Logaritmo

El logaritmo de un número a la base $b$ $a$ (del otro griego λόγος , “razón” + ἀριθμός “número” [1] ) se define [2] como un indicador del grado en que se debe elevar la base para obtener el número . Notación: , pronunciado: " logaritmo base ". $a$ $b$ $\log _{a}b$ $b$ $a$

De la definición se deduce que encontrar es equivalente a resolver la ecuación . Por ejemplo, porque . ${\ estilo de visualización x = \ log _ {a} b}$ $a^{x}=b$ $\ log _ {2} 8 = 3$ $2^{3}=8$

El cálculo del logaritmo se llama logaritmo . Los números suelen ser reales , pero también existe la teoría de los logaritmos complejos . $a,b$

Los logaritmos tienen propiedades únicas que han determinado su uso generalizado para simplificar significativamente los cálculos que consumen mucho tiempo [3] . En la transición “al mundo de los logaritmos”, la multiplicación se reemplaza por una suma mucho más simple, la división por resta, y la exponenciación y la extracción de raíces se convierten, respectivamente, en multiplicación y división por un exponente. Laplace dijo que la invención de los logaritmos, "reduciendo el trabajo del astrónomo, duplicó su vida" [4] .

La definición de logaritmos y una tabla de sus valores (para funciones trigonométricas ) fue publicada por primera vez en 1614 por el matemático escocés John Napier . Las tablas logarítmicas, ampliadas y refinadas por otros matemáticos, fueron ampliamente utilizadas para cálculos científicos y de ingeniería durante más de tres siglos, hasta que aparecieron las calculadoras electrónicas y las computadoras.

Con el tiempo, resultó que la función logarítmica también es indispensable en muchas otras áreas de la actividad humana: resolver ecuaciones diferenciales , clasificar los valores de cantidades (por ejemplo, frecuencia e intensidad del sonido ), aproximar varias dependencias, información teoría , teoría de la probabilidad , etc. Esta función se refiere al número de elementales , es inversa con respecto a la función exponencial . Los más utilizados son los logaritmos reales con bases ( binario ), el número de Euler e ( natural ), y ( logaritmo decimal ). $y=\log _{a}x$ $2$ $diez$

Logaritmo real

El logaritmo de un número real es, por definición, una solución a la ecuación . El caso no interesa, ya que entonces para esta ecuación no tiene solución, y para cualquier número es solución; en ambos casos el logaritmo no está definido. De manera similar, concluimos que el logaritmo no existe para cero o negativo ; además, el valor de la función exponencial siempre es positivo, por lo que también debe excluirse el caso de negativa . Finalmente obtenemos [5] : ${\ estilo de visualización x = \ log _ {a} b}$ $a^{x}=b$ $un=1$ $b\neq 1$ $b=1$ $a$ $un ^ {x}$ $b$

El logaritmo real tiene sentido cuando $\log _{a}b$ ${\ estilo de visualización a> 0, a \ neq 1, b> 0}$

Como saben, la función exponencial (bajo las condiciones especificadas para ) existe, es monótona y cada valor toma solo una vez, y el rango de sus valores contiene todos los números reales positivos [6] . Esto implica que el valor del logaritmo real de un número positivo siempre existe y se determina de forma única. ${\ Displaystyle y = a ^ {x}}$ $a$

Los más utilizados son los siguientes tipos de logaritmos:

Natural : o , base: número de Euler ( e ); ${\ estilo de visualización \ registro _ {e} \, b}$ $\ln\,b$
Decimal : o , base: número ; $\log _{10}\,b$ $\lg \,b$ $diez$
Binario : o , base: . Se utilizan, por ejemplo, en teoría de la información , informática y en muchas ramas de las matemáticas discretas . $\log _{2}\,b$ $\nombre del operador {lb} \,b$ $2$

Propiedades

Identidad logarítmica básica

La identidad logarítmica básica se deriva de la definición del logaritmo [7] :

a^{\log _{a}b}=b

Corolario: de la igualdad de dos logaritmos reales se sigue la igualdad de expresiones logarítmicas. En efecto, si , entonces , de dónde, según la identidad principal: . ${\ estilo de visualización \ log _ {a} b = \ log _ {a} c}$ ${\displaystyle a^{\log _{a}b}=a^{\log _{a}c))$ $b=c$

Logaritmos de la unidad y número base

Dos igualdades, evidentes a partir de la definición del logaritmo:

\log _{a}1=0;\;\log _{a}a=1.

Logaritmo del cociente producto, grado y raíz

Aquí hay un resumen de las fórmulas, asumiendo que todos los valores son positivos [8] :

	Fórmula	Ejemplo	Prueba
Trabajar	$\log _{a}(xy)=\log _{a}(x)+\log _{a}(y)$	$\log _{3}(243)=\log _{3}(9\cdot 27)=\log _{3}(9)+\log _{3}(27)=2+3= 5$
cociente de división	$\log _{a}\!\left({\frac {x}{y}}\right)=\log _{a}(x)-\log _{a}(y)$	$\lg \left({\frac {1}{1000}}\right)=\lg(1)-\lg(1000)=0-3=-3$
La licenciatura	$\log _{a}(x^{p})=p\log _{a}(x)$	$\log _{2}(64)=\log _{2}(2^{6})=6\log _{2}(2)=6$	Prueba $\log _{a}{x^{p}}=y$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac{y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac{y}{p))$ $p\cdot log_{a}{x}=y$
grado en la base	$\log _{(a^{p})}(x)={\frac {1}{p))\log _{a}(x)={\frac {\log _{a}( x)}{p}}$	$\log _{2^{10}}{\sin {\left({\frac {\pi }{6}}\right)))={\frac {\log _{2}{\frac {1}{2}}}{10}}=-{\frac{1}{10}}=-0{,}1$	Prueba $\log _{a^{p}}{x}=y$ $a^{y\cdot p}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac{log_{a}{x}}{p}}=y$
Raíz	$\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}={\frac {1}{p}}\log _{a}(x)={\frac {\log_{ a}(x)}{p}}$	$\lg {\sqrt {1000}}={\frac {1}{2}}\lg 1000={\frac {3}{2}}=1{,}5$	Prueba $\log _{a}{\sqrt[{p}]{x}}=y$ $a^{y}={\sqrt[{p}]{x))$ $a^{p\cdot y}=x$ $log_{a}{x}=p\cdot y$ ${\frac{log_{a}{x}}{p}}=y$
Raíz en la base	$\log _{\sqrt[{p}]{a}}(x)=p\log _{a}(x)$	$\log _{\sqrt {\pi }}{(4\cdot \operatorname {arctg} {1})}=2\cdot \log _{\pi }{\left(4\cdot {\frac {\pi }{4}}\right)}=2\cdot \log _{\pi }{(\pi )}=2$	Prueba $\log _{\sqrt[{p}]{a}}{x}=y$ $a^{\frac{y}{p}}=x$ ${\displaystyle a^{y}=x^{p))$ $a^{\frac{y}{p}}=x$ $log_{a}{x}={\frac{y}{p))$ $p\cdot log_{a}{x}=y$

