Matemáticas financieras

Las matemáticas financieras  son una rama de las matemáticas aplicadas que se ocupa de los problemas matemáticos relacionados con los cálculos financieros . En matemáticas financieras, cualquier instrumento financiero se considera desde el punto de vista de algún flujo de efectivo (posiblemente aleatorio) generado por este instrumento .

Direcciones principales:

La tarea de las matemáticas financieras clásicas se reduce a comparar los flujos de efectivo de varios instrumentos financieros en función de los criterios del valor del dinero en el tiempo (teniendo en cuenta el factor de descuento ), evaluar la efectividad de las inversiones en ciertos instrumentos financieros (incluida la evaluación de la efectividad de proyectos de inversión ), desarrollando criterios de selección de instrumentos. En las matemáticas financieras clásicas, el determinismo de las tasas de interés y los flujos de pago se asume por defecto.

Las matemáticas financieras estocásticas se ocupan de pagos y tasas probabilísticas. La tarea principal es obtener una valoración adecuada de los instrumentos, teniendo en cuenta la naturaleza probabilística de las condiciones del mercado y el flujo de pagos de los instrumentos. Formalmente, esto incluye la optimización de una cartera de instrumentos en el marco del análisis de media-varianza. Además, los métodos para evaluar los riesgos financieros se basan en modelos de matemáticas financieras estocásticas . Al mismo tiempo, en las matemáticas financieras estocásticas, se hace necesario determinar los criterios para evaluar los riesgos, incluso para una adecuada evaluación de los instrumentos financieros.

Historia

Tiempos antiguos

Uno de los primeros ejemplos de ingeniería financiera son los escritos del antiguo filósofo griego Tales de Mileto (624-547 a. C.). Según el libro de Aristóteles , Tales, utilizando el ejemplo del uso de prensas de aceitunas, mostró cómo las matemáticas pueden influir en el enriquecimiento, mientras que su modelo no era más que una opción de compra , dando el derecho a comprar el producto especificado en un momento determinado [ 1] .

Edad Media

En 1202, Fibonacci escribió el primer libro que contenía elementos de matemáticas financieras, el Libro del ábaco . En él calculó el valor actual de los flujos de efectivo alternativos además de desarrollar un método general para expresar las inversiones y resolvió una amplia gama de problemas de tasas de interés.

En 1565, el matemático italiano Girolamo Cardano publicó un tratado Sobre el juego que establecía una teoría elemental del juego .

Nuevo tiempo

En 1654, los matemáticos franceses Blaise Pascal y Pierre Fermat sentaron las bases de la teoría de la probabilidad. Su tarea era decidir si apostar por el hecho de que 24 tiradas de dados arrojarían dos 6. En una serie de cartas intercambiadas entre Pascal y Fermat, resolvieron este problema y el problema del punto (también conocido como el problema del "juego incompleto"), que es esencialmente el mismo que el problema de fijación de precios de opciones de compra para el modelo de Cox-Ross-Rubinstein. .

En 1900, el matemático francés Louis Bachelier defendió su tesis sobre "La teoría de la especulación ", que luego fue reconocida como evidencia del nacimiento de las matemáticas financieras modernas. Bachelier es considerado el primero en introducir el movimiento browniano en las matemáticas y aplicar sus trayectorias para modelar la dinámica de los precios de las acciones y calcular los precios de las opciones [2] .

Tiempos modernos

Entre las fórmulas y teorías utilizadas actualmente en las matemáticas financieras, un lugar importante lo ocupan los trabajos de Kiyoshi Ito , Harry Markowitz , Fisher Black , Myron Scholes , Robert Merton [3] .

Conceptos básicos, enfoques y métodos de las matemáticas financieras

Devengo de intereses y descuento de flujos de caja

Devengo de intereses

Los procedimientos de cálculo de las matemáticas financieras se basan en los principios de cálculo de intereses sobre los fondos invertidos. El interés simple no implica la reinversión de los intereses recibidos. Por lo tanto, el valor total de FV obtenido en el tiempo t al invertir la cantidad de PV se determina linealmente .

