Resolver triángulos

El término histórico "solución de triángulos" ( lat. solutio triangulorum ) denota la solución del siguiente problema trigonométrico : encontrar los lados y/o ángulos restantes de un triángulo a partir de los ya conocidos [1] . También hay generalizaciones de este problema al caso cuando se dan otros elementos del triángulo (por ejemplo, medianas , bisectrices , alturas , área , etc.), así como al caso cuando el triángulo no se encuentra en el plano euclidiano. , pero en una esfera ( triángulo esférico ), en un plano hiperbólico ( triángulo hiperbólico ), etc. Este problema se encuentra a menudo en aplicaciones trigonométricas, por ejemplo, en geodesia , astronomía , construcción , navegación .

Resolver triángulos planos

Un triángulo general tiene 6 elementos básicos: 3 lineales (longitud de los lados ) y 3 angulares ( ). El lado opuesto a la esquina en la parte superior se denota tradicionalmente con la misma letra que esta parte superior, pero no mayúscula, sino minúscula (ver figura). En el problema clásico de trigonometría plana, se dan 3 de estas 6 características y se deben determinar las otras 3. Obviamente, si solo se conocen 2 o 3 ángulos, una solución única no funcionará, ya que cualquier triángulo similar a este también será una solución, por lo que se supone además que al menos una de las cantidades conocidas es lineal [2] . $a B C$ $\alfa,\beta,\gamma$

El algoritmo para resolver el problema depende de qué características del triángulo se consideren conocidas. Dado que la opción "se dan tres ángulos" está excluida de la consideración, quedan 5 opciones diferentes [3] :

tres lados;
dos lados y el ángulo entre ellos;
dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos;
un lado y dos ángulos adyacentes;
lado, esquina opuesta y uno de los contiguos.

Teoremas básicos

El método estándar para resolver el problema es usar varias relaciones fundamentales que se cumplen para todos los triángulos planos [4] :

teorema del coseno

a^{2}=b^{2}+c^{2}-2bc\cdot \cos \alpha

b^{2}=a^{2}+c^{2}-2ac\cdot \cos \beta

c^{2}=a^{2}+b^{2}-2ab\cdot \cos \gamma

teorema del seno

{\frac {a}{\sin \alpha}}={\frac {b}{\sin \beta}}={\frac {c}{\sin \gamma}}

La suma de los ángulos de un triángulo.

\alfa +\beta +\gamma =180^{\circ}

Otras relaciones universales a veces útiles en la práctica incluyen el teorema de la tangente , el teorema de la cotangente , el teorema de la proyección y las fórmulas de Molweide .

Notas

Para encontrar un ángulo desconocido, es más confiable usar el teorema de los cosenos, no del seno, porque el valor del seno del ángulo en el vértice del triángulo no determina de manera única el ángulo en sí, ya que los ángulos adyacentes tienen el mismo seno . [5] . Por ejemplo, si entonces el ángulo puede ser tanto , como , porque los senos de estos ángulos son iguales. Una excepción es el caso cuando se sabe de antemano que no puede haber ángulos obtusos en un triángulo dado, por ejemplo, si el triángulo es rectángulo . Con el coseno , tales problemas no surgen: en el rango de a , el valor del coseno determina únicamente el ángulo. $\sin \beta =0{,}5,$ $\beta$ $30^{\círculo}$ $150^{\circ}$ $0^{\círculo}$ $180^{\círculo}$
Al construir triángulos, es importante recordar que el reflejo especular del triángulo construido también será una solución al problema. Por ejemplo, tres lados definen de forma única un triángulo hasta la reflexión.
Se supone que todos los triángulos no son degenerados , es decir, la longitud del lado no puede ser cero y el valor del ángulo es un número positivo menor que . $180^{\círculo}$

Tres lados

Sean dadas las longitudes de los tres lados . La condición para la resolución del problema es el cumplimiento de la desigualdad del triángulo , es decir, cada longitud debe ser menor que la suma de las otras dos longitudes: $a B C$

a<b+c,\quad b<a+c,\quad c<a+b.