Hay una generalización obvia de las fórmulas anteriores para el caso en que se permiten valores negativos de variables, por ejemplo:

\log _{a}|xy|=\log _{a}|x|+\log _{a}|y|

\log _{a}\!\left|{\frac {x}{y}}\right|=\log _{a}|x|-\log _{a}|y|

Las fórmulas para el logaritmo del producto se pueden generalizar fácilmente a un número arbitrario de factores:

\log _{a}(x_{1}x_{2}\puntos x_{n})=\log _{a}(x_{1})+\log _{a}(x_{2})+\ puntos +\log _{a}(x_{n})

\log _{a}|x_{1}x_{2}\puntos x_{n}|=\log _{a}|x_{1}|+\log _{a}|x_{2}|+\ puntos +\log _{a}|x_{n}|

Las propiedades anteriores explican por qué el uso de logaritmos (antes de la invención de las calculadoras) facilitó enormemente los cálculos. Por ejemplo, la multiplicación de números de varios valores utilizando tablas logarítmicas se llevó a cabo de acuerdo con el siguiente algoritmo: $x,y$

encontrar logaritmos de números en tablas ; $x,y$
suma estos logaritmos, obteniendo (según la primera propiedad) el logaritmo del producto ; $x\cdot y$
por el logaritmo del producto, encuentre el producto mismo en las tablas.

La división, que sin la ayuda de los logaritmos es mucho más laboriosa que la multiplicación, se realizó de acuerdo con el mismo algoritmo, solo que la suma de los logaritmos se reemplazó por la resta. De manera similar , se simplificaron la exponenciación y la extracción de raíces .

Reemplazando la base del logaritmo

El logaritmo en base se puede convertir [5] en logaritmo en otra base : $\log _{a}b$ $a$ $C$

\log _{a}b={\frac {\log _{c}b}{\log _{c}a))

Consecuencia (cuando ) es una permutación de la base y la expresión logarítmica: $b=c$

\log _{a}b={\frac {1}{\log _{b}a}}

Vea la sección de logaritmos para ver un ejemplo de tal permutación .

El coeficiente en la fórmula de reemplazo de base se llama módulo de transición de una base a otra [9] . ${\frac{1}{\log _{c}a}}=\log _{a}c$

Desigualdades

El valor del logaritmo es positivo si y solo si los números están del mismo lado de uno (es decir, ambos son mayores que uno o ambos son menores). Si se encuentran en lados opuestos de la unidad, entonces el logaritmo es negativo [10] . $\log _{a}{b}$ $a,b$ $a,b$

Cualquier desigualdad para números positivos puede ser logaritmizada. En este caso, si la base del logaritmo es mayor que uno, entonces se conserva el signo de desigualdad, y si la base es menor que uno, se invierte el signo de desigualdad [10] .

Otras identidades y propiedades

Si las expresiones para la base del logaritmo y para la expresión del logaritmo contienen exponenciación, se puede aplicar la siguiente identidad por simplicidad:

{\log _{a^{q}}{b}}^{p}={\frac {p}{q}}\log _{a}{b}

Esta identidad se obtiene inmediatamente si, en el logaritmo de la izquierda, la base se reemplaza por según la fórmula de cambio de base anterior. Consecuencias: $un^{q}$ $a$

\log _{a^{k}}b={\frac {1}{k}}\log _{a}b;\quad \log _{\sqrt[{n}]{a}}b=n \log _{a}b;\quad \log _{a^{k}}b^{k}=\log _{a}b

Otra identidad útil:

c^{\log _{a}b}=b^{\log _{a}c}

Para demostrarlo, notemos que los logaritmos de los lados izquierdo y derecho coinciden en base (igual ), y luego, según el corolario de la identidad logarítmica principal, los lados izquierdo y derecho son idénticamente iguales. Tomando el logaritmo de la identidad anterior en una base arbitraria , obtenemos otra identidad de “intercambio de base”: $a$ ${\ estilo de visualización \ log _ {a} b \ cdot \ log _ {a} c}$ $d,$

\log _{a}b\cdot \log _{d}c=\log _{d}b\cdot \log _{a}c

Función logarítmica

Características principales

Si consideramos un número logarítmico como variable, obtenemos una función logarítmica . Se define en . Rango de valores: . Esta curva a menudo se denomina logaritmo [11] . De la fórmula para cambiar la base del logaritmo , se puede ver que las gráficas de funciones logarítmicas con diferentes bases mayores que uno difieren entre sí solo por la escala a lo largo del eje ; Los gráficos para bases menores que uno son su imagen especular sobre el eje horizontal. $y=\log _{a}x$ $a>0;\a\neq 1;x>0$ $E(y)=(-\infty ;+\infty )$ $y$

De la definición se deduce que la dependencia logarítmica es una función inversa de la función exponencial , por lo que sus gráficas son simétricas con respecto a la bisectriz del primer y tercer cuadrante (ver figura). Al igual que la exponencial, la función logarítmica pertenece a la categoría de funciones trascendentales . ${\ Displaystyle y = a ^ {x}}$

La función es estrictamente creciente para (ver gráficos a continuación) y estrictamente decreciente para . La gráfica de cualquier función logarítmica pasa por el punto . La función es continua e ilimitadamente diferenciable en todas partes en su dominio de definición. $a>1$ $0<a<1$ $(1;0)$

El eje y ( ) es la asíntota vertical porque: $x=0$

\lim _{x\to 0+0}\log _{a}x=-\infty

en ;

a>1

\lim _{x\to 0+0}\log _{a}x=+\infty

en .

