Grupo final

Un grupo finito en álgebra general es un grupo que contiene un número finito de elementos (este número se llama su " orden ") [1] . Además, se supone que el grupo es multiplicativo , es decir, la operación en él se denota como multiplicación; los grupos aditivos con la operación de adición se especifican por separado. La unidad de un grupo multiplicativo se denotará con el símbolo 1. El orden del grupo generalmente se denota $GRAMO$ ${\ estilo de visualización | G |.}$

Los grupos finitos son muy utilizados tanto en matemáticas como en otras ciencias: criptografía , cristalografía , física atómica , teoría del ornamento , etc. Los grupos finitos de transformación están íntimamente relacionados con la simetría de los objetos objeto de estudio.

Ejemplos

Grupo aditivo de clases de residuos módulo . $\mathbb{Z}_n=\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ $norte$
Un grupo multiplicativo de raíces th de unidad $norte$ isomorfas al grupo anterior.
El sistema reducido de residuos módulo : cuyo orden es ( función de Euler ). $metro$ $\mathbb {Z}_{m}^{\times}=U(\mathbb {Z}_{m}),$ $\varfi(m)$
Grupo no conmutativo de 8 unidades de cuaterniones : ver Grupo de cuaterniones . $Q_{8}=\left\{\pm 1,\pm i,\pm j,\pm k\right\};$
Grupo simétrico (grupo de sustituciones o permutaciones de elementos) . Su orden es igual a y por no conmutativo. $norte$ $S_{n}$ $¡norte!$ $n>2$
Grupo cuádruple de Klein . $\mathbb{Z}_2\veces\mathbb{Z}_2=D_{2}$
El grupo de Galois de una extensión finita del campo , y el orden del grupo es igual al grado de la extensión . Por ejemplo, para extender el campo de los números reales al campo de todos los números complejos , el grupo de Galois contiene 2 elementos: la unidad ( mapa de identidad ) y la conjugación compleja .

Propiedades y definiciones relacionadas

Teorema de Cayley: la tabla de multiplicar de elementos de un grupo finito forma un cuadrado latino [2] .

El orden de un elemento g de un grupo finito G se define como el mínimo número natural m tal que . El orden se define para cada elemento de un grupo finito. $g^{m}=1$

Teorema de Lagrange : El orden de cualquier subgrupo de un grupo finito es un divisor del orden del grupo.

Corolario 1: el orden de cualquier elemento de un grupo finito es divisor del orden del grupo.
Corolario 2: cualquier elemento g de un grupo finito de orden n satisface la relación: En teoría de números, para un sistema reducido de residuos , esta fórmula da el importante teorema de Euler . ${\ estilo de visualización g ^ {n} = 1.}$
Corolario 3: un elemento g de un grupo finito satisface la relación: si y solo si el número es un múltiplo del orden ${\ estilo de visualización g ^ {m} = 1}$ $metro$ ${\ estilo de visualización g.}$
Corolario 4: Sea el orden de un elemento g de un grupo finito Dos potencias de este elemento son iguales: si y solo si los exponentes son congruentes módulo $metro.$ ${\ Displaystyle g^{i}=g^{k))$ ${\ estilo de visualización m:}$

i\equiv k{\pmod {m))

El cociente de dividir el orden de un grupo por el orden de su subgrupo se llama índice de este subgrupo y se denota por . Por ejemplo, en el grupo anterior de unidades de cuaternión (de orden 8), hay un subgrupo de orden 2 e índice 4, así como un subgrupo de orden 4 e índice 2. $GRAMO$ $H$ $G:H$ $\{1;-1\}$ $\{1;-1;i;-i\}$

Teorema de Cauchy (1815): Todo grupo cuyo orden es divisible por un número primo tiene un elemento de orden . $pags$ $pags$

Si a todo divisor del orden de un grupo le corresponde un subgrupo del orden , entonces el grupo se llama lagrangiano . No todos los grupos son lagrangianos; por ejemplo, el orden del grupo de rotación del dodecaedro es 60, pero no tiene subgrupos de orden 15 [3] . Las condiciones suficientes para la existencia de un subgrupo de un orden dado (bajo algunos supuestos adicionales) establecen los teoremas de Sylow . Un ejemplo de un grupo lagrangiano es el grupo simétrico . $k$ $k$ $S_4$

Clases laterales y el grupo cociente

Sea H un subgrupo de orden m en un grupo finito G de orden n . Consideramos elementos equivalentes con respecto al subgrupo H si existe tal que sea fácil comprobar que se trata de una relación de equivalencia en el grupo G. Divide el grupo en clases de equivalencia que no se superponen, llamadas clases laterales (izquierda) , todas las cuales contienen m elementos, siendo el número de clases igual al índice del subgrupo. Cada elemento pertenece a la clase lateral formada por todos los posibles productos de g y elementos del subgrupo H . $g,g'\in G$ $h\en H$ $g=g'h.$ $g\in g$ ${\bar{g}}=gH$

Si el subgrupo H es un divisor normal , entonces se puede transferir la operación de grupo al conjunto de clases laterales definiendo:

(g_{1}H)(g_{2}H)=(g_{1}g_{2})H

El resultado de tal operación no depende de la elección de representantes y convierte el conjunto de clases laterales en un grupo llamado grupo de factores . esta marcado El orden de un grupo de factores es igual al índice del subgrupo correspondiente. $g_{1}g_{2}$ $G/H$

Clasificación

Número de grupos distintos de un orden dado

ordenar	número de grupos [4]	conmutativo	no conmutativo
0	0	0	0
una	una	una	0
2	una	una	0
3	una	una	0
cuatro	2	2	0
5	una	una	0
6	2	una	una
7	una	una	0
ocho	5	3	2
9	2	2	0
diez	2	una	una
once	una	una	0
12	5	2	3
13	una	una	0
catorce	2	una	una
quince	una	una	0
dieciséis	catorce	5	9
17	una	una	0
Dieciocho	5	2	3
19	una	una	0
veinte	5	2	3
21	2	una	una
22	2	una	una
23	una	una	0
24	quince	3	12
25	2	2	0
26	2	una	una
27	5	3	2
28	cuatro	2	2
29	una	una	0
treinta	cuatro	una	3

Grupos cíclicos finitos

Los grupos cíclicos finitos tienen la estructura más simple , cuyos elementos pueden representarse como potencias sucesivas de algún elemento fijo. $a:$

1,a,a^{2},a^{3}\puntos a^{{n-1}}\

( n es el orden del grupo).

El elemento a se llama generador (o antiderivada ) para un grupo dado, y el grupo en sí generado se denota $a,$ $\langle a\rangle .$

Como elemento generador de un grupo , no sólo puede actuar un elemento, sino también los de sus grados , cuyo exponente es coprimo con el orden del grupo. El número de dichos generadores para un grupo de orden n es ( la función de Euler ). Ejemplo: grupo de raíces de la unidad . $\langle a\rangle$ $a,$ ${\ estilo de visualización a^{k},}$ $k$ $\varfi (n)$

Cualquier grupo de orden cíclico finito es isomorfo al grupo de clase de residuo aditivo . Esta clase de grupos isomorfos generalmente se denota por . De esto se sigue que, $norte$ $\mathbb {Z} _{n}$ $C_{n}$

salvo isomorfismo , solo hay un grupo cíclico finito de un orden dado.
Los grupos cíclicos son siempre conmutativos ( abelianos ) y lagrangianos.
un grupo cíclico tiene subgrupos no triviales si y solo si su orden es un número compuesto .
cualquier subgrupo de un grupo cíclico también es cíclico. Cualquier grupo cociente del grupo cíclico G/H será también cíclico . El número de subgrupos distintos de un grupo de orden cíclico es igual al número de divisores (positivos) del número $norte$ $norte.$

Las potencias de cualquier elemento de un grupo finito arbitrario forman un subgrupo cíclico generado (para una unidad, este será un subgrupo trivial que constará solo de la unidad misma). Este subgrupo está contenido en cualquier otro subgrupo que contenga un elemento El orden es igual al orden del elemento generador Corolario: un grupo de orden es cíclico si y solo si contiene un elemento del mismo orden $a$ $GRAMO$ $H$ $a$ $gramo,$ $una.$ $H$ $una.$ $norte$ $norte.$

Todos los grupos cuyo orden es menor que 4 son cíclicos, por lo que no existen dos grupos no isomorfos del mismo orden para ellos. El grupo de orden 1 ( el grupo trivial ) contiene solo la identidad. El grupo de orden 2 consta de elementos (y ); en planimetría tal es, por ejemplo, el conjunto de las transformaciones a partir de la unidad (transformación idéntica) y la reflexión especular respecto a una recta fija. Grupo de orden 3 contiene elementos ${\ estilo de visualización \ {1, un \}}$ $un^{2}=1$ ${\ estilo de visualización \ {1, a, a^{2}\}.}$

No todos los grupos finitos conmutativos son cíclicos. El contraejemplo más simple: el grupo cuádruple de Klein .

Grupos con orden primo (p-grupos)

Sea el orden del grupo un número primo p , entonces se cumplen las siguientes propiedades.

El grupo es cíclico .
El grupo es conmutativo ( abeliano ) y nilpotente .
Todos los grupos del mismo orden p son isomorfos entre sí.

Más general y más complicado es el caso cuando el orden del grupo es una potencia de un número primo; tales grupos se denominan comúnmente grupos p .

Grupos simples

Un grupo finito se llama simple si todos sus subgrupos normales son triviales (es decir, coinciden con el subgrupo identidad o con el grupo completo) [5] . Ver su clasificación general .

Grupos conmutativos (abelianos)

Teorema principal ( Frobenius ): Todo grupo finito conmutativo se puede representar como una suma directa de p-grupos . Esto es una consecuencia del teorema general sobre la estructura de grupos abelianos finitamente generados para el caso en que el grupo no tenga elementos de orden infinito.

