Glosario de topología general

Este glosario proporciona definiciones de los principales términos utilizados en topología general . Las referencias dentro del glosario están en cursiva .

# A B C D E F F G I K L M N O P R S T U V W Y Z _ _ _ _ _ _

A

Topología antidiscreta Topología sobre el espacio, en la que sólo hay dos conjuntos abiertos: el propio espacioy el conjunto vacío.

X

X

b

Base de topología Un conjunto de conjuntos abiertos tal que cualquier conjunto abierto es la unión de conjuntos en la base.

En

Peso del espacio topológico La capacidad mínima de todas las bases en el espacio. espacio realmente completo Un espacio homeomorfo a un subespacio cerrado de alguna potencia de la línea real. Interior El conjunto de todos los puntos interiores del conjunto . El mayor subconjunto abierto por inclusión de un conjunto dado. Punto interior de un conjunto Un punto que se incluye en el conjunto dado junto con algunos de sus vecinos . cobertura inscrita Una cubierta está inscrita en una cubierta si cada conjunto de está contenido en cualquier conjunto de

A

B

A

B

Espacio completamente desconectado Un espacio del cual ningún subconjunto que contenga más de un punto está conectado . Conjunto denso en todas partes Un conjunto cuyo cierre coincide con todo el espacio. barrio saqueado La vecindad de un punto dado de la cual este punto mismo ha sido removido.

G

homeomorfismo Una biyección tal que y son continuas .

F

F

f^{-1}

Espacios homeomorfos Espacios entre los que hay un homeomorfismo . homotopía Para un mapeo continuo , un mapeo continuo , tal que para any . La notación se utiliza a menudo , en particular .

f\dos puntos X\a Y

F\dos puntos[0,\;1]\veces X\a Y

F(0,\;x)=f(x)

x\en X

f_t(x)=F(t,\;x)

f_0=f

Mapeos homotópicos Las asignaciones se denominan homotópicas o si existe una homotopía tal que y .

f,\;g\dos puntos X\a Y

g \ sim f

pie

f_0=f

f_1=g

Equivalencia de homotopía de espacios topológicos Los espacios topológicos y son homotópicamente equivalentes si existe un par de aplicaciones continuas y tal que y , denota aquí la equivalencia homotópica de aplicaciones , es decir, la equivalencia hasta la homotopía . También se dice que y tienen el mismo tipo de homotopía .

X

Y

f\dos puntos X\a Y

g\colon Y\a X

f\circ g\sim \mathrm{id}_Y

g\circ f\sim \mathrm{id}_X

\sim

X

Y

homotopía invariante Una característica de un espacio que se conserva bajo la equivalencia de homotopía de espacios topológicos . Es decir, si dos espacios son homotópicamente equivalentes, entonces tienen la misma característica. Por ejemplo, conexión , grupo fundamental , característica de Euler son invariantes de homotopía. tipo homotópico La clase de equivalencia de homotopía de los espacios topológicos , es decir, los espacios equivalentes de homotopía se denominan espacios del mismo tipo de homotopía. La frontera 1. Borde relativo . 2. Igual que el borde del colector .

D

espacio de la puerta Un espacio en el que cada subconjunto es abierto o cerrado. Colon Espacio topológico formado por dos puntos; Hay tres opciones para especificar la topología: una topología discreta forma dos puntos simples , una antidiscreta forma dos puntos pegajosos y una topología con un conjunto abierto de un punto forma dos puntos conectados . Retracción de deformación Un subconjunto de un espacio topológico que tiene la propiedad de que existe una homotopía del mapeo de identidad del espacio en algún mapeo , bajo el cual todos los puntos del conjunto permanecen fijos .

A

X

\mathrm{id}_X

X \ a A

A

Topología discreta Una topología en la que cada conjunto es abierto . conjunto discreto Un conjunto del cual cada punto está aislado .

W

conjunto cerrado Un conjunto que es el complemento de un abierto . pantalla cerrada Un mapeo bajo el cual se cierra la imagen de cualquier conjunto cerrado. cierre El conjunto cerrado más pequeño que contiene lo dado.

Y

topología inducida Topología sobre un subconjunto del espacio topológico, en el que se consideran conjuntos abiertos las intersecciones de conjuntos abiertos del espacio ambiental con .