0<a<1

La derivada de la función logarítmica es:

{\frac {d}{dx}}\log _{a}x={\frac {1}{x\cdot \ln a}}

Desde el punto de vista del álgebra, la función logarítmica implementa el (único posible) isomorfismo entre el grupo multiplicativo de los números reales positivos y el grupo aditivo de todos los números reales. En otras palabras, la función logarítmica es la única (definida para todos los valores positivos del argumento) solución continua de la ecuación funcional [12] :

f(xy)=f(x)+f(y)

Logaritmo natural

De la fórmula derivada general anterior para el logaritmo natural, obtenemos un resultado particularmente simple:

{\frac {d}{dx}}\ln x={\frac {1}{x}}

Por esta razón, los logaritmos naturales se utilizan principalmente en la investigación matemática. Suelen aparecer al resolver ecuaciones diferenciales , estudiar dependencias estadísticas (por ejemplo, la distribución de números primos ), etc.

Habiendo integrado la fórmula de la derivada en el rango de a , obtenemos: $x=1$ $x=b$

\ln b=\int \limits _{1}^{b}{\frac {dx}{x}}

En otras palabras, el logaritmo natural es igual al área bajo la hipérbola para el intervalo x especificado . $y={\frac{1}{x}}$

La integral indefinida del logaritmo natural es fácil de encontrar por integración por partes :

\int {\ln x\,\mathrm {d} x}=x\ln x-x+C

En el análisis matemático y la teoría de ecuaciones diferenciales , el concepto de derivada logarítmica de una función juega un papel importante : $f(x)$

{\frac {d}{dx}}\ln(f(x))={\frac {f'(x)}{f(x)))

Desarrollo de series y cálculo del logaritmo natural

Desarrollamos el logaritmo natural en una serie de Taylor cercana a la unidad:

\ln(1+x)=x-{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}-{\frac {x^{4}} {4}}+\puntos

(Fila 1)

Esta serie, llamada " serie de Mercator ", converge en . En particular: $-1<x\leqslant 1$

\ln 2=1-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{4}}+\puntos

La fórmula de la serie 1 no es adecuada para el cálculo práctico de logaritmos debido a que la serie converge muy lentamente y solo en un intervalo estrecho. Sin embargo, no es difícil obtener de él una fórmula más conveniente:

\ln \left({\frac {1+x}{1-x}}\right)=2\left(x+{\frac {x^{3}}{3}}+{\frac {x^{ 5}}{5}}+{\frac{x^{7}}{7}}+\puntos\derecha)

(Fila 2)

Esta serie converge más rápido, y además, el lado izquierdo de la fórmula ahora puede expresar el logaritmo de cualquier número positivo , porque entonces el valor absoluto es menor que uno. Este algoritmo ya es adecuado para cálculos numéricos reales de valores logarítmicos, sin embargo, no es el mejor en términos de intensidad de trabajo. Hay algoritmos más eficientes [13] . $z={\frac{1+x}{1-x}}$ $x={\frac{z-1}{z+1))$

Logaritmo decimal

Los logaritmos en base 10 (símbolo: ) se usaban ampliamente para los cálculos antes de la invención de las calculadoras . Tienen una ventaja sobre los logaritmos con una base diferente: la parte entera del logaritmo de un número es fácil de determinar [14] : $\lg x$ ${\ estilo de visualización [\ lg x]}$ $X$

Si , entonces 1 es menor que el número de dígitos en la parte entera de . Por ejemplo, es inmediatamente obvio lo que hay en el intervalo . ${\ estilo de visualización x \ geqslant 1}$ ${\ estilo de visualización [\ lg x]}$ $X$ $\lg 345$ ${\ estilo de visualización (2,3)}$
Si , entonces el entero más cercano al lado más pequeño es igual al número total de ceros delante del primer dígito distinto de cero (incluido el cero antes del punto decimal), tomado con un signo menos. Por ejemplo, está en el intervalo . ${\ estilo de visualización 0 <x <1}$ $\lg x$ $X$ ${\ estilo de visualización \ lg 0 {,} 0014}$ $(-3,-2)$

Además, al mover un punto decimal en un número por dígitos, el valor del logaritmo decimal de este número cambia a . Por ejemplo, . De ello se deduce que para calcular logaritmos decimales, es suficiente compilar una tabla de logaritmos para números en el rango de a [14] . $norte$ $norte$ $\lg 8314{,}63=\lg 8{,}31463+3$ $una$ $diez$

Relación con el logaritmo natural [15] :

\ln x\approx 2{,}30259\ \lg x,\quad \ln x={\frac {\lg x}{\lg e))=\ln 10\cdot \lg x=(2{,} 30259\puntos)\lg x

\lg x\approx 0{,}43429\ \ln x,\quad \lg x={\frac {\ln x}{\ln 10))=\lg e\cdot \ln x=(0{,} 43429\puntos)\ln x

Dado que el uso de logaritmos para los cálculos con el advenimiento de la tecnología informática casi ha cesado, hoy en día el logaritmo decimal ha sido reemplazado en gran medida por el natural [16] . Se conserva principalmente en aquellos modelos matemáticos en los que históricamente ha echado raíces, por ejemplo, al construir escalas logarítmicas .

Proporciones límite

Aquí hay algunos límites útiles relacionados con los logaritmos [17] :

\lim _{x\to 0}{\frac {\log _{a}(1+x)}{x}}=\log _{a}e={\frac {1}{\ln a}}

\lim _{x\to 0^{+}}x^{b}\log _{a}x=0\quad (b>0)

\lim _{x\to \infty} {\frac {\log _{a}x}{x^{b))}=0\quad (b>0)

\ln x=\lim _{n\to \infty }n\left({\sqrt[{n}]{x}}-1\right)=\lim _{n\to \infty }n\left( 1-{\frac {1}{\sqrt[{n}]{x}}}\derecha)

\ln x=\lim _{h\to 0}{\frac {x^{h}-1}{h}}

Otras propiedades

Del teorema de Gelfond se deduce que si son números algebraicos ( ), entonces son racionales o trascendentes . En este caso, el logaritmo es racional e igual solo en el caso [18] cuando los números están relacionados por la relación . $a,b$ $a\neq 1$ $\log _{a}b$ ${p\sobre q}$ $a,b$ $a^{p}=b^{q}$
La suma (suma parcial de la serie armónica ) en general se comporta como , donde es la constante de Euler-Mascheroni . $\sum _{k=1}^{n}{\frac{1}{k))$ $norte$ ${\ estilo de visualización \ln n+\gamma +O(n^{-1})}$ $\gamma \aprox. 0{,}5772156649\puntos$

