones de Th (ver Compuesto de cinco tetraedros ). El grupo I es isomorfo a A 5 , el grupo de 5 letras alternas , ya que sus elementos corresponden a permutaciones pares 1 a 1 de las cinco simetrías T h (o los cinco tetraedros mencionados anteriormente).
Yo h , (*532) [5,3] () 5 3 2/m, 5 3 m pedido 120	simetría icosaédrica completa	Grupo de simetría de icosaedro y dodecaedro. El grupo I h es isomorfo a A 5 × Z 2 porque I y C i son subgrupos normales. El grupo contiene versiones 10 D 3d , versiones 6 D 5d (simetrías como antiprismas) y versiones 5 T h .

Los grupos continuos asociados a este grupo son:

K o SO(3), todas las rotaciones posibles.
K h o O(3), todas las rotaciones y reflexiones posibles.

Como se señaló anteriormente para los grupos de rotación continua, cualquier objeto físico que tenga simetría K también tendrá simetría Kh .

Relación entre la notación orbifold y el orden

El orden de cualquier grupo es 2 dividido por la característica de Euler orbifold . Este último es igual a 2 menos la suma de los valores, que se calculan según las siguientes reglas:

n sin o antes de * cuenta como ( n − 1)/ n
n después de * cuenta como ( n −1)/(2 n )
* y × cuentan como 1

Esto también se puede aplicar a grupos de papel tapiz y grupos de bordes ; para ellos, la suma es 2, lo que da un orden infinito. Ver característica de Euler orbifold .

Grupos de reflexión de Coxeter

Dominio fundamental de los grupos de Coxeter tridimensionales

Un 3 , [3,3]	BC 3 , [4,3]	H 3 , [5,3]
6 espejos	3+6 espejos	15 espejos
A 1 × A 1 , [1,2]	A 1 × A 1 × A 1 , [2,2]	Yo 2 (3)×A 1 , [2,3]
2 espejos	3 espejos	4 espejos
un 1 , [1]	A 1 × A 1 , [2]	yo 2 (3), [3]
1 espejo	2 espejos	3 espejos

Los grupos de puntos de reflexión en el espacio tridimensional, que también se denominan grupos de Coxeter y pueden definirse mediante diagramas de Coxeter-Dynkin , representan un conjunto de espejos que se cruzan en un punto central y limitan la región del dominio en forma de un triángulo esférico en el superficie de la esfera. Los grupos de Coxeter con menos de 3 generadores tienen dominios triangulares esféricos degenerados como lune o hemisphere . En la notación de Coxeter , tales grupos son simetría tetraédrica [3,3], simetría octaédrica [4,3], simetría icosaédrica [5,3] y simetría diédrica [p,2]. El número de espejos en un grupo irreducible es nh/2 , donde h es el número de Coxeter del grupo, n es la dimensión (3) [3] .

grupo bueno		Ordenar	Número de coxeter (h)	Espejos (m)
Grupos de politopos
un 3	[3,3]	24	cuatro	6
B3 _	[4,3]	48	6	3+6
H3 _	[5,3]	120	diez	quince
grupo diedro
2A1 _ _	[1,2]	cuatro		1+1
3 A 1	[2,2]	ocho		2+1
Yo 2 (p) A 1	[pág. 2]	4p		p+1
Grupos cíclicos
2A1 _ _	[2]	cuatro		2
yo 2 (pag)	[pags]	2p		pags
solo espejo
un 1	[ ]	2		una

Grupos de rotación

Grupos de rotación, es decir Los subgrupos finitos de SO(3) son: grupos cíclicos C n (grupos de rotación de pirámides canónicas ), grupos diédricos D n (grupos de rotación de prismas homogéneos o bipirámides canónicas ) y grupos de rotación T , O e I de tetraedro regular , octaedro / cubo e icosaedro / dodecaedro .

En particular, los grupos diédricos D 3 , D 4 , etc. son grupos de rotaciones de polígonos regulares planos incrustados en el espacio tridimensional, y tales figuras pueden considerarse como prismas regulares degenerados. Por eso, se les llama diédricos (en griego: cuerpo con dos caras), lo que explica el nombre de grupo diédrico .

Un objeto con un grupo de simetría C n , C nh , C nv o S 2n tiene un grupo de rotación C n .
Un objeto con un grupo de simetría D n , D nh o D nd tiene un grupo de rotación D n .
Un objeto con uno de los otros siete grupos de simetría tiene un grupo de rotación correspondiente a un grupo sin índice - T , O o I .

El grupo de rotación de un objeto es igual a su grupo de simetría completo si y solo si el objeto es quiral .