A

A

Punto de ajuste aislado Un punto se llama aislado para un conjunto de un espacio topológico si existe una vecindad tal que .

a

A

X

O(a)

A\cap O(a) = a

K

invariante cardinal Invariante topológica , expresada como un número cardinal . Baer categoría Una característica de un espacio topológico que toma uno de dos valores; la primera categoría de Baire incluye espacios que admiten una cobertura contable por subconjuntos nada densos , los demás espacios pertenecen a la segunda categoría de Baire. Compactificación La compactación de un espacio es un par , donde es un espacio compacto, es una incrustación homeomórfica de un espacio en un espacio , y es denso en todas partes . También el espacio en sí mismo se denomina compactación .

X

(Y,f)

Y

F

X

Y

f(X)

Y

Y

Pantalla compacta Mapeo de espacios topológicos de manera que la imagen inversa de cada punto sea compacta . espacio compacto Un espacio topológico en el que cualquier cubierta por conjuntos abiertos contiene una subcubierta finita . Componente de conectividad de punto El conjunto conexo máximo que contiene este punto. continuo Espacio topológico de Hausdorff compacto conexo . Cono sobre espacio topológico Para un espacio (llamado la base del cono ), el espacio obtenido del producto al contraer el subespacio a un solo punto, llamado el vértice del cono .

X

\mathrm{C}X

X\veces[0,\;1]

X\veces\{0\}

L

Espacio Lindelof Un espacio topológico en el que cualquier cubierta por conjuntos abiertos contiene una subcubierta numerable. espacio conectado por caminos Un espacio en el que cualquier par de puntos pueden estar conectados por una curva. Espacio localmente compacto Un espacio en el que cualquier punto tiene una vecindad compacta . Familia localmente finita de subconjuntos Una familia de subconjuntos de un espacio topológico tal que cada punto en este espacio tiene un vecindario que intersecta solo un número finito de elementos de esta familia. Espacio conectado localmente Un espacio en el que cualquier punto tiene una vecindad conexa . Espacio contráctil localmente Un espacio en el que cualquier punto tiene una vecindad contráctil . homeomorfismo local Un mapeo de espacios topológicos, tal que para cada punto hay un vecindario que se mapea de forma homeomorfa. A veces, un requisito se incluye automáticamente en la definición de un homeomorfismo local y, además, se supone que el mapeo está abierto.

f\dos puntos X\a Y

x\en X

U_x

F

Y

f(X)=Y

F

m

conjunto masivo Un subconjunto de un espacio topológico que es la intersección de un número contable de subconjuntos densos abiertos . Si todo conjunto masivo es denso en , entonces es un espacio de Baire .

S

X

X

X

X

El espacio metrizable por la métrica completa Un espacio homeomorfo a un espacio métrico completo . espacio metrizable Un espacio homeomorfo a un espacio métrico . Colector Espacio topológico de Hausdorff localmente homeomorfo al espacio euclidiano . Área multiconectada Una región de un espacio conexo por caminos cuyo grupo fundamental no es trivial. El conjunto de la segunda categoría Baer Cualquier conjunto que no sea un conjunto de la primera categoría de Baer . El conjunto de la primera categoría Baer Un conjunto que se puede representar como una unión contable de conjuntos densos en ninguna parte. Conjunto de tipo

F_\sigma

Un conjunto representable como una unión contable de conjuntos cerrados. Conjunto de tipo

G_\delta

Un conjunto representable como una intersección contable de conjuntos abiertos.

H

cubierta Mapeo de espacios conectados por caminos , bajo los cuales cualquier punto tiene una vecindad , para los cuales hay un homeomorfismo , donde es un espacio discreto , para los cuales, bajo la condición , denota la proyección natural, entonces .

p:X\a Y

y\en y

U\subconjunto Y

h:p^{-1}(U)\to U\times \Gamma

\Gama

\pi:U\times \Gamma\to U

p|_{p^{-1}(U)}=\pi\circ h

propiedad hereditaria Una propiedad de un espacio topológico tal que si un espacio tiene esta propiedad, entonces cualquiera de sus subespacios tiene esta propiedad. Por ejemplo: metrizabilidad y Hausdorffness . Si cualquier subespacio de un espacio tiene la propiedad , entonces se dice que tiene la propiedad hereditariamente . Por ejemplo, se dice que un espacio topológico es hereditariamente normal, hereditariamente Lindelöf, hereditariamente separable.

