Cubo chato
| cubo chato | |||
|---|---|---|---|
| Variante "derecha" ( modelo giratorio , modelo 3D ) | |||
| Variante "izquierda" ( modelo giratorio , modelo 3D ) | |||
| Tipo de | cuerpo de Arquímedes | ||
| Propiedades | convexo , isogonal , quiral | ||
| combinatoria | |||
| Elementos |
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| facetas |
32 triángulos, 6 cuadrados |
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| Configuración de vértice | 3 4 .4 | ||
| Poliedro dual | icositetraedro pentagonal | ||
| figura de vértice | |||
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Desarrollo para la opción "izquierda" |
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| Clasificación | |||
| Notación | Carolina del Sur | ||
| Símbolo Schläfli | Sr{4,3} | ||
| grupo de simetría | O (octaédrico quiral) | ||
| Archivos multimedia en Wikimedia Commons | |||
Snub cube [1] , o snub cube [2] [3] , es un poliedro semirregular (cuerpo de Arquímedes) de 38 caras, compuesto por 6 cuadrados y 32 triángulos regulares . Cada uno de sus 24 vértices idénticos tiene una cara cuadrada y cuatro caras triangulares. Las caras triangulares se dividen en dos grupos: 8 de ellas están rodeadas únicamente por otras triangulares, las 24 restantes están rodeadas por un cuadrado y dos triangulares.
Tiene 60 costillas de igual longitud.
El nombre de "cubo de nariz chata" ( lat. cubus simus ) se lo dio a este poliedro Johannes Kepler en su tratado de 1619 "La armonía del mundo ". Harold Coxeter , al señalar que el poliedro está relacionado con el octaedro en la misma medida que el cubo , sugirió llamarlo " cuboctaedro de nariz chata ".
A diferencia de la mayoría de los otros sólidos de Arquímedes, el cubo chato (junto con el dodecaedro chato ) es quiral y existe en dos versiones simétricas especulares (enantiomórficas) diferentes: "derecha" e "izquierda".
Características métricas y ángulos
Al determinar las propiedades métricas de un cubo de punta chata, uno tiene que resolver ecuaciones cúbicas y usar raíces cúbicas , mientras que para sólidos de Arquímedes aquirales y para sólidos platónicos , no se requiere nada más complicado que ecuaciones cuadráticas y raíces cuadradas . Por lo tanto, el cubo chato, en contraste con los sólidos de Arquímedes platónicos y aquirales, no permite la construcción euclidiana [4] . Lo mismo es cierto para el dodecaedro chato, así como para sus sólidos catalanes duales.
Al describir las propiedades métricas y los ángulos de un cubo chato, la constante tribonacci juega un papel importante :
.![{\displaystyle t={\frac {1}{3}}\left(1+{\sqrt[{3}]{19-3{\sqrt {33}}}}+{\sqrt[{3}] {19+3{\sqrt {33}}}}\right)\approx 1{,}8392868.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da6313c690fb2ddb56f3eb8743eb21e94dbe4496)
Si un cubo chato tiene una arista de longitud , su área de superficie y volumen se expresan como
El radio de la esfera circunscrita (que pasa por todos los vértices del poliedro) será entonces igual a
radio de una esfera semi-inscrita (tocando todos los bordes en sus puntos medios) -
Es imposible encajar una esfera en un cubo de punta chata de modo que toque todas las caras. El radio de la esfera más grande que se puede colocar dentro de un cubo de punta chata con una arista (solo tocará todas las caras cuadradas en sus centros) es
La distancia del centro del poliedro a cualquier cara triangular excede y es igual a
Los ángulos diedros entre dos caras triangulares adyacentes de un cubo chato son iguales entre caras cuadradas y triangulares adyacentes
El ángulo sólido en el vértice es igual a
En coordenadas
El cubo de punta chata "izquierdo" se puede colocar en el sistema de coordenadas cartesianas de modo que las coordenadas de sus 12 vértices sean todas posibles permutaciones incluso de esos triples de números, entre los cuales hay un número par de números negativos, y las coordenadas de los 12 vértices restantes son todas posibles permutaciones impares de esos triples, entre los cuales hay un número impar de negativos.
Si hacemos lo contrario, tomamos permutaciones pares de triples con un número impar de menos y permutaciones impares de triples con un número par de menos, obtenemos la versión "correcta" del cubo de punta chata.
El origen de coordenadas en ambos casos será el centro de las esferas circunscritas y semiinscritas del poliedro.
Notas
- ↑ Wenninger 1974 , pág. 20, 41.
- ↑ Enciclopedia de Matemáticas Elementales, 1963 , p. 437, 435.
- ↑ Lyusternik, 1956 , pág. 183.
- ↑ W. Ball, G. Coxeter. Ensayos matemáticos y entretenimiento. — M.: Mir, 1986. — P. 153.
Enlaces
- Weisstein, Eric W. Snub : cubo de nariz en Wolfram MathWorld .
Literatura
- M. Wenninger . modelos de poliedros. - Mundo , 1974.
- Polígonos y poliedros // Enciclopedia de matemáticas elementales. Libro cuatro. Geometría / Ed. P. S. Aleksandrov , A. I. Markushevich , A. Ya. Khinchin . - M .: Editorial estatal de literatura física y matemática , 1963. - S. 382-447.
- L. A. Lyusternik . Figuras convexas y poliedros. - M .: Editorial estatal de literatura técnica y teórica , 1956.