Problemas abiertos de teoría de números

La teoría de números es una rama de las matemáticas que se ocupa principalmente del estudio de los números naturales y enteros y sus propiedades, a menudo utilizando los métodos del cálculo y otras ramas de las matemáticas. La teoría de los números contiene muchos problemas, intentos de resolver que han sido realizados por matemáticos durante decenas y, a veces, incluso cientos de años, pero que aún permanecen abiertos. Los siguientes son algunos de los problemas no resueltos más notorios.

Hipótesis sobre los números primos

El fuerte problema de Goldbach . Todo número par mayor que 2 se puede representar como la suma de dos números primos.
Problema de Riesel : encontrar el número impar más pequeño tal que el número sea compuesto para todos los números naturales . ${\ estilo de visualización k <509203}$ $k\cdot 2^{n}-1$ $norte$
Problema de Sierpinski : Encontrar el natural impar más pequeño tal que el número sea compuesto de todos los naturales . ${\ estilo de visualización k <78557}$ $k\cdot 2^{n}+1$ $norte$
El problema simple de Sierpinski : encontrar el primo natural impar más pequeño tal que el número sea compuesto de todos los naturales . ${\ estilo de visualización k <271129}$ $k\cdot 2^{n}+1$ $norte$
Problema dual de Sierpinski : encontrar el menor natural impar tal que el número sea compuesto de todos los naturales . Una pregunta relacionada con la prueba de primalidad: si hay un algoritmo que le permite averiguar rápidamente (en tiempo polinomial) si un número es primo (estrictamente, es decir, no pseudoprimo), entonces hay un algoritmo de prueba de primalidad dual. para números de la forma ? La respuesta a la última pregunta nos permitiría saber si los cinco grandes posiblemente simples de la tarea "Cinco o fallan" son simples o compuestos. $k$ ${\ estilo de visualización 2 ^ {n} \ pm k}$ $norte$ $k\cdot 2^{n}\pm 1$ ${\ estilo de visualización 2 ^ {n} \ pm k}$
La conjetura de Artin de que hay infinitos números primos módulo en los que un entero dado es una raíz primitiva .
La hipótesis de Legendre . Para cualquier número natural entre y existe al menos un número primo. $norte$ $n^{2}$ $(n+1)^2$
La hipótesis de Oppermann . Para cualquier número natural entre y hay al menos un número primo, y entre y hay al menos un (otro) número primo. $norte$ $n^{2}$ $n(n+1)$ $n(n+1)$ $(n+1)^2$
La hipótesis de Andrica . La función (donde es el -ésimo número primo) toma valores menores que 1 para cualquier n. ${\displaystyle f(n)={\sqrt {p_{n+1))}-{\sqrt {p_{n))))$ $p_n$ $norte$
La hipótesis de Brokar . Para cualquier número natural entre y (donde está el número primo th) hay al menos cuatro números primos. $norte$ $p_{n}^{2}$ $p_{{n+1}}^{2}$ $p_n$ $norte$
La hipótesis de Firuzbekht . La secuencia es estrictamente decreciente (aquí está el -ésimo número primo). ${\ estilo de visualización (p_ {n}) ^ {1/n}}$ $p_n$ $norte$
La hipótesis de Polignac . Para cualquier número par, hay infinitos pares de primos vecinos, cuya diferencia es igual a . $norte$ $norte$
Hipótesis de Ago-Jugi : ¿es cierto que si $\sum _{{i=1}}^{{p-1}}i^{{p-1}}=1^{{p-1}}+2^{{p-1}}+\cdots +(p-1)^{{p-1}}\equiv -1{\pmod p}$ , entonces p es primo?
¿Es cierto que para cualquier número irracional positivo y cualquier número positivo hay un número infinito de pares de primos para los que se cumple la desigualdad ? [una] $\ theta$ $\epsilon$ $(p, q),$ $\left|\theta -{\frac {p}{q}}\right|<q^{{-2+\epsilon }}$
¿La serie converge ? [2] Pero si converge, entonces ciertamente hay muchos primos gemelos . Esto se sigue del teorema sobre la distribución de los números primos y el criterio de Leibniz $\sum _{{k=1}}^{\infty}(-1)^{k}{\frac {k}{p_{k}}}$ .
La hipótesis de Gilbraith . Para cualquier número natural , la secuencia de diferencias absolutas de orden th para una secuencia de números primos comienza en 1. Las diferencias absolutas de primer orden son las magnitudes absolutas de las diferencias entre números primos adyacentes: las diferencias de segundo orden son las magnitudes absolutas de los diferencias entre elementos adyacentes en la secuencia de diferencias absolutas de 1er orden: etc. La hipótesis se verifica para todo n < 3.4×10 11 [3] $norte$ $norte$ $1,2,2,4,2,\puntos ,$ $1,0,2,2,2,\puntos$
Conjetura de Bunyakovskii Si es un polinomio irreducible de valor integral y d es el máximo común divisor de todos sus valores, entonces el polinomio de valor integral toma infinitos valores primos. El cuarto problema de Landau es un caso particular de esta conjetura para . $f(x)$ ${\ estilo de visualización f (x) / d}$ $f(x)=x^{2}+1$
Conjetura de Dixon Si es un número finito de progresiones aritméticas, entonces hay infinitos números naturales n tales que para cada n todos los r números son primos al mismo tiempo. Además, el caso trivial queda excluido de la consideración cuando existe un primo p tal que para cualquier n al menos un número es un múltiplo de p . ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r))$ ${\displaystyle a_{1}n+b_{1},a_{2}n+b_{2}...,a_{r}n+b_{r))$ ${\displaystyle a_{j}n+b_{j))$
La conjetura de Elliot-Halberstam y su generalización en la teoría de los números primos en módulos.
¿Son todos los números de Fermat compuestos para n > 4?
¿Todos los números de Mersenne con índices primos no tienen cuadrados ?
¿ Hay números dobles de Mersenne con índices n > 60?
¿Son simples el número M M 127 y los siguientes términos de la sucesión Catalan-Mersenne?
¿ Existen números primos de Wolstenholme que no sean 16843 y 2124679 ?
Una pregunta abierta es el infinito del número de primos en cada una de las siguientes secuencias [4] :