Lista de subgrupos de rotación por su notación Schoenflies , notación Coxeter , ( notación orbifold ):

Reflexión	Reflexión/rotación	Rotación incorrecta	Rotación
Cnv , [ n], (*nn)	C nh , [n + ,2], (n*)	S 2n , [2n + ,2 + ], (n×)	C norte , [ n ] + , (nn)
D nh , [2,n], (*n22)	Dnd , [ 2 + ,2n], (2*n)		re norte , [2,n] + , (n22)
Td , [3,3], (*332)			V , [3,3] + , (332)
Oh , [ 4,3 ], (*432)	Th , [ 3 + ,4], (3*2)		O , [4,3] + , (432)
Yo h , [5,3], (*532)			yo , [5,3] + , (532)

Correspondencia de grupos de rotación y otros grupos

Los siguientes grupos contienen simetría central :

C nh y D nh para n par
S 2 n y D nd para n impar ( S 2 = C i es un grupo generado por simetría central; D 1d = C 2h )
Th , Oh y I h _ _

Como se explicó anteriormente, existe una correspondencia 1 a 1 entre estos grupos y todos los grupos de rotación:

C nh para n par y S 2 n para n impar corresponden a C n
D nh para n par y D nd para n impar corresponden a D n
T h , O h , e I h corresponden a T , O e I , respectivamente.

Otros grupos contienen isometrías indirectas pero sin simetría central:

Cnv _
C nh y D nh para n impar
S 2 n y D nd para n par
Td _

Todos ellos corresponden al grupo de rotación H y al subgrupo L con índice 2 en el sentido de que se obtienen a partir de H invirtiendo las isometrías a H \ L , como se explicó anteriormente:

C n es un subgrupo de D n con índice 2, lo que da C nv
C n es un subgrupo de C 2n con índice 2, lo que da C nh para n impar y S 2 n para par
D n es un subgrupo de D 2n con índice 2, lo que da D nh para n impar y D nd para par
T es un subgrupo de O con índice 2, lo que da T d

Simetrías máximas

Hay dos grupos de puntos discretos con la propiedad de que ningún subgrupo de puntos discretos los tiene como subgrupo propio, O h e I h . Su subgrupo común más grande es T h . De ella se obtienen dos grupos reemplazando la simetría rotacional de orden 2 por la simetría de orden 4 y sumando la simetría de orden 5, respectivamente. También puede obtener dos grupos agregando planos de simetría a T h .

Hay dos grupos de puntos cristalográficos con la propiedad de que ningún grupo de puntos cristalográficos los contiene como su propio subgrupo: O h y D 6h . Sus subgrupos comunes máximos, según la orientación, son D 3d y D 2h .

Ordenar grupos por tipo de grupo abstracto

Además, los grupos descritos anteriormente se organizan según el tipo abstracto del grupo.

Los grupos abstractos más pequeños que no son grupos de simetría en el espacio tridimensional son el grupo cuaternión (de orden 8), Z 3 × Z 3 (de orden 9), el grupo dicíclico Dic 3 (de orden 12), y 10 del 14 grupos de orden 16.

La columna "Número de elementos de orden 2" en la siguiente tabla muestra el número total de subgrupos de isometría de tipo C 2 , C i , C s . Este número común es una de las características que permiten distinguir tipos abstractos de grupos, mientras que su tipo de isometría ayuda a distinguir grupos de isometrías de un mismo grupo abstracto.

Entre las posibles isometrías de grupos en el espacio tridimensional, hay infinitos tipos abstractos de grupos con 0, 1 y 3 elementos de orden 2, hay dos grupos con 2 n + 1 elementos de orden 2, y hay tres grupos con 2 n + 3 elementos de orden 2 (para cualquier n ≥ 2 ). No existe un número par positivo de elementos de orden 2.

Grupos de simetría en tres dimensiones que son cíclicos como grupos abstractos

El grupo de simetría de rotación de orden n es C n . Su tipo de grupo abstracto es el grupo cíclico Z n , que también se denota como C n . Sin embargo, hay dos series más infinitas de grupos de simetría con tipos de grupos abstractos:

Incluso para 2 n existe un grupo S 2n (en notación de Schoenflies) generado por una rotación de 180°/n alrededor de un eje, combinada con una reflexión en un plano perpendicular al eje. Para S 2 usamos la notación C i , este grupo es generado por la simetría central.
Para cualquier orden 2 n , donde n es impar, tenemos C nh . El grupo tiene un eje de rotación de orden n y un plano de espejo perpendicular. El grupo se genera mediante una rotación de 360°/ n alrededor del eje en combinación con la reflexión. Para C 1 h usamos la notación C s , este grupo se genera por reflexión en el plano.