Sin embargo, la mayoría de las matemáticas financieras se ocupan del interés compuesto , cuando se tiene en cuenta la reinversión (capitalización) del interés recibido. En este caso, la fórmula para el valor futuro toma la forma exponencial:

donde r es una tasa continua o logarítmica. El último registro de interés compuesto es conveniente para fines analíticos.

En la práctica financiera, es habitual establecer tasas de interés anuales , mientras que la acumulación y la capitalización pueden ocurrir con más frecuencia que una vez al año. Si el interés se capitaliza m veces al año, entonces la fórmula del valor futuro se convierte en

donde  es la tasa de interés efectiva anual .

A la tasa efectiva, puede comparar diferentes opciones de inversión con diferentes tasas nominales y períodos de capitalización de intereses. Cuando tenemos devengo continuo y la fórmula toma la forma . Esta fórmula es equivalente a la fórmula anterior para el interés compuesto a la tasa r igual a la tasa logarítmica.

Valor futuro y presente

El supuesto básico de las matemáticas financieras es que es posible en la economía invertir cualquier cantidad en algún instrumento (alternativo) (por defecto, un depósito bancario) a alguna tasa compuesta i . Con base en los principios de acumulación de interés compuesto a esta tasa i , a cada cantidad de dinero (valor) en un momento dado se le asigna el valor futuro en el momento t ( ), y a cada cantidad se le asigna el valor actual (presentado, descontado) (VP) :

El proceso de llevar el valor futuro al valor actual se llama descuento . La tasa (rendimiento) de una inversión alternativa i  es la tasa de descuento .

De manera más general, sum at time se puede asignar a sum at time :

Además, esta fórmula es válida tanto en el caso como en . Los importes relativos o reducidos al mismo momento en el tiempo son comparables. A partir de esto surge el concepto de valor temporal (value) del dinero , cuya esencia radica en el diferente valor de las mismas cantidades en diferentes momentos del tiempo. El descuento de estos montos (reducción a un punto en el tiempo) a la misma tasa le permite comparar montos para diferentes puntos en el tiempo (diferentes flujos de efectivo) entre sí.

Si se da el flujo de efectivo , entonces el valor futuro en el momento de la inversión de este flujo de efectivo (en los puntos relevantes en el tiempo) será la suma de los valores futuros de los componentes individuales del flujo (se supone que el flujo de caja es generado por un determinado instrumento financiero o proyecto de inversión o negocio en su conjunto, y al mismo tiempo existe la oportunidad de invertir en un instrumento alternativo con una renta fija igual a la tasa de descuento):

Este importe se puede asociar al importe en el momento actual de acuerdo con la regla general de descuento:

En el caso límite, se debe considerar un flujo de efectivo continuo con densidad , entonces el valor presente del flujo de efectivo continuo será igual a la siguiente integral:

Así, cada flujo de efectivo está asociado con su valor actual (presentado, descontado) a la tasa de descuento .

Para anualidades basadas en la fórmula de progresión geométrica, obtenemos la siguiente fórmula de valor actual . Para una anualidad perpetua (es decir, en ) obtenemos una expresión simple . En el caso de un flujo de caja infinito con una tasa de crecimiento constante, obtenemos la fórmula de Gordon

Retorno efectivo (intrínseco)

Si un instrumento financiero tiene alguna valoración, por ejemplo, precio de mercado, precio de compra, etc., entonces conociendo el flujo de caja del instrumento, es posible evaluar su rendimiento efectivo (interno) como una tasa de descuento a la cual el valor presente será igual al precio real del instrumento, entonces es la solución de la ecuación con respecto a la tasa . Este indicador puede denominarse de manera diferente según la tarea y las herramientas que se consideren. Por ejemplo, para bonos es el rendimiento al vencimiento (YTM), para proyectos de inversión es la tasa interna de retorno (TIR).

