Álgebra Universal

El álgebra universal es una rama de las matemáticas que estudia las propiedades generales de los sistemas algebraicos , utilizando las similitudes entre varias estructuras algebraicas - grupos, anillos, módulos, retículas, introduciendo conceptos inherentes a todos ellos y estableciendo enunciados comunes a todos ellos. Ocupa una posición intermedia entre la lógica matemática y el álgebra general , como aparato realizador de la lógica matemática aplicada a las estructuras algebraicas generales.

El concepto central es un sistema algebraico , un objeto de máxima generalidad, que abarca una parte significativa de las variantes de las estructuras algebraicas ; sobre este objeto se pueden construir los conceptos de homomorfismo y sistemas factoriales, generalizando las construcciones correspondientes a partir de las teorías de grupos, anillos, redes, etc. Una dirección desarrollada en la sección es el estudio de clases de sistemas algebraicos axiomatizables, principalmente como aquellos definidos por las identidades de la variedad (incluidas las álgebras libres ), y definidos por las cuasi-identidades de la cuasi -variedad . En la Clasificación de materias matemáticas , se asigna una sección de nivel superior al álgebra universal 08.

Historia

La primera mención de una rama de las matemáticas con este nombre se refiere a Alfred Whitehead (su "Tratado sobre álgebra universal, con aplicaciones" [1] fue publicado en 1898 ) [2] , sin embargo, el surgimiento de una disciplina separada que estudia las estructuras algebraicas como conjuntos arbitrarios con conjuntos arbitrarios de operaciones y relaciones se asocia con el trabajo de Garrett Birkhoff en 1935 [3] [4] , en el marco de su trabajo sobre la teoría de la red , llamó la atención sobre una serie de construcciones paralelas utilizadas en la teoría de grupos y anillos : homomorfismos , grupos de factores y anillos de factores , subgrupos normales e ideales bilaterales . El trabajo de Birkhoff no provocó respuestas publicadas ni desarrollo durante algún tiempo, sin embargo, la década de 1940 marcó el surgimiento de cierto "folclore" asociado con un enfoque tan universal del álgebra, en particular, el enfoque fue esbozado en conferencias a fines de la década de 1940 por Philip Hall . Hall ) en la Universidad de Cambridge [2] .

El siguiente paso hacia la creación del álgebra universal como rama de las matemáticas es el trabajo de Alfred Tarski sobre teoría de modelos y Kenjiro Shoda sobre álgebras con operaciones binarias , así como el trabajo de Leon Genkin [5] , Anatoly Maltsev [6] , Abraham Robinson [7] , Bjarni Jonsson ( Isl. Bjarni Jónsson ) [8] , quienes llamaron la atención sobre la efectividad de aplicar el aparato de lógica matemática, utilizado en el marco de la teoría de modelos que se estaba construyendo en esos años , al estudio de los sistemas algebraicos como estructuras que generalizan modelos y álgebras. Al mismo tiempo, se señaló que el trabajo de Maltsev de 1941 [9] anticipaba un enfoque lógico del álgebra universal, pero no recibió respuestas ni un desarrollo oportuno debido a la guerra , y la conferencia de Tarski en el Congreso Internacional de Matemáticos en 1950 se señaló como el punto de partida para el segundo período de desarrollo de la sección [10] .

Desde finales de la década de 1950, se ha desarrollado la dirección que explora las álgebras libres , principalmente debido al trabajo de Edvard Marchevsky y la serie posterior de más de cincuenta artículos de matemáticos polacos en esta dirección [11] . A mediados de la década de 1950, Philip Higgins introdujo y estudió los grupos multioperadores [12] [13] como estructuras en las que la noción de un conmutador puede generalizarse y cualquier congruencia puede representarse como una descomposición en clases laterales en ideales (por analogía con el correspondiente propiedades de un subgrupo normal y de un anillo ideal de dos lados), posteriormente también se estudiaron clases especiales de grupos multioperadores (anillos multioperadores y álgebras).

Desde principios de la década de 1960, la teoría de las cuasivariedades y las cuestiones de su conexión con clases axiomatizables de sistemas algebraicos se ha estado desarrollando (Maltsev, Gorbunov ), la dirección de desarrollo más rápido a principios y mediados de la década de 1970 fue el estudio de variedades de congruencias . (Bjarni Jonsson, Gretzer).

Para 1968, la bibliografía sobre álgebra universal incluía más de 1000 artículos, para 1980, más de 5000; en el período de 1976 a 1988 se publicaron 2 mil obras [14] .