Para encontrar los ángulos , necesitas usar el teorema del coseno [6] : $\Alfa Beta$

\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc)),\quad \beta =\arccos {\frac {a^{2 }+c^{2}-b^{2}}{2ac}}.

El tercer ángulo se encuentra inmediatamente a partir de la regla de que la suma de los tres ángulos debe ser igual a $180^{\circ }\colon$

\gamma =180^{\circ }-(\alpha +\beta ).

No se recomienda encontrar el segundo ángulo usando el teorema del seno , porque, como se indica en la Observación 1 , existe el peligro de confundir un ángulo obtuso con uno agudo. Este peligro no surge si primero determinamos, por el teorema del coseno, el ángulo mayor (se encuentra opuesto al mayor de los lados); los otros dos ángulos son exactamente agudos, y es seguro aplicarles el teorema del seno.

Otro método para calcular ángulos a partir de lados conocidos es usar el teorema de la cotangente .

Dos lados y un ángulo entre ellos

Conozcamos, para mayor precisión, las longitudes de los lados y el ángulo entre ellos. Esta versión del problema siempre tiene una solución única. Para determinar la longitud del lado , se utiliza el teorema del coseno [7] : $a, b$ $\gama$ $C$

c={\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos \gamma )).

De hecho, el problema se reduce al caso anterior . A continuación, se aplica de nuevo el teorema del coseno para encontrar el segundo ángulo:

\alpha =\arccos {\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}=\arccos {\frac {ba\cos \gamma }{\sqrt {a^{2}+b^{2}-2ab\cos\gamma}}}.

El tercer ángulo se encuentra a partir del teorema de la suma de los ángulos de un triángulo: . $\beta =180^{\circ }-\alfa -\gamma$

Dos lados y un ángulo opuesto a uno de ellos

En este caso, puede haber dos soluciones, una o ninguna. Sean dos lados y un ángulo . Luego, la ecuación para el ángulo se encuentra a partir del teorema del seno [8] : $antes de Cristo$ $\beta$ $\gama$

\sin \gamma ={\frac {c}{b))\sin \beta .

Por brevedad, denotamos (el lado derecho de la ecuación). Este número siempre es positivo. Al resolver la ecuación, son posibles 4 casos, dependiendo en gran medida de D [9] [10] . $D={\frac {c}{b}}\sin \beta$

El problema no tiene solución (el lado "no llega" a la recta ) en dos casos: si o si el ángulo y al mismo tiempo $b$ $antes de Cristo$ $D>1$ $\beta \geqslant 90^{\circ}$ $b\leqslant c.$
Si hay solución única y el triángulo es rectángulo: ${\ estilo de visualización D = 1,}$ $\gamma =\arcsen D=90^{\circ }.$

Si es así, hay 2 opciones. ${\ estilo de visualización D <1,}$
1. Si , entonces el ángulo tiene dos valores posibles: un ángulo agudo y un ángulo obtuso . En la figura de la derecha, el primer valor corresponde a punto , lado y ángulo , y el segundo valor corresponde a punto, lado y ángulo . $b<c$ $\gama$ $\gamma =\arcsen D$ $\gamma '=180^{\circ }-\gamma$ $C$ $b$ $\gama$ $C'$ ${\ estilo de visualización b'=b}$ $\gamma '$
2. Si , entonces (el lado mayor del triángulo corresponde al ángulo opuesto mayor). Como un triángulo no puede tener dos ángulos obtusos, se excluye un ángulo obtuso y la solución es única. $b \ geqslant c$ $\beta \geqslant \gamma$ $\gama$ $\gamma =\arcsen D$

El tercer ángulo está determinado por la fórmula . El tercer lado se puede encontrar usando el teorema del seno: $\alpha =180^{\circ }-\beta -\gamma$

a=b\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \beta ))

