Cálculo de variaciones

El cálculo de variaciones es una rama del análisis que estudia las variaciones en los funcionales . La tarea más típica es encontrar una función en la que el funcional dado alcance un valor extremo .

Los métodos del cálculo de variaciones se utilizan ampliamente en varias áreas de las matemáticas . Por ejemplo, en geometría diferencial , se utilizan para buscar líneas geodésicas y superficies mínimas . En física, el método variacional es una de las herramientas más poderosas para obtener ecuaciones de movimiento (ver, por ejemplo , el principio de mínima acción ), tanto para sistemas discretos como distribuidos, incluso para campos físicos. Los métodos del cálculo de variaciones también son aplicables en estática (ver Principios de variación ).

Términos y definiciones

Los conceptos más importantes del cálculo de variaciones son los siguientes:

variación (primera variación),
derivada variacional (primera derivada variacional),
además de la primera variación y la primera derivada variacional, también se consideran variaciones y derivadas variacionales de segundo orden y superiores.

La variación de la función en el análisis , coincidiendo en nombre, no está conectada de ninguna manera con el cálculo variacional .

El término variación ( variar ) se usa en el cálculo de variaciones para denotar encontrar una variación o una derivada variacional (este es un análogo del término diferenciación para el caso de un argumento de dimensión infinita, que es el tema del cálculo de variaciones). Además, a menudo por brevedad (especialmente en aplicaciones), el término variación se usa para denotar la solución de un problema variacional, que se reduce a encontrar la derivada variacional e igualarla a cero.

Un problema variacional significa, por regla general, encontrar una función (en el marco del cálculo de variaciones, una ecuación para una función) que satisfaga la condición de estacionariedad para algún funcional dado, es decir, una función cuyas perturbaciones (infinitamente pequeñas) no no provocar un cambio en lo funcional, al menos en el primer orden de pequeñez. Además, un problema variacional es un problema estrechamente relacionado con encontrar una función (una ecuación para una función) en la que un funcional dado alcanza un extremo local (en muchos aspectos, este problema se reduce al primero, a veces casi por completo). Por lo general, con tal uso de términos, se da a entender que el problema se resuelve mediante métodos de cálculo de variaciones.

Los ejemplos típicos de un problema variacional son los problemas isoperimétricos en geometría y mecánica; en física, el problema de encontrar las ecuaciones de campo de un tipo dado de acción para este campo.

Historia

Incluso en la antigüedad, aparecieron los primeros problemas variacionales relacionados con la categoría de problemas isoperimétricos , por ejemplo, el problema de Dido . Los antiguos matemáticos griegos ya sabían [1] :

De todas las figuras con un perímetro dado , el círculo tiene el área más grande.
De todos los polígonos con un número dado de lados y un perímetro dado, el polígono regular tiene el área más grande .
De todos los cuerpos con un área de superficie dada, la esfera tiene el mayor volumen . Arquímedes y Zenodor resolvieron un problema similar para los segmentos esféricos en el siglo II a. mi. escribió el libro "Sobre figuras isoperimétricas" (se han conservado citas extensas en las obras de otros autores).

El primer principio variacional fue formulado para las trayectorias de los rayos de luz reflejados por Garza de Alejandría en su obra "Katoptrik" (siglo I d. C.) [2] .

En la Europa medieval, los problemas isoperimétricos fueron abordados por I. Sacrobosco (siglo XIII) y T. Bradwardin (siglo XIV). Tras el desarrollo del análisis , aparecieron nuevos tipos de problemas variacionales, principalmente de carácter mecánico. Newton en los " Principios matemáticos de la filosofía natural " (1687) resuelve el problema: encontrar la forma de un cuerpo de revolución que ofrezca la menor resistencia al moverse en un gas o líquido (para unas dimensiones dadas). Un problema histórico importante que impulsó el desarrollo de la versión moderna del cálculo de variaciones fue el problema de la braquistocrona (1696). Su rápida solución por parte de varios matemáticos a la vez mostró las enormes posibilidades de los nuevos métodos. Entre otras tareas, cabe destacar la determinación de la forma de la catenaria (es decir, la forma del equilibrio de un hilo homogéneo pesado, 1690). Los métodos generales para resolver problemas variacionales aún no existían en este período, cada problema se resolvió con la ayuda de un razonamiento geométrico ingenioso (y no siempre perfecto).

Pierre Fermat formuló el principio básico de la óptica geométrica, en virtud del cual la luz en un medio no homogéneo elige el camino que tarda menos tiempo. En 1746, Maupertuis generalizó esta regla al introducir en la ciencia el primer principio de mínima acción .

Las contribuciones decisivas al desarrollo del cálculo de variaciones fueron hechas por Leonhard Euler y Joseph Lagrange . Euler posee la primera exposición sistemática del cálculo de variaciones y del propio término (1766). Lagrange obtuvo de forma independiente (desde 1755) muchos resultados fundamentales e introdujo el concepto de variación .

En esta etapa, se derivaron las ecuaciones de Euler-Lagrange . Representan una condición necesaria para un extremum, que se ha convertido en el fundamento analítico de los métodos variacionales. Sin embargo, pronto quedó claro que las soluciones de estas ecuaciones no dan en todos los casos un extremo real, y surgió el problema de encontrar condiciones suficientes que garantizaran un extremo. El primer estudio en profundidad (de la segunda variación) fue realizado por Legendre , pero Lagrange descubrió un error en su trabajo. Los resultados de Legendre fueron refinados y complementados por Jacobi (1837), luego por su alumno Hesse (1857) y más tarde por Weierstrass . Ahora bien, estas condiciones suficientes se denominan ecuaciones de Jacobi [3] .

Discusión informal

El contenido del cálculo de variaciones es una generalización del concepto de diferencial y una derivada de una función de un argumento vectorial de dimensión finita al caso de un funcional - una función cuyo dominio de definición es un cierto conjunto o espacio de funciones , y los valores se encuentran en el conjunto de los números reales o complejos.

En toda la parte inferior de esta sección, se supone que las funciones y los funcionales tienen la suavidad necesaria, es decir, la cuestión de la existencia de ciertas derivadas no se considera específicamente, especialmente porque en muchos problemas específicos esta cuestión no tiene importancia práctica (la suavidad necesaria ciertamente está allí).

El funcional asocia cada función específica de su dominio de definición con un número determinado. $\phi[f]$ $F$

Es fácil escribir análogos de la diferencial y la derivada direccional de la funcional.