Duración del flujo de caja

El valor actual es una función no lineal de la tasa de descuento. En consecuencia, todo el flujo de efectivo se caracteriza por un programa de valor presente a una tasa de descuento. La sensibilidad (elasticidad) del valor presente a los cambios en la tasa de interés (la derivada logarítmica de 1 + i) es igual a la duración del flujo de caja - el término promedio ponderado del flujo de caja (los pesos son la participación de la valores presentes de los componentes individuales del flujo en el valor presente de todo el flujo).

Como primera aproximación, se puede utilizar como duración el plazo medio ponderado del flujo de caja sin descuento (es decir, con tasa de descuento cero). La duración se puede utilizar para una evaluación simplificada del cambio en el valor razonable de un instrumento financiero con un pequeño cambio en la tasa de descuento. Además, la duración se puede interpretar de manera diferente: este es aproximadamente el período durante el cual puede obtener la cantidad total de flujo de caja, si invierte bajo la tasa de descuento una cantidad igual al valor actual de este flujo de caja. En el caso especial de un bono cupón cero, la duración coincide con el plazo de dicho bono. En el caso de una renta vitalicia perpetua, la duración es (1+i)/i

Para refinar la evaluación del impacto de un cambio en la tasa de interés, a veces, junto con la duración, también se usa una corrección de segundo orden: la convexidad . Ella es igual . Como primera aproximación, podemos tomarlo igual a .

Teoría de la cartera

La optimización de cartera generalmente se considera dentro del marco del análisis de media-varianza . Por primera vez, este enfoque para la formación de carpetas fue propuesto por Harry Markowitz (más tarde ganador del Premio Nobel). En el marco de este enfoque, se supone que los rendimientos de los instrumentos son variables aleatorias con cierto nivel promedio (expectativa matemática), volatilidad (dispersión) y covarianzas entre los rendimientos de los instrumentos. La dispersión de los rendimientos es una medida del riesgo de invertir en un determinado instrumento o cartera. Aunque el enfoque es formalmente aplicable para cualquier distribución de rendimientos, los resultados pueden ser mejores para una distribución normal, debido al hecho de que la expectativa matemática y la matriz de covarianza caracterizan completamente la distribución normal.

Las formulaciones y soluciones del problema difieren dependiendo de ciertos supuestos, en particular, la posibilidad de participaciones negativas de instrumentos en la cartera (las llamadas "ventas cortas"), la presencia de un activo libre de riesgo con dispersión y correlación cero con otros activos, etc. El problema se puede formular como minimizar la varianza de una cartera bajo el rendimiento promedio requerido y otras restricciones, o maximizar el rendimiento para un nivel dado de riesgo (varianza). También son posibles otras formulaciones, que implican la maximización o minimización de funciones objetivas complejas que tienen en cuenta tanto la rentabilidad como el riesgo.

Sobre la base de la teoría de la cartera de Markowitz , se desarrolló posteriormente la teoría moderna de valoración de activos financieros, CAPM (Capital Assets Pricing Model).

Modelos estocásticos

Modelos estocásticos de tiempo discreto

El modelo básico de la dinámica de precios de los instrumentos financieros es un modelo de movimiento browniano geométrico , según el cual los rendimientos (continuos, logarítmicos) de los instrumentos están sujetos a un proceso de paseo aleatorio :

donde  esta el ruido blanco

Este modelo satisface la hipótesis del mercado eficiente . En el marco de esta hipótesis, se supone que es imposible predecir rendimientos para períodos futuros en función de cualquier información, incluida la información sobre rendimientos pasados.

Los modelos ARIMA asumen la capacidad de predecir rendimientos basados ​​en rendimientos pasados.

Los modelos GARCH están diseñados para modelar la volatilidad condicional de los rendimientos. Estos modelos explican las "colas gordas" de la distribución de rendimientos, así como la agrupación de volatilidad, que se observan en la práctica. Algunos modelos también tienen en cuenta la posibilidad de asimetría en el nivel de volatilidad cuando el mercado baja y sube.