subsecuencia	Nombre
$2^{n}-1$	Números de Mersenne
$n^{2}+1$	Cuarto problema de Landau
${\ estilo de visualización n^{2^{k}}+1}$ , $k>0$	generalización del problema de Landau [5] .
$n\cdot 2^{n}+1$	numeros cullen
$n\cdot 2^{n}-1$	Números de Woodall
$2^{{2^{n}}}+1$	Números de Fermat
$F_{n}$	números de fibonacci
parejas $(n,\;n+2)$	gemelos simples
parejas $(n,\;2n+1)$	Primos de Sophie Germain
$n!\pm 1$	números factoriales
$n\#\pm 1$	numeros primoriales
$k\cdot 2^{n}+1$ , es raro, $k$ $2^{n}>k$	Números de beneficio

¿Existe algún polinomio , que no sea lineal, entre cuyos valores haya infinitos números primos? [6] $f(x)$
¿Por qué los números primos están dispuestos en cadenas a lo largo de las diagonales del mantel de Ulam ? [6]
¿Es cierto que sólo tres números primos, a saber, 5, 13 y 97, pueden representarse en la forma de algún número natural ? ${\ estilo de visualización 2^{k}+3^{k}}$ $k$

Hipótesis sobre los números perfectos

No hay números perfectos impares . [7]
El número de números perfectos es infinito.

Conjeturas sobre números amigos

No hay números amistosos coprimos .
Cualquier par de números amigos tiene la misma paridad.
Hay infinitos números amistosos.

Números gaussianos

Encuentra el número de números gaussianos cuya norma es menor que una constante natural dada . En una formulación equivalente, este tema se conoce como el " problema del círculo de Gauss " en la geometría de los números [8] . Ver secuencia A000328 en OEIS . $R$
Encuentre líneas en el plano complejo que contengan infinitos números primos gaussianos. Dos de esas líneas son obvias: estos son los ejes de coordenadas; se desconoce si existen otros [9] .
La pregunta conocida como la " zanja gaussiana ": ¿es posible ir al infinito pasando de un simple número gaussiano a otro en saltos de una longitud predeterminada? El problema se planteó en 1962 y aún no ha sido resuelto [10] .