Variación

El análogo del diferencial (el primer diferencial) es la variación en el cálculo de variaciones ( la primera variación ):

\delta\Phi=\Phi[f+\delta f]-\Phi[f]

(como en el caso de un diferencial, nos referimos a la parte lineal de este incremento, y en la forma tradicional se elige que sea infinitesimal, y al calcular la diferencia se descartan los infinitesimales de orden superior). Al mismo tiempo , desempeñar el papel de un diferencial o un pequeño incremento de una variable independiente, se denomina variación . $\ delta f$ $\ delta f$ $F$

Como se ve, el mismo, a su vez, es un funcional, ya que, en general, es diferente por diferente (también por diferente ). $\delta\Phi$ $F$ $\ delta f$

Por lo tanto, aplicado a los funcionales, este es un análogo directo del diferencial de una función de un argumento de dimensión finita (incluida la unidimensional):

dy=y(x+dx)-y(x)

- igualmente entendido como la parte lineal del incremento de la función con un incremento infinitesimal del argumento (o el término lineal en la expansión en potencias cerca del punto ). $y$ $X$ $y$ $dx$ $X$

Ejemplos

Para un funcional de una función real de un argumento real, para cualquier y será verdadero . $\Phi[f]=\cos(f(1))$ $F$ $\ delta f$ $\delta\Phi=-\sin(f(1))$
Para un funcional de una función real de un argumento real, para cualquier y será verdadero . $\Phi[f]=\cos(f(1))+\sin(f(6))$ $F$ $\ delta f$ $\delta\Phi=-\sin(f(1))+\cos(f(6))$
Para un funcional de una función real de un argumento real, para cualquier y será verdadero . $\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx$ $F$ $\ delta f$ $\delta\Phi=\int\limits_1^2(f(x)+\delta f(x))\,dx-\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2\delta f(x)\,dx$

Derivada direccional

( Derivada gateaux ) La derivada de la funcional en un punto de la dirección , obviamente, será $\Fi$ $F$ $gramo$

\frac{d\Phi[f+\alpha g]}{d\alpha}\bigg|_{\alpha=0}.

En principio, esto ya es suficiente para resolver un problema variacional típico: encontrar "puntos estacionarios", es decir, funciones para las cuales la primera variación o derivada direccional se anula para cualquier infinitesimal o finito . Son estos "puntos" en el espacio de funciones -es decir, precisamente tales funciones- los que son candidatos a extremos (comprobar si son realmente extremos, es decir, si se alcanza un extremo local en ellos, debe hacerse por separado, como en el caso de funciones de un argumento de dimensión finita; es interesante que en muchos problemas de física es más importante encontrar no extremos, sino precisamente puntos estacionarios). En algunas fuentes, existe una terminología en la que todos los puntos estacionarios del funcional se denominan extremos, y luego se descubre el tipo del extremo. El análisis de puntos estacionarios se basa en el estudio del signo de la segunda derivada con respecto a la dirección. $F$ $\ delta f$ $gramo$

Ejemplos (Aquí no se introduce ninguna notación especial para la derivada direccional).

La derivada del funcional en un punto a lo largo de la dirección es . $\Phi[f]=f(0)$ $f=\cos$ $g=\cos$ $\frac{d(\cos(0)+\alpha\cos(0))}{d\alpha}=1$
La derivada del funcional en un punto a lo largo de la dirección es . $\Phi[f]=f(0)$ $f=\cos$ $g=\pecado$ $\frac{d(\cos(0)+\alpha\sin(0))}{d\alpha}=0$
La derivada del funcional en un punto a lo largo de la dirección es . $\Phi[f]=\int\limits_0^{2\pi}\cos(x)f(x)\,dx$ $f=\cos$ $g=\cos$ $\frac{d}{d\alpha}\left((1+\alpha)\int\limits_0^{2\pi}\cos^2x\,dx)\right)=\pi$
La derivada del funcional en un punto a lo largo de la dirección es . $\Phi[f]=\int\limits_0^{2\pi}\cos(x)f(x)\,dx$ $f=\cos$ $g=\pecado$ $\frac{d}{d\alpha}\left(\alpha\int\limits_0^{2\pi}\sin x\cos x\,dx\right)=\frac{d0}{d\alpha}=0$

Derivada variacional

Para los funcionales integrales , que son un caso muy importante para las matemáticas y las aplicaciones, se puede introducir no solo un análogo del diferencial y un derivado en dirección, sino también un derivado de Fréchet , un análogo de un gradiente de dimensión finita , llamado derivado variacional. .

Es decir, en completa analogía con el caso de dimensión finita cuando

dy={\big (}{\vec {\nabla }}y,\;d{\vec {x}}{\big )}=\left({\frac {dy}{d{\vec {x}}}},\;d{\vec {x}}\right)=\sum_{i}\parcial_{i}y\,dx_{i}

donde es la designación del gradiente (o derivada de Fréchet) de la función , y es el producto escalar; es el operador de derivada parcial con respecto a la coordenada th, la suma es el diferencial total . $\vec\nabla y$ $y$ $(\;,\;)$ $\parcial_i$ $i$

Para el funcional tenemos

\delta\Phi=\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f},\;\delta f\right)=\int\frac{\delta\Phi}{\delta f}(x)\ delta f(x)\,dx

donde es la notación para la derivada variacional , y la suma de una fórmula de dimensión finita se reemplaza naturalmente por integración. $\frac{\delta\Phi}{\delta f}$ $\Fi$

Asi que,

\frac{\delta\Phi}{\delta f}

es la notación estándar para la derivada variacional . Esta es también una cierta función de y (en términos generales, esta es una función generalizada de , pero esta reserva está más allá del alcance de la consideración, ya que se supone que todas las funciones y funcionales son arbitrariamente uniformes y no tienen singularidades).

X

F

En otras palabras, si es posible representar una variación

\delta\Phi=\Phi[f+\delta f]-\Phi[f]

como

\delta\Phi=\int A(x)\delta f(x)\,dx

, donde es alguna función ,

A

X

es decir , la derivada variacional por ("por " aquí significa que los argumentos o parámetros restantes no cambian; la rotación del habla "por " se puede omitir en el caso en que se determine con precisión qué funcional de qué función se considera , que en la práctica puede no ser clara a partir de su propia fórmula, que puede incluir otros parámetros y funciones; véase también a continuación). Eso es $A$ $\Fi$ $F$ $F$ $F$ $\Fi$

\frac{\delta\Phi}{\delta f} = A.

Ejemplos (Y aquí la diferencia de las integrales se reduce a una integral.)

Para el funcional tenemos $\Phi[f]=\int\limits_1^2 f(x)\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \left(f(x)+\delta f(x)\right)\,dx-\int \limits_1^2 f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta f(x)\,dx \Rightarrow \frac{\delta\Phi}{\delta f}=1.

