Lógica matemática

La lógica matemática ( lógica teórica [1] , lógica simbólica [2] ) es una rama de las matemáticas que estudia la notación matemática , los sistemas formales , la demostrabilidad de los juicios matemáticos , la naturaleza de la prueba matemática en general, la computabilidad y otros aspectos de los fundamentos de las matemáticas . [3] .

En un sentido más amplio, se considera como una rama matematizada de la lógica formal [4]  - “ lógica por tema, matemáticas por método ” [5] , “ lógica desarrollada con la ayuda de métodos matemáticos ” [6] .

Historia

Los primeros intentos de matematizar las operaciones lógicas se realizaron entre los siglos XIII y XIV por Raymond Lull , quien diseñó una "máquina lógica" especial para mecanizar el proceso de inferencia lógica, que describió en su tratado "Ars Magna" (" Arte grandioso"). Su carro constaba de siete círculos concéntricos en los que se marcaban términos y letras. Para obtener combinaciones, Lull utilizó dos círculos concéntricos divididos en sectores por líneas radiales. Girando el círculo interior, recibió una tabla de varias combinaciones. Por supuesto, este intento fue imperfecto, pero desempeñó un papel en el desarrollo posterior de la idea de la matematización de las inferencias lógicas.

El primer trabajo sobre lógica formal que nos ha llegado es  el Primero de los Analíticos de Aristóteles 384-322 a. C.). Trata de los conceptos básicos de la silogística  : las reglas para derivar algunas declaraciones de otras. Entonces, de las declaraciones "Todos los hombres son mortales" y "Sócrates es un hombre" podemos concluir que "Sócrates es mortal". Sin embargo, en la práctica, tal razonamiento es extremadamente raro.

La cuestión de crear una lógica simbólica como lenguaje científico universal fue considerada por Leibniz en 1666 en su obra El arte de la combinatoria ( De arte combinatoria ). Pensó en escribir enunciados en un lenguaje especial, para luego poder calcular la verdad de los demás según leyes lógicas. A mediados del siglo XIX aparecieron los primeros trabajos sobre la algebrización de la lógica aristotélica, que constituyeron la base fundamental del cálculo proposicional ( Buhl , de Morgan , Schroeder ). En 1847, J. Boole publicó El análisis matemático de la lógica, y en 1854, Una investigación de las leyes del pensamiento, Una investigación de las leyes del pensamiento. En ellos, Boole esbozó los fundamentos de su álgebra lógica, donde aplicó el simbolismo algebraico para registrar operaciones lógicas y conclusiones lógicas. El álgebra lógica booleana en forma de cálculo de clases fue el primer sistema de lógica matemática. El principal resultado del álgebra booleana es que ahora no se limitan a la aplicación del simbolismo a la lógica, sino que construyen cálculos lógicos especiales; las leyes lógicas aparecen en el álgebra de la lógica como un elemento necesario de los sistemas formalizados; cada juicio se considera como una declaración sobre la igualdad de clases; el proceso de razonamiento se reduce a resolver igualdades lógicas. Sin embargo, como señaló Jevons , la operación de resta en este álgebra de la lógica no era del todo conveniente y en ocasiones daba lugar a malentendidos. El álgebra lógica de Boole fue mejorada por W. S. Jevons y E. Schroeder. El propio Jevons en su libro “Lógica pura” criticó la excesiva matematización, las álgebras booleanas de la lógica y propuso su teoría basada en el principio de sustitución, es decir, la sustitución de iguales por iguales.