En la segunda mitad de la década de 1970, surgieron aplicaciones del álgebra universal en informática: la teoría de los tipos de datos abstractos , la teoría de los sistemas de gestión de bases de datos [15] , las aplicaciones se construyen principalmente en torno al concepto de álgebras de orden múltiple . Entre las principales áreas que se desarrollaron más activamente en las décadas de 1980 y 1990 [16] se encuentran la teoría de las cuasivariedades, la teoría de los conmutadores para variedades de congruencias y la teoría de la dualidad natural . En la década de 2000, una dirección separada recibió un desarrollo intensivo: la geometría algebraica universal , la generalización de la geometría algebraica clásica , el trabajo con campos algebraicos , a clases más amplias de sistemas algebraicos [17] .

Sistemas algebraicos, álgebras y modelos

El objeto básico de estudio de la sección es un sistema algebraico : un conjunto no vacío arbitrario con un conjunto dado (posiblemente infinito) de operaciones de matriz finita y relaciones de matriz finita: , , . El conjunto en este caso se llama portador (o conjunto principal ) del sistema, el conjunto de símbolos funcionales y predicados con sus aridades es su firma . Un sistema con un conjunto vacío de relaciones se denomina álgebra universal (en el contexto del sujeto, más a menudo solo un álgebra ), y con un conjunto vacío de operaciones, un modelo [18] o un sistema de relaciones , un sistema relacional [19] . ${\mathfrak {A}}=\langle A,\;F,\;R\rangle$ $F=\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ ldots \rangle$ $R=\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1)),\;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i)),\;\ldots \rangle$ $A$ $\langle F,\;R,\;\langle n_{1},\;\ldots n_{i},\;\ldots \rangle ,\;\langle m_{1}\ldots m_{i} ,\;\ldots \rangle \rangle$

Todas las estructuras algebraicas generales básicas encajan en esta abstracción, por ejemplo, un conjunto parcialmente ordenado es un sistema relacional dotado de una relación binaria de orden parcial, y un grupo es un álgebra equipada con una operación cero [20] que selecciona un elemento neutro , un operación unaria para obtener un elemento inverso , y una operación asociativa binaria .

Debido al hecho de que cualquier operación -aria puede representarse como una relación -dimensional , cualquier sistema algebraico puede estudiarse como modelo, utilizando herramientas de teoría de modelos [21] . $norte$ $f\dos puntos A^{n}\a A$ $(n+1)$ $\mathrm {r} f=\{\langle a_{1},\;\ldots,\;a_{n},\;a_{n+1}\rangle \mid a_{n+1}= f(a_{1},\;\ldots,\;a_{n})\}$

Diseños básicos

Para los sistemas algebraicos, se introducen construcciones que son características de todas las estructuras algebraicas generales básicas: un subsistema ( subálgebra , submodelo ), como un subconjunto del portador del sistema, cerrado con respecto a todas las operaciones y relaciones, homomorfismo de sistemas, como aplicaciones entre sistemas del mismo tipo, conservando las operaciones y relaciones básicas, el isomorfismo , como homomorfismo invertible, el automorfismo como isomorfismo sobre sí mismo. La introducción del concepto de congruencia como una relación de equivalencia estable en un sistema hace posible construir tal construcción como un sistema factorial ( álgebra factorial , modelo factorial ) - un sistema sobre clases de equivalencia. Al mismo tiempo, se demuestra el teorema del homomorfismo , que es común a todos los sistemas algebraicos , afirmando que para cualquier homomorfismo, el mapeo natural del sistema factorial con respecto a la congurencia nuclear es un homomorfismo , y en el caso de las álgebras , es un isomorfismo . $\varphi \colon {\mathfrak {A}}(A,\;\Sigma )\to {\mathfrak {A}}'(A',\;\Sigma )$ ${\displaystyle {\mathfrak {A}}/\{(x,\;y)\in A\times A'\mid \varphi (x)=\varphi (y)\))$ ${\mathfrak A}'$

Todos los subsistemas de un sistema algebraico forman un retículo completo , además, cualquier retículo algebraico (es decir, un retículo, cada elemento del cual puede representarse como el límite superior mínimo de sus elementos compactos) es isomorfo al retículo de subálgebras de algunos álgebra universal [22] . Se estudiaron grupos de automorfismos de sistemas algebraicos [23] , redes de congruencias . En particular, se muestra que para cualquier grupo y retículas y existe un álgebra universal tal que , , . $\mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Estafa} \,{\mathfrak {A}}$ $GRAMO$ $L_0$ $L_{1}$ $\mathfrak A$ $G\cong \mathbf {Aut} \,{\mathfrak {A}}$ $L_{0}\cong \mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}$ $L_{1}\cong \mathbf {Con} \,{\mathfrak {A}}$