Así, destacando en negrita los 10 grupos de puntos cristalográficos para los que se aplican restricciones cristalográficas , tenemos:

Ordenar	Grupos isométricos	grupo abstracto	Número de elementos de orden 2
una	C1 _	Z1 _	0
2	C 2 , C yo , C s	Z2 _	una
3	C3 _	Z3 _	0
cuatro	C4 , S4 _ _	Z4 _	una
5	C5 _	Z5 _	0
6	C6 , S6 , C3h _ _ _	Z 6 \u003d Z 3 × Z 2	una
7	C7 _	Z7 _	0
ocho	C8 , S8 _ _	Z8 _	una
9	C9 _	Z9 _	0
diez	C 10 , S 10 , C 5h	Z10 = Z5 × Z2 _	una

etc.

Grupos de simetría en el espacio tridimensional, diedros como grupos abstractos

En dos dimensiones, el grupo diédrico D n incluye reflejos, que se pueden considerar como voltear el objeto sin distinguir entre el frente y el reverso.

Sin embargo, en el espacio tridimensional, las dos operaciones son diferentes: el grupo de simetría con la designación D n contiene n ejes de orden 2, perpendiculares a los ejes de orden n , y no reflexión. D n es el grupo de rotación de un prisma de n lados con base regular, una bipirámide de n lados con base regular, un antiprisma regular de n lados y un trapezoedro regular de n lados . El grupo es también el grupo de simetría completa de tales objetos, si se hacen quirales marcando caras o mediante alguna modificación de la figura.

El grupo abstracto es el diedro Dih n , que también se denota con el símbolo D n . Sin embargo, hay tres grupos de simetría más con el mismo grupo abstracto:

C nv de orden 2 n , el grupo de simetría de una pirámide regular de n lados
D nd de orden 4 n , el grupo de simetría de un antiprisma regular de n lados
D nh de orden 4 n para n impar . Para n = 1 obtenemos D 2 ya dado arriba, entonces n ≥ 3.

Tenga en cuenta la siguiente propiedad:

Dih 4n+2 Dih 2n+1 × Z 2

\cong

Así, poniendo en negrita los 12 grupos cristalográficos y escribiendo D 1d como equivalente a C 2h , tenemos:

Ordenar	Grupos isométricos	grupo abstracto	Número de elementos de orden 2
cuatro	D2 , C2v , C2h _ _ _	Dih 2 = Z 2 × Z 2	3
6	D3 , C3v _ _	di 3	3
ocho	D4 , C4v , D2d _ _ _	Dih 4	5
diez	D 5 , C 5v _	di 5	5
12	D 6 , C 6v , D 3d , D 3h	Dih 6 = Dih 3 × Z 2	7
catorce	D 7 , C 7v _	di 7	7
dieciséis	D 8 , C 8v , D 4d _ _	di 8	9
Dieciocho	D 9 , C 9v _	di 9	9
veinte	D 10 , C 10 v , D 5 h , D 5 d	Dih 10 = D 5 × Z 2	once

etc.

Otro

C 2n,h de orden 4 n es un grupo abstracto de tipo Z 2 n × Z 2 . Para n = 1 obtenemos Dih 2 , el grupo ya descrito anteriormente, por lo que n ≥ 2.

Así, poniendo en negrita los 2 grupos puntuales cristalográficos cíclicos, tenemos:

Ordenar	Grupos isométricos	grupo abstracto	Número de elementos de orden 2
ocho	C4h _	Z4 × Z2 _	3
12	C6h _	Z 6 × Z 2 = Z 3 × Z 2 2 = Z 3 × Dih 2	3
dieciséis	C 8h	Z8 × Z2 _	3
veinte	C 10h	Z 10 × Z 2 = Z 5 × Z 2 2 = Z 5 × Dih 2	3

etc.

D nh de orden 4 n es un grupo abstracto de tipo Dih n × Z 2 . Para n impar , el grupo ya se ha descrito anteriormente, por lo que aquí tenemos D 2 n h de orden 8 n , que es un grupo abstracto de tipo Dih 2 n × Z 2 ( n ≥1).

Así, destacando los 3 grupos de puntos cristalográficos diédricos en negrita, tenemos:

Ordenar	Grupos isométricos	grupo abstracto	Número de elementos de orden 2
ocho	D2h _	Dih 2 × Z 2	7
dieciséis	D4h _	Dih 4 × Z 2	once
24	D6h _	Dih 6 × Z 2 = Dih 3 × Z 2 2	quince
32	D8h _	Dih 8 × Z 2	19

etc.