Ecuaciones logarítmicas

Logaritmo complejo

Definición y propiedades

Para números complejos, el logaritmo se define de la misma forma que el real. En la práctica, se usa casi exclusivamente el logaritmo complejo natural, que se denota y define como una solución a la ecuación (a continuación se dan otras definiciones equivalentes). $\mathrm {Ln} \,z$ $w$ $e^{w}=z$

En el campo de los números complejos, la solución de esta ecuación, a diferencia del caso real, no está unívocamente determinada. Por ejemplo, según la identidad de Euler , ; sin embargo también . Esto se debe al hecho de que la función exponencial a lo largo del eje imaginario es periódica (con período ) [19] , y la función toma el mismo valor infinitas veces. Por lo tanto, la función logarítmica compleja tiene varios valores . $e^{\pi i}=-1$ $e^{-\pi i}=e^{3\pi i}=e^{5\pi i}\dots =-1$ ${\ estilo de visualización 2 \ pi yo}$ $w=\mathrm {Ln} \,z$

El cero complejo no tiene logaritmo porque el exponente complejo no toma valor cero. Distinto de cero se puede representar en forma exponencial: $z$

z=r\cdot e^{i\varphi}

Entonces se encuentra por la fórmula [20] : $\mathrm {Ln} \,z$

\mathrm {Ln} \,z=\ln r+i\left(\varphi +2\pi k\right)

Aquí hay un logaritmo real, es un número entero arbitrario . De esto se sigue: $\ln \,r=\ln \,|z|$ $k$

El logaritmo complejo existe para cualquier , y su parte real está determinada de forma única, mientras que la parte imaginaria tiene una infinidad de valores que difieren en un múltiplo entero de . $\mathrm {Ln} \,z$ $z\neq 0$ $2\pi$

Se puede ver en la fórmula que uno y solo uno de los valores tiene una parte imaginaria en el intervalo . Este valor se denomina valor principal del logaritmo natural complejo [11] . La función correspondiente (ya de un solo valor) se llama la rama principal del logaritmo y se denota . A veces también indican el valor del logaritmo, que no se encuentra en la rama principal. Si es un número real, entonces el valor principal de su logaritmo coincide con el logaritmo real habitual. ${\ estilo de visualización (- \ pi, \ pi]}$ $\ln\,z$ $\ln\,z$ $z$

También se deduce de la fórmula anterior que la parte real del logaritmo se determina de la siguiente manera a través de los componentes del argumento:

\nombre del operador {Re} (\ln(x+iy))={\frac {1}{2}}\ln(x^{2}+y^{2})

La figura muestra que la parte real en función de las componentes es centralmente simétrica y depende únicamente de la distancia al origen. Se obtiene girando la gráfica del logaritmo real alrededor del eje vertical. A medida que se acerca a cero, la función tiende a . $-\infty$

El logaritmo de un número negativo se encuentra mediante la fórmula [20] :

\mathrm {Ln} (-x)=\ln x+i\pi (2k+1)\qquad (x>0,\ k=0,\pm 1,\pm 2\dots )

Ejemplos de valores para el logaritmo complejo

Aquí está el valor principal del logaritmo ( ) y su expresión general ( ) para algunos argumentos: $\ln$ $\mathrm{Ln}$

\ln(1)=0;\;\mathrm {Ln} (1)=2k\pi i

\ln(-1)=i\pi ;\;\mathrm {Ln} (-1)=(2k+1)i\pi

\ln(i)=i{\frac {\pi }{2));\;\mathrm {Ln} (i)=i{\frac {4k+1}{2))\pi

Debe tener cuidado al convertir logaritmos complejos, teniendo en cuenta que tienen varios valores y, por lo tanto, la igualdad de estas expresiones no se deriva de la igualdad de los logaritmos de ninguna expresión. Un ejemplo de razonamiento erróneo:

i\pi =\ln(-1)=\ln((-i)^{2})=2\ln(-i)=2(-i\pi /2)=-i\pi

es un error que, sin embargo, indica indirectamente que los valores que difieren en , son logaritmos del mismo número. Tenga en cuenta que el valor principal del logaritmo está a la izquierda y el valor de la rama subyacente ( ) está a la derecha. La razón del error es el uso descuidado de la propiedad , que, en términos generales, en el caso complejo implica todo el conjunto infinito de valores del logaritmo, y no solo el valor principal. ${\ estilo de visualización 2i \ pi}$ $k=-1$ $\log _{a}{(b^{p})}=p~\log _{a}b$

La función logarítmica compleja y la superficie de Riemann

En el análisis complejo , en lugar de considerar funciones de varios valores en el plano complejo , se tomó una decisión diferente: considerar la función como de un solo valor, pero definida no en el plano, sino en una variedad más compleja , que se llama Riemann . superficie [21] . La función logarítmica compleja también pertenece a esta categoría: su imagen (ver figura) consiste en un número infinito de ramas retorcidas en espiral. Esta superficie es continua y simplemente conexa . El único cero de la función (de primer orden) se obtiene en . Puntos singulares: y (puntos de ramificación de orden infinito) [22] . $z=1$ $z=0$ $z=\infty$

En virtud de ser simplemente conexa, la superficie de Riemann del logaritmo es un recubrimiento universal [23] para el plano complejo sin un punto . ${\ estilo de visualización 0}$

Continuación analítica

El logaritmo de un número complejo también se puede definir como la continuación analítica del logaritmo real en todo el plano complejo . Deje que la curva comience en uno, no pase por cero y no corte la parte negativa del eje real. Entonces, el valor principal del logaritmo en el punto final de la curva se puede determinar mediante la fórmula [22] : $\Gama$ $w$ $\Gama$

{\displaystyle \ln w=\int \limits _{\Gamma }{du \over u))

Si es una curva simple (sin autointersecciones), entonces para los números que se encuentran en ella, se pueden aplicar identidades logarítmicas sin temor, por ejemplo: $\Gama$

