Número de Ulam

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El número de Ulam es un miembro de la secuencia entera , inventado y nombrado por él mismo por Stanislav Ulam , en 1964.

Definición

La secuencia estándar de Ulam (o (1, 2)-número de Ulam) comienza con U 1  = 1 y U 2  = 2. Para n  > 2, U n se define como el entero más pequeño mayor que U n-1 que se descompone únicamente en la suma de dos miembros anteriores distintos de la secuencia.

Ejemplos

De la definición se sigue que 3 es el número de Ulam (1+2); y 4 es el número de Ulam (1+3). (Aquí 2+2 no es la segunda representación de 4 porque los términos anteriores deben ser diferentes). El número 5 no es un número de Ulam porque 5 = 1 + 4 = 2 + 3. La secuencia comienza así:

1, 2, 3, 4, 6, 8, 11, 13, 16, 18, 26, 28, 36, 38, 47, 48, 53, 57, 62, 69, 72, 77, 82, 87, 97, 99, 102, 106, 114, 126, 131, 138, 145, 148, 155, 175, 177, 180, 182, 189, 197, 206, 209, 219, 221, 236, 238, 241, 243, 253, 258, 260, 273, 282, ... secuencia A002858 en OEIS .

Los primeros números de Ulam, que también son números primos:

2 3 11 13 47 53 97 131 197 241 409 431 607 673 739 751 983 991 1103 1433 1489 1531 1553 1709 1721 2371, 2393, 2447, 2633, 2789, 2833, 2897, ... OEIS secuencia A0688820 .

Hay infinitos números de Ulam, porque después de sumar los primeros n términos, siempre puedes agregar otro elemento: U n − 1 + U n , que se determinará de manera única como la suma de dos elementos menores que él y podemos hacerlo aún más pequeño. elementos utilizando un método similar, por lo que el siguiente elemento se puede definir como el más pequeño entre estas opciones definidas de forma única. [una]

Ulam creía que los números de Ulam tienen una densidad asintótica cero , [2] sin embargo, aparentemente, es igual a 0.07398. [3]

Estructura oculta

Se notó [4] que los primeros 10 millones de números Ulam satisfacen la propiedad: excepto por 4 elementos (y esto continúa, como se sabe, hasta ). Las desigualdades de este tipo suelen ser ciertas para sucesiones que tienen algún tipo de periodicidad, pero no se sabe que la sucesión de Ulam sea periódica y el fenómeno no se ha explicado. Se puede utilizar para calcular rápidamente la secuencia de Ulam (ver enlaces externos).

Variaciones y generalizaciones

La idea se puede generalizar como números (u, v)-Ulam eligiendo diferentes valores iniciales (u, v). Una secuencia de números (u, v)-Ulam es periódica si la secuencia de diferencias entre números sucesivos en la secuencia es periódica. Cuando v es un número impar mayor que tres, la secuencia de números (2, v)-Ulam es periódica. Cuando v es igual a 1 (módulo 4) y al menos cinco, la secuencia de números (4, v)-Ulam vuelve a ser periódica. Sin embargo, los números estándar de Ulam no son periódicos. [5]

Se dice que una secuencia de números es s-aditiva si cada número en la secuencia después de los 2s-términos iniciales de la secuencia tiene exactamente s-representaciones como la suma de los dos números anteriores. Por lo tanto, los números de Ulam y los números de (u, v)-Ulam son secuencias de 1 suma. [6]

Si una secuencia se forma sumando el número más grande con una representación única como la suma de dos números anteriores, en lugar de sumar el número más pequeño representable de forma única, entonces la secuencia resultante es una secuencia de números de Fibonacci . [7]

Notas

  1. ↑ Recaman (1973 ) usa un argumento similar formulado como prueba por contradicción . Afirma que si hubiera un número finito de números de Ulam, entonces la suma de los dos últimos también sería un número de Ulam, una contradicción. Sin embargo, aunque la suma de los dos últimos números en este caso tiene una representación única como la suma de dos números de Ulam, no es necesariamente el número más pequeño con una representación única.
  2. ↑ La declaración de que Ulam asumió esto está en OEIS A002858 , pero Ulam no intentó estimar su secuencia en Ulam (1964a ), y en Ulam (1964b ) mencionó el problema de la densidad asintótica de este conjunto, pero tampoco intentó para estimarlo. Recaman (1973 ) repite la pregunta de Ulam (1964b ) sobre la densidad asintótica, nuevamente sin hacer suposiciones sobre su valor.
  3. ↑ OEIS A002858
  4. ↑ Steinerberger (2015 )
  5. ↑ Queneau (1972 ) notó por primera vez el patrón para u = 2 y v  = 7 o v  = 9. Finch (1992 ) fue el primero en conjeturar que v es impar mayor que tres, y fue probado por Schmerl & Spiegel (1994 ) . La periodicidad de los números (4,  v )-Ulam fue demostrada por Cassaigne & Finch (1995 ).
  6. ↑ Queneau (1972 ).
  7. ↑ Pinzón (1992 ).

Literatura


Enlaces externos