Esquina

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Esquina
∠
Dimensión adimensional
Unidades
SI radián
Otras unidades grado, minuto, segundo , grado , milésima

El ángulo  es una figura geométrica formada por dos semirrectas ( lados de un ángulo) que emergen de un punto (que se denomina vértice del ángulo) [1] .

Información general

El plano que contiene ambos lados del ángulo se divide por el ángulo en dos regiones. Cada una de estas áreas, combinadas con los lados de la esquina, se denomina esquina plana (o simplemente esquina, si esto no causa confusión). Una de las esquinas planas (generalmente la más pequeña de las dos) a veces se denomina convencionalmente interna y la otra como externa . Los puntos de un ángulo plano que no pertenecen a sus lados forman el área interior de un ángulo plano .

En otra versión equivalente de la definición de un ángulo plano, se llama una parte del plano, que es la unión de todos los rayos que salen de un punto dado ( el vértice del ángulo) y se cortan con alguna línea que se encuentra en este plano (que se llama la línea que subtiende el ángulo plano dado).

A menudo, por brevedad, al ángulo también se le llama medida angular , es decir, el número que determina la magnitud del ángulo.

Además de los ángulos planos más comunes, los objetos más generales pueden considerarse como ángulos: figuras formadas por arcos que se cruzan, semiplanos y otras figuras tanto en euclidiana como en otros tipos de geometría en espacios métricos de varias dimensiones .

Designación de esquinas

Hay un símbolo generalmente aceptado para denotar un ángulo: propuesto en 1634 por el matemático francés Pierre Erigon . El carácter está en Unicode ( U+2220 ∠ ángulo ).

En expresiones matemáticas, los ángulos a menudo se indican con letras griegas minúsculas: α, β, γ, θ, φ , etc. Como regla general, estas designaciones también se aplican al dibujo para eliminar la ambigüedad al elegir el área interna de la esquina. Para evitar confusiones con pi , el símbolo π generalmente no se usa para este propósito. Las letras ω y Ω se usan a menudo para denotar ángulos sólidos (ver más abajo) .

También a menudo, el ángulo se denota con tres símbolos de puntos, por ejemplo, en tal notación  : el vértice y los  puntos que se encuentran en diferentes lados del ángulo. En relación con la elección en matemáticas de la dirección de los ángulos de conteo en el sentido contrario a las agujas del reloj, se acostumbra enumerar los puntos que se encuentran a los lados en la designación del ángulo también en el sentido contrario a las agujas del reloj. Esta convención permite la falta de ambigüedad al distinguir entre dos esquinas planas con lados comunes pero diferentes regiones interiores. En los casos en que la elección del área interior de una esquina plana sea clara del contexto, o se indique de alguna otra manera, se puede violar esta convención. Ver variaciones y generalizaciones .

La notación de líneas rectas que forman los lados de un ángulo se usa con menos frecuencia. Por ejemplo,  - aquí se supone que nos referimos al ángulo interno del triángulo , α , que debe ser denotado por .

Entonces, para la figura de la derecha , las entradas γ y significan el mismo ángulo.

A veces se utilizan letras latinas minúsculas ( a, b, c, ...) y números para designar esquinas.

En los dibujos, las esquinas están marcadas con pequeños grilletes simples, dobles o triples que corren a lo largo del interior de la esquina centrados en el vértice de la esquina. La igualdad de ángulos puede estar marcada por la misma multiplicidad de los arcos o por el mismo número de trazos transversales en el arco. Si es necesario indicar la dirección de la lectura del ángulo, se marca con una flecha en el arco. Los ángulos rectos no están marcados por arcos, sino por dos segmentos iguales conectados dispuestos de tal manera que junto con los lados forman un pequeño cuadrado, uno de cuyos vértices coincide con el vértice del ángulo.