Para un funcional, la derivada variacional se calcula como: $\Phi[f]=\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 K(x)f(x)\,dx=\int\limits_1^2 \delta(K(x)f(x))\,dx=\int\ límites_1^2 K(x)\delta f(x)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=K(x).

Por funcionalidad $\Phi[f]=\int\limits_1^2 L(f(x))\,dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 L(f(x))\,dx=\int\limits_1^2 \delta L(f(x))\,dx=\int\limits_1^2\ frac{\parcial L}{\parcial f}\delta f(x)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\parcial L}{\parcial f}.

Si expresamos la diferencia infinitesimal de una función en términos de su derivada y la diferencia del argumento , obtenemos:

\delta L(f)

\ delta f

\delta L=\frac{\parcial L}{\parcial f}\delta f.

Es fácil ver que esta definición se puede generalizar a cualquier dimensión de la integral. Para el caso bidimensional, la fórmula que generaliza directamente el caso unidimensional es verdadera: $norte$

\delta\Phi=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\right)\delta f(x)\,d^nx.

La noción de derivada variacional también se puede generalizar fácilmente al caso de funcionales de varios argumentos [4] :

\delta\Phi[f,\;g,\;\ldots]=\int\limits_\Omega\left(\frac{\delta\Phi}{\delta f}\delta f(x)+\frac{\ delta\Phi}{\delta g}\delta g(x)+\ldots\right)\,d\Omega.

Ejemplos (Aquí la diferencia de las integrales se reduce a una integral).

Para un funcional, el caso multidimensional de la derivada variacional se calcula como: $\Phi[f]=\int\limits_1^2\int\limits_3^4 L(f(x,\;y))\,dx\,dy$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2\int\limits_3^4 L(f(x,\;y))\,dx\,dy=\int\limits_1^2\int\limits_3^4\ delta L(f(x,\;y))\,dx\,dy=\int\limits_1^2\int\limits_3^4\frac{\parcial L}{\parcial f}\delta f(x,\ ;y)\,dx\,dy\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\parcial L}{\parcial f}.

Para el funcional tenemos $\Phi[f,\;g]=\int\limits_1^2 L(f(x),\;g(x))dx$

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2 L(f(x),\;g(x))\,dx=\int\limits_1^2\delta L(f(x),\;g( x))\,dx=\int\limits_1^2\left(\frac{\parcial L}{\parcial f}\delta f(x)+\frac{\parcial L}{\parcial g}\delta g (x)\right)\,dx\Rightarrow\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\parcial L}{\parcial f},\;\frac{\delta\Phi }{\ delta g}=\frac{\parcial L}{\parcial g}.

Expresando la diferencia infinitesimal de una función de varios argumentos como un diferencial total , obtenemos:

\delta L=\frac{\parcial L}{\parcial f}\delta f+\frac{\parcial L}{\parcial g}\delta g.

Variaciones y derivadas variacionales de segundo y orden superior

Como se describió anteriormente para el primer orden, se puede introducir el concepto de la segunda variación y la segunda derivada variacional del funcional, así como la -ésima variación y la -ésima derivada variacional : $norte$ $norte$

\delta^2\Phi,\;\frac{\delta^2\Phi[f]}{\delta f^2},\;\delta^n\Phi,\;\frac{\delta^n\Phi [f]}{\deltaf^n}.

Para funcionales que dependen de varias funciones, también se puede introducir el concepto de derivadas variacionales mixtas de diferentes órdenes, por ejemplo:

\frac{\delta^3\Phi[f,\;g]}{\delta f^2\delta g}.

Aquí no nos detendremos en esto en detalle, todo se hace de una manera completamente similar a la introducción de los diferenciales y derivados correspondientes para una función de un argumento de dimensión finita.

Un funcional cerca de un punto particular en el espacio de funciones se expande en una serie de Taylor , si, por supuesto, existen derivadas variacionales de todos los órdenes. Como en los casos de dimensión finita, la suma de un número finito de términos de esta serie da el valor del funcional con cierta precisión (del orden de pequeñez correspondiente) sólo para pequeñas desviaciones de su argumento (para las infinitamente pequeñas). Además, como en el caso de funciones de un argumento de dimensión finita, la serie de Taylor (la suma de todos los términos) puede no converger al funcional expandido en ella para cualquier desplazamiento finito distinto de cero, aunque tales casos son bastante raros en aplicaciones

Aplicación del cálculo de variaciones

Aunque los problemas a los que es aplicable el cálculo de variaciones son notablemente más amplios, en las aplicaciones se reducen principalmente a dos problemas principales:

encontrar puntos en el espacio de funciones en el que se define el funcional: puntos del funcional estacionario , funciones estacionarias, líneas, trayectorias, superficies , etc., es decir, encontrar para un dado aquellos para los cuales para cualquiera (infinitamente pequeño) , o , de lo contrario, donde , $\phi[f]$ $F$ $\delta\Phi=0$ $\ delta f$ $\frac{\delta\Phi}{\delta f}=0$
encontrar extremos locales del funcional, es decir, en primer lugar, determinar aquellos en los que toma valores extremos localmente: encontrar extremos (a veces también determinando el signo del extremo). $F$ $\phi[f]$

Evidentemente, ambos problemas están íntimamente relacionados, y la solución del segundo se reduce (con la debida suavidad del funcional) a resolver el primero, y luego comprobar si realmente se llega a un extremo local (lo que se hace de forma independiente manualmente, o, más sistemáticamente). , estudiando las derivadas variacionales de la segunda y, si todas son del mismo signo y al menos una de ellas es igual a cero, entonces de orden superior). En el proceso descrito, también se determina el tipo de extremo. A menudo (por ejemplo, cuando la función del funcional estacionario es única y todos los cambios en el funcional para cualquier perturbación grande tienen el mismo signo), la solución a la pregunta de si se trata de un extremo y de qué tipo es obvia en ventaja.

En este caso, muy a menudo el problema (1) resulta ser ni menos ni más importante que el problema (2), incluso cuando la clasificación del punto estacionario es indefinida (es decir, puede resultar ser un mínimo, un máximo o punto de silla, así como un extremo débil, un punto cerca del cual el funcional es exactamente constante o difiere de la constante en un orden superior al segundo). Por ejemplo, en mecánica (y en general en física) una curva o superficie de energía potencial estacionaria significa equilibrio, y la cuestión de si es un extremo está relacionada únicamente con la cuestión de la estabilidad de este equilibrio (que está lejos de ser siempre constante). importante). Las trayectorias de una acción estacionaria corresponden al posible movimiento, independientemente de si la acción sobre tal trayectoria es mínima, máxima o de silla. Lo mismo puede decirse de la óptica geométrica, donde cualquier línea de tiempo estacionario (no solo el tiempo mínimo, como en la simple formulación del principio de tiempo mínimo de Fermat ) corresponde al posible movimiento de un haz de luz en un medio óptico no homogéneo. Hay sistemas donde no hay extremos en absoluto, pero existen puntos estacionarios.

