Número natural

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Números naturales (del lat. naturalis "natural"): números que surgen naturalmente al contar (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, etc. [1] ). La secuencia de todos los números naturales dispuestos en orden ascendente se llama serie natural [2] .

El conjunto de los números naturales es infinito, ya que para todo número natural existe un número natural mayor que . Los números negativos y no enteros no se clasifican como números naturales. $norte$ $norte$

Las propiedades de los números naturales y las operaciones con ellos son estudiadas por la aritmética y (más a fondo) por la teoría de números .

Historia

Período antiguo

La forma más primitiva de representar un número natural es ponerle una etiqueta al contar cada objeto. Más tarde, se puede verificar la igualdad, el exceso o la deficiencia de un conjunto de objetos, eliminando la marca y eliminando el objeto del conjunto. El primer gran avance en la abstracción fue el uso de numerales para denotar números naturales. Esto permitió el desarrollo de sistemas para escribir números grandes. Los antiguos egipcios desarrollaron un extenso sistema numérico con jeroglíficos claros para 1, 10 y todas las potencias desde 10 hasta más de 1 millón. En una talla de piedra de Karnak , que data de alrededor del 1500 a. y ahora en el Louvre , el número 276 se representa como 2 centenas, 7 decenas y 6 unidades; y de manera similar para el número 4622 [3] .

Un desarrollo mucho más reciente fue el desarrollo de la idea de que el cero podría considerarse como un número con su propio dígito. El uso del número 0 para designar un lugar (en otros números) se remonta al año 700 a. por los babilonios, que omitieron tal dígito cuando era el último carácter en el número [a] . El cero se usó como un número en el cálculo medieval (cálculo de la fecha de la Pascua) a partir de Dionysius Exiguus en 525 dC, sin ser representado por un número (los números romanos estándar no tienen símbolo para el 0). En cambio, se usó lat para indicar el valor cero. nulla (o genitivo lat. nullae que significa "no") [5] . El uso del cero en los tiempos modernos se originó con el matemático indio Brahmagupta en 628 CE.

El primer estudio sistemático de los números como abstracciones se suele atribuir a los filósofos griegos Pitágoras y Arquímedes . Algunos matemáticos griegos trataron el número 1 de manera diferente a los números grandes y, a veces, no lo trataron como el número [b] . Euclides, por ejemplo, primero definió la esencia de una unidad, y luego el número como un conjunto de unidades, así, por su definición, una unidad no es un número, y no hay números únicos (por ejemplo, dos unidades cualquiera de un conjunto indefinido de unidades son el número 2) [7] .

Período moderno

En la Europa del siglo XIX, hubo discusiones matemáticas y filosóficas sobre la naturaleza exacta de los números naturales. Henri Poincaré fue uno de los defensores de tal concepto, al igual que Leopold Kronecker , quien resumió su creencia como: " Dios creó los números enteros, todo lo demás es obra del hombre ". Tal concepto ha sido definido como naturalista [c] .

A diferencia de los naturalistas , los constructivistas vieron la necesidad de mejorar la base lógica en los fundamentos de las matemáticas. En la década de 1860, Hermann Grassmann propuso una definición recursiva de los números naturales, afirmando así que no son del todo naturales sino que son una consecuencia de las definiciones. Además, se construyeron dos clases de tales definiciones formales; más tarde se demostró que eran equivalentes en la mayoría de las aplicaciones prácticas.

Frege inició las definiciones de la teoría de conjuntos de los números naturales. Inicialmente, definió un número natural como la clase de todos los conjuntos que están en correspondencia biunívoca con un determinado conjunto. Sin embargo, esta definición ha dado lugar a paradojas, incluida la paradoja de Russell . Para evitar tales paradojas, se cambió el formalismo de tal manera que un número natural se define como un conjunto específico, y se dice que cualquier conjunto que se puede poner en una correspondencia biunívoca con este conjunto tiene este número de elementos [9] .