Lado y dos esquinas

Sean dados un lado y dos ángulos. Este problema tiene solución única si la suma de los dos ángulos es menor que . De lo contrario, el problema no tiene solución. $C$ $180^{\círculo}$

Primero, se determina el tercer ángulo. Por ejemplo, si se dan los ángulos , entonces . Además, ambos lados desconocidos se encuentran mediante el teorema del seno [11] : $\Alfa Beta$ $\gamma =180^{\circ }-\alpha -\beta$

a=c\ {\frac {\sin \alpha }{\sin \gamma )),\quad b=c\ {\frac {\sin \beta }{\sin \gamma )).

Solución de triángulos rectángulos

En este caso, se conoce uno de los ángulos: es igual a 90 °. Es necesario conocer dos elementos más, al menos uno de los cuales es un lado. Son posibles los siguientes casos:

dos piernas;
cateto e hipotenusa;
cateto y ángulo agudo adyacente;
cateto y ángulo agudo opuesto;
hipotenusa y ángulo agudo.

El vértice de un ángulo recto se denota tradicionalmente con la letra , y la hipotenusa con . Las piernas se denotan y , y los valores de los ángulos opuestos - y, respectivamente. $C$ $C$ $a$ $b$ $\alfa$ $\beta$

Las fórmulas de cálculo están muy simplificadas, ya que en lugar de los teoremas del seno y el coseno, puede usar relaciones más simples: el teorema de Pitágoras :

c^{2}=a^{2}+b^{2}

y definiciones de funciones trigonométricas básicas :

\sin \alpha =\cos \beta ={\frac {a}{c)),\quad \cos \alpha =\sin \beta ={\frac {b}{c)),

\operatorname {tg} \alpha =\operatorname {ctg} \beta ={\frac {a}{b)),\quad \operatorname {ctg} \alpha =\operatorname {tg} \beta ={\ fracción {b}{a}}.

También es claro que los ángulos y son agudos , ya que su suma es igual a . Por lo tanto, cualquiera de los ángulos desconocidos está determinado de forma única por cualquiera de sus funciones trigonométricas (seno, coseno, tangente, etc.) calculando la función trigonométrica inversa correspondiente . $\alfa$ $\beta$ $90^{\círculo}$

Con una correcta formulación del problema (si se dan la hipotenusa y el cateto, entonces el cateto debe ser menor que la hipotenusa; si se da uno de los dos ángulos no rectos, entonces debe ser agudo), la solución siempre existe y es único.

Dos piernas

La hipotenusa se encuentra usando el teorema de Pitágoras:

c={\raíz cuadrada {a^{2}+b^{2}}}.

Los ángulos se pueden encontrar usando la función arco tangente :

\alpha =\operatorname {arctg} {\frac {a}{b)),\quad \beta =\operatorname {arctg} {\frac {b}{a))

o en la hipotenusa recién encontrada:

\alpha =\arcsin {\frac {a}{c}}=\arccos {\frac {b}{c)),\quad \beta =\arcsin {\frac {b}{c}}=\arccos { \frac{a}{c}}.

Cateto e hipotenusa

Deje que se conozcan el cateto y la hipotenusa ; luego, el cateto se encuentra a partir del teorema de Pitágoras: $b$ $C$ $a$

a={\raíz cuadrada {c^{2}-b^{2}}}.

Después de eso, los ángulos se determinan de manera similar al caso anterior.

Cateto y ángulo agudo adyacente

Sean conocidos el cateto y el ángulo adyacente a él . $b$ $\alfa$

La hipotenusa se encuentra a partir de la relación $C$

c={\frac{b}{\cos \alpha}}.

El cateto se puede encontrar por el teorema de Pitágoras, de forma similar al caso anterior, o por la relación $a$

a=b\ \mathrm {tg} \,\alpha .

Un ángulo agudo se puede encontrar como $\beta$

\beta =90^{\circ }-\alfa.