Los métodos para encontrar extremos condicionales y puntos estacionarios condicionales (ver más abajo) hacen que el cálculo de variaciones sea una herramienta aún más poderosa para resolver ambos problemas.

Técnica de variación

La técnica principal y habitual para encontrar la derivada variacional de la integral funcional , cuyo integrando incluye no solo el valor de la función en el punto , sino también los valores de sus derivadas, es decir, no solo , sino también , y así sucesivamente (en principio, se pueden incluir derivadas de cualquier orden, aunque en problemas prácticos los órdenes superiores al segundo son mucho menos comunes, y la mayoría de las veces el orden de las derivadas no es superior al primero; las derivadas de algún orden se incluyen en Funcionales prácticamente interesantes casi siempre: por ejemplo, una funcional como la longitud de una curva contiene derivadas de primer orden y la energía potencial de una barra elástica doblada son derivadas de al menos segundo orden) es la integración por partes. Esto, siguiendo un registro bastante transparente y obvio de la expresión de la variación del funcional directamente de acuerdo con la receta descrita en el artículo anterior, le permite lograr el objetivo: encontrar la derivada variacional. $\phi[f]$ $F$ $X$ $f(x)$ $df/dx$ $d^2f/dx^2$

La expresión para la variación del funcional se escribe de forma bastante directa y sencilla. Pero en este caso surge un inconveniente típico [5] , que consiste en que en este caso no sólo aparecen términos c sino también c en la expresión bajo la integral . Este inconveniente se elimina mediante la integración por partes . $\delta\phi[f]$ $\ delta f$ $\delta(df/dx)$

Consideremos esto primero con un ejemplo particular simple, y luego con uno general.

Ejemplo: Sea necesario encontrar la derivada variacional del funcional

\Phi[f]=\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\right)\,dx,

donde el primo denota la derivada con respecto a , y encuentre , para el cual el valor es extremal. $X$ $f(x)$ $\Fi$

Es fácil de escribir

\delta\Phi=\delta\int\limits_1^2\left((f'(x))^2+(f(x))^3\right)\,dx=\int\limits_1^2\left( \delta\left((f'(x))^2\right)+\delta\left((f(x))^3\right)\right)\,dx=

=\int\limits_1^2\left(2f'(x)\delta(f'(x))+3(f(x))^2\delta f(x)\right)\,dx.

Obviamente, la operación de derivar con respecto a puede intercambiarse libremente con la operación . Después $X$ $\delta$

\delta\Phi=\int\limits_1^2\left(2f'(x)(\delta f(x))'+3(f(x))^2\delta f(x)\right)\,dx .

Ahora bien, para no quedarnos bajo el signo de la derivada, que nos impide sacar entre paréntesis a ambos términos (el que queda entre paréntesis es la derivada variacional), debemos usar la integración por partes en el primer término: $\delta f(x)$ $\delta f(x)$

\delta\Phi=\int\limits_1^2 2f'(x)(\delta f(x))'\,dx+\int\limits_1^2 3(f(x))^2\delta f(x)\ ,dx=

=2f'(x)\delta f(x){\bigg |}_{1}^{2}-\int \limits _{1}^{2}(2f'(x))'\delta f( x)\,dx+\int \limits _{1}^{2}3(f(x))^{2}\delta f(x)\,dx.

Ahora puede volver a convertir la suma de las integrales en una y sacarla de los paréntesis : $\ delta f$

\delta\Phi=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2-\int\limits_1^2(2f'(x))'\delta f(x)\,dx+\int\limits_1 ^2 3(f(x))^2\delta f(x)\,dx=

=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'\delta f(x)+3(f(x) )^2\delta f(x)\derecha)\,dx=

=2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2+\int\limits_1^2\left(-(2f'(x))'+3(f(x))^2\right) \delta f(x)\,dx,

dejando el término límite , de pie solo. $2f'(x)\delta f(x)\bigg|_1^2=2f'(2)\delta f(2)-2f'(1)\delta f(1)$

El término límite se puede igualar a cero [6] , resolviendo así el problema de encontrar la derivada variacional (de hecho, por definición, es lo que está debajo de la integral entre paréntesis grandes, solo el término límite interfiere con la definición). La explicación del hecho de que el término de frontera sea igual a cero no es demasiado estricta (ver nota [6] ), pero nos restringimos a ella para centrarnos en lo principal.

Para empezar, nos fijamos en los puntos de la frontera, luego el término de la frontera desaparecerá, ya que tendrá que desaparecer en tal fijación en y . Para muchos problemas, dicha fijación de las condiciones de contorno tiene lugar inicialmente. Al buscar un extremo y una derivada variacional en una clase de funciones con tales condiciones de contorno, el término de contorno simplemente puede descartarse. Pero si las condiciones de contorno no son impuestas por el problema en sí, pueden imponerse artificialmente, el problema se resuelve para condiciones fijas y luego, entre el conjunto de soluciones para diferentes condiciones de contorno, se puede elegir la óptima (esto suele ser no es difícil). En resumen, la solución del problema con la reducción a cero del término de frontera contiene, entre otras, la solución del problema original, solo es necesario acotar la clase de soluciones ya encontradas, cambiando y eligiendo la mejor entre ellas. (Para un enfoque más ordenado y más general, ver más abajo.) $F$ $\ delta f$ $x=1$ $x=2$ $f(1)$ $f(2)$

Así, aquí por derivada variacional entendemos la derivada variacional con respecto a la clase de funciones con extremos fijos, que (al buscar un extremo y en problemas similares), siendo igual a cero, determina el comportamiento de la función dentro del segmento . En este sentido, para nuestro ejemplo tenemos: $[1;\;2]$

\frac{\delta\Phi}{\delta f}=(-2f'(x))'+3(f(x))^2,

y la condición necesaria para la extremidad es su igualdad a cero, es decir, tenemos una ecuación para : $F$

-2f''(x)+3(f(x))^2=0.\

La solución de esta ecuación diferencial dará una forma explícita , pero el problema de encontrar soluciones a la ecuación diferencial ya está más allá del alcance del cálculo de variaciones. La tarea de este último se limita a obtener tal ecuación y, posiblemente, condiciones adicionales que limiten la clase de soluciones admisibles. $f(x)$

Un ejemplo en una notación más general: Sea necesario encontrar la derivada variacional del funcional (el ejemplo anterior es un caso especial de esto y puede servir como ilustración de ello):