Ecuaciones diofánticas

¿Todo conjunto enumerable tiene una única representación diofántica ? [once]
¿Puede la unión de dos conjuntos cada uno de los cuales tiene una sola representación diofántica dejar de tener una sola representación diofántica?
¿Todo conjunto enumerable tiene una representación diofántica como una ecuación de grado 3 en todas las variables (parámetros e incógnitas)?
¿Todo conjunto enumerable tiene una representación diofántica como una ecuación de grado 3 en incógnitas?
¿Cuál es el menor número de variables que puede tener una ecuación diofántica universal ? ¿Cuál es el grado más pequeño que puede tener con tantas variables? El resultado más pequeño conocido es de 9 variables. La menor potencia conocida de la ecuación en 9 variables supera [12] $10^{{45}}.$
¿Cuál es el menor número de variables que puede tener una ecuación diofántica universal de grado 4? La puntuación más pequeña conocida es 58.
¿Existe una ecuación diofántica universal de grado 3? Si es así, ¿cuál es el menor número de variables que puede tener?
¿Cuál es el menor número de operaciones (sumas, restas y multiplicaciones) que puede tener una ecuación diofántica universal? El resultado más pequeño conocido es 100.
¿Es infinito el conjunto de soluciones de una ecuación diofántica ? [once] $9(u^{2}+7v^{2})^{2}-7(r^{2}+7s^{2})^{2}=2$
Existencia de un paralelepípedo de tres aristas enteras y diagonales enteras .
La existencia de un conjunto de cinco números enteros positivos , el producto de dos cualesquiera de los cuales es uno menos que un cuadrado exacto.

Muchos problemas no resueltos (por ejemplo, el problema de Goldbach o la hipótesis de Riemann ) pueden reformularse como preguntas sobre la resolución de ecuaciones diofánticas de 4° grado de alguna forma especial, pero tal reformulación generalmente no facilita el problema debido a la falta de un método general para resolver ecuaciones diofánticas [13] [11] .

Teoría analítica de números

Hipótesis de Riemann (formulación teórica de números). ¿Es correcta la siguiente fórmula asintótica para la distribución de números primos? $\pi (x)=\int \limits _{2}^{x}\!{\frac {dt}{\ln t))+O\left({\sqrt x}\ln x\right)?$
Se sabe que el número de puntos con coordenadas enteras positivas en una región limitada por una hipérbola y semiejes positivos se expresa mediante la fórmula asintótica $xy=N$ $\Phi (N)=\sum _{{k=1}}^{N}\tau (k)=N\ln N+(2\gamma -1)N+O(N^{\theta }),$

donde es el número de divisores del número k , es la constante de Euler-Mascheroni , y puede elegirse igual . Sin embargo, no se sabe en qué valor mínimo se mantendrá cierta esta fórmula ( se sabe que no es menor que ¿Es exactamente lo mismo ? Los cálculos directos llevan a esta conjetura, ya que resulta ser una distribución casi normal con varianza 1 para x hasta 10 16 .

\tau(k)

\gama

\ theta

{\ fracción {131}{416}}.

\ theta

{\frac{1}{4))

{\frac{1}{4))

\ theta

{\displaystyle x^{\theta}/x^{1/4))

La hipótesis de Cramer sobre los espacios entre números primos : . $\max _{i\leq n}(p_{i+1}-p_{i})=O(\ln ^{2}p_{n})$
Conjetura relajada de Mertens : demuestre que la función de Mertens se evalúa como . La conjetura relajada de Mertens es equivalente a la hipótesis de Riemann. $Minnesota)$ $M(n)=O(n^{1/2+\varepsilon})$
La primera conjetura de Hardy-Littlewood es la conjetura sobre la densidad de distribución de tuplas de números primos de la forma , afirmando, en particular, que el número de tales tuplas es infinito, excepto en casos triviales. Esta conjetura es un refinamiento de la conjetura del gemelo simple y también es un caso especial de la conjetura de Dixon. ${\ estilo de visualización (p, p + a_ {2}..., p + a_ {k})}$
La segunda conjetura de Hardy-Littlewood es la conjetura sobre la propiedad logarítmica de la función del número de números primos : . Se demuestra que ambas hipótesis de Hardy-Littlewood no pueden ser verdaderas al mismo tiempo y como máximo una es verdadera [17] . ${\ estilo de visualización \ pi (x + y) \ leqslant \ pi (x) + \ pi (y)}$
La hipótesis de Singmaster . Denote por el número de veces que un número natural mayor que uno ocurre en el triángulo de Pascal . Singmaster mostró eso , que se mejoró aún más a . ¿Es verdadera la afirmación más fuerte ? $N / A)$ $a$ $N(a)=O(\ln a)$ $N(a)=O(\ln a\cdot \ln \ln \ln a\cdot {\ln }^{{-3}}\ln a)$ $N(a)=O(1)$
La hipótesis de Zaremba . Para cualquier número natural q , existe un número p tal que en la expansión a una fracción continua , todos los cocientes incompletos no exceden de cinco. En 2011, Jean Bourgain y Alex Kontorovich demostraron que para fracciones con cocientes incompletos limitados a 50, la conjetura es verdadera en un conjunto de densidad 1 [18] . ${\frac pq}$