Medida de ángulo

La medida del ángulo , que permite comparar ángulos planos, se puede introducir de la siguiente manera. Dos ángulos planos se llaman iguales (o congruentes ) si pueden combinarse de manera que sus vértices y ambos lados coincidan. De cualquier rayo en el plano en una dirección dada, se puede apartar un solo ángulo igual al dado. Si una esquina se puede colocar completamente dentro de otra esquina de tal manera que el vértice y uno de los lados de estas esquinas coincidan, entonces la primera esquina es menor que la segunda. Llamemos adyacentes a dos ángulos situados de modo que el lado de uno coincida con el lado del otro (y por tanto los vértices coincidan), pero sus regiones internas no se cortan. Un ángulo formado por los lados no coincidentes de dos ángulos adyacentes se llama compuesto de estos ángulos. A cada ángulo se le puede asignar un número (medida angular) de tal forma que:

En algunos sistemas de notación, si es necesario distinguir entre un ángulo y su medida, se utiliza la notación para el ángulo (figura geométrica), y para el valor de la medida de este ángulo, la notación

El ángulo se mide:

La medida de grado más común es grado, minuto, segundo , en la que 1/180 del ángulo expandido se toma como 1° (ver más abajo ), un minuto y un segundo . La medida en grados se usa en geometría elemental (midiendo ángulos en dibujos con un transportador ), en geodesia en un mapa y en el suelo (se usa un dispositivo muy preciso para medir ángulos en el suelo: una camioneta / teodolito).

La medida en radianes de un ángulo es la relación entre la longitud s del arco que se contrae y su radio r . La medida en radianes se utiliza en análisis matemático (por ejemplo, como argumento numérico de funciones trigonométricas y para determinar los valores numéricos (tabulares y gráficos ) de funciones de arco inverso ), en planimetría y mecánica (al considerar la rotación alrededor de un punto o eje y otros procesos descritos mediante funciones trigonométricas, vibraciones, ondas , etc.).

Los ángulos también se pueden medir en revoluciones . Una revolución es un ángulo completo (es decir, un ángulo de 360 ​​grados). Se dice que un ángulo arbitrario es x revoluciones si x  es la razón de la longitud s del arco que subtiende el ángulo a la longitud L del círculo que contiene este arco.

La medida del granizo para medir ángulos fue propuesta para su uso históricamente, en la actualidad casi nunca se usa, ya que no ha suplantado al grado sexagesimal más común .

La medida de los ángulos en grados se remonta a la antigua Babilonia , donde se utilizaba el sistema numérico sexagesimal , del que se han conservado huellas en la división del tiempo y de los ángulos. Un grado (1/360 de un ángulo completo) se divide en 60 minutos de arco (o minutos de arco), a su vez, un minuto se divide en 60 segundos de arco (segundos de arco). Los ángulos más pequeños se miden en unidades de subsegundos, formadas con la ayuda de prefijos SI (milisegundo de arco, microsegundo de arco, etc.).

1 vuelta = 2 π radianes = 360° = 400 grados .

En el sistema SI , la unidad básica de medida del ángulo es el radián .

En la terminología náutica, los ángulos se miden en puntos . 1 rumbo es igual a 1 ⁄ 32 del círculo completo (360 grados) de la brújula, es decir, 11,25 grados o 11°15′.

En astronomía, el ángulo de ascensión recta y el ángulo horario en el sistema de coordenadas ecuatoriales se miden en horas, minutos y segundos (respectivamente 1 ⁄ 24 , 1 ⁄ 1440 y 1 ⁄ 86 400 de un círculo completo); esto se debe a la velocidad angular de la rotación axial de la Tierra, que es de aproximadamente 1 revolución cada 24 horas [2] . Así, en una hora (minuto, segundo) de tiempo, la esfera celeste "gira" aproximadamente 1 hora (minuto, segundo) en medida angular. Las cantidades angulares restantes en astronomía se suelen expresar en grados, minutos y segundos de arco. Un segundo (minuto) de ascensión recta equivale a 15 segundos (minutos) de arco.

En el negocio de la artillería y las armas también se utilizan las divisiones de milésimas y goniómetros .