Cateto y ángulo agudo opuesto

Sean conocidos el cateto y su ángulo opuesto . $b$ $\beta$

La hipotenusa se encuentra a partir de la relación $C$

c={\frac {b}{\sin \beta}}).

El cateto y el segundo ángulo agudo se pueden encontrar de manera similar al caso anterior. $a$ $\alfa$

Hipotenusa y ángulo agudo

Conozcamos la hipotenusa y el ángulo agudo . $C$ $\beta$

Un ángulo agudo se puede encontrar como $\alfa$

\alpha =90^{\circ }-\beta .

Los catetos se determinan a partir de las relaciones

a=c\sin \alpha =c\cos \beta ,

b=c\sin \beta =c\cos \alpha .

Solución de triángulos esféricos

Un triángulo esférico general está completamente definido por tres de sus seis características (3 lados y 3 ángulos). Es costumbre medir los lados de un triángulo esférico no en unidades lineales, sino por el valor de los ángulos centrales basados en ellas . $a B C$

La solución de triángulos en geometría esférica tiene una serie de diferencias con el caso plano . Por ejemplo, la suma de tres ángulos depende de un triángulo; además, no hay triángulos semejantes desiguales sobre la esfera , y por tanto el problema de construir un triángulo a partir de tres ángulos tiene solución única. Pero las relaciones principales: dos teoremas del coseno esférico y el teorema del seno esférico , utilizados para resolver el problema, son similares al caso plano. $\alfa +\beta +\gamma$

De las otras relaciones, las fórmulas de analogía de Napier [12] y la fórmula del medio lado [13] pueden ser útiles .

Tres lados

Si se dan los lados (en unidades angulares) , entonces los ángulos del triángulo se determinan a partir del teorema del coseno [14] : $a B C$

\alpha =\arccos \left({\frac {\cos a-\cos b\ \cos c}{\sin b\ \sin c))\right)

\beta =\arccos \left({\frac {\cos b-\cos c\ \cos a}{\sin c\ \sin a}}\right)

\gamma =\arccos \left({\frac {\cos c-\cos a\ \cos b}{\sin a\ \sin b))\right)

Dos lados y un ángulo entre ellos

Sean dados los lados y el ángulo entre ellos. El lado se encuentra por el teorema del coseno [14] : $a, b$ $\gama$ $C$

c=\arccos \left(\cos a\cos b+\sin a\sin b\cos \gamma \right)

Los ángulos se pueden encontrar de la misma manera que en el caso anterior , también se pueden usar las fórmulas de analogía de Napier : $\Alfa Beta$

\alpha =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin a}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma}}{2)))\sin(b+a)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma}{2)))\sin(ba))),

\beta =\operatorname {arctg} \ {\frac {2\sin b}{\operatorname {tg} ({\frac {\gamma}}{2)))\sin(a+b)+\operatorname {ctg} ({\frac {\gamma}{2)))\sin(ab))).

Dos lados y ningún ángulo entre ellos

Se dan los lados y el ángulo . Para que exista una solución, se debe cumplir la siguiente condición: $antes de Cristo$ $\beta$

b>\arcsin(\sin c\,\sin \beta ).

El ángulo se obtiene del teorema del seno : $\gama$

\gamma =\arcsin \left({\frac {\sin c\,\sin \beta }{\sin b))\right).

Aquí, de manera similar al caso plano, en , se obtienen dos soluciones: y . $b<c$ $\gama$ $180^{\circ }-\gamma$

Las cantidades restantes se pueden encontrar a partir de las fórmulas de analogía de Napier [15] :

a=2\nombre del operador {arctg} \left\{\nombre del operador {tg} \left({\frac {1}{2}}(bc)\right){\frac {\sin \left({\frac {1 {2}}(\beta +\gamma )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right)))\right\}

\alpha =2\nombre del operador {arcctg} \left\{\nombre del operador {tg} \left({\frac {1}{2}}(\beta -\gamma )\right){\frac {\sin \left( {\frac {1}{2}}(b+c)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(bc)\right)))\right\}

Ángulos laterales y adyacentes

En esta opción se dan el lado y los ángulos . El ángulo está determinado por el teorema del coseno [16] : $C$ $\Alfa Beta$ $\gama$

\gamma =\arccos(\sin \alpha \sin \beta \cos c-\cos \alpha \cos \beta ).