La segunda clase de definiciones fue introducida por Charles Sanders Peirce , refinada por Richard Dedekind y explorada por Giuseppe Peano ; este enfoque ahora se llama axiomas de Peano . Se basa en la axiomatización de las propiedades de los números ordinales: todo número natural tiene un sucesor, y todo número natural distinto de cero tiene un único predecesor. La aritmética de Peano es equivalente a varios sistemas débiles de teoría de conjuntos. Uno de esos sistemas es el sistema Zermelo-Fraenkel (ZFC), en el que el axioma del infinito se reemplaza por su negación. Entre los teoremas que se pueden probar en ZFC pero que no se pueden probar usando los axiomas de Peano están el Teorema de Paris-Harrington , el Teorema de Goodstein , y otros [10] .

Con base en esta base de definiciones, es conveniente incluir el cero (correspondiente al conjunto vacío) como número natural. La inclusión del cero es ahora un lugar común entre la teoría de conjuntos [11] y las construcciones lógicas [12] .

Lugar Cero

Hay dos enfoques para la definición de números naturales:

números que surgen al contar (numerar) objetos: primero , segundo , tercero , cuarto , quinto ...;
Números que aparecen al indicar el número de artículos: 0 artículos , 1 artículo , 2 artículos , 3 artículos , 4 artículos , 5 artículos ...

En el primer caso, la serie de números naturales comienza desde uno , en el segundo, desde cero . No existe una opinión común para la mayoría de los matemáticos sobre la preferencia del primer o segundo enfoque (es decir, si considerar el cero como un número natural o no). En la gran mayoría de las fuentes rusas, tradicionalmente se adopta el primer enfoque [13] . El segundo enfoque, por ejemplo, se toma en los escritos de Nicolas Bourbaki , donde los números naturales se definen como cardinalidades de conjuntos finitos . La presencia del cero facilita la formulación y prueba de muchos teoremas en la aritmética de los números naturales, por lo que el primer enfoque introduce el concepto útil de una serie natural extendida que incluye el cero [13] .

El conjunto de todos los números naturales se suele denotar con el símbolo . Las normas internacionales ISO 31-11 (1992) e ISO 80000-2 (2009) establecen las siguientes designaciones [14] : $\matemáticas {N}$

$\matemáticas {N}$ - números naturales, incluido el cero: $\{0,1,2,3,4\puntos\}.$
$\mathbb {N^{*}}$ - números naturales sin cero: $\{1,2,3,4\puntos\}.$

Al igual que en ISO, la notación para el conjunto de números naturales está fijada en el GOST ruso 2011: R 54521-2011, tabla 6.1 [15] . Sin embargo, en las fuentes rusas, este estándar aún no se observa; en ellas, el símbolo denota números naturales sin cero, y se denota la serie natural extendida , etc. [13] $\matemáticas {N}$ ${\displaystyle \mathbb {N}_{0},\mathbb {Z}_{+},\mathbb {Z}_{\geqslant 0))$

Axiomas que permiten definir el conjunto de los números naturales

Axiomas de Peano para números naturales

Un conjunto se llamará conjunto de números naturales si algún elemento 1 (uno), una función con dominio de definición , llamada función de sucesión ( ), es fijo, y se cumplen las siguientes condiciones: $\matemáticas {N}$ $S$ $\matemáticas {N}$ $S\dos puntos \mathbb {N}$

el elemento uno pertenece a este conjunto ( ), es decir, es un número natural; $1\in\mathbb{N}$
el número que sigue a un número natural también es un número natural (si , entonces o, en una notación más corta, ); $x\in \mathbb {N}$ $S(x)\en \mathbb {N}$ $S\colon \mathbb {N} \to \mathbb {N}$
la unidad no sigue a ningún número natural ( ); $\nexists x\in \mathbb {N} \ (S(x)=1)$
si un número natural sigue directamente tanto a un número natural como a un número natural , entonces y es el mismo número (si y , entonces ); $a$ $b$ $C$ $b$ $C$ $S(b)=a$ $S(c)=a$ $b=c$
( axioma de inducción ) si cualquier proposición (enunciado) se prueba para un número natural ( base de inducción ) y si de la suposición de que es verdadera para otro número natural se sigue que es verdadera para el siguiente número natural ( suposición inductiva ) , entonces esta proposición es verdadera para todos los números naturales ( sea algún predicado unario (unario) , cuyo parámetro sea un número natural . Entonces, si y , entonces ). $PAGS$ $n=1$ $norte$ $norte$ $P(n)$ $norte$ $P(1)$ $\forall n\;(P(n)\Rightarrow P(S(n)))$ $\para todos n\;P(n)$