\Phi[f]=\int\limits_a^b L \left(f(x), f'(x), f''(x), ...)\right)\,dx,

donde el primo denota la derivada con respecto a , el primo doble denota la segunda derivada con respecto a , y todavía puede haber derivadas de orden superior denotadas por puntos, y encuentra , para las cuales el valor es extremo. Aquí, L se entiende como alguna función (por regla general, bien definida y específica para cada tarea específica, como en el ejemplo anterior, pero escrita aquí de manera abstracta para mayor generalidad) de varios argumentos. Los valores de las derivadas de la función f en cada punto del dominio de integración (que se denota aquí como un segmento, pero que también puede ser el eje real completo) se sustituyen como argumentos en L , después de lo cual se realiza la integración sobre x . $X$ $X$ $f(x)$ $\Fi$

Es fácil de escribir

\delta\Phi=\delta\int\limits_a^b L \left(f(x), f'(x), f''(x), ...)\right)\,dx

= \int\limits_a^b\left( \frac{\parcial L}{\parcial f}\delta f(x) + \frac{\parcial L}{\parcial f'}\delta f'(x) + \frac{\parcial L}{\parcial f''}\delta f''(x) + ... \right)\,dx,

donde las derivadas parciales, etc., son simplemente derivadas parciales de la función L con respecto a sus correspondientes argumentos, es decir, en esta notación simplemente se entienden los parámetros correspondientes (el significado es encontrar una diferencia infinitamente pequeña entre $\frac{\parcial L}{\parcial f}, \frac{\parcial L}{\parcial f'}, \frac{\parcial L}{\parcial f''}$ $f, f', f''$

L \left(f(x) + \delta f(x), (f(x) + \delta f(x))', (f(x) + \delta f(x))'', ... \Correcto)

L \izquierda(f(x), f'(x), f''(x), ...\derecha)

Obviamente, la operación de derivar con respecto a puede intercambiarse libremente con la operación , como se explica en detalle en el ejemplo anterior. Por lo tanto, aquí simplemente no ponemos corchetes indicando el orden de estas operaciones en expresiones, etc. $X$ $\delta$ $\delta f'(x), \delta f''(x)$

Ahora bien, para no estar bajo el signo de la derivada, que dificulta sacar los paréntesis de todos los términos del integrando (permaneciendo entre paréntesis - y habrá una derivada variacional), es necesario (representando la suma integral como la suma de integrales) al segundo término para aplicar integración por partes, al tercero - para aplicar integración por partes dos veces, a otros que contienen derivadas superiores (que se indican aquí con puntos suspensivos), aplicar integración por partes tres o más veces, hasta que todos los trazos desaparezcan con , etc.: $\delta f(x)$ $\delta f(x)$ $\delta f'''(x)$

\int\limits_a^b\left( \frac{\parcial L}{\parcial f}\delta f(x) + \frac{\parcial L}{\parcial f'}\delta f'(x) + \ frac{\parcial L}{\parcial f''}\delta f''(x) + ... \right)\,dx = \int\limits_a^b \frac{\parcial L}{\parcial f} \delta f(x)\,dx + \int\limits_a^b \frac{\parcial L}{\parcial f'}\delta f'(x)\,dx + \int\limits_a^b \frac{\ parcial L}{\f parcial''}\delta f''(x)\,dx + ...\, =

= \int\limits_a^b \frac{\parcial L}{\parcial f}\delta f(x)\,dx + \frac{\parcial L}{\parcial f'} \delta f(x) \bigg |_a^b - \int\limits_a^b \bigg(\frac{\parcial L}{\parcial f'}\bigg)' \delta f(x)\,dx + \frac{\parcial L}{\ f parcial''} \delta f'(x) \bigg|_a^b - \bigg(\frac{\parcial L}{\parcial f''}\bigg)' \delta f(x) \bigg|_a ^b + \int\limits_a^b \bigg(\frac{\parcial L}{\parcial f''}\bigg)''\delta f(x)\,dx + ...

Ahora puede volver a convertir la suma de las integrales en una y sacarla de los paréntesis : $\ delta f$

\delta \Phi = \frac{\parcial L}{\parcial f'} \delta f(x) \bigg|_a^b + \frac{\parcial L}{\parcial f''} \delta f'( x) \bigg|_a^b - \bigg(\frac{\parcial L}{\parcial f''}\bigg)' \delta f(x) \bigg|_a^b + ... + \int\ límites_a^b \bigg( \frac{\parcial L}{\parcial f} - \bigg(\frac{\parcial L}{\parcial f'}\bigg)' + \bigg(\frac{\parcial L} {\f parcial''}\bigg)'' + ... \bigg) \delta f(x)\,dx

dejando el término límite solo. El término límite se puede establecer en cero, como se describe y explica en el ejemplo particular anterior, y también, más cuidadosamente, en párrafos separados a continuación, dedicados por separado a cuestiones relacionadas con el miembro límite.

\frac{\delta\Phi}{\delta f}=\frac{\parcial L}{\parcial f} - \bigg(\frac{\parcial L}{\parcial f'}\bigg)' + \bigg (\frac{\L parcial}{\f parcial''}\bigg)'' + ... ,

y la condición necesaria para la extremidad es su igualdad a cero, es decir, tenemos una ecuación para : $F$

\frac{\parcial L}{\parcial f} - \bigg(\frac{\parcial L}{\parcial f'}\bigg)' + \bigg(\frac{\parcial L}{\parcial f'' }\bigg)'' + ... =0.\

(Sustituyendo aquí la forma específica de la función L , obtenemos una ecuación específica en lugar de esta notación, por ejemplo, sustituyendo la función en esta forma general de la ecuación de acuerdo con el ejemplo particular discutido anteriormente, a saber, también obtendremos la forma particular de la ecuación correspondiente a ese ejemplo, ya que aquí y las derivadas de segundo orden y superiores (indicadas por puntos suspensivos) -simplemente no- son todas iguales a cero). $L(f,f') = f^3 + f'^2,\$ ${\frac {\parcial L}{\parcial f))=3f^{2},{\frac {\parcial L}{\parcial f'))=2f',$

La solución de tal ecuación diferencial, como ya se mencionó anteriormente, en principio da una forma explícita , que, sin embargo, está más allá del alcance del cálculo de variaciones, que se limita a obtener una ecuación diferencial y, posiblemente, condiciones adicionales que limitan la clase de soluciones factibles (en conexión con el análisis del término de frontera) . $f(x)$

Uso de funciones genéricas

Esta sección considera un caso tan particular, pero importante en la práctica, del uso de funciones generalizadas para resolver problemas variacionales como el uso de la función delta de Dirac .

