Función de onda

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La función de onda , o función psi , es una función de valor complejo utilizada en la mecánica cuántica para describir el estado puro de un sistema . Los símbolos más comunes para la función de onda son las letras griegas ψ y Ψ ( psi minúsculas y mayúsculas , respectivamente). Es el coeficiente de expansión del vector de estado en términos de la base (normalmente la coordenada): $\psi$

$\left|\psi (t)\right\rangle =\int \Psi (x,t)\left|x\right\rangle dx$

donde es el vector base de coordenadas y es la función de onda en la representación de coordenadas. $\left|x\right\rangle =\left|x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right\rangle$ $\Psi (x,t)=\langle x\left|\psi (t)\right\rangle$

Según la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica , la densidad de probabilidad de encontrar una partícula en un punto dado del espacio de configuración en un momento dado se considera igual al cuadrado del valor absoluto de la función de onda de este estado en la coordenada representación.

La función de onda es una función de grados de libertad correspondientes a un conjunto máximo de observables conmutables . Una vez que se elige tal representación , la función de onda se puede derivar del estado cuántico.

Para un sistema dado, la elección de conmutar los grados de libertad no es única y, en consecuencia, el dominio de definición de la función de onda tampoco es único. Por ejemplo, se puede considerar como una función de todas las coordenadas de posición de las partículas en el espacio de coordenadas, o los momentos de todas las partículas en el espacio de momentos ; las dos descripciones están relacionadas por la transformada de Fourier . Algunas partículas, como los electrones y los fotones , tienen un espín distinto de cero , y la función de onda de dichas partículas incluye el espín como un grado de libertad discreto interno; también se pueden considerar otras variables discretas como isospin para diferentes sistemas . Cuando un sistema tiene grados de libertad internos, la función de onda en cada punto de los grados de libertad continuos (por ejemplo, un punto en el espacio de coordenadas) asigna un número complejo para cada valor posible de los grados de libertad discretos (por ejemplo, el componente z del espín): estos valores a menudo se muestran como una columna vectorial (por ejemplo, 2 × 1 para un electrón no relativista con espín.

Según el principio de superposición de la mecánica cuántica, las funciones de onda se pueden sumar y multiplicar por números complejos para construir nuevas funciones de onda y definir un espacio de Hilbert . El producto interno en el espacio de Hilbert entre dos funciones de onda es una medida de la superposición entre los estados físicos correspondientes y se utiliza en la interpretación probabilística fundamental de la mecánica cuántica, la regla de Born , que relaciona las probabilidades de transición con el producto escalar de los estados. La ecuación de Schrödinger define cómo evolucionan las funciones de onda con el tiempo, y la función de onda se comporta cualitativamente como otras ondas , como las ondas en el agua o las ondas en una cuerda, porque la ecuación de Schrödinger es matemáticamente una variación de la ecuación de onda . Esto explica el nombre de "función de onda" y conduce a la dualidad onda-partícula . Sin embargo, la función de onda en la mecánica cuántica describe un tipo de fenómeno físico, aún abierto a varias interpretaciones , que es fundamentalmente diferente del de las ondas mecánicas clásicas [1] [2] [3] [4] [5] [6] [ 7] .

En la interpretación estadística de Born de la mecánica cuántica no relativista [8] [9] [10] , el módulo cuadrático de la función de onda es un número real, interpretado como la densidad de probabilidad de medir una partícula como si estuviera en un lugar dado o teniendo un impulso dado en un momento dado, y posiblemente teniendo ciertos valores para grados de libertad discretos. La integral de este valor sobre todos los grados de libertad del sistema debe ser igual a 1 de acuerdo con la interpretación probabilística. Este requisito general que debe satisfacer la función de onda se denomina condición de normalización . Debido a que la función de onda tiene valores complejos, solo se pueden medir su fase relativa y su magnitud relativa; su valor, tomado de forma aislada, no dice nada sobre las magnitudes o direcciones de los observables que se miden; es necesario aplicar operadores cuánticos , cuyos valores propios corresponden a conjuntos de posibles resultados de medición, a la función de onda ψ y calcular distribuciones estadísticas para cantidades medibles.