En algunos contextos, como identificar un punto en coordenadas polares o describir la orientación de un objeto en dos dimensiones en relación con su orientación base, los ángulos que difieren en un número entero de revoluciones completas son efectivamente equivalentes. Por ejemplo, en tales casos, los ángulos 15° y 360015° (= 15° + 360°×1000) pueden considerarse equivalentes . En otros contextos, como identificar un punto en una curva en espiral o describir la rotación acumulada de un objeto en dos dimensiones sobre su orientación inicial, los ángulos que difieren en un número entero distinto de cero de revoluciones completas no son equivalentes.

Algunas esquinas planas tienen nombres especiales. Además de las unidades de medida anteriores (radian, rumbo, grado, etc.), estas incluyen:

A veces, los ángulos (por ejemplo, el ángulo de inclinación de una superficie) no se miden por la medida angular real, sino por su tangente (o seno ), es decir, la relación entre la elevación a lo largo del plano inclinado y la proyección sobre la horizontal de el camino recorrido a lo largo de él (o a este camino mismo). Para el caso habitual de ángulos de pendiente pequeños, esta relación es aproximadamente igual al ángulo expresado en radianes ( tan α ≈ sin α ≈ α , para α < 0,1 , la diferencia entre estos valores es inferior al 1%). En este caso, la relación suele expresarse como un porcentaje o ppm . Por ejemplo, una pendiente de la calzada del 10% significa que por cada 100 metros de recorrido (proyectados sobre la horizontal), la calzada sube 10 m; el ángulo con el horizonte es arctan (10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 radianes. Este método de medir ángulos no es, estrictamente hablando, una medida angular, ya que no tiene la propiedad de aditividad (ver arriba ). Ver también aproximaciones para ángulos pequeños .

Dirección de los ángulos de conteo

En matemáticas y física , por lo general, la dirección positiva de los ángulos de conteo es en sentido contrario a las agujas del reloj . Normalmente, el ángulo comienza a medirse a partir del haz cuyo origen coincide con el centro del sistema de coordenadas (SC), y la dirección coincide con la dirección positiva del eje de abscisas (en SC polar , SC cilíndrico , SC esférico , SC en un círculo trigonométrico y otros).

En geografía y geodesia , la dirección "hacia el norte " se toma como origen de los ángulos en acimut ; el ángulo se cuenta en el sentido de las agujas del reloj . Así, la dirección "hacia el este " corresponde a un ángulo de acimut de 90 °, "hacia el sur " - 180 °, "hacia el oeste " - 270 °. En artillería , la dirección del eje polar es " sur " y el ángulo polar correspondiente también se llama acimut (la dirección " oeste " corresponde a un ángulo acimutal de 90°).

Tipos de ángulos

Los ángulos se nombran según su tamaño.

Bisectriz

La bisectriz (del latín  bi- "doble" y sectio "cortar") de un ángulo es un rayo que sale del vértice del ángulo y pasa por su región interior, que forma dos ángulos iguales con sus lados. La distancia de cualquier punto de la bisectriz a los lados del ángulo es la misma (y, a la inversa, cualquier punto de la región interna del ángulo, equidistante de los lados del ángulo, se encuentra en su bisectriz).

Esquinas planas

El término ángulo plano se utiliza como sinónimo del término ángulo , definido al principio del artículo, para distinguirlo del concepto de ángulo sólido utilizado en estereometría (incluido un ángulo diédrico, triédrico o poliédrico).

Las propiedades de los ángulos planos a menudo se entienden como las proporciones de los ángulos (adyacentes, adicionales, adyacentes, verticales - ver más abajo) en el caso de que los ángulos se encuentren en el mismo plano (para la planimetría, esto está implícito por sí mismo, pero para los sólidos). geometría, la aclaración es necesaria, de lo contrario, las proporciones enumeradas a continuación no tienen lugar, y los ángulos en sí, si no se encuentran en el mismo plano, no se denominan adyacentes o adyacentes (vertical siempre se encuentran en el mismo plano automáticamente).