En 1877, Schröder publicó un libro sobre lógica matemática, Der Operationskreis des Logikkalkuls, en el que establece sistemáticamente los fundamentos de la lógica matemática. El astrónomo, lógico y matemático ruso, profesor de la Universidad de Kazan P. S. Poretsky , hizo una gran contribución al desarrollo de la lógica matemática . Resumiendo los logros de Boole, Jevons y Schroeder, sobre la base de muchos años de investigación independiente, creó un trabajo significativo "Sobre los métodos para resolver igualdades lógicas y sobre el método inverso de la lógica matemática", en el que avanzó significativamente el desarrollo del aparato del álgebra de la lógica. Los trabajos de P. S. Poretsky superan no solo los trabajos de sus colegas, contemporáneos, sino también en términos de álgebra lógica, superan las secciones correspondientes de Whitehead y Russell. PS Poretsky fue el primero en Rusia en comenzar a dar conferencias sobre lógica matemática. La lógica matemática, dijo, "en su materia es lógica, pero en su método es un matemático". Vio la tarea de la lógica matemática en "construir una teoría de la inferencia", pero al mismo tiempo, determinó con precisión la conexión y el límite entre las matemáticas y la lógica matemática. "Si las formas estudiadas por el álgebra son cuantitativas", escribió, "entonces, por el contrario, aquellas formas con las que trata la lógica son cualitativas, es decir, esencialmente diferentes de las primeras. Esta diferencia entre los objetos de estudio más cercanos del álgebra y La lógica hace imposible la transferencia directa, es decir, la aplicación directa de los principios y técnicas del álgebra al objeto de la lógica. Sin embargo, la adaptación de estas técnicas (con total preservación de su precisión) al estudio de las formas cualitativas es bastante compleja. La gran contribución de P. S. Poretsky a la lógica matemática fue la teoría completa de las formas cualitativas que propuso Desarrolló la teoría de las igualdades lógicas, propuso el método más general y exhaustivo para encontrar todas las formas equivalentes de premisas, todas sus consecuencias, todas las premisas indescomponibles más simples en que se puede descomponer un sistema de premisas.

En los trabajos de Frege y Peirce (finales de la década de 1870 - principios de la de 1880), las variables de objeto , los cuantificadores se introdujeron en la lógica y, por lo tanto, se fundó el cálculo de predicados . En 1879, en su libro El cálculo de los conceptos, Frege presentó su teoría del cálculo proposicional, que se convirtió en la primera rama de la lógica matemática moderna. En él, Frege presentó la primera construcción axiomática de la lógica proposicional , introdujo el concepto de cuantificador en la lógica matemática, que luego Peirce introduce en la vida cotidiana de la ciencia lógica. Frege también introdujo el concepto de valor de verdad, propuesto para distinguir entre propiedades y relaciones como valores, respectivamente, de funciones proposicionales de un lugar y de muchos lugares . Pero las ideas de Frege no encontraron partidarios de inmediato y el cálculo proposicional se desarrolló, como señala A. Church, sobre la base de un punto de vista más antiguo, como puede verse en los trabajos de Peirce, Schroeder y otros.

A fines de la década de 1880, Dedekind y Peano aplicaron estas herramientas en un intento de axiomatizar la aritmética, mientras que Peano creó un conveniente sistema de notación que se ha arraigado en la lógica matemática moderna. Introdujo símbolos en la lógica matemática: ∈ es un signo de pertenencia a un conjunto, ⊂ es un signo de inclusión, ⋃ es un signo de unión, ∩ es un signo de intersección de conjuntos; Desarrolló un sistema de axiomas para la aritmética de los números naturales . Pero lo más importante, Peano, utilizando el cálculo simbólico que inventó, trató de explorar los conceptos matemáticos básicos, lo que fue el primer paso en la aplicación práctica de la lógica matemática al estudio de los fundamentos de las matemáticas. En su Formulaire de Mathematiques de cinco volúmenes (1895-1905), Peano mostró cómo, con la ayuda del cálculo simbólico, las disciplinas matemáticas pueden construirse axiomáticamente.

Whitehead y Russell escriben Principia Mathematica en 1910-1913 . Este trabajo contribuyó significativamente al desarrollo de la lógica matemática en el camino de una mayor axiomatización y formalización del cálculo proposicional, clases y predicados. B. Russell y A. Whitehead vieron la salida de la crisis en la que se encontraban las matemáticas en relación con el descubrimiento de paradojas en la teoría de conjuntos al reducir todas las matemáticas puras a la lógica . Este era el concepto del logicismo . Con este fin, construyeron un sistema lógico-matemático formalizado en el que, según ellos, todas las oraciones significativamente verdaderas pueden probarse. Pero pronto quedó claro que el intento de B. Russell y A. Whitehead de reducir todas las matemáticas puras a la lógica no se vio coronado por el éxito. En 1930-1931 , K. Godel estableció que no solo el sistema desarrollado por B. Russell y A. Whitehead, sino también cualquier sistema de matemáticas formalizadas es incompleto, es decir, no todas las oraciones significativamente verdaderas pueden probarse en él.