\ln(wz)=\ln w+\ln z,~\para todo z,w\in \Gamma \colon zw\in \Gamma

La rama principal de la función logarítmica es continua y diferenciable en todo el plano complejo , excepto en la parte negativa del eje real, en la que salta la parte imaginaria . Pero este hecho es consecuencia de la limitación artificial de la parte imaginaria del valor principal por el intervalo . Si consideramos todas las ramas de la función, entonces la continuidad tiene lugar en todos los puntos excepto en el cero, donde la función no está definida. Si se permite que la curva cruce la parte negativa del eje real, entonces la primera intersección transfiere el resultado de la rama de valor principal a la rama vecina, y cada intersección subsiguiente provoca un desplazamiento similar a lo largo de las ramas de la función logarítmica [22 ] (ver figura). $2\pi$ ${\ estilo de visualización (- \ pi, \ pi]}$ $\Gama$

De la fórmula de continuación analítica se sigue que en cualquier rama del logaritmo [19] :

{\frac {d}{dz}}\ln z={1 \sobre z}

Para cualquier círculo que encierra un punto : $S$ ${\ estilo de visualización 0}$

\oint \limits _{S}{dz \over z}=2\pi i

La integral se toma en la dirección positiva (en sentido antihorario ). Esta identidad subyace en la teoría de los residuos .

También se puede definir la continuación analítica del logaritmo complejo utilizando la serie anterior: serie 1 o serie 2 , generalizada al caso de un argumento complejo. Sin embargo, de la forma de estas series se sigue que en la unidad la suma de la serie es igual a cero, es decir, la serie se refiere solo a la rama principal de la función multivaluada del logaritmo complejo. El radio de convergencia de ambas series es 1.

Relación con funciones trigonométricas e hiperbólicas inversas

Dado que las funciones trigonométricas complejas están relacionadas con la exponencial ( fórmula de Euler ), entonces el logaritmo complejo como el inverso de la función exponencial está relacionado con las funciones trigonométricas inversas [24] [25] :

\nombre de operador {Arcsen} z=-i\nombre de operador {Ln} (iz+{\sqrt {1-z^{2}}})

\nombre del operador {Arccos} z=-i\nombre del operador {Ln} (z+i{\sqrt {1-z^{2}}})

\operatorname {Arctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {1+zi}{1-zi}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

\operatorname {Arcctg} z=-{\frac {i}{2}}\ln {\frac {zi-1}{zi+1}}+k\pi \;(z\neq \pm i)

Las funciones hiperbólicas en el plano complejo se pueden considerar como funciones trigonométricas del argumento imaginario, por lo que aquí también hay una conexión con el logaritmo [25] :

\nombre del operador {Arsh} z=\nombre del operador {Ln} (z+{\sqrt {z^{2}+1)))

- seno hiperbólico inverso

\operatorname {Arco} z=\operatorname {Ln} \left(z+{\sqrt {z^{2}-1}}\right)

es el coseno hiperbólico inverso

\operatorname {Arth} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {1+z}{1-z}}\right)

es la tangente hiperbólica inversa

\operatorname {Arco} z={\frac {1}{2}}\operatorname {Ln} \left({\frac {z+1}{z-1}}\right)

es la cotangente hiperbólica inversa

Reseña histórica

Predecesores

La fuente ideológica y estímulo para el uso de los logaritmos fue el hecho (conocido por Arquímedes [26] ) de que al multiplicar potencias, sus exponentes suman [27] : . El matemático indio del siglo VIII Virasena , explorando las dependencias de poder, publicó una tabla de exponentes enteros (es decir, de hecho, logaritmos) para las bases 2, 3, 4 [28] . ${\displaystyle a^{b}\cdot a^{c}=a^{b+c))$

El paso decisivo se dio en la Europa medieval. La necesidad de cálculos complejos en el siglo XVI creció rápidamente y gran parte de la dificultad estaba asociada con la multiplicación y división de números de varios dígitos, así como con la extracción de raíces . A finales de siglo, varios matemáticos, casi simultáneamente, tuvieron la idea: reemplazar la multiplicación que consume mucho tiempo con suma simple, comparando las progresiones geométricas y aritméticas usando tablas especiales, mientras que la geométrica será la original [26] . Luego, la división se reemplaza automáticamente por una resta inmensamente más simple y confiable, y también se simplificará la exponenciación y la extracción de raíces .

El primero en publicar esta idea en su libro " Arithmetica integra " (1544) fue Michael Stiefel , quien, sin embargo, no hizo esfuerzos serios para la implementación práctica de su idea [29] [30] . El principal mérito de Stiefel es la transición de exponentes enteros a exponentes racionales arbitrarios [31] (los primeros pasos en esta dirección los dieron Nikolay Orem en el siglo XIV y Nicola Schuquet en el siglo XV).

John Napier y su "asombrosa tabla de logaritmos"

En 1614, el matemático aficionado escocés John Napier publicó una obra en latín titulada Descripción de la asombrosa tabla de logaritmos ( en latín: Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). Tenía una breve descripción de los logaritmos y sus propiedades, así como tablas de 8 dígitos de logaritmos de senos , cosenos y tangentes , con un paso de 1'. El término logaritmo , propuesto por Napier, se ha consolidado en la ciencia. Napier expuso la teoría de los logaritmos en otro de sus libros, " Construcción de una asombrosa tabla de logaritmos " ( lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publicado póstumamente en 1619 por su hijo Robert.

A juzgar por los documentos, Napier dominó la técnica del logaritmo en 1594 [32] . El propósito inmediato de su desarrollo fue facilitar cálculos astrológicos complejos para Napier [33] ; por eso se incluyeron en las tablas sólo los logaritmos de las funciones trigonométricas .

El concepto de función aún no existía, y Napier definió el logaritmo cinemáticamente , comparando el movimiento uniforme y logarítmicamente lento; por ejemplo, definió el logaritmo del seno de la siguiente manera [34] :

El logaritmo de un seno dado es un número que siempre aumenta aritméticamente al mismo ritmo que el seno completo comienza a disminuir geométricamente.

En notación moderna, el modelo cinemático de Napier se puede representar mediante una ecuación diferencial [35] :

{\frac {dx}{x}}=-{\frac {dy}{M}}

donde M es un factor de escala introducido para que el valor resulte ser un número entero con el número requerido de dígitos ( las fracciones decimales aún no se usaban mucho en ese entonces). Napier tomó M = 10,000,000.