Ángulos verticales y adyacentes

Casos especiales de ángulos adyacentes.

Esquinas planas con lados (anti)paralelos

Los ángulos cuyos lados son paralelos por pares y codireccionales (o paralelos por pares y de dirección opuesta) son iguales entre sí. Un par de ángulos en los que un par de lados son paralelos y están codirigidos entre sí, y el segundo par de lados son paralelos y tienen direcciones opuestas, suman un ángulo llano, luego 180 ° (ver figura), ya que pueden convertirse en ángulos adyacentes por traslación paralela ("pegando" los lados codireccionales).

Ángulos con lados mutuamente perpendiculares

Esquina exterior de un triangulo

Ángulos de polígono

La suma de los ángulos interiores α i de un n -gono arbitrario sin autointersecciones es

Asi que,

Consecuencia

Llamemos al ángulo externo β i (atención, esta no es la definición habitual de un ángulo externo) el ángulo que complementa el ángulo interno α i en un ángulo completo: β i = 360° − α i .

La suma de los ángulos exteriores de un n -ágono arbitrario sin autointersecciones es

Ángulo central e inscrito

Cualquier arco particular de un círculo puede estar asociado con un solo centro y un número infinito de ángulos inscritos.

  • esquina central

  • ángulo inscrito

  • Un ángulo central  es un ángulo con un vértice en el centro del círculo . El valor del ángulo central es igual a la medida en grados del arco encerrado entre los lados de este ángulo.
  • Un ángulo inscrito  es un ángulo cuyo vértice se encuentra en un círculo y cuyos lados intersecan el círculo. El valor de un ángulo inscrito es igual a la mitad de la medida en grados del arco delimitado por sus lados. Todos los ángulos inscritos que subtienden un mismo arco son iguales.

El valor del ángulo inscrito es igual a la mitad del valor del ángulo central , basado en la base del círculo en el mismo arco (ver Fig.).

Variaciones y generalizaciones

El valor del ángulo orientado entre las líneas rectas y (notación: ) es el valor del ángulo por el cual la línea recta debe girarse en sentido antihorario para que sea paralela a la línea recta En este caso, los ángulos que difieren en n 180 ° ( n  es un número entero) se consideran iguales. El ángulo orientado entre las líneas y no es igual al ángulo orientado entre las líneas y (suman 180° o, por convención, lo mismo, 0°). Los ángulos orientados tienen las siguientes propiedades: a) b) c) los puntos que no están en la misma línea recta pertenecen al mismo círculo si y solo si

Una serie de problemas prácticos conducen a la conveniencia de considerar el ángulo como una figura obtenida al girar un rayo fijo alrededor del punto O (del que emana el rayo) a una posición dada. En este caso, el ángulo es una medida de la rotación de la viga. Tal definición nos permite generalizar el concepto de ángulo ampliando su dominio de definición a toda la recta numérica : se introducen los ángulos mayores de 360°, dependiendo del sentido de rotación se distinguen los ángulos positivos y negativos . En trigonometría , tal consideración permite estudiar funciones trigonométricas para cualquier valor del argumento.

El concepto de ángulo se generaliza al ángulo sólido considerado en estereometría .

Ángulo sólido

Una generalización de un ángulo plano a la estereometría es un ángulo sólido: una parte del espacio, que es la unión de todos los rayos que emergen de un punto dado ( el vértice del ángulo) y se cruzan con alguna superficie (que se llama la superficie que subtiende el ángulo). ángulo sólido dado).

Los ángulos sólidos se miden en estereorradianes (una de las unidades SI básicas), así como en unidades fuera del sistema, en partes de una esfera completa (es decir, un ángulo sólido completo de 4 π estereorradianes), en grados cuadrados, minutos cuadrados y segundos cuadrados.