El concepto de intuicionismo y lógica intuicionista introdujeron su salida de la crisis de las matemáticas y el desarrollo posterior de la lógica ( Brauer , 1908 ). Las matemáticas, decían, son construcciones matemáticas. Un objeto matemático existe si se sabe cómo construirlo. El matemático se ocupa del mundo de los objetos mentales, algunos de los cuales pueden ser creados sólo en el límite de una secuencia ilimitada de pasos, sin fin y en constante proceso de devenir. Desde el punto de vista del intuicionismo, el concepto de infinito real y existente, al que se adhirieron los representantes del concepto de teoría de conjuntos de las matemáticas, es erróneo. Por tanto, la lógica intuicionista investiga sólo los objetos constructivos; la existencia de tales objetos se considera probada si y sólo si se indica la forma final de construirlos. Esta lógica niega la aplicabilidad de la ley del tercero excluido en operaciones con conjuntos infinitos. La lógica constructiva que surgió después percibió críticamente el contenido objetivo de la lógica intuicionista y no aceptó sus fundamentos filosóficos y metodológicos.

El trabajo de Hilbert y W. Ackerman "Las características principales de la lógica teórica" ​​(1928), publicado en Rusia en ruso bajo el título "Fundamentos de la lógica teórica" ​​en 1947, desempeñó un papel importante en el desarrollo de la lógica matemática . el cual se creó un programa para fundamentar las matemáticas a través de la formalización axiomática utilizando medios estrictamente limitados que no conduzcan a contradicciones. En su trabajo, hablaban de lo nuevo en lógica matemática: “Las conexiones lógicas que existen entre juicios , conceptos , etc.”, escribieron, “encuentran su expresión en fórmulas, cuya interpretación está libre de ambigüedades que fácilmente podrían surgir. con expresión verbal. El paso a las consecuencias lógicas, que tiene lugar por inferencia , se descompone en sus últimos elementos y se presenta como una transformación formal de las fórmulas originales según reglas conocidas, que son similares a las reglas de contar en álgebra; el pensamiento lógico se muestra en el cálculo lógico. Este cálculo hace posible cubrir con éxito problemas frente a los cuales el pensamiento lógico puramente significativo es fundamentalmente impotente. Hilbert se opuso al intuicionismo. Objetó el hecho de que los intuicionistas negaran la ley del tercero excluido en las operaciones con conjuntos. “La prohibición de los teoremas de existencia y la ley del tercero excluido  ”, escribió, “equivale a un rechazo total de la ciencia matemática”. En su método de formalización, Hilbert propuso convertir todas las matemáticas en un conjunto de fórmulas en las que los elementos se conectan mediante signos lógicos. El fundamento de la construcción de las matemáticas se basa en ciertas fórmulas específicas, que se denominan axiomas. Como tales axiomas, Hilbert tomó los axiomas del cálculo proposicional de la lógica matemática, los axiomas matemáticos de igualdad y los axiomas de número, de los cuales obtuvo nuevos axiomas derivables con la ayuda de reglas de inferencia. La conclusión se obtuvo solo sobre la base de la forma de símbolos y signos, detrás de los cuales no había contenido. La teoría formalizada en su estructura ya no era un sistema de oraciones significativas, sino un sistema de símbolos, considerado como una secuencia de términos. El principal requisito que hizo Hilbert al definir el concepto de "existencia" de un objeto matemático fue probar su consistencia. Si en un sistema u otro resulta que A y no-A son derivables en él, entonces tal sistema debe ser rechazado. Hilbert y su escuela trataron de justificar las matemáticas solo axiomáticamente, sin ir más allá de la lógica y las matemáticas.