Los dos lados desconocidos se obtienen a partir de las fórmulas de analogía de Napier:

a=\nombre de operador {arctg} \left\{{\frac {2\sin \alpha }{\nombre de operador {ctg} (c/2)\sin(\beta +\alpha )+\nombre de operador {tg} (c/ 2)\sin(\beta -\alpha )}}\right\}

b=\nombre de operador {arctg} \left\{{\frac {2\sin \beta }{\nombre de operador {ctg} (c/2)\sin(\alpha +\beta )+\nombre de operador {tg} (c/ 2)\sin(\alpha -\beta )}}\right\}

o, si se usa el ángulo calculado , por la ley de los cosenos: $\gama$

a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right),

b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right).

Dos esquinas y ningún lado entre ellas

A diferencia del analógico plano , este problema puede tener varias soluciones.

Sean dados el lado y los ángulos . El lado está determinado por el teorema del seno [17] : $a$ $\Alfa Beta$ $b$

b=\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).

Si el ángulo del lado es agudo y , hay una segunda solución: $a$ $\alfa >\beta$

b=\pi -\arcsin \left({\frac {\sin a\,\sin \beta }{\sin \alpha }}\right).

Las cantidades restantes se determinan a partir de las fórmulas de analogía de Napier:

c=2\operatorname {arctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2))(ab)\right){\frac {\sin \left({\ frac {1}{2}}(\alpha +\beta )\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(\alpha -\beta )\right)))\right\ }.

\gamma =2\operatorname {arcctg} \left\{\operatorname {tg} \left({\frac {1}{2))(\alpha -\beta )\right){\frac {\sin \left({\frac {1}{2}}(a+b)\right)}{\sin \left({\frac {1}{2}}(ab)\right)))\right\} .

Tres esquinas

Dados tres ángulos, los lados se encuentran usando la ley de los cosenos:

a=\arccos \left({\frac {\cos \alpha +\cos \beta \cos \gamma }{\sin \beta \sin \gamma }}\right)

b=\arccos \left({\frac {\cos \beta +\cos \gamma \cos \alpha }{\sin \gamma \sin \alpha }}\right)

c=\arccos \left({\frac {\cos \gamma +\cos \alpha \cos \beta }{\sin \alpha \sin \beta }}\right)

Otra opción es utilizar la fórmula del medio ángulo [18] .

Solución de triángulos esféricos rectángulos

Los algoritmos presentados se simplifican mucho si se sabe que uno de los ángulos del triángulo (por ejemplo, el ángulo ) es recto. Un triángulo esférico rectángulo está completamente determinado por dos elementos, los otros tres se encuentran usando la regla mnemotécnica de Napier o de las siguientes relaciones [19] : $C$

\sin a=\sin c\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} \beta ,

\sin b=\sin c\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} \alpha ,

\cos c=\cos a\cdot \cos b=\operatorname {ctg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \beta ,

\operatorname {tg} a=\sin b\cdot \operatorname {tg} \alpha ,

\operatorname {tg} b=\operatorname {tg} c\cdot \cos \alpha ,

\cos \alpha =\cos a\cdot \sin \beta =\operatorname {tg} b\cdot \operatorname {ctg} c,

\cos \beta =\cos b\cdot \sin \alpha =\operatorname {tg} a\cdot \operatorname {ctg} c.