Historia

En 1905 Albert Einstein postuló una proporcionalidad entre la frecuencia de un fotón y su energía , [11] , y en 1916 una relación correspondiente entre el impulso de un fotón y su longitud de onda , [12] , donde es la constante de Planck . En 1923, De Broglie fue el primero en sugerir que la relación , ahora llamada relación de De Broglie , es válida para partículas masivas , la clave principal para entender cuál es la invariancia de Lorentz [13] , y esto puede considerarse como el punto de partida para el desarrollo moderno de la mecánica cuántica. Las ecuaciones describen la dualidad onda-partícula para partículas masivas y sin masa. $F$ $mi$ ${\ estilo de visualización E = hf}$ $pags$ $\lambda$ $\lambda ={\frac{h}{p}}$ $h$ $\lambda ={\frac{h}{p}}$

En las décadas de 1920 y 1930, la mecánica cuántica se desarrolló utilizando el cálculo y el álgebra lineal . El análisis fue utilizado en su trabajo por Louis de Broglie , Erwin Schrödinger y otros que desarrollaron la " mecánica ondulatoria ". Entre los que aplicaron los métodos del álgebra lineal estaban Werner Heisenberg , Max Born y otros que desarrollaron la "mecánica de matrices". Posteriormente, Schrödinger demostró que estos dos enfoques son equivalentes [14] .

En 1926, Schrödinger publicó la famosa ecuación de onda, que ahora lleva su nombre, la ecuación de Schrödinger . Esta ecuación se basó en la ley clásica de conservación de la energía , pero escrita usando operadores cuánticos y relaciones de De Broglie, y sus soluciones fueron representadas por funciones de onda de un sistema cuántico [15] . Sin embargo, nadie supo cómo interpretar esto [16] . Al principio, Schrödinger y otros pensaron que las funciones de onda eran partículas que estaban distribuidas en el espacio, con la mayoría de las partículas ubicadas donde la función de onda era grande [17] . Se ha demostrado que esto es incompatible con la dispersión elástica de un paquete de ondas (que es una partícula) desde un dispersor porque se propaga en todas las direcciones [8] . Aunque una partícula dispersa puede dispersarse en cualquier dirección, no se rompe en pedazos y no sale volando en todas las direcciones. En 1926, Born presentó su interpretación de la amplitud de probabilidad [9] [18] . Relaciona los cálculos de la mecánica cuántica directamente con las probabilidades observadas en el experimento. Esta imagen ahora se acepta como parte de la interpretación de Copenhague de la mecánica cuántica. Hay muchas otras interpretaciones de la mecánica cuántica . En 1927, Hartree y Fock dieron el primer paso al tratar de describir la función de onda para N-partículas y desarrollaron el procedimiento autoconsistente : un algoritmo iterativo para aproximar la solución de un problema de mecánica cuántica de muchas partículas. Este método ahora se conoce como el método Hartree-Fock [19] . El determinante y el permanente de Slater ( matrices ) eran parte de un método propuesto por John C. Slater .

Schrödinger trabajó con una ecuación para la función de onda que satisfacía la ley relativista de conservación de la energía antes de publicar la versión no relativista, pero la descartó porque predecía probabilidades negativas y energías negativas . En 1927, Klein , Gordon y Fock también lo encontraron, pero tuvieron en cuenta la interacción electromagnética y demostraron que es invariante de Lorentz . De Broglie también llegó a la misma ecuación en 1928. Esta ecuación de onda relativista ahora se conoce más comúnmente como la ecuación de Klein-Gordon [20] .

En 1927, Pauli encontró fenomenológicamente una ecuación no relativista para describir partículas con espín 1/2 en campos electromagnéticos, que ahora se llama ecuación de Pauli [21] . Pauli descubrió que la función de onda no estaba descrita por una función compleja de espacio y tiempo, sino que se requerían dos números complejos, que corresponden a los estados del fermión con espín +1/2 y −1/2. Poco después, en 1928, Dirac encontró una ecuación de la primera unificación exitosa de la relatividad especial y la mecánica cuántica aplicada al electrón , ahora llamada ecuación de Dirac . En este caso, la función de onda es un espinor representado por cuatro componentes complejos [19] : dos para el electrón y dos para la antipartícula electrónica , el positrón . En el límite no relativista, la función de onda de Dirac se asemeja a la función de onda de Pauli para un electrón. Más tarde, se encontraron otras ecuaciones de onda relativistas .

Funciones de onda y ecuaciones de onda en teorías modernas

Todas estas ecuaciones de onda son de importancia eterna. La ecuación de Schrödinger y la ecuación de Pauli son en muchos casos excelentes aproximaciones para problemas relativistas. Son mucho más fáciles de resolver en problemas prácticos que sus contrapartes relativistas.

Las ecuaciones de Klein-Gordon y Dirac , al ser relativistas, no reconcilian completamente la mecánica cuántica y la relatividad especial. La rama de la mecánica cuántica donde se estudian estas ecuaciones de la misma manera que la ecuación de Schrödinger, a menudo llamada mecánica cuántica relativista , aunque muy exitosa, tiene sus limitaciones (ver, por ejemplo , Lamb shift ) y problemas conceptuales (ver, por ejemplo, Dirac sea ).