En los años treinta y cuarenta del siglo XX, comienza el desarrollo de la metalógica , cuyo objeto es el estudio del sistema de disposiciones y conceptos de la propia lógica matemática, que determina los límites de esta lógica, estudia la teoría de la prueba. Las secciones principales de la metalógica son la síntesis lógica y la semántica lógica , el estudio de los significados de las expresiones del lenguaje, las interpretaciones de los cálculos lógicos. La investigación metalógica se centra en el análisis de varias propiedades de los lenguajes formalizados, que luego formaron la base de las máquinas electrónicas para automatizar las inferencias científicas. En el campo de la semántica lógica, los trabajos de A. Tarski "Sobre el concepto de verdad y los lenguajes formalizados" de 1933, así como los trabajos de R. Carnap "Estudios sobre semántica" de 1942-1947 son reconocidos como los más significativos. . También fueron importantes en el desarrollo de la lógica matemática los trabajos en el campo de la lógica polivalente, en los que a los enunciados se les asigna cualquier conjunto finito o infinito de valores de verdad. El primer sistema de este tipo de lógica proposicional de tres valores fue desarrollado y propuesto por J. Lukasevich . En 1954, J. Lukasevich propuso un sistema de lógica de cuatro valores y luego una lógica de valores infinitos. Matemáticos y lógicos tan conocidos como E. Post , S. Yaskovsky , D. Webb, A. Geyting , A. N. Kolmogorov , D. A. Bochvar, V. I. Shestakov , H. Reichenbach , S K Kleene y otros. Una de las mayores tendencias en lógica matemática se ha convertido en la teoría de las demostraciones matemáticas , que surgió de la aplicación del cálculo lógico a las cuestiones de los fundamentos de las matemáticas. Surgió del álgebra de la lógica del siglo XIX, cuyo estudio eran los objetos finitos. La teoría de las demostraciones matemáticas se ocupa principalmente del problema del infinito. Una de las principales tareas de la lógica matemática utilizada en las matemáticas del cálculo es el problema de establecer la consistencia, es decir, se considera que el cálculo es consistente si es imposible derivar la fórmula A junto con la fórmula Ā (no-A ) en eso. Con la ayuda del método de formalización de la prueba, la lógica matemática ayudó a las matemáticas a resolver los problemas de demostrabilidad y consistencia en las teorías axiomáticas. La ventaja de la lógica matemática es que el aparato simbólico que utiliza permite expresar estrictamente los razonamientos más complejos, conceptos para el procesamiento algorítmico de los sistemas informáticos.

Fundamentos

La lógica matemática, como la lógica tradicional, es formal en el sentido de que se abstrae del significado y juzga la relación, las relaciones y las transiciones de una oración (enunciado) a otra y la conclusión resultante de estas oraciones no sobre la base de su contenido, sino solo sobre la base de la forma de la secuencia de oraciones.

El uso de métodos matemáticos en lógica se vuelve posible cuando los juicios se formulan en algún lenguaje preciso. Lenguajes tan precisos tienen dos caras: la sintaxis y la semántica. La sintaxis es un conjunto de reglas para construir objetos de lenguaje (generalmente llamados fórmulas). La semántica es un conjunto de convenciones que describen nuestra comprensión de las fórmulas (o algunas de ellas) y nos permiten considerar que algunas fórmulas son verdaderas y otras no.

Los conceptos de teoría deductiva y cálculo juegan un papel importante en la lógica matemática . Un cálculo es un conjunto de reglas de inferencia que permiten considerar ciertas fórmulas como derivables. Las reglas de inferencia se dividen en dos clases. Algunos de ellos califican directamente ciertas fórmulas como derivables. Estas reglas de inferencia se denominan axiomas. Otros nos permiten considerar fórmulas derivables que están relacionadas sintácticamente de alguna manera predeterminada con conjuntos finitos de fórmulas derivables. Una regla del segundo tipo muy utilizada es la regla modus ponens: si las fórmulas y son derivables , entonces la fórmula también es derivable .

La relación de los cálculos con la semántica se expresa en términos de idoneidad semántica y completitud semántica del cálculo. Se dice que un cálculo es semánticamente adecuado para un lenguaje si cualquier fórmula derivada del lenguaje es verdadera. De manera similar, se dice que un cálculo es semánticamente completo en un idioma si se puede derivar cualquier fórmula de idioma válida en .