X

PAGS

X

PAGS

visualización continua Un mapeo bajo el cual la imagen inversa de cualquier conjunto abierto está abierta. Conjunto denso en ninguna parte Un conjunto cuyo cierre no contiene conjuntos abiertos (el cierre tiene un interior vacío). espacio normal Un espacio topológico en el que los conjuntos de un punto son cerrados y dos conjuntos disjuntos cerrados tienen vecindades disjuntas .

Ah

Región Un subconjunto conectado abierto de un espacio topológico . Espacio simplemente conectado Un espacio conectado , cualquier mapeo de un círculo en el que es homotópico a un mapeo constante. Vecindario Un vecindario abierto o un conjunto que contiene un vecindario abierto . barrio abierto Para un punto o conjunto, el conjunto abierto que contiene el punto o conjunto dado. conjunto abierto Un conjunto, cada elemento del cual está incluido en él junto con alguna vecindad, concepto utilizado en la definición de un espacio topológico . pantalla abierta Un mapeo bajo el cual la imagen de cualquier conjunto abierto está abierta . Conjunto abierto-cerrado Un conjunto que es a la vez abierto y cerrado . Mapeo abierto-cerrado Un mapeo que es a la vez abierto y cerrado . Borde relativo La intersección del cierre de un subconjunto de un espacio topológico con el cierre de su complemento. El límite de un conjunto generalmente se denota por .

mi

\E parcial

Topología relativa Igual que la topología inducida . Conjunto relativamente compacto Un subconjunto de un espacio topológico cuyo cierre es compacto. Tal conjunto también se llama precompacto .

P

par de espacios Un par ordenado donde es un espacio topológico y es un subespacio (con la topología del subespacio ).

{\ estilo de visualización (X, A)}

X

A

espacio paracompacto Un espacio topológico en el que cualquier cubierta abierta se puede inscribir con una cubierta abierta localmente finita (es decir, tal que para cualquier punto uno puede encontrar un vecindario que se cruza con un número finito de elementos de esta cubierta). Densidad de espacio topológico La cardinalidad mínima de todos los subconjuntos densos de un espacio. conjunto denso Un conjunto en un espacio topológico que tiene una intersección no vacía con cualquier vecindad de un punto arbitrario .

X

x\en X

Clandestino Para una cubierta , la subcubierta es , donde si es en sí misma una cubierta.

\{V_\alfa\}

\alfa\en A

\{V_\beta\}

\beta\en B\subconjunto A

\{V_\beta\}

subespacio Un subconjunto de un espacio topológico equipado con una topología inducida . Revestimiento Para un subconjunto o espacio , esta es su representación como unión de conjuntos , más precisamente, es un conjunto de conjuntos , tal que . La mayoría de las veces, se consideran cubiertas abiertas, es decir, asumen que todos son conjuntos abiertos.

X

\{V_\alfa\}

\alfa\en A

\{V_\alfa\}

\alfa\en A

X\subconjunto\bigcup_{\alpha\in A}V_\alpha

\{V_\alfa\}

Espacio completo checo Un espacio se llama Cech completo si existe una compactación del espacio , tal que es un conjunto de tipo en el espacio .

X

(Y,f)

X

f(X)

G_\delta

Y

Topología de orden Topología sobre un conjunto ordenado arbitrario , introducido por una prebase de conjuntos de la forma y , donde recorre todos los elementos .

\langle X, \sqsubseteq \rangle

\{x\in X\mid x \sqsubseteq a, x\neq a\}

\{x\in X\mid a \sqsubseteq x, x\neq a\}

a

X

prebase Una familia de subconjuntos abiertos de un espacio topológico tal que el conjunto de todos los conjuntos que son la intersección de un número finito de elementos forma una base .

Y

X

Y

X

punto límite Para un subconjunto de un espacio topológico , un punto tal que en cualquiera de sus vecindades perforadas c hay al menos un punto desde .