El uso de la función - (¡no confunda su designación con el símbolo de variación!), así como el uso de funciones generalizadas en general, permite expandir significativamente la clase de funcionales que se pueden escribir en forma de funcionales integrales, y a los que, por lo tanto, son aplicables los métodos básicos de variación (descritos anteriormente). Al mismo tiempo, los funcionales escritos de esta forma incluyen funcionales tan importantes en la práctica como los funcionales de límite , lo que facilita enormemente el trabajo con ellos y lo hace sistemático. $\delta$ $\delta(x)$

Para facilitar la percepción de este apartado, destacaremos la función delta en negrita: - para distinguirla del símbolo de variación. $\boldsymbol\delta$

Consideremos un ejemplo simple. Sea necesario encontrar una función que minimice la funcional , además, que las condiciones se le imponen . $f(x)$ $W[f]=\frac{1}{2}\int\limits_0^1(f'(x))^2\,dx$ $f(0)=10,\;f(1)=20$

Para que sea conveniente resolver este problema, es útil escribir las condiciones impuestas en el formulario (en este caso, son funcionales). No limitado a esto, usando la propiedad principal de la función delta, también podemos escribir en forma integral: $\Gamma_0[f]=10,\;\Gamma_1[f]=20$ $\Gamma_0[f]=f(0),\;\Gamma_1[f]=f(1)$ $\Gamma_0$ $\Gamma_1$

\Gamma_0[f]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\boldsymbol\delta(x-0)f(x)\,dx,

\Gamma_1[f]=\int\limits_{-\infty}^{+\infty}\boldsymbol\delta(x-1)f(x)\,dx.

Ahora es posible (al expandir el dominio de integración en la definición de , al menos por un valor infinitesimal, más allá del intervalo ) sumar y restar libremente [7] los funcionales , lo que nos permite simplemente reducir formalmente la solución del problema original al problema del extremo condicional del funcional (ver más abajo ), que se reduce a encontrar el extremo de un nuevo funcional con factores constantes , cuyos valores específicos, después de resolver el problema de encontrar el mínimo , deben seleccionarse resolviendo las ecuaciones algebraicas correspondientes. Por tanto, se cumplirán las condiciones de contorno. Y lo más importante, el funcional en este caso tendrá una forma integral completamente transparente, conveniente para la variación. $W$ $[0;1]$ $W,\;\Gamma_0,\;\Gamma_1$ $V=W-\lambda_0\Gamma_0-\lambda_1\Gamma_1$ $\lambda_0,\;\lambda_1$ $V$ $V$

Una técnica similar es conveniente cuando se imponen a la función deseada no condiciones de contorno, sino condiciones para satisfacer una cierta ecuación en cada punto . $X$

Extremos condicionales

Por brevedad, hablaremos en esta sección sobre extremos condicionales, pero todo lo escrito aquí es igualmente aplicable para encontrar puntos estacionarios en general.

Un extremo condicional es un extremo no en todo el dominio de definición de una función (funcional), sino en un cierto subconjunto del mismo, que se distingue por una condición (o condiciones) especialmente impuesta. Usualmente, estamos hablando de la asignación por esta condición (condiciones) de un subconjunto del dominio de definición con una dimensión más baja, que para dominios de dimensión finita tiene un cierto significado visual, pero para dominios de dimensión infinita (que generalmente son los dominios de definición de funcionales), las condiciones impuestas tienen que ser consideradas sólo de manera abstracta (lo que teóricamente no interfiere con tener una analogía útil con el caso de dimensión finita).

Sea necesario encontrar el extremo de lo funcional bajo alguna condición impuesta. $\phi[f]$

Notas y ejemplos

Como de costumbre, el caso trivial, cuando la condición impuesta se reduce a una expresión explícita de algo en términos de algo (por ejemplo, si se sabe que ), no tiene sentido considerarlo especialmente, ya que esto simplemente lleva a una reescritura del funcional en una nueva forma (o incluso a la reducción del funcional a una función de un número finito de variables). $f=\mathrm{const}\cdot\sin(x)+\mathrm{const}'\cdot\cos(x)$

Merece la consideración el caso cuando se impone en forma de igualdad a cero (en el caso general, una constante) de algunos otros funcionales (uno o más), o la imposición de una ecuación sobre la función deseada, que debe satisfacer.

Un caso típico del primer problema con una condición impuesta es un problema isoperimétrico (por ejemplo, el problema de Dido ). Un ejemplo del segundo tipo de condición puede ser la imposición en algunos problemas físicos del requisito de obedecer la ecuación de continuidad (para problemas estacionarios - su versión estacionaria ). $\mathrm{div}\vec v=0$

Los tipos principales del problema del extremo condicional que tiene sentido considerar son los siguientes:

Es necesario encontrar el extremo del funcional bajo la condición de que el otro funcional sea igual a cero ; (el hecho de que el lado derecho sea cero no viola la generalidad). $U[f]\$ $V[f]=0\$
Es necesario encontrar el extremo del funcional bajo la condición . $U[f]\$ $V_1[f]=0,\;V_2[f]=0,\;\ldots,\;V_N[f]=0$
Es necesario encontrar el extremo del funcional bajo la condición de cumplimiento de la ecuación , donde es alguna función y/o derivada de , denotada por trazos. $U[f]\$ $F\$ $v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n)})=0$ $v\$ $F\$ $F\$

(El tercer tipo de condición no está escrito aquí en su forma más general, pero esto es suficiente para nuestros propósitos).

Para los dos primeros casos, casi directamente (al nivel de rigor que ahora hemos adoptado, no tiene sentido trazar un límite entre el caso de funciones de un argumento de dimensión finita y funcionales), aplicamos el método de Lagrange de multiplicadores indefinidos . Es decir, para encontrar un extremo condicional bajo la imposición de condiciones apropiadas, es necesario resolver un problema variacional para el funcional en el primer y segundo caso, y luego seleccionar (resolviendo la ecuación en el primer caso y N ecuaciones con derivadas parciales para cada uno de ellos en el segundo) los que implementan mínimos en la familia de funciones f encontrada para las cuales estos son parámetros. Es decir, con respecto al cálculo de variaciones, el punto clave es encontrar e igualar a cero la variación (o derivada variacional) para algún funcional nuevo , para estos dos casos: $U[f]\$ $\hat U[f] = U[f] - \lambda V[f]$ $\hat U[f] = U[f] - \lambda_1 V_1[f] - \lambda_2 V_2[f]- \dots - \lambda_N V_N[f]$ $d \hat U/ d \lambda = 0$ $\lambda _{i}$ $\lambda$ $\lambda$ $\que U[f]$