Los siete grupos restantes, donde los 5 grupos de puntos cristalográficos están en negrita:

Ordenar	Grupos isométricos	grupo abstracto	Número de elementos de orden 2
12	T	A4 _	3
24	Td , O _	S4 _	6
24	jue _	A 4 × Z 2	6
48	oh _	S 4 × Z 2	6
60	yo	A5 _
120	Yo h	A 5 × Z 2

Simetrías discretas imposibles

Dado que la revisión es exhaustiva, muestra implícitamente qué casos no son posibles como grupos de simetría discreta. Por ejemplo:

Eje C 6 en un sentido y C 3 en el otro
Eje C 5 en un sentido y C 4 en el otro
C 3 ejes en una dirección y otro C 3 ejes en dirección perpendicular

Etc..

Grupos poliédricos binarios

El mapeo Spin(3) → SO(3) es una doble cobertura del grupo de rotación por el grupo spinor en el espacio tridimensional. (Esta es la única cobertura conexa de SO(3), ya que Spin(3) es simplemente conexo). Por el teorema de correspondencia , existe una correspondencia de Galois entre los subgrupos de Spin(3) y los subgrupos de SO(3) (grupos de rotación de puntos): la imagen de un subgrupo de Spin (3) es un grupo de puntos de rotaciones, y la imagen inversa de un grupo de puntos es un subgrupo del grupo Spin (3).

La imagen inversa de un grupo de puntos finitos se denomina grupo poliédrico binario , denotado como <l,n,m>, y recibe el mismo nombre que el grupo de puntos, pero con la adición de binary , mientras que el orden del grupo es duplicado con respecto al grupo asociado del poliedro (l,m ,n). Por ejemplo, la preimagen del grupo icosaédrico (2,3,5) es el grupo icosaédrico binario , <2,3,5>.

Grupos poliédricos binarios:

$Un}$ : Grupo cíclico binario de ( n + 1)-gon, orden 2 n
$D_{n}$ : Grupo diedro binario de un n -gon, <2,2,n>, orden 4 n
$E_{6}$ : Grupo tetraédrico binario , <2,3,3>, orden 24
$E_7$ : Grupo octaédrico binario , <2,3,4>, orden 48
$E_8$ : Grupo icosaédrico binario , <2,3,5>, orden 120

Los grupos están sistematizados según la clasificación ADE y el factor grupo C 2 según la acción del grupo poliédrico binario tiene la singularidad de Du Val [4] .

Para grupos de puntos con inversión de orientación, la situación es más complicada, ya que hay dos grupos de pines , por lo que hay dos posibles grupos binarios correspondientes a un grupo de puntos dado.

Nótese que esta cobertura es una cobertura de grupos , no una cobertura de espacios .

Véase también

Lista de grupos de simetría esférica
Lista de tablas características de grupos químicamente importantes del espacio tridimensional
Grupos de puntos en espacio bidimensional
Grupos de puntos en el espacio de cuatro dimensiones
Simetría
Isometría del plano euclidiano
acción de grupo
Grupo de simetría de puntos
Singonía
grupo cristalográfico
Lista de grupos de pedidos pequeños
simetría molecular

Notas

↑ Fisher, Mellor, 2007 .
↑ por eje de orden n se entiende el eje de rotación a través de un ángulo de 360°/ n , tal rotación se denominará rotación de orden n .
↑ Coxeter, 1973 .
↑ Singularidades de Du Val, por Igor Burban

Literatura

HSM Coxeter . 7 Los grupos poliédricos binarios // [ [1] Politopos complejos regulares]. - Cambridge University Press, 1974. - S. 73-82.
HSM Coxeter . §12.6 El número de reflexiones, ecuación 12.61 // Politopos regulares . — 3ra edición. - Nueva York: Dover Publications Inc., 1973. - ISBN 0-486-61480-8 .
HSM Coxeter , WOJ Moser. 6.5 Los grupos poliédricos binarios, pág. 68 // Generadores y Relaciones para Grupos Discretos, 4ª edición. - Nueva York: Springer-Verlag, 1980. - ISBN 0-387-09212-9 .
John Horton Conway , Daniel H. Huson. La notación Orbifold para grupos bidimensionales // Química estructural. - Springer Holanda, 2002. - T. 13 , no. 3 . — S. 247–257 . -doi :: 1015851621002 .
GL Fisher, B. Mellor. Grupos de puntos finitos tridimensionales y la simetría de cuentas // Revista de Matemáticas y Artes . — 2007.

Enlaces

Resumen gráfico de los 32 grupos de puntos cristalográficos : forman las primeras partes (aparte de omitir n = 5) de las 7 series infinitas y 5 de los 7 grupos de puntos 3D separados
The Geometry Center: 10.1 Fórmulas para simetrías en coordenadas cartesianas (tres dimensiones)