Pentágono regular

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Pentágono
pentágono regular
Tipo de	polígono regular
costillas	5
Símbolo Schläfli	{5}
Diagrama de Coxeter-Dynkin
tipo de simetría	Grupo diedro (D 5 )
Cuadrado
Esquina interior	108°
Propiedades
convexo , inscrito , equilátero , equiangular , isotoxal
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Un pentágono regular (o pentágono del griego πενταγωνον ) es una figura geométrica , un polígono regular de cinco lados.

Propiedades

• Un pentágono regular tiene un ángulo

• El área de un pentágono regular se calcula mediante cualquiera de las fórmulas:

, donde  es el radio de la circunferencia circunscrita ,  es el radio de la circunferencia inscrita,  es la diagonal ,  es el lado.

• Altura de un pentágono regular:

• Las diagonales de un pentágono regular son las trisectrices de sus ángulos interiores.
• La razón de la diagonal de un pentágono regular al lado es igual a la proporción áurea , es decir, el número .

Por tanto, el radio de la circunferencia inscrita, el radio de la circunferencia circunscrita, la altura y el área de un pentágono regular se pueden calcular sin utilizar funciones trigonométricas:

• Lado:

• Radio de la circunferencia inscrita:

• Radio del círculo circunscrito:

• Diagonal:

• Cuadrado:

• Es imposible llenar un plano sin huecos con un pentágono regular (ver también Parquet )
• La razón de las áreas de un pentágono regular y otro pentágono regular formado por la intersección de las diagonales del original (la mitad de la estrella pentagonal)

donde  es la razón de la sección áurea .

Construcción

Un pentágono regular se puede construir usando un compás y una regla, o inscribiéndolo en un círculo dado , o construyéndolo desde un lado dado. Este proceso es descrito por Euclides en sus Elementos alrededor del 300 a. mi.

Aquí hay un método para construir un pentágono regular en un círculo dado:

1. Construya un círculo en el que se inscribirá el pentágono y designe su centro como O . (Este es el círculo verde en el diagrama de la derecha).
2. Elige el punto A de la circunferencia , que será uno de los vértices del pentágono. Construya una línea a través de O y A.
3. Construya una línea perpendicular a la línea OA que pase por el punto O. Designe una de sus intersecciones con el círculo como el punto B.
4. Traza el punto C a mitad de camino entre O y B .
5. Dibuja un círculo con centro en el punto C que pase por el punto A. Designe su intersección con la línea OB (dentro del círculo original) como el punto D.
6. Dibuja un círculo con centro en A a través del punto D , marca la intersección de este círculo con el original (círculo verde) como puntos E y F.
7. Dibuja un círculo con centro en E que pase por el punto A. Designe su otra intersección con el círculo original como el punto G.
8. Dibuja un círculo con centro en F que pase por el punto A. Designe su otra intersección con el círculo original como el punto H.
9. Construya un pentágono regular AEGHF .

• Construcción de un pentágono regular

• Construcción de un pentágono regular

• Construcción de un pentágono regular

• Un método alternativo para construir un polígono regular usando una regla y un compás

Conseguir con una tira de papel

Se puede obtener un pentágono regular atando una tira de papel en un nudo.

En la naturaleza

En la naturaleza, no hay cristales con caras en forma de pentágono regular, pero los estudios de la formación de hielo de agua sobre una superficie plana de cobre a temperaturas de 100–140 K han demostrado que, primero, cadenas de moléculas de aproximadamente 1 nm de ancho aparecen en la superficie no de una estructura hexagonal, sino de una estructura pentagonal. [1] La pentasimetría se puede observar en muchas flores y algunos frutos, como este níspero germánico . Los equinodermos (por ejemplo , las estrellas de mar ) y algunas plantas tienen pentasimetría . Véase también Patrones en la naturaleza .

• Los equinodermos , como las estrellas de mar , tienen pentasimetría.

• La pentasimetría se puede ver en muchas flores y algunos frutos, como el níspero germánico .

Datos interesantes

• El dodecaedro  es el único poliedro regular cuyas caras son pentágonos regulares.
• Un pentágono regular es un polígono regular con el menor número de ángulos que no se pueden enlosar en un plano.
• Un pentágono regular con todas sus diagonales es una proyección de cinco celdas regulares (4-simplex).
• El Pentágono  , el edificio del Departamento de Defensa de los Estados Unidos  , tiene la forma de un pentágono regular.

Véase también

• proporción áurea
• Pentágono
• Pentaedro
• Pentagrama
• Marca de calidad estatal de la URSS

Notas

1. ↑ Una estructura de hielo unidimensional construida a partir de pentágonos. materiales de la naturaleza. 8 de marzo de 2009 Archivado el 22 de abril de 2009 en Wayback Machine . 

polígonos
Por número de lados	monógono Grande en Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono Decágono Endecágono Dodecágono Trece tetradecágono Pentágono Hexágono De diecisiete octágono Diecinueveagón Dodecágono Veintiún lados Veintidós ángulo veintetrigon veinte cuadrangular Veinte pentágono Veinte octágono Tridecágono Thirty-Biagon Cuarenta cuadrados Cuarenta bicagón pentecostal pentecostal Hexágono Sesenta y cuatro heptágono octágono nonágono [ es Millagón Diezmil-gon cienmilésima Milliogon infinito
correcto	convexo Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono tetradecágono De diecisiete 257-gon 65537-gon 4294967295-gon estrellado Pentagrama Hexagrama heptagrama Octagrama ( Estrella de Lakshmi ) Eneagrama Decagrama Endecagrama dodecagrama
triangulos	Isósceles Derecha Rectangular
cuadriláteros	inscrito descrito no descrito Paralelogramo antiparalelogramo Rectángulo rectángulo dorado Rombo Romboidal Trapecio Deltoides Cuadrado unidad cuadrada lamberto saccheri
ver también	Lista de polígonos Punto perteneciente a un polígono Teorema de Bolyai-Gervin Teorema de Brahmagupta Teorema de Gauss-Wanzel Fórmula pico Teorema de la suma de los ángulos del polígono Relación Bretschneider

Símbolo Schläfli
polígonos	{una} {2} {3} {cuatro} {5} {6} {7} {ocho} {9} {diez} {once} {12} {catorce} {quince} {17} {Dieciocho} {veinte} {treinta} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
polígonos estrella	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Parqués planos _	{3,6} {4,4} {6,3}
Poliedros regulares y parquets esféricos	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Poliedros de Kepler-Poinsot	{5/2.5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
panales	{4,3,4}
Poliedros de cuatro dimensiones	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}