La relatividad hace inevitable que el número de partículas en un sistema no sea constante. El acuerdo completo requiere la teoría cuántica de campos [22] . En esta teoría, también se utilizan ecuaciones de onda y funciones de onda, pero en una forma ligeramente diferente. Los principales objetos de interés no son las funciones de onda, sino los operadores, los llamados operadores de campo (o simplemente campos , con lo que nos referimos a "operadores") en el espacio de estado de Hilbert. Resulta que todavía se necesitan las ecuaciones de onda relativistas originales y sus soluciones para construir el espacio de Hilbert. Además, los operadores de campo libre , es decir, para partículas que no interactúan, en muchos casos satisfacen formalmente la misma ecuación que los campos (funciones de onda).

Por lo tanto, la ecuación de Klein-Gordon (spin 0 ) y la ecuación de Dirac (spin 1 ⁄ 2 ) permanecen en teoría en esta forma. Los análogos de espín más altos incluyen la ecuación de Proca (espín 1 ), la ecuación de Rarita-Schwinger (espín 3 ⁄ 2 ) y, de manera más general , las ecuaciones de Bargmann-Wigner . Para campos libres sin masa , ejemplos son las ecuaciones de campo libre de Maxwell (spin 1 ) y la ecuación de campo libre de Einstein (spin 2 ) para operadores de campo [23] . Todos ellos son esencialmente una consecuencia directa del requisito de invariancia de Lorentz . Sus soluciones deben ser transformadas bajo la transformación de Lorentz de una manera dada, es decir, de acuerdo con una determinada representación del grupo de Lorentz y, junto con algunos otros requisitos razonables, por ejemplo, el principio de descomposición de conglomerados [24] , teniendo en cuenta cuenta la causalidad , es suficiente para modificar la ecuación.

Esto se aplica a las ecuaciones de campo libre cuando no se incluyen las interacciones. Si la densidad del Lagrangiano (incluidas las interacciones) está disponible, entonces el formalismo del Lagrangiano dará la ecuación de movimiento en el nivel clásico. Esta ecuación puede ser muy compleja e imposible de resolver. Cualquier solución se referirá a un número fijo de partículas y no tendrá en cuenta el término "interacción" tal como se entiende en estas teorías, que incluye la creación y destrucción de partículas, en lugar de potenciales externos, como en la teoría cuántica ordinaria ( cuantización primaria ) .

En la teoría de cuerdas, la situación sigue siendo similar. Por ejemplo, la función de onda en el espacio de momento juega el papel del coeficiente de expansión de Fourier en el estado general de una partícula (cuerda) con un momento que no está claramente definido [25] .

Significado físico

En la representación de coordenadas, la función de onda depende de las coordenadas (o coordenadas generalizadas) del sistema. El significado físico de la función de onda es que el cuadrado de su módulo es la densidad de probabilidad (para espectros discretos, simplemente la probabilidad) de detectar el sistema en un punto en el tiempo : ${\ estilo de visualización \ Psi (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, t)}$ ${\displaystyle \left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},t)\right|^{2))$ $\omega$ ${\displaystyle x_{1}=x_{01},x_{2}=x_{02},\ldots,x_{n}=x_{0n))$ $t$

\omega ={\frac {dP}{dv}}=\left|\Psi (x_{1},x_{2},\ldots,x_{n},t)\right|^{2} =\Psi^{\ast}\Psi

Entonces, en un estado cuántico dado del sistema, descrito por la función de onda , la probabilidad de que la partícula sea detectada en la región de un volumen finito del espacio de configuración es igual a ${\ estilo de visualización \ Psi (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}, t)}$ $PAGS$ $V$

P={\int {dP}}={\int \limits _{V}{\omega }dv}={\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast}\Psi }dv }

(una)

También es posible medir la diferencia de fase de la función de onda, por ejemplo, en el experimento de Aharonov-Bohm .

Normalización de la función de onda

Dado que la probabilidad total de detectar una partícula en todo el espacio es igual a uno, entonces su función de onda debe satisfacer la llamada condición de normalización, por ejemplo, en la representación de coordenadas que tiene la forma: $\psi$

{\int \limits _{V}{\Psi ^{\ast}\Psi}dv}=1

En el caso general, la integración debe realizarse sobre todas las variables de las que depende explícitamente la función de onda en esta representación (excepto el tiempo).

