Número de paciente perfecto

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Un número totient perfecto  es un número entero que es igual a la suma de sus totients iterados (valores de la función de Euler). Es decir, aplicamos la función de Euler al número n y secuencialmente a todos los tocientes resultantes hasta llegar al número 1, sumando secuencialmente los números resultantes. Si la suma es n , entonces n es un número total perfecto. Algebraicamente, si

dónde

función de Euler iterada recursiva, y c  es un entero tal que

entonces n es un número total perfecto.

Un número totient perfecto es, por definición, impar .

Varios primeros números totient perfectos

3 , 9 , 15 , 27 , 39 , 81 , 111 , 183 , 243 , 255 , 327 , 363 , 471, 729 , 2187, 2199, 3063, 4359, 4375, … ( secuencia A082897 en OEIS ).

Por ejemplo, a partir de 327 calculamos φ(327) = 216, φ(216) = 72, φ(72) = 24, φ(24) = 8, φ(8) = 4, φ(4) = 2, φ( 2) = 1, obtenemos 216 + 72 + 24 + 8 + 4 + 2 + 1 = 327.

Números como a(n)=2^(2^n)-1

Varios números de la forma ( secuencia OEIS A051179 ), como 255 , 65 535 , 4 294 967 295 y 18 446 744 073 709 551 615 , son números totientes perfectos y, además, son los número máximo de enteros sin signo , respectivamente, variables de 8, 16, 32 y 64 bits. Los primeros números 3 y 15 de la misma secuencia también son números totientes perfectos.

Grados de triple

Se puede ver que muchos números tocientes perfectos son divisibles por 3. De hecho, el número 4375 es el número tociente perfecto más pequeño que no es divisible por 3. Todas las potencias de 3 son números tocientes perfectos, que se pueden mostrar por inducción usando el hecho

Venkataraman (1975) encontró otra familia de números tocientes perfectos: si p = 4×3 k +1 es primo, entonces 3 p es un número tociente perfecto. Valores de k que conducen a números totient perfectos de esta forma:

0, 1, 2, 3, 6, 14, 15, 39, 201, 249, 1005, 1254, 1635,... (secuencia A005537 en OEIS ).

Más generalmente, si p es un número primo mayor que 3 y 3 p es un número totient perfecto, entonces p ≡ 1 (mod 4) [1] . No todos los p de este tipo conducen a números tocientes perfectos. Por lo tanto, 51 no es un número totient perfecto. Ianucci, Deng y Cohen [2] demostraron que si 9 p es un número tociente perfecto, entonces p es primo y tiene una de las tres formas enumeradas en el artículo. No se sabe si existen números tocientes perfectos de la forma 3 k p , donde p es primo y k > 3.

Notas

  1. ↑ Mohan, Suryanarayana, 1982 , pág. 101–105.
  2. ↑ Iannucci, Deng, Cohen, 2003 , pág. 03.4.5.

Literatura

Nota : El artículo original incorpora material del artículo Perfect Totient Number de PlanetMath bajo una licencia Creative Commons Attribution-ShareAlike 3.0 Unported.