Estrictamente hablando, Napier tabuló la función incorrecta, que ahora se llama logaritmo. Si denotamos su función como , entonces se relaciona con el logaritmo natural de la siguiente manera [35] : $\nombre del operador {Siesta de registro} (x)$

\nombre del operador {LogNap} (x)=M\cdot (\ln(M)-\ln(x))

Obviamente, es decir, el logaritmo del "seno completo" (correspondiente a 90 °) es cero: esto es lo que Napier logró con su definición. También quería que todos los logaritmos fueran positivos; es fácil verificar que esta condición para se cumple. . $\nombre del operador {Siesta de registro} (M)=0$ ${\ estilo de visualización x <M}$ $\operatorname {LogNap} (0)=\infty$

La propiedad principal del logaritmo de Napier: si las cantidades forman una progresión geométrica , entonces sus logaritmos forman una progresión aritmética . Sin embargo, las reglas para el logaritmo de la función sin pares diferían de las reglas para el logaritmo moderno, por ejemplo:

\operatorname {LogNap} (a\cdot b)=\operatorname {LogNap} (a)+\operatorname {LogNap} (b)-\operatorname {LogNap} (1)

Mayor desarrollo

Pronto resultó que, debido a un error en el algoritmo, todos los valores de la tabla de Napier contenían números incorrectos después del sexto dígito [36] . Sin embargo, esto no impidió que el nuevo método de cálculo ganara gran popularidad, y muchos matemáticos europeos se dedicaron a la compilación de tablas logarítmicas. Kepler insertó una entusiasta dedicación a Napier en el libro de referencia astronómica que publicó en 1620 (sin saber que el inventor de los logaritmos ya había muerto). En 1624, Kepler publicó su propia versión de las tablas logarítmicas (del lat. Chilias Logarithmorum ad totidem numeros rotundos ) [37] . El uso de logaritmos permitió a Kepler completar los muchos años de trabajo en las tablas de Rudolph con relativa rapidez , lo que consolidó el éxito de la astronomía heliocéntrica .

Unos años después del libro de Napier, aparecieron las tablas logarítmicas, utilizando una comprensión más moderna del logaritmo. El profesor londinense Henry Briggs publicó tablas de logaritmos decimales de 14 dígitos (1617), y no para funciones trigonométricas, sino para números enteros arbitrarios hasta el 1000 (7 años después, Briggs aumentó el número de números a 20000). En 1619, el profesor de matemáticas de Londres, John Spidell, volvió a publicar las tablas logarítmicas de Napier, corregidas y complementadas para que realmente se convirtieran en tablas de logaritmos naturales. Spidell también tenía los logaritmos de los números mismos hasta 1000 (además, el logaritmo de la unidad, como Briggs, era igual a cero), aunque Spidell retuvo la escala a números enteros [38] [39] .

Pronto quedó claro que el lugar de los logaritmos en las matemáticas no se limita a las conveniencias computacionales. En 1629, el matemático belga Grégoire de Saint-Vincent demostró que el área bajo una hipérbola varía según una ley logarítmica [40] . En 1668, el matemático alemán Nicholas Mercator (Kaufmann) descubrió y publicó en su libro Logarithmotechnia la expansión del logaritmo en una serie infinita [41] . Según muchos historiadores, el advenimiento de los logaritmos tuvo una fuerte influencia en muchos conceptos matemáticos, entre ellos: $y={\frac{1}{x}}$

Formación y reconocimiento del concepto general de números irracionales y trascendentales [42] .
La aparición de una función exponencial y el concepto general de una función numérica , el número de Euler , el desarrollo de la teoría de las ecuaciones en diferencias [43] .
Primeros pasos con Infinite Series [41] .
Métodos generales para la resolución de ecuaciones diferenciales de varios tipos.
Desarrollos sustanciales en la teoría de los métodos numéricos requeridos para calcular tablas logarítmicas exactas.

Hasta finales del siglo XIX, no había una designación generalmente aceptada del logaritmo, la base a se indicaba a la izquierda y arriba del símbolo del logaritmo , luego arriba. Finalmente, los matemáticos llegaron a la conclusión de que el lugar más conveniente para la base es debajo de la línea, después del símbolo log :. Las designaciones breves de los tipos de logaritmo más comunes, para decimal y natural, aparecieron mucho antes a la vez por varios autores y finalmente se fijaron también a fines del siglo XIX [44] . $\log _{a}b$ $\lg,\;\ln$

Cercano a la comprensión moderna del logaritmo - como operación, lo contrario de elevar a una potencia - apareció por primera vez en Wallis (1685) y Johann Bernoulli (1694), y finalmente fue legitimado por Euler [36] . En el libro "Introducción al análisis del infinito" ( 1748 ), Euler dio definiciones modernas de funciones tanto exponenciales como logarítmicas, las expandió a series de potencias y destacó especialmente el papel del logaritmo natural [45] . Euler también tiene el mérito de extender la función logarítmica al dominio complejo.

Extendiendo el logaritmo al dominio complejo

Los primeros intentos de extender los logaritmos a los números complejos se realizaron entre los siglos XVII y XVIII por Leibniz y Johann Bernoulli , pero no lograron crear una teoría holística, principalmente porque el concepto del logaritmo en sí aún no estaba claro. definido [46] . La discusión sobre este asunto fue primero entre Leibniz y Bernoulli, ya mediados del siglo XVIII entre d'Alembert y Euler. Bernoulli y d'Alembert creían que se debía definir , mientras que Leibniz defendía que el logaritmo de un número negativo es un número imaginario [46] . La teoría completa de los logaritmos de números negativos y complejos fue publicada por Euler en 1747-1751 y esencialmente no difiere de la moderna [47] . Aunque la controversia continuó (d'Alembert defendió su punto de vista y lo argumentó en detalle en un artículo de su Enciclopedia y en otras obras), el enfoque de Euler a fines del siglo XVIII recibió reconocimiento universal. $\registro(-x)=\registro(x)$

En el siglo XIX, con el desarrollo del análisis complejo , el estudio del logaritmo complejo estimuló nuevos descubrimientos. Gauss en 1811 desarrolló una teoría completa de la multivaloración de la función logarítmica [48] , definida como la integral de . Riemann , basándose en hechos ya conocidos sobre esta y otras funciones similares, construyó una teoría general de las superficies de Riemann . ${\frac{1}{z))$

El desarrollo de la teoría de las asignaciones conformes mostró que la proyección de Mercator en cartografía , que surgió incluso antes del descubrimiento de los logaritmos (1550), puede describirse como un logaritmo complejo [49] .