Sobre una familia de sistemas algebraicos del mismo tipo, un producto directo se define como un sistema cuyas operaciones y relaciones están definidas por coordenadas sobre el producto cartesiano de portadores: es decir, por - , y por - . Las proyecciones directas de productos son homomorfismos sobreyectivos naturales que restablecen operaciones y relaciones en los componentes del producto. El grado cartesiano de un sistema algebraico es producto directo consigo mismo: ; el retículo de congruencias de un álgebra en este sentido puede considerarse como entrando en el retículo de subálgebras de su cuadrado cartesiano , además, se ha establecido que es un subretículo completo en él [24] . $\prod_{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}(A_{i},\;\langle f_{1}\colon A^{n_{1}}\to A,\;\ldots f_{i}\colon A^{n_{i}}\to A,\;\ldots \rangle ,\;\langle r_{1}\subseteq A^{m_{1}}, \;\ldots r_{i}\subseteq A^{m_{i}},\;\ldots \rangle )}$ $f_{k}\colon (\prod_{i\in I}A_{i})^{n_{k}}\to \prod_{i\in I}A_{i}$ $f_{k}(\langle \ldots a_{i,\;1}\ldots \rangle ,\;\ldots ,\;\langle \ldots a_{i,\;n_{k))\ldots \ rangle )=\langle \ldots ,\;f(a_{i,\;1},\;\ldots a_{i,\;n_{k}}),\;\ldots \rangle$ $r_{k}\subseteq (\prod_{{i\in I}}A_{i})^{{n_{k}}}$ $\{\langle \ldots,\;r(a_{i,\;1},\;\ldots,\;a_{i,\;k}),\;\ldots \rangle \mid a_{ i,\;j}\en A_{i},\;i\en I,\;1\leqslant j\leqslant k\}$ $\pi _{k}\colon \prod _{i\in I}{{\mathfrak {A}}_{i}}\to {\mathfrak {A}}_{k}$ ${\mathfrak A}^{n}=\prod_{{i=1}}^{n}{{\mathfrak A}_{i}}$ $\mathbf {Estafa} \,{\mathfrak {A}}$ $\mathbf {Sub} \,{\mathfrak {A}}^{2}$

Variedades

Una variedad de sistemas algebraicos (o una clase ecuacional ) es una clase de sistemas algebraicos de firma fija, axiomatizados por un conjunto de identidades expresadas en términos de firma, este concepto generaliza clases de álgebras dadas axiomáticamente especiales como la clase de todos los semigrupos, la clase de todos los grupos, la clase de todos los anillos. La base para estudiar una construcción tan generalizada como una variedad es el teorema de Birkhoff , que establece que para que una clase no vacía de sistemas algebraicos sea axiomatizable por identidades, es necesario y suficiente que contenga: ${\mathfrak {K}}$

Producto cartesiano de una sucesión arbitraria (fue multiplicativamente cerrado); ${\mathfrak {K}}$
cualquier subsistema de un sistema arbitrario (era hereditario); ${\mathfrak {K}}$
la imagen homomórfica de cualquier -sistema (era homomórficamente cerrada) [25] . ${\mathfrak {K}}$

La tercera condición es equivalente a ser cerrado con respecto a los sistemas de factores.

En los estudios sobre álgebra universal, se estudian en detalle las propiedades estructurales de las variedades y los problemas de sumergibilidad de los sistemas de una variedad en los sistemas de otra variedad. Las subvariedades para una clase ecuacional dada forman un retículo por inclusión, y las propiedades de tales retículos de variedades son diferentes, en particular, el retículo de todas las variedades de retículos es distributivo y tiene la cardinalidad del continuo , y el retículo de todas las variedades de grupos es modular , pero no es distributivo.

Además de las variedades, clases de sistemas más generales como las prevariedades (clases completas de réplica), que son clases cerradas con respecto a las subálgebras y los productos cartesianos, que contienen un sistema de un elemento, y las cuasivariedades , están axiomatizadas por un conjunto de cuasiidentidades ( definidas por las cláusulas de Horn ), y también las variantes finitamente cerradas de variedades y cuasi-variedades son pseudo -variedades y pseudo-cuasi- variedades .