A

X

a \ en X

A

A

conjunto derivado El conjunto de todos los puntos límite . colon simple Un espacio topológico de dos puntos en el que ambos conjuntos de un punto están abiertos. Directo Aleksandrova El espacio topológico sobre el producto cartesiano de un conjunto bien ordenado y un semiintervalo real con la topología de orden bajo el ordenamiento lexicográfico es un espacio normal no metrizable de Hausdorff , un contraejemplo importante en muchos razonamientos topológicos.

A\veces[0, 1)

Straight Suslin Un hipotético (su existencia es independiente de ZFC ) conjunto denso completo linealmente ordenado que tiene algunas propiedades de la línea ordinaria, pero no es isomorfo a ella. Pseudocarácter de un espacio topológico El supremo de pseudocaracteres de un espacio topológico en todos los puntos. Pseudocarácter de un espacio topológico en un punto La cardinalidad mínima de todas las familias de vecindades de un punto que se cruzan en un punto.

R

espacio normal Un espacio topológico en el que los conjuntos de un punto son cerrados y para cualquier conjunto cerrado y un punto no contenido en él, existen sus vecindarios que no se intersecan . Retraer Una retracción de un espacio topológico es un subespacio de este espacio para el que hay una retracción en .

X

A

X

A

retracción La retracción es un mapeo continuo de un espacio topológico a un subespacio de este espacio, idéntico a .

X

A

A

C

colon conectado Un espacio topológico de dos puntos en el que solo uno de los conjuntos de un punto está abierto. espacio conectado Un espacio que no se puede dividir en dos conjuntos cerrados no vacíos que no se cruzan . espacio separable Un espacio topológico en el que hay un conjunto denso numerable en todas partes . Peso de la red del espacio topológico La capacidad mínima de todas las redes en el espacio. Red Una red de un espacio topológico es una familia de subconjuntos del espacio , tal que para cualquier punto y cualquiera de sus vecindades , existe , tal que .

X

norte

X

X

tu

V\en N

x\in V\subconjunto U

Colon Agrupado Espacio topológico antidiscreto de dos puntos. Dispersión del espacio topológico El supremo de cardinalidades de todos los subespacios discretos . espacio contratado Un espacio homotópicamente equivalente a un punto. La suma de espacios topológicos. La suma de una familia de espacios topológicos es la unión disjunta de estos espacios topológicos como conjuntos con la topología que consta de todos los conjuntos de la forma donde cada uno está abierto en . designado _

\{A_s\}_{s\en S}

\coprod_{s\en S}A_s

\coprod_{s\en S}U_s

A nosotros

Como

\bigoplus_{s\en S}A_s

T

La estrechez del espacio topológico El supremo de hermeticidad de un espacio topológico en todos los puntos. Rigidez espacial topológica en un punto La estrechez de un espacio topológico en un punto es el cardinal más pequeño , para lo cual si , entonces existe cardinalidad como máximo , tal que .

X

X

\alfa

x\en\bar{A}

B\subconjunto A

\alfa

x\in\bar{B}

espacio tikhonov Un espacio topológico en el que los conjuntos de un punto son cerrados y para cualquier punto y cualquier conjunto cerrado que no contiene un punto existe una función real continua que es igual en el conjunto y en el punto .

X

F

X

{\ estilo de visualización 0}

F

una

X

Invariante topológico Una característica de un espacio que se conserva bajo un homeomorfismo . Es decir, si dos espacios son homeomorfos, entonces tienen la misma característica invariante. Por ejemplo, las invariantes topológicas son: compacidad , conectividad , grupo fundamental , característica de Euler . Mapeo topológicamente inyectivo Un mapa continuo que realiza un homeomorfismo entre el dominio de definición y su imagen completa. Espacio topológico Un conjunto con una topología dada , es decir, se determina cuáles de sus subconjuntos están abiertos . Topología Una familia de subconjuntos de un conjunto que contiene una unión arbitraria y una intersección finita de sus elementos, así como el conjunto vacío y él mismo . Los elementos de una familia se denominan conjuntos abiertos . Además, la topología se puede introducir a través de la base , como una familia formada por todas las uniones arbitrarias de los elementos de la base.