Teoría de Ramsey

Valores de los números de Ramsey [19] . Solo los primeros números se conocen con certeza. Por ejemplo, no se sabe en qué N mínimo en cualquier grupo de N personas habrá 5 personas que se conocen en parejas, o 5 personas que no se conocen en parejas; este número se denota , solo se conoce eso _ $R(r,\;s)$ $R(5,\;5)$ $43\leqslant R(5,\;5)\leqslant 48$

$r,\;s$	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez
una	una	una	una	una	una	una	una	una	una	una
2	una	2	3	cuatro	5	6	7	ocho	9	diez
3	una	3	6	9	catorce	Dieciocho	23	28	36	[40, 42]
cuatro	una	cuatro	9	Dieciocho	25	[36, 41]	[49, 61]	[59, 84]	[73, 115]	[92, 149]
5	una	5	catorce	25	[43, 48]	[58, 87]	[80, 143]	[101, 216]	[133, 316]	[149, 442]
6	una	6	Dieciocho	[36, 41]	[58, 87]	[102, 165]	[115, 298]	[134, 495]	[183, 780]	[204, 1171]
7	una	7	23	[49, 61]	[80, 143]	[115, 298]	[205, 540]	[217, 1031]	[252, 1713]	[292, 2826]
ocho	una	ocho	28	[56, 84]	[101, 216]	[127, 495]	[217, 1031]	[282, 1870]	[329, 3583]	[343, 6090]
9	una	9	36	[73, 115]	[133, 316]	[183, 780]	[252, 1713]	[329, 3583]	[565, 6588]	[580, 12677]
diez	una	diez	[40, 42]	[92, 149]	[149, 442]	[179, 1171]	[289, 2826]	[343, 6090]	[581, 12677]	[798, 23556]

Significados de los números de van der Waerden . Por el momento, se conocen los valores de solo 6 primeros números [20] : , 178 y 1132.35,9,3,1 , donde la expresión para el límite superior usa tetración ) [ 21] . $\{1, 2, \puntos, N\}$ $3704\leqslant N\leqslant {}^{8}2$

Otros temas

Sea un número positivo tal que y sean números enteros. ¿ No puede ser un número entero? $X$ $2^{x}$ $3^{x}$ $X$
La existencia de números ligeramente redundantes .
Existencia de un ciclo de tres números acompañantes .
¿Hay números naturales distintos por parejas tales que ? [22] $a B C D$ $a^{5}+b^{5}=c^{5}+d^{5}$
¿Hay dos ternas pitagóricas diferentes que tengan el mismo producto? [23]
La hipótesis de Beal . Si donde están los números naturales y , entonces tienen un divisor primo común. $A^x+B^y=C^z,$ $A,\;B,\;C,\;x,\;y,\;z$ $x,\;y,\;z>2$ $A B C$
La hipótesis de Erdő . Si la suma de los recíprocos de algún conjunto de números naturales diverge, entonces en este conjunto se puede encontrar una progresión aritmética arbitrariamente larga .
¿Qué tan grande puede ser la suma de los recíprocos de una secuencia de números naturales en la que ningún elemento es igual a la suma de varios otros elementos distintos? (Erdos) [24]
Conjetura de Collatz (hipótesis 3n+1).
La hipótesis del malabarista . Cualquier secuencia malabarista llega a 1 [25] . La secuencia del malabarista se describe mediante la fórmula recursiva: $a_{{k+1}}={\begin{cases}\left\lfloor a_{k}^{{1/2}}\right\rfloor ,&{\text{if}}\ a_{k}\ {\text{es par));\\\\\left\lfloor a_{k}^{{3/2))\right\rfloor ,&{\text{if))\ a_{k}\ {\ texto{es impar}}.\end{casos}}$
El problema de Brokar . ¿La ecuación tiene soluciones en números naturales, excepto (4, 5), (5, 11) y (7, 71)? [26] $n!+1=m^{2}$
La hipótesis de Tomaszewski . Solo los números 1, 6 y 120 son triangulares y factoriales [27] . En una formulación alternativa, se reduce a resolver la ecuación en números naturales. $8\cdot n!+1=m^{2}$
¿Es finito el conjunto de soluciones de la ecuación? Actualmente, sólo se conocen 5 soluciones [28] . [29] [30] $2^{n}\equiv 3{\pmod n}?$
¿Es cierto que el cuadrado de cualquier número racional puede representarse como la suma de las cuartas potencias de cuatro números racionales?
El problema de Waring y sus generalizaciones:
- ¿Existe un conjunto finito de números naturales que no se pueda representar como la suma de 6 cubos de números enteros no negativos? [31] Una pregunta similar surge para las sumas de 5 y 4 cubos, así como para muchos números de términos con potencias superiores a 4.
- ¿Cómo se puede representar exactamente un número natural como la suma de los cuadrados de dos números enteros?
Problema 196 . ¿Hay números naturales que, como resultado de repetir la operación de “voltear y sumar”, nunca se convertirán en un palíndromo ?
¿Es posible representar cualquier número entero como la suma (algebraica) de cuatro cubos? [32]
- no se conoce ninguna prueba de esta afirmación;
- no hay ningún ejemplo conocido de un número que no se pueda representar de esta manera.
Tres de las cuatro conjeturas de Pollock sobre los números rizados .