Variaciones y generalizaciones

En muchas tareas importantes en la práctica, en lugar de los lados de un triángulo, se establecen sus otras características, por ejemplo, la longitud de la mediana , la altura , la bisectriz , el radio de un círculo inscrito o circunscrito , etc. vértices de un triángulo, pueden aparecer otros ángulos en el problema. Los algoritmos para resolver tales problemas se combinan con mayor frecuencia a partir de los teoremas de trigonometría discutidos anteriormente.

Ejemplos:

La tarea de Regiomontanus es construir un triángulo, si se conocen uno de sus lados, la longitud de la altura que baja a él y el ángulo opuesto [20] .
El problema de Snell-Potenot .
Problema de Thomas Finke [21] : encontrar los ángulos de un triángulo si se conocen la suma de dos ángulos y la razón de los lados opuestos . $\alfa +\beta$ $a:b$
Problema de Newton : Resolver un triángulo si se conocen un lado, el ángulo opuesto y la suma de los otros dos lados.

Ejemplos de aplicación

Triangulación

Para determinar la distancia de la costa a un punto inaccesible, por ejemplo, a un barco distante, se deben marcar dos puntos en la costa, cuya distancia se conoce, y medir los ángulos entre la línea que conecta estos puntos y la dirección a el barco. A partir de las fórmulas de la opción “lado y dos ángulos” , puedes encontrar la longitud de la altura del triángulo [22] : $d$ $yo$ $\alfa$ $\beta$

d={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\alpha +\beta )))\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg } \beta }{\nombre del operador {tg} \alpha +\nombre del operador {tg} \beta }}\,l

Este método se utiliza en el transporte costero . En este caso, los ángulos se estiman mediante observaciones desde el barco de puntos de referencia conocidos en tierra. Un esquema similar se usa en astronomía para determinar la distancia a una estrella cercana: los ángulos de visión de esta estrella se miden desde puntos opuestos de la órbita terrestre (es decir, con un intervalo de seis meses) y la distancia requerida se calcula a partir de su diferencia ( paralaje ) [22] . $\Alfa Beta$

Otro ejemplo: quieres medir la altura de una montaña o de un edificio alto. Se conocen los ángulos de visión del vértice desde dos puntos situados a distancia . De las fórmulas de la misma versión que la anterior, resulta [23] : $h$ $\Alfa Beta$ $yo$

h={\frac {\sin \alpha \,\sin \beta }{\sin(\beta -\alpha )))\,l={\frac {\operatorname {tg} \alpha \,\operatorname {tg } \beta }{\nombre del operador {tg} \beta -\nombre del operador {tg} \alpha }}\,l

La distancia entre dos puntos en la superficie del globo

Es necesario calcular la distancia entre dos puntos del globo [24] :

Punto : latitud longitud

A

\lambda _{\mathrm {A}},

L_{\mathrm {A} },

Punto : latitud longitud

B

\lambda _{\mathrm {B} },

L_{\mathrm {B} },

Para un triángulo esférico , donde está el polo norte, se conocen las siguientes cantidades: $A B C$ $C$

a=90^{\mathrm {o} }-\lambda_{\mathrm {B} }

b=90^{\mathrm {o} }-\lambda_{\mathrm {A} }

\gamma =L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }

Este es el caso de "dos lados y un ángulo entre ellos". De las fórmulas anteriores , se obtiene:

\mathrm {AB} =R\arccos \left\{\sin \lambda _ {\mathrm {A} }\,\sin \lambda _ {\mathrm {B} }+\cos \lambda _ {\mathrm {A} } }\,\cos \lambda _{\mathrm {B} }\,\cos \left(L_{\mathrm {A} }-L_{\mathrm {B} }\right)\right\}

donde es el radio de la tierra . $R$

Historia

Los comienzos del conocimiento trigonométrico se pueden encontrar en los manuscritos matemáticos del antiguo Egipto , Babilonia y la antigua China . El principal logro de este período fue la razón, que más tarde recibió el nombre de teorema de Pitágoras ; Van der Waerden cree que los babilonios lo descubrieron entre 2000 y 1786 a. mi. [25]