También existen otros enfoques para la modelización de la volatilidad: los modelos de volatilidad estocástica .

Modelos estocásticos de tiempo continuo
  • Modelos basados ​​en el movimiento browniano

donde es el movimiento browniano estándar ( proceso de Wiener )

Notas

  1. ↑ Aristóteles, Política, Libro I, trad. B. Jowett en Las obras completas de Aristóteles: la traducción revisada de Oxford, ed. Jonathan Barnes, Bollingen Series LXXI:2 (Princeton, NJ: Princeton University Press, Cuarta Impresión, 1991), p. 1998, 1259a9-19.
  2. ↑ Steven R. Dunbar. Modelado Matemático en Finanzas con Procesos Estocásticos. Archivado el 27 de enero de 2018 en Wayback Machine  - 2011.
  3. ↑ Erdinc Akyildirim, Halil Mete Soner. Una breve historia de las matemáticas en las finanzas. Archivado el 31 de octubre de 2020 en Wayback Machine  - Borsa İstanbul Review, No. 14, 2014, p. 57-63.

Literatura

  • Matemáticas financieras y actuariales  / M. V. Zhitlukhin // Gran Enciclopedia Rusa  : [en 35 volúmenes]  / cap. edición Yu. S. Osipov . - M.  : Gran Enciclopedia Rusa, 2004-2017.
  • Malykhin V. I. Matemáticas financieras: Proc. asignación para universidades. - M. : UNITI-DANA, 2003. - 237 p. — ISBN 5-238-00559-8 .
  • Casco John K. Opciones, Futuros y Otros Derivados = Opciones, Futuros y Otros Derivados. —M.: Williams, 2013. — 1072 p. -ISBN 978-5-8459-1815-4.
  • Shiryaev A. N. Fundamentos de las matemáticas financieras estocásticas. - M. : FAZIS, 1998. - T. 1. Hechos. Modelos. — 512 págs. — ISBN 5-7036-0043-X .
  • Shiryaev A. N. Fundamentos de las matemáticas financieras estocásticas. - M. : FAZIS, 1998. - T. 2. Teoría. — 512 págs. — ISBN 5-7036-0043-8 .
  • Björk T. Teoría del arbitraje en tiempo continuo. - M. : MTSNMO, 2010. - 560 p. - ISBN 978-5-94057-589-4 .
  • Folmer G., Shid A. Introducción a las finanzas estocásticas. tiempo discreto. - M. : MTSNMO, 2008. - 496 p. — ISBN 978-5-94057-346-3 .
  • Melnikov A.V., Popova N.V., Skornyakova V.S. Métodos matemáticos de análisis financiero. - M. : ANKIL, 2006. - 440 p. — ISBN 5-86476-236-9 .
  • Martin W. Baxter, Andrew JO Rennie. calculadora financiera Introducción a la fijación de precios de derivados. Prensa de la Universidad de Cambridge, Cambridge 2001. ISBN 0-521-55289-3
  • Hans Peter Deutsch. Derivate und Interne Modelle . Schäffer-Poeschel Verlag, Stuttgart 2004. ISBN 3-7910-2211-3
  • Michael Gunther, Ansgar Jungel. Finanzderivate con MATLAB . Mathematische Modellierung und numerische Simulation . Vieweg, Wiesbaden 2003. ISBN 3-528-03204-9
  • Jürgen Kremer. Einführung in die diskrete Finanzmathematik . Springer, Berlín 2005. ISBN 3-540-25394-7
  • Volker Oppitz , Volker Nollau . Taschenbuch Wirtschaftlichkeitsrechnung. Carl Hanser Verlag, Múnich 2003. ISBN 3-446-22463-7
  • Volker Oppitz. Gabler Lexikon Wirtschaftlichkeitsberechnung. Gabler, Wiesbaden 1995. ISBN 3-409-19951-9
  • Paul Wilmott . Paul Wilmott sobre finanzas cuantitativas . John Wiley, Chichester 2000. ISBN 0-471-87438-8
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