El principio de superposición de estados cuánticos

Para funciones de onda, el principio de superposición es válido , lo que significa que si el sistema puede estar en estados descritos por funciones de onda y , entonces para cualquier complejo y , también puede estar en un estado descrito por la función de onda ${\ estilo de visualización \ Psi _ {1}}$ ${\ estilo de visualización \ Psi _ {2}}$ $c_{1}$ $c_{2}$ ${\ estilo de visualización |c_{1}|^{2}+|c_{2}|^{2}=1}$

{\ estilo de visualización \ Psi _ {\ Sigma} = c_ {1} \ Psi _ {1} + c_ {2} \ Psi _ {2}}

Obviamente, también se puede hablar de la superposición (suma) de cualquier número de estados cuánticos, es decir, la existencia de un estado cuántico del sistema, que se describe mediante la función de onda

\Psi_{\Sigma}=c_{1}\Psi_{1}+c_{2}\Psi_{2}+\ldots +{c}_{N}{\Psi }_{N }=\sum _{n=1}^{N}{c}_{n}{\Psi }_{n}

En tal estado, el cuadrado del módulo del coeficiente determina la probabilidad de que, al medirlo, el sistema se encuentre en el estado descrito por la función de onda . ${\ estilo de visualización {c}_{n}}$ ${\ Displaystyle {\ Psi} _ {n}}$

Por lo tanto, para funciones de onda normalizadas . $\sum_{n=1}^{N}\left|c_{n}\right|^{2}=1$

Condiciones de regularidad de la función de onda

El significado probabilístico de la función de onda impone ciertas restricciones o condiciones a las funciones de onda en los problemas de la mecánica cuántica. Estas condiciones estándar a menudo se denominan condiciones de regularidad para la función de onda.

Condición de finitud de la función de onda. La función de onda no puede tomar valores infinitos de modo que la integral se vuelva divergente. Por lo tanto, esta condición requiere que la función de onda sea una función integrable al cuadrado, es decir, que pertenezca a un espacio de Hilbert . En particular, en problemas con una función de onda normalizada, el módulo cuadrado de la función de onda debe tender a cero en el infinito. $(una)$ $L^{2}$
La condición para la unicidad de la función de onda. La función de onda debe ser una función inequívoca de coordenadas y tiempo, ya que la densidad de probabilidad de detección de partículas debe determinarse de manera única en cada problema. En problemas que utilizan un sistema de coordenadas cilíndricas o esféricas, la condición de unicidad conduce a la periodicidad de las funciones de onda en las variables angulares.
Condición de continuidad de la función de onda. En cualquier momento dado, la función de onda debe ser una función continua de coordenadas espaciales. Además, las derivadas parciales de la función de onda , , , también deben ser continuas . Estas derivadas parciales de funciones solo en casos raros de problemas con campos de fuerza idealizados pueden tolerar una discontinuidad en aquellos puntos en el espacio donde la energía potencial que describe el campo de fuerza en el que se mueve la partícula experimenta una discontinuidad del segundo tipo . ${\frac {\parcial \Psi }{\parcial x))$ ${\frac {\parcial \Psi }{\parcial y))$ ${\frac {\parcial \Psi }{\parcial z))$

Función de onda en varias representaciones

El conjunto de coordenadas que actúan como argumentos de la función es un sistema completo de conmutables observables . En mecánica cuántica, es posible elegir varios conjuntos completos de observables, por lo que la función de onda del mismo estado se puede escribir a partir de diferentes argumentos. El conjunto completo de cantidades elegidas para registrar la función de onda determina la representación de la función de onda . Por lo tanto, la representación de coordenadas, la representación de momento son posibles, en la teoría cuántica de campos , se utilizan la segunda cuantización y la representación de números de relleno , o la representación de Fock , etc.

Si la función de onda, por ejemplo, de un electrón en un átomo, se da en la representación de coordenadas , entonces el cuadrado del módulo de la función de onda es la densidad de probabilidad de encontrar un electrón en un punto particular del espacio. Si se da la misma función de onda en la representación del impulso , entonces el cuadrado de su módulo es la densidad de probabilidad de detectar uno u otro impulso .

Formulaciones matriciales y vectoriales

La función de onda del mismo estado en diferentes representaciones corresponderá a la expresión del mismo vector en diferentes sistemas de coordenadas. Otras operaciones con funciones de onda también tendrán análogos en el lenguaje de los vectores. En la mecánica ondulatoria, se usa una representación donde los argumentos de la función psi son un sistema completo de observables conmutantes continuos , y en la mecánica matricial se usa una representación donde los argumentos de la función psi son un sistema completo de observables conmutantes discretos . Por lo tanto, las formulaciones funcional (onda) y matricial son obviamente matemáticamente equivalentes.

Descripción de estados cuánticos mixtos

La función de onda es un método para describir el estado puro de un sistema mecánico cuántico. Los estados cuánticos mixtos (en estadística cuántica ) deben describirse mediante una matriz de densidad .