Los axiomas anteriores reflejan nuestra comprensión intuitiva de la serie natural y la recta numérica .

El hecho fundamental es que estos axiomas determinan esencialmente de manera única los números naturales (la naturaleza categórica del sistema de axiomas de Peano). Es decir, se puede probar (ver [16] , así como una breve prueba [17] ) que si y son dos modelos para el sistema de axiomas de Peano, entonces son necesariamente isomorfos , es decir, existe una aplicación invertible ( biyección ) tal que y para todos . $(\matemáticas N, 1, S)$ $(\tilde {\mathbb N},\tilde 1, \tilde S)$ $f\colon \mathbb {N} \to {\tilde {\mathbb {N} }}$ $f(1)={\tilde {1}}$ $f(S(x))={\tilde {S))(f(x))$ $x\in\mathbb norte$

Por lo tanto, es suficiente fijar como cualquier modelo específico del conjunto de los números naturales. $\matemáticas {N}$

A veces, especialmente en la literatura extranjera y traducida, los axiomas primero y tercero de Peano reemplazan uno por cero. En este caso, el cero se considera un número natural. Cuando se define en términos de clases de conjuntos equivalentes, el cero es un número natural por definición. Sería antinatural descartarlo específicamente. Además, esto complicaría significativamente la posterior construcción y aplicación de la teoría, ya que en la mayoría de las construcciones el cero, como el conjunto vacío, no es algo aislado. Otra ventaja de considerar el cero como un número natural es que forma un monoide al hacerlo . Como se mencionó anteriormente , en la literatura rusa, el cero se excluye tradicionalmente del número de números naturales. $\matemáticas {N}$

Definición teórica de conjuntos de números naturales (definición de Frege-Russell)

De acuerdo con la teoría de conjuntos , el único objeto de construir cualquier sistema matemático es el conjunto .

Así, también se introducen los números naturales, basados en el concepto de conjunto, según dos reglas:

$0=\varnada;$
$S(n)=n\cup \left\{n\right\}.$

Los números dados de esta manera se llaman ordinales .

Describamos los primeros números ordinales y sus correspondientes números naturales:

$0=\varnada;$
$1=\varnada\cup \left\{0\right\}=\left\{\varnada\right\};$
$2=1\cup \left\{1\right\}={\big \{}\varnothing,\;\left\{\varnothing \right\}{\big \));$
$3=2\cup \left\{2\right\}={\Big \{}\varnothing,\;\left\{\varnothing \right\},\;{\big \{}\varnothing ,\;\left\{\varnada\right\}{\grande \}}{\Grande \}}.$

Cardinalidad del conjunto de los números naturales

La generalización del número de elementos de un conjunto finito a conjuntos infinitos se caracteriza por el concepto de " potencia de un conjunto ". En términos de cardinalidad, el conjunto de números naturales es mayor que cualquier conjunto finito, pero menor que cualquier intervalo , por ejemplo, . El conjunto de los números naturales es equivalente al conjunto de los números racionales . Cualquier conjunto que sea equivalente al conjunto de los números naturales se llama conjunto contable . Así, el conjunto de términos de cualquier sucesión es contable. Al mismo tiempo, existe una sucesión en la que cada número natural aparece un número infinito de veces, ya que el conjunto de números naturales se puede representar como una unión contable de conjuntos contables disjuntos (por ejemplo [18] , ). $(0.1)$ $\mathbb {N} =\bigcup \limits _{k=0}^{\infty}\left(\bigcup \limits _{n=0}^{\infty}(2n+1)2^{ k}\derecho)$