Los ángulos sólidos son, en particular, los siguientes cuerpos geométricos:

  • ángulo diedro  - una parte del espacio limitada por dos planos que se cruzan;
  • ángulo triédrico  - una parte del espacio delimitada por tres planos que se cruzan;
  • ángulo poliédrico  - una parte del espacio limitada por varios planos que se cruzan en un punto.

Un ángulo diedro se puede caracterizar tanto por un ángulo lineal (el ángulo entre los planos que lo forman) como por un ángulo sólido (cualquier punto en su borde  , la intersección directa de sus caras, se puede elegir como vértice). Si el ángulo lineal de un ángulo diedro (en radianes) es φ , entonces su ángulo sólido (en estereorradianes) es 2 φ .

Ángulo entre curvas

Tanto en planimetría como en geometría sólida, así como en otras geometrías, es posible determinar el ángulo entre curvas suaves en el punto de intersección: por definición, su valor es igual al ángulo entre las tangentes a las curvas en el punto de intersección. punto de intersección.

Ángulo y producto escalar

El concepto de ángulo se puede definir para espacios lineales de naturaleza arbitraria (y de dimensión arbitraria, incluso infinita), en los que se introduce axiomáticamente un producto escalar definido positivo entre dos elementos del espacio y el producto escalar permite también definir el llamada norma (longitud) de un elemento como la raíz cuadrada del elemento producto sobre sí mismo De los axiomas del producto escalar, se sigue la desigualdad de Cauchy-Bunyakovsky (Cauchy-Schwartz) para el producto escalar: de donde se sigue que el valor toma valores de −1 a 1, y los valores extremos se alcanzan si y solo si los elementos son proporcionales ( colineales ) entre sí (geométricamente hablando, sus direcciones son iguales u opuestas). Esto permite interpretar la relación como el coseno del ángulo entre los elementos y En particular, se dice que los elementos son ortogonales si el producto punto (o coseno del ángulo) es cero.

En particular, se puede introducir el concepto de un ángulo entre funciones continuas en un cierto intervalo , si introducimos el producto escalar estándar, entonces las normas de las funciones se definen como Entonces, el coseno del ángulo se define de la manera estándar como la relación de el producto escalar de funciones a sus normas. Las funciones también se pueden llamar ortogonales si su producto escalar (la integral de su producto) es cero.

En geometría de Riemann , puede determinar de manera similar el ángulo entre vectores tangentes usando el tensor métrico.El producto escalar de vectores tangentes y en notación tensorial tendrá la forma: respectivamente, las normas de los vectores - y Por lo tanto, el coseno del ángulo será ser determinado por la fórmula estándar para la relación del producto escalar indicado a las normas de los vectores:

Ángulo en el espacio métrico

También hay una serie de obras en las que se introduce el concepto de ángulo entre elementos de un espacio métrico.

Sea  un espacio métrico . Sean, además,  elementos de este espacio.

K. Menger introdujo el concepto de ángulo entre vértices y con un vértice en un punto como un número no negativo que satisface tres axiomas:

  • si y solo si
  • si y solo si

En 1932, Wilson consideró la siguiente expresión como un ángulo:

Es fácil ver que la expresión introducida siempre tiene sentido y satisface los tres axiomas de Menger.

Además, el ángulo de Wilson tiene la propiedad de que en el espacio euclidiano es equivalente al ángulo entre elementos y en el sentido del espacio euclidiano.

Medición de ángulos

Una de las herramientas más comunes para construir y medir ángulos es un transportador (así como una regla  , ver más abajo); por regla general, se utiliza para construir un ángulo de cierta magnitud. Se han desarrollado muchas herramientas para medir ángulos con mayor o menor precisión:

La distancia angular (o simplemente el ángulo) entre dos objetos para el observador es la medida del ángulo en la parte superior del cual se encuentra el observador y los objetos se encuentran a los lados. La mano se puede usar para estimar aproximadamente los ángulos entre dos objetos distantes. Con el brazo extendido, una distancia angular de 1 grado (1°) corresponde al ancho del dedo meñique (ver también más abajo; el ancho angular del dedo medio con el brazo extendido es de aproximadamente 2°), un ángulo de 10 grados con el ancho de un puño cerrado ubicado horizontalmente (o el diámetro de la palma), un ángulo de 20 grados (o aproximadamente 15 ° ÷ 17 ° ÷ 20 °) - la distancia entre las puntas del pulgar y el índice divorciados ( palmo ), y el angular La distancia desde la punta del dedo meñique hasta la punta del pulgar es aproximadamente un cuarto del ángulo recto . Estos son datos promedio. Se recomienda refinarlos por su propia mano.

Varios métodos y dispositivos para medir ángulos se caracterizan por la resolución angular , es decir, el ángulo mínimo que se puede medir con este método. La mejor resolución angular la poseen varios métodos interferométricos , que en algunos casos permiten medir ángulos de varios microsegundos de arco (~10 −11 radianes).

Ejemplos de medidas trigonométricas prácticas

Resolver problemas de forma sencilla

Cómo medir un ángulo (por ejemplo, en un mapa ) usando los lados de un triángulo (por ejemplo, en ausencia de una calculadora de ingeniería/trigonométrica (y tablas ) y sin PC ( MS Office Excel ) para calcular cos) e improvisado significa - reglas con divisiones milimétricas?
En los lados de la esquina, reserve segmentos de 60 mm y conecte los extremos con una línea recta. La longitud de esta línea en milímetros dará el valor aproximado del ángulo en grados. De esta forma, se pueden medir ángulos agudos de hasta 60° con suficiente (aceptable) precisión. Si el ángulo es mayor a 60°, mida su complemento a 90°, 180, 270° o 360°. Para medir la suma de 90 ° o 270 ° desde el vértice del ángulo, se construye una perpendicular a uno de los lados usando un triángulo (en un triángulo isósceles, la mediana es la bisectriz , también es la altura ).

¿Cómo medir el ángulo con una regla (para orientación visual en el suelo... y comparar el ángulo en el mapa - ver punto 1)?
Coloque una regla con divisiones milimétricas frente a usted a una distancia de 57 cm ( no más de 60 cm ) del ojo. En este caso, una división de 1 cm corresponderá a un ángulo de visión de 1°. Puedes verificar fácilmente la validez de este método si recuerdas que el arco del ángulo central de 1° es aproximadamente 1/57 del radio. La precisión de medir ángulos con una regla (así como con los dedos; ver más abajo) depende de la precisión de la posición de la regla (o de los dedos) a la distancia requerida del ojo. Esto se puede entrenar rápidamente con la ayuda de un hilo, cuya longitud corresponde a la distancia desde el ojo hasta los dedos de la mano extendida.

¿Cómo se pueden medir y trazar ángulos en el suelo sin el uso de goniómetros?
Esto se puede hacer más simplemente comparando el ángulo medido con un ángulo recto. Puede reservar un ángulo recto con las direcciones de las manos, una de las cuales se extiende a lo largo de los hombros, y la segunda con el pulgar levantado se dirige de modo que el dedo de la mano derecha quede frente al ojo derecho (respectivamente, el dedo de la mano izquierda está delante del ojo izquierdo). Un ángulo recto se puede dividir visualmente en dos o tres partes iguales, cada una de las cuales corresponderá a 45° o 30°.
Los ángulos más pequeños se pueden apartar o medir en el suelo de la siguiente manera. En primer lugar, mide con una regla el ancho de los tres dedos cerrados de tu mano: índice, medio y anular. Si lo tiene igual a 6 cm, entonces con el brazo extendido 60 cm, el ángulo de visión sobre ellos será de aproximadamente 6 °. En consecuencia, el ángulo de visión para cada uno de estos tres dedos será igual a un promedio de 2 °. Si obtiene el ancho de tres dedos, por ejemplo, 5 cm, para que los ángulos de visión sean los mismos, la mano debe extenderse 50 cm.