$\delta \hat U = \delta (U - \lambda V) = 0,$
$\delta \hat U = \delta (U - \lambda_1 V_1- \lambda_2 V_2 - \dots - \lambda_N V_N) = \delta (U - \sum_i\lambda_i V_i) = 0,$

El tercer caso se considera aquí para la integral funcional . Luego, encontrar el extremo condicional se reduce primero a variar el funcional. $U[f] = \int\limits_\Omega \dots d\Omega$

\hat U[f] = U[f] - \int\limits_\Omega \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n )})d\Omega

\int\limits_\Omega \bigg( \dots - \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n)}) \bigg) d\Omega

donde es una variable perteneciente a la región de integración (unidimensional o n - dimensional), y es alguna función indefinida x que entrará en la ecuación obtenida después de calcular la derivada variacional e igualarla a cero. $X$ $\Omega$ $\lambda(x)$

La justificación de tal solución para el caso 3 puede ser la representación para cada punto del cumplimiento de la igualdad al igualar el funcional a cero usando la función delta de Dirac . Además, en el nivel informal considerado aquí, se puede considerar obvio que el problema se ha vuelto similar a la opción 2 y, después de sumar todo , su solución se reduce a la descrita anteriormente. $x_{0}$ $\Omega$ $v(f(x_0), f'(x_0), \puntos, f^{(n)}(x_0)) = 0$ $x_{0}$ $V_{x_0} = \int\limits_\Omega \delta(x-x_0) \lambda(x_0) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{(n )})d\Omega$ $x_{0}$

Así, el punto clave desde el punto de vista del cálculo de variaciones para encontrar el extremo condicional del tercer tipo se reduce a

\delta \hat U = \delta \int\limits_\Omega \bigg( \dots - \lambda(x) v(f,\;f',\;f'',\;\ldots,\;f^{ (n)})\bigg)d\Omega = 0.

Por derivadas para x multidimensional , se pueden entender, por ejemplo, derivadas parciales de varios órdenes , incluidas las mixtas.

La ecuación de Euler-Lagrange

Uno de los principales resultados clásicos del cálculo de variaciones, que son de gran importancia práctica, son las ecuaciones de Euler-Lagrange - ecuaciones diferenciales que deben ser satisfechas por una función que es estacionaria para una forma bastante general en su clase y muy importante de una integral funcional (y, por lo tanto, una función en la que tal funcional alcanza un extremo local también debe satisfacer estas ecuaciones).

Suficientemente estándar para obtener las ecuaciones de Euler-Lagrange es la forma habitual de encontrar la derivada variacional e igualarla a cero, o el método de escribir la variación prácticamente coincidiendo con ella usando notación estándar, como se describió anteriormente.

Aquí, para ampliar los tipos de ejemplos, se da la derivación de las ecuaciones de Euler-Lagrange usando la derivada direccional del funcional.

Derivación usando derivada direccional. Ejemplo privado

Para funciones suaves de una variable real o un argumento vectorial de dimensión finita, el máximo y el mínimo de una función dada se pueden encontrar encontrando los puntos donde la derivada se anula (al menos esta es una condición extrema necesaria). De manera similar, la solución de problemas suaves del cálculo de variaciones se puede obtener resolviendo la ecuación de Euler-Lagrange correspondiente.

Para ilustrar este proceso, consideremos primero el problema específico de encontrar la curva más corta en el plano que conecta dos puntos y . La longitud de la curva viene dada por $(x_1,\;y_1)$ $(x_2,\;y_2)$

A[f]=\int\limits_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+[f'(x)]^2}\,dx,

dónde

f'(x)=\frac{df}{dx},

y donde , y . La función debe tener al menos una derivada. Si es un mínimo local y es una función adecuada que se anula en los puntos de la frontera y tiene al menos la primera derivada, entonces obtenemos $y=f(x)$ $f(x_1)=y_1$ $f(x_2)=y_2$ $F$ $f_0$ $f_1$ $x_1$ $x_{2}$

A[f_0]\leqslant A[f_0+\varepsilon f_1]

para cualquiera cercano a 0. Por lo tanto, la derivada con respecto a (correspondiente, hasta un factor distinto de cero, a la primera variación de , calculada a través de la derivada direccional) debe anularse en para cualquier función . De este modo, $\varepsilon$ $A[f_0+\varepsilon f_1]$ $\varepsilon$ $A$ $\varepsilon=0$ $f_1$

\int\limits_{x_1}^{x_2}\frac{f_0'(x)f_1'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\,dx=0

para cualquier elección de función . Si asumimos que tiene una segunda derivada continua, entonces podemos usar la fórmula de integración por partes : $f_1$ $f_0$

\int\limits_a^bu(x)v'(x)\,dx=u(x)v(x)\bigg|_a^b-\int\limits_a^b u'(x)v(x)\, dx.

Después del reemplazo

u(x)=\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2)),\quad v'(x)=f_1'(x),

resulta

u(x)v(x)\bigg|_{x_1}^{x_2}-\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0 '(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\right]\,dx=0,

pero el primer término se desvanece porque se eligió que se desvaneciera en y . Como consecuencia, $v(x)=f_1(x)$ $x_{1}$ $x_{2}$

\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2 }}\derecha]\,dx=0

para cualquier función dos veces diferenciable que se anula en los extremos del intervalo. Este es un caso especial del lema principal del cálculo de variaciones: $f_1$

I=\int\limits_{x_1}^{x_2} f_1(x)H(x)\,dx=0

para cualquier función diferenciable que se anula en los extremos del intervalo. Como hay una función arbitraria en el intervalo de integración, podemos concluir que . Después, $f_1(x)$ $f_1(x)$ $H(x)=0$

\frac{d}{dx}\left[\frac{f_0'(x)}{\sqrt{1+[f_0'(x)]^2}}\right]=0.

De esta ecuación se sigue que

\frac{d^2f_0}{dx^2}=0.

Así, el extremo de nuestro problema son los segmentos de rectas.