Muchos de los lenguajes considerados en lógica matemática tienen cálculos semánticamente completos y semánticamente útiles. En particular, se conoce el resultado de Kurt Gödel de que el cálculo de predicados clásico es semánticamente completo y semánticamente adecuado para el lenguaje de la lógica de predicados de primer orden clásica ( teorema de completitud de Gödel ). Por otro lado, hay muchos lenguajes para los que es imposible construir un cálculo semánticamente completo y semánticamente adecuado. En esta área, el resultado clásico es el teorema de incompletitud de Gödel , que establece la imposibilidad de un cálculo semánticamente completo y semánticamente utilizable para el lenguaje de la aritmética formal.

En la práctica, muchas operaciones lógicas elementales son una parte obligatoria del conjunto de instrucciones de todos los microprocesadores modernos y, en consecuencia, se incluyen en los lenguajes de programación . Esta es una de las aplicaciones prácticas más importantes de los métodos lógicos matemáticos que se estudian en los libros de texto modernos de informática.

Secciones

En la Clasificación de materias matemáticas, la lógica matemática se combina en una sección de nivel superior con los fundamentos de las matemáticas , en la que se destacan las siguientes secciones: [7]

• lógica general ( eng.  lógica general ), incluye lógica clásica de primer orden , lógica de orden superior ( lógica de segundo orden ), lógica combinatoria , cálculo λ , lógica temporal , lógica modal , lógica multivaluada , lógica difusa , lógica en informática ;
• teoría de modelos ;
• teoría de la computabilidad y teoría de la recursión ;
• teoría de conjuntos ;
• teoría de la demostración y matemáticas constructivas ;
• lógica algebraica (incluye el estudio de álgebras booleanas, álgebras de Heyting , lógica cuántica , álgebras cilíndricas y poliádicas , álgebras Post );
• modelos no estándar.

Notas

1. ↑ Hilbert, Ackerman, 1947 , pág. 5.
2. ↑ Brodsky, 1972 , pág. 3.
3. ↑ lógica matemática: definición de lógica matemática en el diccionario de Oxford (inglés americano) . Consultado el 7 de febrero de 2014. Archivado desde el original el 23 de febrero de 2014. (indefinido)
4. ↑ N. I. Kondakov, Libro de referencia del diccionario lógico , M .: "Nauka", 1975, p. 259.
5. ↑ Según la definición del primer autor de obras sobre lógica matemática en ruso, Platon Poretsky
6. ↑ S. K. Kleene, Mathematical Logic , M., 1973, p.12.
7. ↑ MSC2020-Sistema de clasificación de materias de matemáticas . Consultado el 22 de mayo de 2021. Archivado desde el original el 14 de julio de 2020. (indefinido)

Literatura

• Gilbert D. , Ackerman V. Fundamentos de la lógica teórica. - Editorial Estatal de Literatura Extranjera , 1947. - 306 p.
• Slupetsky E. , Borkovsky L. Elementos de lógica matemática y teoría de conjuntos = Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości. —M.:Progreso, 1965. — 368 p.
• Styazhkin NI Formación de lógica matemática. — M .: Nauka , 1967. — 508 p.
• Stoll R. R. Conjuntos. Lógicas. teorías axiomáticas. - Ilustración , 1968. - 232 p.
• Brodsky IN Introducción elemental a la lógica simbólica. - Editorial de la Universidad de Leningrado, 1972. - 63 p.
• Klini S.K. Lógica matemática. — M .: Mir , 1973. — 480 p.
• Novikov PS Elementos de lógica matemática. - M. : Nauka, 1973. - 400 p.
• Shenfield J. Lógica matemática. —M.: Nauka, 1975. — 400 p.
• Markov A. A. Elementos de lógica matemática / Ed. A. G. Dragalina. - M. : editorial de la Universidad Estatal de Moscú, 1984. - 79 p. - 5660 copias.
• A. S. Karpenko . Lógica simbólica  // Nueva Enciclopedia Filosófica  : en 4 volúmenes  / anterior. ed. científica consejo de V. S. Stepin . — 2ª ed., corregida. y adicional - M.  : Pensamiento , 2010. - 2816 p.

en redes sociales	Gorjeo
diccionarios y enciclopedias	gran ruso Britannica (en línea) Ucrania moderna
En catálogos bibliográficos BNE : XX525820 BNF : 11965690r TIERRA : 4037951-6 J9U : 987007293932405171 LCCN : sh85003435 LNB : 000048118 NDL : 00565709 NKC : ph126346 , ph122671