Representaciones de coordenadas y momentos

La función de onda representada en función de las coordenadas se denomina función de onda en la representación de coordenadas [26] ${\ estilo de visualización \ psi = \ psi ({\ vec {r)))}$

Cualquier función de onda en la representación de coordenadas se puede expandir en términos de las funciones propias de su operador de momento :

\psi _{\vec {p}}={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}e^{{\frac {i}{\hbar }} {\vec {p}}{\vec {r}}}

Como resultado, obtenemos la transformada inversa de Fourier :

\psi ({\vec {r)))=\int a({\vec {p)))\psi _{\vec {p))({\vec {r)))d^{3 }p={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2}}}\int a({\vec {p}})e^{{\frac {i}{\hbar } }{\vec {p}}{\vec {r}}}d^{3}p

dónde ${\displaystyle d^{3}p=dp_{x}dp_{y}dp_{z))$

Los coeficientes de expansión son iguales a la transformada de Fourier $a({\vec {p)))$

a({\vec {p)))=\int \psi ({\vec {r)))\psi _{\vec {p}}^{*}({\vec {r}}) dV={\frac {1}{(2\pi \hbar )^{3/2))}\int \psi ({\vec {r)))e^{-{\frac {i}{\hbar }}{\vec {p}}{\vec {r}}}d^{3}V

La función se denomina función de onda de la partícula en la representación del momento , ya que es posible que el momento de la partícula tenga valores en el intervalo [27] . $a({\vec {p)))$ $|a({\vec {p)))|^{2}d^{3}p$ $d^{3}p$

Funciones de onda y espacios funcionales

El concepto de espacios de funciones se usa naturalmente en la discusión de las funciones de onda. Un espacio de funciones es una colección de funciones, generalmente con algunos requisitos de funciones definitorias (en este caso, son cuadrados integrables ), a veces con una estructura algebraica dada en el conjunto (en este caso, una estructura de espacio vectorial con un producto interno ) junto con un topología en el conjunto. Este último rara vez se usará aquí, solo se necesita para obtener una definición precisa de lo que significa un subconjunto cerrado de un espacio funcional. Se concluirá a continuación que el espacio funcional de las funciones de onda es un espacio de Hilbert . Esta observación es la base de la formulación matemática prevaleciente de la mecánica cuántica.

Estructura del espacio vectorial

La función de onda, como elemento del espacio funcional, se caracteriza parcialmente por las siguientes descripciones concretas y abstractas.

La ecuación de Schrödinger es lineal. Esto significa que sus soluciones, las funciones de onda, se pueden sumar y multiplicar por escalares para obtener una nueva solución. El conjunto de soluciones de la ecuación de Schrödinger es un espacio vectorial.
Principio de superposición de la mecánica cuántica. Si Ψ y Φ son dos estados en el espacio de estado abstracto de un sistema mecánico cuántico, y a y b son dos números complejos cualesquiera, entonces a Ψ + b Φ es un estado válido. Si el vector nulo se considera un estado válido ("no hay sistema") es una cuestión de definición. El vector cero de ninguna manera describe el estado de vacío en la teoría cuántica de campos. El conjunto de estados admisibles es un espacio vectorial.

Esta similitud no es casual. También tenga en cuenta las diferencias entre los espacios.

Vistas

Los estados fundamentales se caracterizan por un conjunto de números cuánticos. Este es el conjunto de valores propios del conjunto máximo de observables conmutables . Los observables físicos están representados por operadores lineales, también llamados observables, en el espacio de vectores. La maximalidad significa que no se pueden agregar a dicho conjunto otros observables algebraicamente independientes que conmuten con los existentes. La elección de tal conjunto puede denominarse elección de representación .

En mecánica cuántica, se postula que una cantidad físicamente observable de un sistema, como la posición, el momento o el espín, se representa mediante un operador hermitiano lineal en el espacio de estados. Los posibles resultados de medir esta cantidad son los valores propios del operador [17] . A un nivel más profundo, la mayoría de los observables, quizás todos, surgen como generadores de simetrías [17] [28] [nb 1] .
La interpretación física es que tal conjunto representa algo que teóricamente puede medirse simultáneamente con precisión arbitraria. La relación de incertidumbre de Heisenberg prohíbe mediciones exactas simultáneas de dos observables que no conmutan.
El conjunto no es único. Para un sistema de una partícula, esta podría ser la proyección z ( x , S z ) y la proyección ( p , S y ) . En este caso, el operador correspondiente a la posición ( el operador de multiplicación en la representación de coordenadas) y el operador correspondiente al momento ( el operador diferencial en la representación de coordenadas) no se conmutan.
Una vez elegida la representación, la ambigüedad permanece. Queda por elegir un sistema de coordenadas. Esto puede, por ejemplo, corresponder a una elección de los ejes x , y y z , o una elección de coordenadas curvilíneas, como se ilustra en el ejemplo de coordenadas esféricas , utilizadas para las funciones de onda de los átomos de hidrógeno. Esta elección final también fija una base en un espacio abstracto de Hilbert. Los estados fundamentales están etiquetados con números cuánticos correspondientes al conjunto máximo de observables conmutables y el sistema de coordenadas correspondiente [nb 2] .