Álgebras libres

Álgebras especiales

Categorías de sistemas algebraicos

Aplicaciones

Notas

↑ Whitehead, Alfred North. Un tratado sobre álgebra universal, con aplicaciones . - Cambridge : Cambridge University Press , 1898. - 547 p.
↑ 1 2 Kohn, 1969 , pág. once.
↑ Maltsev, 1970 , pág. 7.
↑ Gretzer, 2008 , Aunque Whitehead reconoció la necesidad del álgebra universal, no obtuvo resultados. Los primeros resultados fueron publicados por G. Birkhoff en los años treinta, p. vii.
↑ Henkin L. Algunas interconexiones entre el álgebra moderna y la lógica matemática // Transactions of the American Mathematical Society . - 1953. - vol. 74 . - Pág. 410-427 . — ISSN 0002-9947 . Archivado desde el original el 21 de septiembre de 2015.
↑ AI Maltsev. Sobre la teoría general de los sistemas algebraicos // Colección matemática . - 1954. - T. 35 , N º 77 . - S. 3-20 . (Ruso)
↑ Abraham Robinson. Nota sobre un teorema de incrustación para sistemas algebraicos // Revista de la London Mathamtical Society . - 1955. - vol. 30 . - pág. 249-252 .
↑ Bjarni Jonson. Sistemas relacionales universales (inglés) // Mathematica Scandinavica. - 1957. - No. 5 . - pág. 224-229 . — ISSN 0025-5521 .
↑ Maltsev A.I. Sobre un método general para obtener teoremas locales de la teoría de grupos // Notas científicas del Instituto Pedagógico del Estado de Ivanovo. Serie de ciencias físicas y matemáticas. - 1941. - T. 1 , N º 1 . - S. 3-20 .
↑ Gretzer, 2008 , El artículo de Mal'cev de 1941 fue el primero, pero pasó desapercibido debido a la guerra. Después de la guerra, A. Tarski, LA Henkin y A. Robinson comenzaron a trabajar en este campo y comenzaron a publicar sus resultados alrededor de 1950. La conferencia de A. Tarski en el Congreso Internacional de Matemáticos (Cambridge, Massachusetts, 1950) puede considerarse como el comienzo del nuevo período., p. viii.
↑ Gretzer, 2008 , Marczewski enfatizó la importancia de las bases de álgebras libres; los llamó conjuntos independientes. Como resultado, Marczewski, J. Mycielski, W. Narkiewicz, W. Nitka, J. Plonka, S. Swierczkowski, K. Urbanik y otros fueron responsables de más de 50 artículos sobre la teoría algebraica de álgebras libres, p. viii.
↑ Higgins PJ Grupos con múltiples operadores // Actas de la London Mathematical Society. - 1956. - vol. 6 , núm. 3 . - Pág. 366-416 . -doi : 10.1112 / plms/s3-6.3.366 .
↑ Kurosh A. G. Conferencias sobre álgebra general / ed. ON Golovin - 2ª ed. — M .: Nauka , 1973. — 400 p. — ISBN 978-5-8114-0617-3
↑ Álgebra general, 1991 , p. 45.
↑ Plotkin B. I. Álgebra universal, lógica algebraica y bases de datos. — M .: Nauka, 1991. — 448 p. - 3960 copias. — ISBN 5-02-014635-8 .
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↑ Maltsev, 1970 .
↑ Gretzer, 2008 , pág. ocho.
↑ Se supone que $A^{0}=\varnada$
↑ Álgebra general, 1991 , p. 313.
↑ Gretzer, 2008 , Teorema 2, p. 48.
↑ Plotkin B. I. Grupos de automorfismos de sistemas algebraicos. — M .: Nauka , 1966. — 603 p. - 6000 copias.
↑ Álgebra general, 1991 , p. 302.
↑ Maltsev, 1970 , págs. 337-339.

Literatura

Artamónov V. A. . Capítulo VI. Álgebras Universales // Álgebra General / Ed. edición L. A. Skornyakova . - M. : Nauka , 1991. - T. 2. - S. 295-367. — 480 s. — (Biblioteca matemática de referencia). — 25.000 copias. — ISBN 5-9221-0400-4 .
Kon P. Álgebra Universal. - M .: Mir , 1969. - 351 p.
Maltsev AI Sistemas algebraicos. — M .: Nauka , 1970. — 392 p. - 17.500 ejemplares.
Gratzer, Jorge. Álgebra universal. — 2do. - Springer , 2008. - 585 págs. — ISBN 978-0-387-77486-2 .

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