La formulación general del problema de resolución de triángulos (tanto planos como esféricos) apareció en la geometría griega antigua [26] . En el segundo libro de los Principia de Euclides , el Teorema 12 es un análogo verbal del teorema del coseno para triángulos obtusos [27] :

En los triángulos obtusos, el cuadrado del lado que subtiende el ángulo obtuso es mayor que la [suma] de los cuadrados de los lados que contienen el ángulo obtuso por el rectángulo doble encerrado entre uno de los lados en un ángulo obtuso, en el que la perpendicular cae, y el segmento cortado por esta perpendicular desde el exterior en una esquina obtusa.

El teorema 13 siguiente es una variante del teorema del coseno para triángulos acutángulos . Los griegos no tenían un análogo del teorema del seno , este descubrimiento tan importante se hizo mucho más tarde [28] : la prueba más antigua del teorema del seno en el plano que nos ha llegado se describe en el libro de Nasir ad-Din At-Tusi "Tratado sobre el cuadrilátero completo", escrito en el siglo XIII [29] .

Las primeras tablas trigonométricas probablemente fueron compiladas por Hiparco a mediados del siglo II a. mi. para cálculos astronómicos. Más tarde, el astrónomo del siglo II Claudio Ptolomeo , en el Almagesto , complementó los resultados de Hiparco. El primer libro del Almagesto es la obra trigonométrica más significativa de toda la antigüedad. En particular, el Almagesto contiene extensas tablas trigonométricas de cuerdas para ángulos agudos y obtusos, en incrementos de 30 minutos de arco . En las tablas, Ptolomeo da el valor de las longitudes de las cuerdas con una precisión de tres dígitos sexagesimales [30] . Tal precisión corresponde aproximadamente a una tabla decimal de senos de cinco dígitos en incrementos de 15 minutos de arco [1] .

Ptolomeo no establece explícitamente el teorema del seno y el coseno para los triángulos. Sin embargo, siempre se enfrenta al problema de resolver triángulos dividiendo el triángulo en dos rectángulos [31] .

Paralelamente al desarrollo de la trigonometría plana, los griegos, bajo la influencia de la astronomía, avanzaron mucho en la trigonometría esférica [32] . La etapa decisiva en el desarrollo de la teoría fue la monografía " Esfera " en tres libros, que fue escrita por Menelao de Alejandría (alrededor del año 100 dC). En el primer libro, esbozó teoremas sobre triángulos esféricos , similares a los teoremas de Euclides sobre triángulos planos (ver Libro I de los Principios). Según Pappus , Menelao fue el primero en introducir el concepto de triángulo esférico como una figura formada por segmentos de círculos máximos [33] . Unas décadas más tarde, Claudio Ptolomeo , en su Geografía, Analemma y Planisferium, ofrece una exposición detallada de las aplicaciones trigonométricas a la cartografía, la astronomía y la mecánica.

En el siglo IV, tras el declive de la ciencia antigua, el centro de desarrollo de las matemáticas se trasladó a la India. Los escritos de los matemáticos indios ( siddhantas ) muestran que sus autores estaban bien familiarizados con los trabajos de los astrónomos y geómetras griegos [34] . Los indios estaban poco interesados en la geometría pura, pero su contribución a la astronomía aplicada ya los aspectos computacionales de la trigonometría es muy significativa. En particular, los indios fueron los primeros en introducir el uso del coseno [35] . Además, los indios conocían las fórmulas para ángulos múltiples , para . En Surya-siddhanta y en los trabajos de Brahmagupta, cuando se resuelven problemas, se usa realmente la versión esférica del teorema del seno , pero la formulación general de este teorema no ha aparecido en la India [36] . $\sin n\varphi$ $\ cos n \ varphi$ $n=2,3,4,5$