Los estados abstractos son "abstractos" solo en el sentido de que no se da la elección arbitraria requerida para una descripción explícita particular. O, en otras palabras, no se dio ninguna elección del conjunto máximo de observables conmutables. Lo cual es análogo a un espacio vectorial sin una base dada. En consecuencia, las funciones de onda correspondientes a un estado cuántico no son únicas. Esta ambigüedad refleja la ambigüedad en la elección del conjunto máximo de observables conmutables. Para una partícula con espín en una dimensión, dos funciones de onda Ψ( x , S z ) y Ψ( p , S y ) corresponden a un estado específico , ambas describen el mismo estado.

Para cada elección del conjunto máximo de conmutables observables para el espacio de estado abstracto, hay una representación correspondiente que está asociada con el espacio funcional de las funciones de onda.
Hay correspondencias uno a uno entre todos estos espacios funcionales diferentes y el espacio de estado abstracto (aquí no se tienen en cuenta la normalización y los factores de fase no observables), y el denominador común aquí es un estado abstracto específico. La conexión entre las funciones de onda de impulso y coordenadas, por ejemplo, que describen el mismo estado, da la transformada de Fourier .

Cada elección de representación debe considerarse como la definición de un único espacio funcional en el que se definen las funciones de onda correspondientes a esta elección de representación. Esta distinción se conserva mejor incluso si se pudiera argumentar que dos espacios de funciones de este tipo son matemáticamente iguales, como ser un conjunto de funciones cuadradas integrables. Entonces uno puede pensar en los espacios de funciones como dos copias diferentes de este conjunto.

Producto interior

Hay una estructura algebraica adicional para espacios vectoriales de funciones de onda y un espacio abstracto de estados.

Las funciones de onda físicamente diferentes se interpretan como parcialmente superpuestas. Un sistema en el estado Ψ que no se superpone con el estado Φ no se puede encontrar en el estado Φ cuando se mide. Pero si Φ 1 , Φ 2 , ... se superponen con Ψ hasta cierto punto, existe la posibilidad de que la medida del sistema descrito por Ψ se encuentre en los estados Φ 1 , Φ 2 , ... También se observan las reglas de selección . Por lo general, se formulan en términos de conservación de ciertos números cuánticos. Esto significa que ciertos procesos que son permisibles desde algunos puntos de vista (por ejemplo, la conservación de la energía y el momento) no ocurren porque las funciones de onda totales inicial y final no se superponen.
Matemáticamente, resulta que las soluciones de la ecuación de Schrödinger para potenciales específicos son de alguna manera ortogonales , esto generalmente se describe mediante la integral

\int \Psi _{m}^{*}\Psi _{n}w\,dV=\delta _{nm},

donde m , n son (conjuntos de) índices (números cuánticos) que denotan diferentes soluciones, la función estrictamente positiva w se denomina función de peso y δ mn es el símbolo de Kronecker . La integración se realiza sobre todo el espacio correspondiente.

Esto motiva la introducción del producto interior en el espacio vectorial de estados cuánticos abstractos, en consonancia con los resultados matemáticos dados anteriormente al pasar a la representación. Se denota (Ψ, Φ) , o en notación bra y ket . Lo que da un número complejo. Con el producto interior, el espacio funcional es un espacio pre-Hilbert . La forma explícita del producto interno (generalmente una integral o una suma de integrales) depende de la elección de la representación, pero el número complejo (Ψ, Φ) no. Gran parte de la interpretación física de la mecánica cuántica proviene de la regla de Born . Dice que la probabilidad p de detección al medir el estado Φ , dado que el sistema está en el estado Ψ , es $\langle \Psi |\Phi \rangle$

p=|(\Phi,\Psi)|^{2},

donde se supone que Φ y Ψ están normalizados. Considere un experimento de dispersión . En la teoría cuántica de campos, si Φ out describe un estado en el "futuro distante" ("onda saliente") después de la terminación de las interacciones entre partículas dispersas, y Ψ in es una onda incidente en el "pasado distante", entonces las cantidades ( Φ out , Ψ in ) , donde Φ out y Ψ in varían en el conjunto completo de ondas entrantes y salientes, respectivamente, denominada matriz S o matriz de dispersión . Saber esto, en esencia, significa resolver el problema en cuestión, al menos en lo que respecta a las predicciones. Las cantidades medibles, como la tasa de decaimiento y las secciones transversales de dispersión , se calculan utilizando la matriz S [29] .