Operaciones con números naturales

Las operaciones cerradas (operaciones que no generan un resultado del conjunto de números naturales) sobre números naturales incluyen las siguientes operaciones aritméticas:

suma : término + término = suma;
multiplicación : multiplicador × multiplicador = producto;
exponenciación :, donde es la base del grado, es el exponente. Siy son números naturales, entonces el resultado también es un número natural. $un ^ {b}$ $a$ $b$ $a$ $b$

Adicionalmente, se consideran dos operaciones más (desde un punto de vista formal, no son operaciones sobre números naturales, ya que no están definidas para todos los pares de números (a veces existen, a veces no)):

resta : minuendo - sustraendo = diferencia. En este caso, el minuendo debe ser mayor que el sustraendo (o igual a él, si consideramos el cero como número natural);
división con resto : dividendo / divisor = (cociente, resto). El cocientey el restode la divisiónporse definen como sigue:, y. Tenga en cuenta que cuando la definición se generaliza al conjunto de enteros no negativos, la última condición prohíbe la división por cero, ya que este conjunto no contiene. $pags$ $r$ $a$ $b$ $a=p\cdot b+r$ ${\ estilo de visualización r <b}$ ${\ estilo de visualización r <0}$

Cabe señalar que las operaciones de suma y multiplicación son fundamentales. En particular, el anillo de números enteros se define con precisión a través de las operaciones binarias de suma y multiplicación.

Propiedades básicas

Conmutatividad de la suma:

a+b=b+a.

Conmutatividad de la multiplicación:

a\cdot b=b\cdot a.

Asociatividad de la suma:

(a+b)+c=a+(b+c).

Asociatividad de la multiplicación:

(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c).

Distributividad de la multiplicación con respecto a la suma:

{\begin{casos}a\cdot (b+c)=a\cdot b+a\cdot c\\(b+c)\cdot a=b\cdot a+c\cdot a\end{ casos}}.

Estructura algebraica

La suma convierte el conjunto de números naturales en un semigrupo con unidad, el papel de la unidad lo juega el 0 . La multiplicación también convierte el conjunto de números naturales en un semigrupo con unidad, siendo 1 el elemento de identidad . Con la ayuda de la clausura bajo las operaciones de suma-resta y multiplicación-división se obtienen los grupos de números enteros y racionales positivos , respectivamente. $\matemáticas {Z}$ $\mathbb Q^*_+$

Definiciones de teoría de conjuntos

Usemos la definición de números naturales como clases de equivalencia de conjuntos finitos. Si designamos la clase de equivalencia del conjunto A , generado por biyecciones, usando corchetes: [ A ], las operaciones aritméticas básicas se definen de la siguiente manera:

$[A]+[B]=[A\sqcup B];$
$[A]\cdot [B]=[A\times B];$
${\ estilo de visualización {[A]}^{[B]}=[A^{B}],}$

dónde:

$A \sqcup B$ — unión disjunta de conjuntos ;
$A\veces B$ - producto directo ;
$A ^ B$ es el conjunto de asignaciones de B a A .

Se puede demostrar que las operaciones resultantes sobre las clases se introducen correctamente, es decir, no dependen de la elección de los elementos de clase y coinciden con las definiciones inductivas.

Datos interesantes

Al expandir la función en una serie, se puede demostrar que la suma de todos los números naturales es igual a −1/12 [19] .

Véase también

Comentarios

↑ La tablilla de Kish , que se cree data del año 700 a. C., usa tres ganchos para indicar un espacio vacío en la designación de referencia. Otras tablas que datan de la misma época usan un solo gancho para el espacio en blanco. [cuatro]
↑ Esta disposición se usa, por ejemplo, en los Elementos de Euclides, véase la edición en línea de D. Joyce del Libro VII. [6]
↑ Traducción al inglés - de Gray. En una nota a pie de página, Gray indica la fuente de la cita alemana: " Weber 1891–1892, 19, cita de la conferencia de Kronecker de 1886 ". [ocho]

Notas

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Enlaces

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