El número de Kaprekar para un sistema numérico dado es un número entero no negativo cuyo cuadrado en este sistema se puede dividir en dos partes, cuya suma da el número original. Por ejemplo, 45 es un número de Kaprekar porque 45 2 = 2025 y 20 + 25 = 45. Los números de Kaprekar llevan el nombre de D. R. Kaprekar .
Sea X un entero no negativo. X es un número de Kaprekar en base b si hay números no negativos n , A y B positivo que satisfacen las condiciones:
X 2 = Ab n + B , donde 0 < B < b n X = A + BTenga en cuenta que X es también el número base b n Kaprekar para el n dado . En un sentido más estricto, podemos definir el conjunto K ( N ) para un entero N dado como el conjunto de enteros X para los cuales [1]
X 2 = AN + B , donde 0 < B < N X = A + BCada número de Kaprekar X en base b entonces cae en uno de los conjuntos K ( b ), K ( b 2 ), K ( b 3 ),….
297 es un número de Kaprekar en base 10 porque 297 2 = 88209, que se puede descomponer en 88 y 209 y 88 + 209 = 297. Por convención, la segunda parte puede comenzar en 0, pero no debe ser cero. Por ejemplo, 999 es un número de Kaprekar en base 10, ya que 999 2 = 998001, que se puede descomponer en 998 y 001, 998 + 001 = 999. Pero 100 no es un número de Kaprekar, aunque 100 2 = 10000 y 100 + 00 = 100, la segunda parte es cero.
Los primeros números de Kaprekar en base 10 son:
1 9 45 55 99 297 703 999 2223 2728 4879 4950 5050 7272 7777 9999 17344 22222 77778 82656 95121 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170, 538461, 609687, 643357 , 648648, 670033, 681318, 791505, 812890, 818181, 851851, 857143, 961038, 994708, 999999, ... (secuencia A006886 en OEIS )En particular, 9, 99, 999… son números de Kaprekar. De manera más general, para cualquier base b , hay infinitos números de Kaprekar, incluidos todos los números de la forma b n − 1.
En base 12 , los números de Kaprekar son
1, E, 56, 66, EE, 444, 778, EEE, 12XX, 1640, 2046, 2929, 3333, 4973, 5E60, 6060, 7249, 8889, 9293, 9E76, X580, X912, EEEE, 22223, 723923 , 99999, EEEEE, 12E649, 16EX51, 1X1X1X, 222222, 22X54X, 26X952, 35186E, 39X39X, 404040, 4197X2, 450770, 5801E8, 5EE600...En base 16 , los números de Kaprekar son
1, 6, F, 33, 55, 5B, 78, 88, AB, CD, FF, 15F, 334, 38E, 492, 4ED, 7E0, 820, B13, B6E, C72, CCC, EA1, FA5, FFF 191A 2A2B 3C3C 4444 5556 6667 7F80 8080 9999 AAAA BBBC C3C4 D5D5 E6E6 FFFF 1745E 20EC2 2ACAB 2D02E 30684 3831F 55555 62FCA 689A3 7278C 76417 7A427 7FE00 80200 85BD9 89AE5 89BE9 8D874 9765D 9D036 AAAAB AF0B0 B851F BDEF8 C1F08 C795C1...