Algunas aplicaciones prácticas

Relaciones logarítmicas en ciencia y naturaleza

Las funciones logarítmicas están muy extendidas tanto en matemáticas como en ciencias naturales. A menudo, los logaritmos aparecen donde ocurre la autosemejanza , es decir, algún objeto se reproduce consistentemente en una escala reducida o ampliada; vea a continuación ejemplos como algoritmos recursivos , fractales o conchas de almejas. Aquí hay algunos ejemplos del uso de logaritmos en varias ciencias.

Teoría de números

La distribución de los números primos obedece asintóticamente a leyes simples [50] :

El número de números primos entre 1 y aproximadamente es igual a . $norte$ ${\frac{n}{\lnn))$
k -ésimo primo es aproximadamente igual a . $k\ln k$

Estimaciones aún más precisas utilizan el logaritmo integral .

A menudo surge el problema de estimar aproximadamente un número muy grande, como un factorial o un número de Mersenne con un número grande. Para ello, sería conveniente escribir aproximadamente el número en formato exponencial , es decir, en forma de mantisa y exponente decimal.

El problema se resuelve fácilmente usando logaritmos. Considere, por ejemplo, el número 44 de Mersenne . ${\ estilo de visualización M = 2 ^ {32582657} -1}$

{\ estilo de visualización \ lg M \ aproximadamente 32582657 \ cdot \ lg 2 \ aproximadamente 9808357 {,} 09543}

Por lo tanto, la mantisa del resultado es igual a Finalmente obtenemos: $10^{0{,}09543}\aproximadamente 1{,}25.$

M\aproximadamente 1{,}25\cdot 10^{9808357}.

Análisis matemático

Los logaritmos a menudo surgen cuando se encuentran integrales y cuando se resuelven ecuaciones diferenciales . Ejemplos:

\int {\operatorname {tg} x}\,dx=-\ln |\cos x|+C;\quad \int {\frac {dx}{\sqrt {x^{2}+a} }}=-\ln \ \left|\ x+{\sqrt {x^{2}+a}}\ \right|+C

Teoría de la probabilidad y estadística

En estadística y teoría de la probabilidad, el logaritmo se incluye en varias distribuciones de probabilidad importantes en la práctica. Por ejemplo, la distribución logarítmica [51] se usa en genética y física. La distribución lognormal a menudo ocurre en situaciones donde el valor bajo estudio es el producto de varias variables aleatorias positivas independientes [52] .

La ley de Benford ("la ley del primer dígito") describe la probabilidad de que ocurra un cierto primer dígito significativo al medir valores reales.

Para estimar un parámetro desconocido, se utilizan ampliamente el método de máxima verosimilitud y la función logarítmica de verosimilitud asociada [53] .

Las fluctuaciones en un paseo aleatorio se describen mediante la ley de Khinchin-Kolmogorov .

Informática y matemática computacional

En informática : una unidad de medida de información ( bit ). Por ejemplo, para almacenar un número natural en una computadora (en el formato binario habitual para una computadora), necesita bits. $norte$ $\log _{2}N+1$

La entropía de la información es una medida de la cantidad de información.

Estimación de la complejidad asintótica de algoritmos recursivos de divide y vencerás [54] como quicksort , transformada rápida de Fourier , etc.

Normalmente, los valores numéricos se almacenan en la memoria de una computadora o procesador especializado en formato de punto flotante . Sin embargo, si la suma y la resta rara vez se realizan en un grupo de datos, pero la multiplicación, la división, la exponenciación y la extracción de raíces se realizan con mucha más frecuencia, entonces tiene sentido considerar el almacenamiento de dichos datos en un formato logarítmico . En este caso, en lugar de un número, se almacena el logaritmo de su módulo y el signo , y la velocidad de los cálculos debido a las propiedades del logaritmo aumenta significativamente [55] . El formato de almacenamiento logarítmico se ha utilizado en varios sistemas en los que ha demostrado ser eficaz [56] [57] .

Fractales y dimensiones

Los logaritmos ayudan a expresar la dimensión de Hausdorff de un fractal [58] . Por ejemplo, considere el triángulo de Sierpinski , que se obtiene a partir de un triángulo equilátero mediante la eliminación sucesiva de triángulos similares, el tamaño lineal de cada uno de los cuales se reduce a la mitad en cada etapa (ver figura). La dimensión del resultado está determinada por la fórmula:

{\frac {\ln 3}{\ln 2))\aprox. 1{,}58

Mecánica y física

El principio de Boltzmann en termodinámica estadística es una de las funciones más importantes del estado de un sistema termodinámico , caracterizando el grado de su aleatoriedad .

La fórmula de Tsiolkovsky se utiliza para calcular la velocidad de un cohete.

Química y química física

La ecuación de Nernst conecta el potencial redox del sistema con las actividades de las sustancias incluidas en la ecuación electroquímica, así como con los potenciales de electrodo estándar de los pares redox.

El logaritmo se usa en las definiciones de cantidades tales como el índice de la constante de autoprotólisis (autoionización de la molécula) y el índice de hidrógeno (acidez de la solución).

Teoría de la música

Para resolver la cuestión de en cuántas partes dividir la octava , se requiere encontrar una aproximación racional para . Si expandimos este número a una fracción continua , entonces la tercera fracción convergente (7/12) nos permite justificar la división clásica de la octava en 12 semitonos [59] . $\log _{2}{\frac{3}{2}}\aprox. 0{,}585$

Psicología y fisiología

La percepción humana de muchos fenómenos está bien descrita por la ley logarítmica.

La ley de Weber-Fechner es una ley psicofisiológica empírica , que establece que la intensidad de la sensación es proporcional al logaritmo de la intensidad del estímulo [60] - el volumen del sonido [61] , el brillo de la luz.

Ley de Fitt : cuanto más lejos o más precisamente se realiza el movimiento del cuerpo, más corrección es necesaria para su realización y más tiempo se realiza esta corrección [62] .

El tiempo para tomar una decisión en presencia de una elección se puede estimar según la ley de Hick [63] .

Biología

Varias formas biológicas se corresponden bien con una espiral logarítmica [64] : una curva en la que la tangente en cada punto forma el mismo ángulo con el radio vector en este punto, es decir, el aumento del radio por unidad de longitud de un círculo es constante:

concha de nautilus
Ubicación de las semillas en el girasol.
coliflor romanesco

Varios

El número de vueltas del juego según el sistema olímpico es igual al logaritmo binario del número de participantes en la competición, redondeado al entero superior más próximo [65] .