Espacio de Hilbert

Los resultados anteriores reflejan la esencia de los espacios de funciones cuyos elementos son funciones de onda. Sin embargo, la descripción aún no está completa. Existe otro requisito técnico para un espacio funcional, a saber, el requisito de completitud , que permite tomar los límites de las secuencias en un espacio funcional y garantizar que, si existe un límite, entonces es un elemento del espacio funcional. Un espacio pre-Hilbert completo se llama espacio de Hilbert . La propiedad de completitud es crucial para los enfoques y aplicaciones avanzados de la mecánica cuántica. Por ejemplo, la existencia de operadores de proyección o depende de la completitud del espacio [30] . Estos operadores de proyección son a su vez necesarios para la formulación y prueba de muchos teoremas útiles, como el teorema espectral . Esto no es muy importante para una parte introductoria de la mecánica cuántica, y los detalles técnicos y las referencias se pueden encontrar en notas al pie como la siguiente [nb 3] . El espacio L 2 es un espacio de Hilbert, cuyo producto escalar se presentará a continuación. El espacio funcional en el ejemplo de la figura es un subespacio de L 2 . Un subespacio de un espacio de Hilbert se llama espacio de Hilbert si es cerrado.

Así, el conjunto de todas las funciones de onda normalizadas posibles para un sistema con una determinada elección de base, junto con el vector cero, constituye un espacio de Hilbert.

No todas las funciones de interés son elementos de algún espacio de Hilbert, digamos L 2 . El ejemplo más llamativo es el conjunto de funciones e 2 πi p · x ⁄ h . Estas ondas planas son soluciones de la ecuación de Schrödinger para una partícula libre, pero no están normalizadas, por lo que no pertenecen a L 2 . Pero, sin embargo, son fundamentales para la descripción de la mecánica cuántica. Se pueden utilizar para expresar funciones que se pueden normalizar mediante paquetes de ondas . En cierto sentido, son una base (pero no una base espacial de Hilbert, ni una base de Hamel ) en la que se pueden expresar las funciones de onda de interés. También hay otra descripción: "normalización a la función delta", que a menudo se usa por conveniencia de notación, ver más abajo. Las funciones delta en sí mismas tampoco son integrables al cuadrado.

La descripción anterior del espacio funcional que contiene las funciones de onda tiene una motivación principalmente matemática. Los espacios funcionales son, en cierto sentido, muy amplios por su completud . No todas las funciones son descripciones realistas de cualquier sistema físico. Por ejemplo, en el espacio de funciones L 2 puedes encontrar una función que toma el valor 0 para todos los números racionales y -i para los irracionales [0, 1] . Esta función es integrable al cuadrado [nb 4] , pero difícilmente puede representar un estado físico.

Espacios generales de Hilbert

Aunque el espacio de decisión es generalmente un espacio de Hilbert, hay muchos otros espacios de Hilbert.

Funciones complejas integrables al cuadrado en el intervalo [0, 2 π ] . El conjunto { e int /2 π , n ∈ ℤ } es la base del espacio de Hilbert, es decir, el conjunto ortonormal máximo.
La transformada de Fourier transforma las funciones del espacio anterior en elementos l 2 (ℤ) , el espacio de funciones sumables cuadradas ℤ → ℂ . El último espacio es un espacio de Hilbert, y la transformada de Fourier define un isomorfismo de los espacios de Hilbert [nota 5] . Su base es { mi yo , yo ∈ ℤ} donde mi yo ( j ) = δ ij , yo , j ∈ ℤ .
El ejemplo más simple de polinomios acotados es el espacio de funciones cuadradas integrables en el intervalo [–1, 1] para el cual los polinomios de Legendre son una base espacial de Hilbert (un conjunto ortonormal completo).
Las funciones cuadradas integrables en la esfera unitaria S 2 forman un espacio de Hilbert. Las funciones base en este caso son los armónicos esféricos . Los polinomios de Legendre forman parte de los armónicos esféricos. La mayoría de los problemas con simetría rotacional tendrán la "misma" solución (conocida) con respecto a esa simetría, por lo que el problema original se reduce a un problema de menor dimensión.
Los polinomios de Laguerre correspondientes aparecen en el problema de las funciones de onda del hidrógeno después de la selección de armónicos esféricos. Cubren el espacio de Hilbert de funciones cuadradas integrables en el intervalo semi-infinito [0, ∞) .

De manera más general, se pueden considerar todas las soluciones polinómicas de las ecuaciones de Sturm-Liouville de segundo orden en el contexto de un espacio de Hilbert. Estos incluyen los polinomios de Legendre y Laguerre, así como los polinomios de Chebyshev, los polinomios de Jacobi y los polinomios de Hermite . De hecho, surgen en problemas físicos, el último en el oscilador armónico , y lo que de otro modo es un laberinto enredado de propiedades de funciones especiales parece ser una imagen orgánica. Ver Byron & Fuller (1992 , Capítulo 5) para esto.