En el siglo VIII, los científicos de los países del Cercano y Medio Oriente se familiarizaron con los trabajos de los antiguos matemáticos y astrónomos griegos e indios. Sus tratados astronómicos, similares a los Siddhantas indios, fueron llamados " zijis "; un zij típico era una colección de tablas astronómicas y trigonométricas, provistas de una guía para su uso y (no siempre) un resumen de la teoría general [37] . La comparación de zijs del período de los siglos VIII-XIII muestra la rápida evolución del conocimiento trigonométrico. Los trabajos más antiguos que se conservan pertenecen a al-Khwarizmi y al-Marvazi (siglo IX), quienes consideraron, junto con el seno y el coseno conocidos por los indios, nuevas funciones trigonométricas : tangente , cotangente , secante y cosecante [35] .

Thabit ibn Qurra (siglo IX) y al-Battani (siglo X) fueron los primeros en descubrir el teorema fundamental del seno para el caso especial de un triángulo esférico rectángulo . Para un triángulo esférico arbitrario, la prueba fue encontrada (de varias maneras y probablemente de forma independiente) por Abu-l-Vafa , al-Khujandi e ibn Iraq a fines del siglo X [28] . En otro tratado, ibn Iraq formuló y demostró el teorema del seno para un triángulo plano [38] . El teorema del coseno esférico no fue formulado generalmente en los países del Islam, sin embargo, en los trabajos de Sabit ibn Kurra, al-Battani y otros astrónomos, hay enunciados equivalentes [39] .

La presentación fundamental de la trigonometría como ciencia independiente (tanto plana como esférica) fue realizada por el matemático y astrónomo persa Nasir ad-Din at-Tusi en 1260 [40] . Su "Tratado sobre el cuadrilátero completo" contiene métodos prácticos para resolver problemas típicos, incluidos los más difíciles, resueltos por el mismo at-Tusi, por ejemplo, construir los lados de un triángulo esférico en tres ángulos dados [41] . Así, a fines del siglo XIII, se descubrieron los teoremas básicos necesarios para resolver triángulos de manera eficiente.

En Europa, el desarrollo de la teoría trigonométrica se volvió extremadamente importante en los tiempos modernos, principalmente para la artillería , la óptica y la navegación en viajes marítimos de larga distancia. En 1551, aparecieron las tablas trigonométricas de 15 dígitos de Rheticus , alumno de Copérnico, con un paso de 10” [42] . La necesidad de cálculos trigonométricos complejos provocó el descubrimiento de los logaritmos a principios del siglo XVII , y el primer logaritmo Las tablas de John Napier contenían solo los logaritmos de las funciones trigonométricas.Entre otros descubrimientos, Napier es un algoritmo eficiente para resolver triángulos esféricos, llamado " fórmulas de analogía de Napier " [43] .La algebrización de la trigonometría, iniciada por François Vieta , fue completada por Leonhard Euler en el siglo XVIII, después de lo cual los algoritmos para resolver triángulos adquirieron una forma moderna.

Véase también

Notas

↑ 1 2 Vygodsky M. Ya., 1978 , p. 266-268.
↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 487.
↑ Resolver triángulos . Las matemáticas son divertidas. Consultado el 23 de julio de 2022. Archivado desde el original el 30 de junio de 2019. (indefinido)
↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 488.
↑ Stepanov N. N., 1948 , pág. 133.
↑ Resolver triángulos SSS . Las matemáticas son divertidas. Consultado el 23 de julio de 2022. Archivado desde el original el 30 de septiembre de 2012. (indefinido)
↑ Resolver triángulos S.A.S. Las matemáticas son divertidas. Consultado el 24 de julio de 2022. Archivado desde el original el 30 de septiembre de 2012. (indefinido)
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↑ Vygodsky M. Ya., 1978 , p. 294.
↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 493-496.
↑ Resolver triángulos ASA . Las matemáticas son divertidas. Consultado el 24 de julio de 2022. Archivado desde el original el 30 de septiembre de 2012. (indefinido)
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Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
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