Icositetraedro pentagonal

Icositetraedro pentagonal (del otro griego πέντε - "cinco", γωνία - "ángulo", εἴκοσι - "veinte", τέτταρες - "cuatro" y ἕδρα - "cara") - un poliedro semirregular (cuerpo catalán), dual a un cubo de punta chata . Compuesto por 24 pentágonos irregulares idénticos .

Tiene 38 picos. En 6 vértices (dispuestos de la misma manera que los vértices del octaedro ) convergen en 4 caras con sus ángulos agudos; en 8 vértices (ubicados de la misma manera que los vértices de un cubo ) convergen a lo largo de 3 caras con aquellos ángulos obtusos que están más alejados del agudo; en los 24 vértices restantes convergen dos caras con sus ángulos obtusos más próximos a uno agudo, y una con un ángulo obtuso alejado de uno agudo.

6 vértices están dispuestos de la misma manera que los vértices de un octaedro
8 vértices están dispuestos de la misma manera que los vértices de un cubo

El icositetraedro pentagonal tiene 60 aristas - 24 "largas" y 36 "cortas".

A diferencia de la mayoría de los otros sólidos catalanes, el icositetraedro pentagonal (junto con el hexecontaedro pentagonal ) es quiral y existe en dos versiones simétricas especulares (enantiomórficas) diferentes: "derecha" e "izquierda".

Características métricas y ángulos

Al determinar las propiedades métricas de un icositetraedro pentagonal, uno tiene que resolver ecuaciones cúbicas y usar raíces cúbicas , mientras que para los sólidos catalanes aquirales no se requiere nada más complicado que ecuaciones cuadráticas y raíces cuadradas . Por lo tanto, el icositetraedro pentagonal, a diferencia de la mayoría de los otros sólidos catalanes, no admite una construcción euclidiana . Lo mismo es cierto para el hexacontaedro pentagonal, así como para sus sólidos de Arquímedes duales.

En cuanto al cubo chato, la constante tribonacci juega un papel importante en la descripción de las propiedades métricas y los ángulos del icositetraedro pentagonal :

t={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}] {19+3{\sqrt {33}}}}\right)\approx 1{,}8392868.

Si los tres lados "cortos" de una cara tienen longitud , entonces los dos lados "largos" tienen longitud $b$

a={\frac {t+1}{2}}b\approx 1{,}4196434b.

El área superficial y el volumen del poliedro se expresan entonces como

S=3(t+1){\sqrt {\frac {22(5t-1)}{4t-3}}}\;b^{2}\aprox. 54{,}7965494b^{2} ,

V={\frac {t(3t+1)}{(t-1){\sqrt {2-t))))\;b^{3}\aprox. 35{,}6302020b^{3 }.

El radio de la esfera inscrita (tocando todas las caras del poliedro por sus incentros ) será entonces igual a

r={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {t+1}{(3-t)(2-t)))}\;b\aprox. 1{,}9506813b ,

radio de una esfera semi-inscrita (tocando todos los bordes) -

\rho ={\frac {1}{2}}{\sqrt {\frac {t+1}{2-t}}}\;b\aprox. 2{,}1015939b,

radio del círculo inscrito en la cara -

r_{\Gamma \mathrm {P} }={\sqrt {\rho ^{2}-r^{2))}={\frac {1}{2)){\sqrt {\frac { t+1}{3-t}}}\;b\aproximadamente 0{,}7820097b,

cara diagonal paralela a uno de los lados "cortos" -

e=tb\aproximadamente 1{,}8392868b.

Es imposible describir una esfera alrededor de un icositetraedro pentagonal de modo que pase por todos los vértices.

Los cuatro ángulos obtusos de la cara son iguales ; el ángulo agudo de la cara (entre los lados "largos") es igual a $\arccos\,{\frac {1-t}{2}}\approx 114{,}81^{\circ };$ $\arccos \,(2-t)\approx 80{,}75^{\circ }.$

El ángulo diedro para cualquier borde es el mismo e igual a $\arccos \,{\frac {t-1}{t-3}}\approx 136{,}31^{\circ }.$

Enlaces

Weisstein, Eric W. Pentagonal icositetrahedron en Wolfram MathWorld .

poliedros

correcto

Tridimensional (sólidos platónicos)	tetraedro regular Cubo Octaedro Dodecaedro icosaedro
4D	cinco celdas teseracto celda hexadecimal veinticuatro celda 120 celdas seiscientas celdas
Dimensión mayor (indicada entre paréntesis)	Símplex regular Hipercubo ( Penteract (5) hexadecimal (6) Hepteracto (7) Octeracto (8) Enneract (9) Despreciar (10) ) hiperoctaedro

regular
no convexo

Tridimensional por el número de
caras (indicado entre paréntesis)

Monoedro (1)
diedro (2)
Triedro (3)
tetraedro (4)
Pentaedro (5)
Hexaedro (6)
Heptaedro (7)
Octaedro (8)
Eneaedro (9)
Decaedro (10)
Endecaedro (11)
Dodecaedro (12)
Tridecaedro (13)
Tetradecaedro (14)
Pentadecaedro (15)
Hexadecaedro (16)
Heptadecaedro (17)
Octadecaedro (18)
Eneadecaedro (19)
Icosaedro (20)
Icosotetraedro (24)
Triacontaedro (30)
Hexacontaedro (60)
Eneacontaedro (90)
Hectotriadioedro (132)
Apeiroedro (∞)

convexo

sólidos de Arquímedes

cuerpos catalanes

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