Historia

Los primeros estudios de grupos finitos aparecieron mucho antes de la aparición de este término y se referían a representantes específicos de esta estructura. Por primera vez, surgió tal necesidad en el estudio de ecuaciones algebraicas para la resolución en radicales , para lo cual Larrange , Ruffini y Abel estudiaron profundamente los grupos de permutación de raíces polinómicas . En 1771, Lagrange descubrió un teorema para grupos de permutaciones cíclicas , que lleva su nombre y tiene un carácter completamente general. Abel complementó significativamente los logros de Lagrange y, dado que aclaró el papel de los grupos de permutación conmutativa en este problema, estos grupos se han denominado abelianos. Cauchy demostró en 1815 que todo grupo cuyo orden es divisible por un número primo p tiene un elemento de orden p. La demostración era de carácter general, aunque Cauchy también se restringía al grupo de permutaciones.

El segundo objeto de la futura teoría eran los grupos de residuos aditivos . Leibniz consideró el grupo no trivial más simple de dos elementos , y Euler y Gauss dieron una teoría significativa de esta estructura para un módulo arbitrario .

El término "grupo" apareció por primera vez en los trabajos de Galois , quien también estudió los grupos de permutación, pero la definición se dio de forma bastante general. Galois también introdujo los conceptos fundamentales de un subgrupo normal , un grupo cociente y un grupo soluble .

En 1854 Cayley dio la primera definición abstracta de grupo. En un artículo de 1878, demostró un teorema clave sobre la representación de un grupo finito arbitrario mediante permutaciones. En 1872, el matemático noruego Sylow obtuvo sus famosos resultados sobre los p-subgrupos máximos, que siguen siendo la base de la teoría de grupos finitos hasta el día de hoy.

Frobenius también hizo una contribución significativa a la teoría de los grupos finitos abstractos , gracias a quien se describieron completamente los grupos abelianos finitos y se creó la teoría de sus representaciones matriciales. A fines del siglo XIX, los grupos finitos se estaban aplicando con éxito tanto en matemáticas como en ciencias naturales (por ejemplo, en cristalografía ). A principios del siglo XX, el trabajo de Emmy Noether y Artin sentó las bases de la teoría de grupos moderna.

Véase también

Literatura

Vechtomov E. M. Sobre los grupos lagrangianos. §una. De la historia de la teoría de grupos // Problemas de la investigación histórica y científica en matemáticas y educación matemática: Actas de la conferencia científica internacional. - Permanente: Estado permanente. Universidad Pedagógica, 2007. - S. 23-32 . .
Curso de Álgebra de Vinberg E. B. - 3ª ed. - M. : Factorial Press, 2002. - 544 p. — ISBN 5-88688-060-7 . .
Gorenstein D. Grupos simples finitos. Introducción a su clasificación. — M .: Mir, 1985.
Enciclopedia Matemática (en 5 tomos) . — M .: Enciclopedia soviética , 1982.
Navarro, Joaquín. Através del espejo. Simetría en matemáticas. — M .: De Agostini, 2014. — 160 p. — (El Mundo de las Matemáticas: en 45 volúmenes, tomo 17). - ISBN 978-5-9774-0712-0 .
Salón M. Teoría de grupos. M. : Editorial de literatura extranjera, 1962.

Enlaces

Grupo finito en Wolfram Math World. (Inglés)

Notas

↑ Enciclopedia Matemática, 1982 , Volumen 2. Grupo finito.
↑ Malykh A. E. Sobre el problema de Kirkman y su desarrollo en la segunda mitad del siglo XIX - principios del siglo XX // Problemas de la investigación histórica y científica en matemáticas y educación matemática: Actas de la conferencia científica internacional, Perm, septiembre de 2007 .. - Perm : Estado permanente . Ped. Universidad, 2007. - S. 84. .
↑ Estuardo, enero. Conceptos de las matemáticas modernas. - Minsk: Escuela Superior, 1980. - S. 133-134. — 384 pág.
↑ Humphreys, John F. Un curso de teoría de grupos . - Oxford University Press , 1996. - P. 238-242 . — ISBN 0198534590 .
↑ Enciclopedia Matemática, 1982 , Volumen 4. Un grupo simple.

diccionarios y enciclopedias	Gran catalán Britannica (en línea) universalis
En catálogos bibliográficos	BNF : 11969510z J9U : 987007531228305171 LCCN : sh85048354 NDL : 00574433

teoría de grupos
Conceptos básicos	Subgrupo subgrupo normal Grupo de factores Trabajar directo semidirecto libre
Propiedades algebraicas	grupo conmutativo grupo cíclico grupo ordenado Transformar grupo Grupo solucionable Lema de Schreier teorema de lagrange teoremas de Sylow Clasificación de grupos finitos simples
grupos finitos	Grupo cíclico finito C n Grupo simétrico S n Grupo diedro D n Grupo alternado A n Grupo Cuádruple Klein grupos de Mathieu M11 _ M12 _ M22 _ M23 _ M24 _ Grupos Conway Co 1 Co2_ _ Co3 _ grupos janko J1 _ J2 _ J3 _ J4 _ Grupos de pescadores F22 _ F 23 F24 _ Monstruo (M)
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