Véase también

Problemas matemáticos abiertos - problemas de otras ramas de las matemáticas

Notas

↑ Desarrollos matemáticos que surgen de los problemas de Hilbert , página 39
↑ Weisstein, Eric W. Prime Sums en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Conjetura de Eric W. Gilbraith en Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. Integer Sequence Primes en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Stuart, 2015 , pág. 68.
↑ 1 2 Matiyasevich, Yu. V. Fórmulas para números primos // Kvant. - 1975. - T. 1. - N° 5. - P. 8.
↑ Stuart, 2015 , pág. 404.
↑ Conway JH, Sloane NJA Empaquetaduras de esfera, celosías y grupos. — Springer-Verlag. — Pág. 106.
↑ Ribenboim, Paulo. El Nuevo Libro de Registros de Números Primos, Cap.III.4.D Cap. 6.II, cap. 6.IV. — 3ra ed. - Nueva York: Springer, 1996. - ISBN 0-387-94457-5 .
↑ Guy Richard K. Problemas sin resolver en teoría de números. — 3ra ed. - Nueva York: Springer, 2004. - Págs. 55-57. - ISBN 978-0-387-20860-2 .
↑ 1 2 3 Yu. V. Matiyasevich . Ejercicio 2.10 // Décimo Problema de Hilbert . - M. : Nauka, 1993. - 223 p. — (Lógica matemática y fundamentos de las matemáticas; Edición N° 26). — ISBN 502014326X .
↑ Jones JP Ecuaciones diofánticas indecidibles // Bull . amer Matemáticas. soc. : diario. - 1980. - vol. 3 . - P. 859-862 . -doi : 10.1090/ S0273-0979-1980-14832-6 .
↑ Yuri Matiyasevich, El décimo problema de Hilbert: qué se hizo y qué se debe hacer
↑ A. A. Bukhshtab. Teoría de Números . - M. : Educación, 1966.
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↑ Weisstein, Eric W. Dirichlet Divisor Problem (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Cálculos de 447 tuplas . Consultado el 12 de agosto de 2008. Archivado desde el original el 28 de diciembre de 2012. (indefinido)
↑ J. Bourgain, A. Kontorovich. Sobre la conjetura de Zaremba .
↑ Stanisław Radziszowski. Small Ramsey Numbers (inglés) // The Electronic Journal of Combinatorics. - 2017. - 3 de marzo. — ISSN 1077-8926 . (revisión 15)
↑ Secuencia OEIS A005346 _
↑ Weisstein , Eric W. Van der Waerden número en Wolfram MathWorld .
↑ Problema sin resolver 18: ¿Hay enteros positivos distintos, a, b, c y d tales que a^5+b^5=c^5+d^5? Problema sin resolver de la semana . Prensa Math Pro.
↑ Weisstein, Eric W. Pythagorean triple en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Weisstein, Eric W. A -Sequence en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Secuencias A007320 , A094716 en OEIS
↑ Weisstein, Problema de Eric W. Brokard en Wolfram MathWorld .
↑ Secuencias A000142 , A000217 en OEIS
↑ Weisstein, Eric W. Número 2 en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ 2^n mod n - OeisWiki
↑ https://web.archive.org/web/20120104074313/http://www.immortaltheory.com/NumberTheory/2nmodn.htm
↑ Weisstein, Eric W. Número cúbico en el sitio web de Wolfram MathWorld .
↑ Dmitri Maksimov. Sobre las sumas de cuadrados y cubos // Ciencia y vida . - 2020. - Nº 9 . - S. 85 . (Ruso)

Literatura

Ian Stewart . Los mejores problemas de matemáticas. — M. : Alpina no ficción, 2015. — 460 p. - ISBN 978-5-91671-318-3 .
Shank, Daniel . Problemas resueltos y no resueltos de teoría de números. - 5ª ed. - Nueva York: AMS Chelsea, 2002. - ISBN 978-0-8218-2824-3 .

Enlaces

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