X

X

Topología de convergencia compacta Una topología dada sobre un conjunto de funciones reales continuas, definidas por una familia de prenormas , se denomina topología de convergencia compacta.

p_n(x)=\sup_{-n\leqslant t\leqslant n}|x(t)|,\;n\in\N

Topología de convergencia puntual Una topología definida sobre un conjunto de funciones continuas de un espacio topológico a un espacio topológico , cuya base son todos los conjuntos de la forma donde -puntos desde -conjuntos abiertos desde , se denomina topología de convergencia puntual. Un conjunto con tal topología se denota por .

C(X,Y)

X

Y

\{f: f(x_1) \en U_1, f(x_2) \en U_2, \puntos, f(x_n) \en U_n\},

x_1 , x_2,\puntos x_n

X, U_1 , U_2,\puntos U_n

Y

C(X,Y)

C_p(X,Y)

Topología de convergencia uniforme Sea una norma definida sobre un espacio vectorial de funciones continuas sobre un espacio topológico compacto . La topología generada por tal métrica se denomina topología de convergencia uniforme.

L(K)

F

k

\|f\|=\sup_{x\in K}|f(x)|

Topología de Scott Una topología sobre un conjunto completo parcialmente ordenado , en el que los conjuntos superiores se consideran abiertosque son inaccesibles a las conexiones directas. Punto de acumulación Igual que el punto límite . Punto de acumulación total Para un conjunto , un punto en el espacio topológico tal que la intersección con cualquier vecindad tiene la misma cardinalidad que el conjunto completo .

METRO

x\en M

X

METRO

X

METRO

punto de contacto Para un conjunto , un punto, cualquier vecindad del cual contiene al menos un punto de . El conjunto de todos los puntos de contacto coincide con el cierre .

METRO

METRO

\overline{M}

Topología trivial Igual que la topología antidiscreta

Wu

homeomorfismo universal Sello Biyección continua .

F

Espacio factorial Espacio topológico sobre un conjunto de clases de equivalencia: Para un espacio topológico y una relación de equivalencia, la topología sobre un conjunto cociente se introduce definiendo conjuntos abiertos como la familia de todos los conjuntos cuya imagen inversa está abierta en el mapeo del cociente (asociando un elemento con su clase de equivalencia ).

X

\sim

X/\!\sim

X

x\en X

[x]_{\sim} = \{y\in X\mid x\sim y\}

Sistema fundamental de vecindad El sistema fundamental de vecindades de un punto es una familia de vecindades del punto , tal que para cualquier vecindad del punto existe , tal que .

X

B

X

tu

X

V \ en B

V\subconjunto U

x

Carácter de un espacio topológico El supremo de caracteres de un espacio topológico en todos los puntos. Carácter de un espacio topológico en un punto Cardinalidad mínima de todos los sistemas fundamentales de vecindades de este punto. espacio hausdorff Un espacio topológico en el que dos puntos distintos tienen vecindades que no se intersecan .

C

Cilindro sobre espacio topológico Para un espacio , un espacio construido como producto de .

X

{\ matemáticas Z} X

X\veces[0,\;1]

cilindro de visualización Para el mapeo , un espacio cociente construido a partir de la suma y mediante la identificación de un punto con un punto para todos .

f:X\a Y

{\mathrm Z}_{f}

X\veces[0,\;1]

Y

(x,1)\en X\veces [0,\;1]

f(x)\en Y

x\en X

H

Número de Lindelöf de un espacio topológico El cardinal más pequeño es tal que se puede extraer una subcubierta de cualquier cubierta abierta, con cardinalidad como máximo .

\alfa

\alfa

El número de Suslin de un espacio topológico El supremo de cardinalidad de familias de conjuntos abiertos no vacíos que no se intersecan.

E

Extensión del espacio topológico El supremo de cardinalidades de todos los subconjuntos discretos cerrados .

Literatura

Bourbaki, N. Elementos de las matemáticas. Topología general. Estructuras básicas. — M .: Nauka, 1968.
Aleksandrov, PS Introducción a la teoría de conjuntos y topología general. — M .: GIITL, 1948.
Kelly, J. L. Topología general. — M .: Nauka, 1968.
Viro, O. Ya., Ivanov, O. A., Kharlamov, V. M., Netsvetaev, N. Yu. Libro de texto de problemas sobre topología .
Engelking, R. Topología general. — M .: Mir , 1986. — 752 p.