Con el brazo extendido, el ángulo de visión de los dedos pulgar e índice, separados en ángulo recto, es de aproximadamente 15°. ¿Cómo puedo verificar y verificar esto?
En primer lugar, fíjate en un punto de referencia en el suelo y aparta un ángulo de 90° de él. Esto se puede hacer usando la técnica descrita en el problema anterior. Luego, desde el punto de referencia, separe seis ángulos de 15 ° mirando con el pulgar y el índice, separados en ángulo recto. La última deposición del ángulo debe formar un ángulo recto en el suelo. Si esto no funcionó exactamente, debe repetir los depósitos, manteniendo la mano extendida un poco más cerca o más lejos del ojo (unos 60 cm). Esto determinará la distancia que necesita para extender el brazo para formar un ángulo de 15° [3] .

Los ángulos también se pueden calcular (calcular) usando varios instrumentos de medición y accesorios: usando trigonometría en una regla de conteo , una calculadora de ingeniería (incluida una calculadora (Windows) ), usando funciones de tabla de MS Office Excel : (1) cos , (2) luego arccos , y (3) convertir, también con funciones , el valor de radianes a grados (°) (si tiene una PC; también hay cálculos en línea de los ángulos de un triángulo a lo largo de lados dados); También hay tablas trigonométricas especiales: sin, cos, así como arccos, arcsin, este último, por cierto, se puede convertir (incluso con mayor frecuencia) en grados.

En geometría analítica, el ángulo entre líneas en el plano de coordenadas , por ejemplo, está dado por la ecuación:

(ver Función lineal ; ver también #Ángulo y producto escalar )

Notas

  1. ↑ Sidorov L. A. Angle // Enciclopedia matemática  : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - Stb. 467-468. - 1248 libras esterlinas. : enfermo. — 150.000 copias.
  2. ↑ De hecho, el período real de la revolución de la Tierra en relación con las estrellas fijas es aproximadamente 4 minutos más corto que 24 horas, véase tiempo sideral .
  3. ↑ Kuprin A. M. En el suelo y en el mapa. - M. Nedra, 1982. - 112 p.

Véase también

Literatura

  • Barabanov O. O. Comienzos de la historia de un ángulo recto // Historia de la ciencia y la tecnología. - 2015. - Nº 1 . - S. 16-27 . '
  • Pogorelov A. V. Geometría: un libro de texto para los grados 7-11 de la escuela secundaria . - M. : Educación , 1992. - 383 p. — ISBN 9785090038546 .
  • Sidorov L. A. Angle // Enciclopedia matemática  : [en 5 volúmenes] / Ch. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1985. - T. 5: Slu - Ya. - Stb. 467‒468. - 1248 libras esterlinas. : enfermo. — 150.000 copias.
  • Ángulo diedro // Enciclopedia matemática  : [en 5 volúmenes] / Cap. edición I. M. Vinogradov . - M. : Enciclopedia soviética, 1979. - T. 2: D - Koo. - Stb. 50. - 1104 libras esterlinas. : enfermo. — 150.000 copias.
  • Ponarin Ya. P. Geometría elemental. En 2 vols.- M .: MTsNMO , 2004.- S. 30-31. — ISBN 5-94057-170-0 .
  • Goniómetros / Ángulo (plano) // Gran Enciclopedia Soviética (en 30 volúmenes) / Cap. edición A. M. Projorov . - 3ra ed. - M. : "Enciclopedia soviética", 1977. - T. XXVI. — S. 459‒460. — 624 pág.
  • Weisstein, Eric W. Line Bisector  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. Angle  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. Polygon  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
  • K. Menger. Nuevos fundamentos de la geometría euclidiana  //  EL REVISTA AMERICANA DE MATEMÁTICAS 53: diario. - 1931. - Pág. 721-745 .
  • W. A. ​​Wilson. Sobre ángulos en ciertos espacios métricos  (inglés)  // Bulletin of American Mathematical Society 39. - 1932. - P. 580‒588 .