Escala logarítmica

La escala no uniforme de logaritmos decimales se utiliza en muchos campos de la ciencia. Para garantizar los cálculos, se traza en reglas de cálculo . Otros ejemplos:

Acústica - nivel de presión sonora e intensidad sonora ( decibelios ) [66] .
Relación señal/ruido en ingeniería de radio y telecomunicaciones [67] .
Astronomía - la escala del brillo de las estrellas [68] .
Química - actividad de los iones de hidrógeno ( pH ) [69] .
Sismología - Escala de Richter [70] .
La densidad óptica es una medida de la absorción de luz por objetos transparentes o el reflejo de la luz por objetos opacos [71] .
La latitud fotográfica es una característica del material fotosensible [72] .
Velocidad de obturación y escala de apertura en fotografía [73] .
La teoría de la música es una escala musical, en relación con las frecuencias de los sonidos musicales [59] .
La agricultura es la principal característica hidrofísica del suelo [74] .
Teoría de control - respuesta de frecuencia de fase de amplitud logarítmica [75] .

La escala logarítmica es especialmente útil en los casos en que los niveles de la cantidad medida forman una progresión geométrica , ya que entonces sus logaritmos se distribuyen con un paso constante. Por ejemplo, 12 semitonos de una octava clásica forman (aproximadamente) tal progresión [59] con el denominador . Asimismo, cada nivel de la escala de Richter corresponde a 10 veces más energía que el nivel anterior. Incluso en ausencia de una progresión geométrica, una escala logarítmica puede ser útil para una representación compacta de una amplia gama de valores medidos. ${\sqrt[{12}]{2}}\aproximadamente 1{,}059$

La escala logarítmica también es muy utilizada para evaluar el exponente en dependencias exponenciales y el coeficiente en el exponente. Al mismo tiempo, un gráfico trazado en una escala logarítmica a lo largo de uno o dos ejes toma la forma de una línea recta, que es más fácil de estudiar.

Tablas logarítmicas

De las propiedades del logaritmo, se deduce que, en lugar de la multiplicación de números de valores múltiples que consume mucho tiempo, es suficiente encontrar (según las tablas) y sumar sus logaritmos, y luego realizar la potenciación usando las mismas tablas (sección " Antilogaritmos " ) , es decir, encontrar el valor del resultado por su logaritmo. Hacer una división difiere solo en que los logaritmos se restan.

Las primeras tablas de logaritmos fueron publicadas por John Napier ( 1614 ), y contenían únicamente los logaritmos de funciones trigonométricas , y con errores. Independientemente de él, Jost Bürgi , amigo de Kepler , publicó sus tablas ( 1620 ). En 1617 el profesor de matemáticas de Oxford Henry Briggs publicó tablas que ya incluían los logaritmos decimales de los propios números, del 1 al 1000, con 8 (luego 14) dígitos. Pero también hubo errores en las tablas de Briggs. La primera edición infalible basada en las tablas de Georg Vega ( 1783 ) apareció recién en 1857 en Berlín ( tablas de Bremiker ) [76] .

En Rusia, las primeras tablas de logaritmos se publicaron en 1703 con la participación de L. F. Magnitsky [77] . En la URSS se publicaron varias colecciones de tablas de logaritmos [78] :

Bradis V. M. Tablas matemáticas de cuatro valores. M.: Avutarda, 2010, ISBN 978-5-358-07433-0 . Las tablas de Bradis, publicadas desde 1921, se utilizaron en instituciones educativas y en cálculos de ingeniería que no requieren gran precisión. Contenían mantisas de logaritmos decimales de números y funciones trigonométricas, logaritmos naturales y algunas otras herramientas de cálculo útiles.
Vega G. Tablas de logaritmos de siete dígitos, 4ª edición, M.: Nedra, 1971. Colección profesional para cálculos exactos.
Bremiker K. Tablas logarítmico-trigonométricas. M.: Nauka, 1962. 664 págs. Tablas clásicas de seis dígitos, convenientes para cálculos con funciones trigonométricas .
Tablas de cinco dígitos de valores naturales de cantidades trigonométricas, sus logaritmos y logaritmos de números, 6ª edición, M.: Nauka, 1972.
Tablas de logaritmos naturales, 2ª edición, en 2 volúmenes, Moscú: Nauka, 1971.
Tablas de diez dígitos de logaritmos de números complejos. M, 1952.

Regla de cálculo

En la década de 1620, Edmund Wingate y William Oughtred inventaron la primera regla de cálculo , que sirvió como una herramienta de cálculo indispensable para un ingeniero hasta la llegada de las calculadoras de bolsillo [79] . Con esta herramienta compacta, puede realizar rápidamente todas las operaciones algebraicas, incluidas las relacionadas con funciones trigonométricas [80] . La precisión de los cálculos es de aproximadamente 3 cifras significativas.

Variaciones y generalizaciones

El logaritmo como solución de una ecuación se puede definir no solo para números reales y complejos. $a^{x}=b$

Puede ingresar una función logarítmica para cuaterniones (ver funciones variables de cuaterniones ). Sin embargo, la mayoría de las propiedades algebraicas del logaritmo se pierden [81] —por ejemplo, el logaritmo de un producto no es igual a la suma de los logaritmos, y esto reduce el valor práctico de tal generalización.
Si son elementos de un grupo multiplicativo abeliano finito , entonces el logaritmo en el sentido indicado (si existe) se llama discreto . La mayoría de las veces, se considera para un grupo finito de un módulo de anillo de residuos , donde se denomina módulo de índice [82] y juega un papel importante en la criptografía . En grupos cíclicos , existe un logaritmo si su base es una raíz primitiva de ese grupo. $a,b$
Logaritmo matricial :Puede definir logaritmos también paramatrices [83] .
Uno puede definir el logaritmo p-ádico para algunos números p-ádicos [84] .
Para trabajar con números muy grandes se introduce el concepto de superlogaritmo , que no está relacionado con la exponenciación , sino con una operación de orden superior: la tetración .

Véase también

Antilog
resta logarítmica
Signo logarítmico de convergencia
papel logarítmico
polilogaritmo
Orden de magnitud
función prostaférica
Lista de integrales de funciones logarítmicas

Notas

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diccionarios y enciclopedias

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