También hay espacios de Hilbert de dimensión finita. El espacio ℂ n es un espacio de Hilbert de dimensión n . El producto interior es el producto interior estándar para estos espacios. Contiene la "parte de giro" de la función de onda de una partícula.

Con una descripción no relativista de un electrón , n = 2 , y la función de onda total es una solución a la ecuación de Pauli .
En la interpretación relativista correspondiente , n = 4 y la función de onda es una solución a la ecuación de Dirac .

Con un gran número de partículas, la situación es más complicada. Es necesario utilizar los productos tensoriales y la teoría de representación de los grupos de simetría involucrados (grupos de rotación y grupos de Lorentz, respectivamente) . Otras dificultades surgen en el caso relativista si las partículas no son libres [31] . Consulte la ecuación de Bethe-Salpeter . Los comentarios relevantes se refieren al concepto de isospín , para el cual el grupo de simetría es SU (2) . Los modelos de fuerzas nucleares de los años sesenta (que todavía están en uso hoy en día, ver fuerzas nucleares ) usaban el grupo de simetría SU(3) . En este caso también la parte de las funciones de onda correspondiente a las simetrías internas está en algunos ℂ n o subespacios de los productos tensoriales de dichos espacios.

En la teoría cuántica de campos, el principal espacio de Hilbert es el espacio de Fock . Se construye a partir de estados libres de una sola partícula, es decir, funciones de onda, de una representación elegida, y puede acomodar cualquier número finito, no necesariamente constante en el tiempo, de partículas. Una dinámica interesante está oculta no en las funciones de onda, sino en los operadores de campo que actúan sobre el espacio de Fock. Por lo tanto, la imagen de Heisenberg resulta más conveniente (estados constantes, operadores variables en el tiempo).

Debido a la naturaleza infinitamente dimensional del sistema, las herramientas matemáticas correspondientes son objetos de estudio en el análisis funcional .

Ontología

Si realmente existe una función de onda y qué representa son las cuestiones principales en la interpretación de la mecánica cuántica . Muchos físicos famosos de la generación anterior se preguntaron por este problema, como Schrödinger , Einstein y Bohr . Algunos abogan por formulaciones o variantes de la interpretación de Copenhague (por ejemplo, Bohr, Wigner y von Neumann ), mientras que otros, como Wheeler o Jaynes , adoptan un enfoque más clásico [32] y consideran la función de onda como una representación de la información en la mente del observador, entonces son medidas de nuestro conocimiento de la realidad. Algunos, incluidos Schrödinger, Bohm, Everett y otros, han argumentado que la función de onda debe tener una existencia física objetiva. Einstein creía que una descripción completa de la realidad física debería referirse directamente al espacio físico y al tiempo, en contraste con la función de onda, que se refiere a un espacio matemático abstracto [33] .

Véase también

Notas

Comentarios

↑ Para que esta declaración tenga sentido, los observables deben ser elementos de un conjunto de desplazamiento máximo. Por ejemplo, el operador de cantidad de movimiento de la i-ésima partícula en un sistema de n partículas "no" es un generador de algún tipo de simetría por su naturaleza. Por otro lado, el momento "total" es un generador de simetría por naturaleza; simetría traslacional.
↑ La base resultante puede o no ser, en el sentido matemático, una base de espacios de Hilbert. Por ejemplo, los estados con cierta posición y cierto impulso no son integrables al cuadrado. Esto se puede superar con paquetes de ondas o encajonando el sistema. Ver más notas a continuación.
↑ Técnicamente, se formula de la siguiente manera. El producto interior establece la norma . Esta norma, a su vez, induce una métrica . Si esta métrica está completa , los límites anteriores se darán en el espacio funcional. Entonces el espacio pre-Hilbert se llama completo. El producto interno completo es un espacio de Hilbert . Un espacio de estado abstracto siempre se trata como un espacio de Hilbert. El requisito de consistencia para los espacios funcionales es natural. La propiedad del espacio de Hilbert de un espacio de estado abstracto se definió originalmente a partir de la observación de que los espacios de funciones que forman soluciones normalizadas de la ecuación de Schrödinger son espacios de Hilbert.
↑ Como se explica en la siguiente nota al pie, la integral debe tratarse como una integral de Lebesgue , ya que la integral de Riemann es insuficiente.
↑ Conway, 1990 . Esto significa que se conservan los productos internos y, por lo tanto, las normas, y que el mapeo está acotado y, por lo tanto, es una biyección lineal continua. La propiedad de completitud también se conserva. Así, esto corresponde a la noción correcta de isomorfismo en la categoría de espacios de Hilbert.

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Enlaces

Mecánica cuántica - artículo de la Gran Enciclopedia Soviética .
Diccionario Enciclopédico Físico: Mecánica Cuántica"

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