Es fácil ver que este método prácticamente coincide con el habitual (usando notación estándar), si se reemplaza por . $\ varepsilon f_1$ $\ delta f \$

Derivación usando derivada direccional. Un caso más general

Se pueden realizar cálculos similares en el caso general [8] cuando

A[f]=\int\limits_{x_1}^{x_2} L(x,\;f,\;f')\,dx

y debe tener dos derivadas continuas. Repitiendo el razonamiento, encontramos el extremo , aceptamos , encontramos la derivada con respecto a , luego sustituimos : $F$ $f_0$ $f=f_0+\varepsilon f_1$ $\varepsilon$ $\varepsilon=0$

\left.{\frac {dA}{d\varepsilon }}\right|_{{\varepsilon =0}}=\int \limits _{{x_{1}}}^{{x_{2}}} \left.{\frac {dL}{d\varepsilon}}\right|_({\varepsilon =0}}\,dx=

=\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\parcial L}{\parcial f}f_1+\frac{\parcial L}{\parcial f'}f'_1\right)\,dx =\int\limits_{x_1}^{x_2}\left(\frac{\parcial L}{\parcial f}f_1-f_1\frac{d}{dx}\frac{\parcial L}{\parcial f' }\derecha)\,dx+\izquierda.\frac{\parcial L}{\parcial f'}f_1\derecha|_{x_1}^{x_2}=

=\int\limits_{x_1}^{x_2}f_1\left(\frac{\parcial L}{\parcial f}-\frac{d}{dx}\frac{\parcial L}{\parcial f'} \derecha)\,dx=0.

Finalmente, en virtud del lema principal del cálculo de variaciones, podemos concluir que la función debe satisfacer la ecuación de Euler-Lagrange $L$

-\frac{d}{dx}\frac{\parcial L}{\parcial f'}+\frac{\parcial L}{\parcial f}=0.

En el caso general, esta ecuación es una ecuación diferencial ordinaria de segundo orden , al resolverla, se puede encontrar el extremo . $F$

La ecuación de Euler-Lagrange es una condición necesaria pero no suficiente para la existencia de un extremo. Las condiciones adicionales se formulan por separado.

Véase también

Notas

↑ Rybnikov, 1949 , pág. 356-378.
↑ Rybnikov, 1949 , pág. 377-378.
↑ La segunda variación de la funcionalidad. Condición suficiente para el mínimo de lo funcional. . Consultado el 25 de febrero de 2011. Archivado desde el original el 4 de abril de 2010. (indefinido)
↑ Formalmente, es posible reducir el funcional de varios argumentos , usando una función con un conjunto de valores en el espacio -dimensional:, a un funcional dependiendo de esta nueva función , pero puramente técnicamente, a menudo es más conveniente de usar la versión original sin cambios, ya que con cálculos específicos todo se reduce al final a un cálculo componente por componente, cuando todas son funciones de valor real (en el caso extremo, de valor complejo). $\Phi_n[f_1,\;f_2,\;\ldots,\;f_n]$ $norte$ $f(x):=(f_1(x),\;f_2(x),\;\ldots,\;f_n(x))$ $\Phi_1[f]$ $f_1(x),\;f_2(x),\;\ldots,\;f_n(x)$
↑ El inconveniente aquí, en primer lugar, es que las derivadas dificultan sacar todo lo que está entre paréntesis, lo que lleva a la forma , lo que significa encontrar la derivada variacional (que es todo lo que está entre paréntesis y se indica con puntos suspensivos). Pero incluso si el funcional es tal que la derivada se quita fácilmente de los paréntesis, es decir, la variación se puede representar como , entonces la diferenciación aún debe eliminarse. Esto es necesario, a partir de las consideraciones de que, por definición (y en sentido), con una derivada variacional, solo , y que resulta que ya no es “cualquier” función , debe estar bajo la integral . De lo contrario, al buscar un extremo, puede haber una dirección no contabilizada a lo largo de la cual . Lo que ya no es ninguna función es fácil de ver cuando se imponen condiciones de contorno. Como se describe en el artículo, esta dificultad se resuelve fácilmente. $\ delta f$ $\delta\Phi$ $\int(\ldots)\delta f(x)\,dx$ $\int(\ldots)\delta\frac{df(x)}{dx}\,dx$ $\ delta f$ $\ delta f$ $df/dx$ $X$ $\delta \phi \neq 0$ $df/dx$
↑ 1 2 Usando la función delta , puedes obtener un resultado más riguroso inmediatamente, teniendo en cuenta el término límite, pero aquí, para simplificar la presentación, nos las arreglaremos con este enfoque.
↑ Por supuesto, la operación de sumar y restar funcionales se define en principio independientemente de la forma de su notación, sin embargo, usar la misma forma la reduce a completamente automática, transparente y técnicamente conveniente, ya que ahora todo se reduce a simplemente sumar integrales sobre la misma área, lo que significa — a la adición de integrandos.
↑ El caso donde la función de Lagrange tiene solo una función y una de sus primeras derivadas como argumentos (este caso es el más importante en la práctica) se analiza explícitamente aquí , y la integración se lleva a cabo sobre una variable real. Sin embargo, el teorema y la prueba se generalizan con bastante facilidad y directamente a cualquier número finito de argumentos, cualquier orden finito en derivadas y a una formulación con integración sobre un dominio de dimensión finita. $L$ $F$

Literatura

Alekseev V. M., Tikhomirov V. M., Fomin S. V. Control óptimo. — M.: Nauka, 1979
Afanasiev VN, Kolmanovsky VB, Nosov VR Teoría matemática del diseño de sistemas de control. - M. : Escuela superior , 2003. - 614 p. — ISBN 5-06-004162-X .
Dubrovin B. A., Novikov S. P. , Fomenko A. T. Geometría moderna: métodos y aplicaciones. — M.: Nauka, 1979
Seifert G., Trellfall V. Cálculo de variaciones en general 2ª ed., - M.: RHD, 2000
Krasnov M. L., Makarenko G. I., Kiselev A. I. Cálculo de variaciones, problemas y ejercicios. — M.: Nauka, 1973
Petrov Yu. P. De la historia del cálculo de variaciones y la teoría de procesos óptimos // Investigación histórica y matemática . - M. : Nauka , 1990. - Nº 32/33 . - S. 53-73 .
Rybnikov K. A. Las primeras etapas del desarrollo del cálculo de variaciones // Investigación histórica y matemática . - M. - L .: GITTL, 1949. - No. 2 . - S. 355-498 .
Feynman R., Layton R., Sands M. Feynman Conferencias sobre física. Tomo 6: Electrodinámica. Traducción del inglés (Vol. 3). — Editorial URSS. - ISBN 5-354-00704-6 . — Capítulo 19: El principio de mínima acción. (Una introducción muy simple, informal y visual a la técnica de variación utilizando el principio de mínima acción como ejemplo; recomendado para estudiantes mayores y quizás estudiantes junior).
Nikolái Filónov. Cálculo variacional . Lectorio (15.02.18). (indefinido)
Fomenko AT Métodos variacionales en topología. — M.: Nauka, 1982
Elsgol'ts LE Ecuaciones Diferenciales y el Cálculo de Variaciones. — M.: Nauka, 1969.
Polak L.S. Principios variacionales de la mecánica. - M.: Fizmatlit , 1959-932 p.

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