Número cíclico
Un número cíclico es un entero cuyas permutaciones cíclicas de los dígitos son los productos de este número por números sucesivos. El ejemplo más famoso de tal número es 142857 :
142857 × 1 = 142857 142857 × 2 = 285714 142857 × 3 = 428571 142857 × 4 = 571428 142857 × 5 = 714285 142857 × 6 = 857142Detalles
Para que un número sea cíclico, se requiere que la multiplicación por números sucesivos dé permutaciones de los dígitos del número. Así, el número 076923 no se considera cíclico porque, aunque todas las permutaciones cíclicas son el producto del número por algunos factores enteros , estos factores no son enteros consecutivos :
076923 × 1 = 076923 076923 × 3 = 230769 076923 × 4 = 307692 076923 × 9 = 692307 076923 × 10 = 769230 076923 × 12 = 923076Por lo general, se excluyen los siguientes casos típicos:
- Un solo dígito, por ejemplo, 5
- números repetidos como 555
- repitiendo números cíclicos como 142857142857
Si no se permiten ceros a la izquierda en los números , entonces 142857 es el único número cíclico en notación decimal , según lo determinado por la estructura numérica requerida que se describe en la siguiente sección. Si se permiten ceros iniciales, la secuencia de números cíclicos comienza con:
(10 6 −1) / 7 = 142857 (6 dígitos) (10 16 −1) / 17 = 0588235294117647 (16 dígitos) (10 18 −1) / 19 = 052631578947368421 (18 dígitos) (10 22 −1) / 23 = 0434782608695652173913 (22 dígitos) (10 28 −1) / 29 = 0344827586206896551724137931 (28 dígitos) (10 46 −1) / 47 = 0212765957446808510638297872340425531914893617 (46 dígitos) (10 58 −1) / 59 = 0169491525423728813559322033898305084745762711864406779661 (58 dígitos) (10 60 −1) / 61 = 016393442622950819672131147540983606557377049180327868852459 (60 dígitos) (10 96 −1) / 97 = 010309278350515463917525773195876288659793814432989690721649484536082474226804123711340206185567 (96 dígitos)Relación con números decimales periódicos
Los números cíclicos están relacionados con fracciones decimales periódicas de uno . Un número cíclico de longitud L tiene una representación decimal
1/( L + 1).Por el contrario, si el período decimal del número 1 / p (donde p es primo) es [1]
pag - 1entonces los dígitos representan un número cíclico.
Por ejemplo:
1/7 = 0,142857 142857….Multiplicar esta fracción da una permutación cíclica:
1/7 = 0.142857 142857… 2/7 = 0.285714 285714… 3/7 = 0.428571 428571… 4/7 = 0.571428 571428… 5/7 = 0.714285 714285… 6/7 = 0,857142 857142….Formato de número cíclico
Usando la conexión con fracciones de uno, se puede demostrar que los números cíclicos tienen la forma del cociente de Fermat
,
donde b es la base del sistema numérico (10 para decimal ) y p es un número primo que no divide a b . (Los primos p que forman números cíclicos en base b se denominan primos repetidos completos o primos largos en base b [2] ).
Por ejemplo, para b = 10, p = 7 da el número cíclico 142857 y para b = 12, p = 5 da el número cíclico 2497.
No todos los valores de p dan números cíclicos según esta fórmula. Por ejemplo, para b = 10, p = 13 da 076923076923 10 , y para b = 12, p = 19 da 076B45076B45076B45 12 . Estos números no son cíclicos porque consisten en secuencias repetidas.
Los primeros valores de p para los que la fórmula arroja números cíclicos en base decimal ( b = 10) ( secuencia OEIS A001913 )
7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541, 571, 577, 593, 619, 647, 659, 701, 709, 727, 743, 811, 821, 823, 857, 863, 887, 937, 941, 953, 971, 977, 983, …Para b = 12 ( duodecimal ) estos valores de p son (secuencia A019340 en OEIS )
5, 7, 17, 31, 41, 43, 53, 67, 101, 103, 113, 127, 137, 139, 149, 151, 163, 173, 197, 223, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 353, 367, 379, 389, 401, 449, 461, 509, 523, 547, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 619, 631, 641, 653, 691, 701, 739, 751, 761, 773, 787, 797, 809, 821, 857, 881, 929, 953, 967, 977, 991, …Para b = 2 ( binario ) estos valores de p son (secuencia A001122 en OEIS )
3, 5, 11, 13, 19, 29, 37, 53, 59, 61, 67, 83, 101, 107, 131, 139, 149, 163, 173, 179, 181, 197, 211, 227, 269, 293, 317, 347, 349, 373, 379, 389, 419, 421, 443, 461, 467, 491, 509, 523, 541, 547, 557, 563, 587, 613, 619, 653, 659, 661, 677, 701, 709, 757, 773, 787, 797, 821, 827, 829, 853, 859, 877, 883, 907, 941, 947, …Para b = 3 ( ternario ), estos valores de p son (secuencia A019334 en OEIS )
2, 5, 7, 17, 19, 29, 31, 43, 53, 79, 89, 101, 113, 127, 137, 139, 149, 163, 173, 197, 199, 211, 223, 233, 257, 269, 281, 283, 293, 317, 331, 353, 379, 389, 401, 449, 461, 463, 487, 509, 521, 557, 569, 571, 593, 607, 617, 631, 641, 653, 677, 691, 701, 739, 751, 773, 797, 809, 811, 821, 823, 857, 859, 881, 907, 929, 941, 953, 977, …No hay tales números p en hexadecimal .
Los esquemas conocidos para tales secuencias se obtienen de la teoría algebraica de números , es decir, esta secuencia es el conjunto de primos p tal que b es una raíz primitiva módulo p .
Construcción de números cíclicos
Los números cíclicos se pueden obtener mediante el siguiente procedimiento :
Sea b la base del sistema numérico (10 para números decimales)
Sea p un número primo que no es divisor de b .
Sea t = 0.
Sea r = 1.
Sea n = 0.
ciclo:
Si t = p − 1, entonces n es un número cíclico.
El procedimiento funciona calculando los dígitos de la fracción 1/ p en base b mediante el algoritmo de división por columnas . En cada paso , r es el resto y d es el siguiente dígito.
Paso
norte = norte segundo + re _simplemente proporciona el conjunto de los dígitos de un número. Para las computadoras que no pueden calcular números enteros muy grandes, estos números simplemente se pueden imprimir o recopilar de alguna otra manera.
Tenga en cuenta que cuando t alcanza el límite p /2, el número resultante debe ser cíclico y no hay necesidad de calcular más dígitos.
Propiedades de los números cíclicos
Nota : debajo del subíndice significa base. Entonces, 142 10 significa el número 142 en base 10 y 142 5 significa el número 142 en base 5 (es decir, 47 10 ).
- Si multiplicamos un número por un primo generador, obtenemos la secuencia de dígitos ́ base −1' (9 en el caso de una base decimal). 142857 10 × 7 = 999999 10 .
- Si dividimos el número en grupos de dígitos (dos, tres, cuatro, etc. dígitos) y luego sumamos los números resultantes, obtenemos secuencias de nueves. 14 + 28 + 57 = 99 , 142 + 857 = 999 , 1428 + 5714+ 2857 = 9999 etc... (Este es un caso especial del teorema de Midi ).
- Todos los números cíclicos son divisibles por ́ base −1' (9 en caso de base decimal).
¿Cuántos números cíclicos?
El número de números cíclicos que no excede 10 n para n natural forman una secuencia (secuencia A086018 en OEIS ):
1, 9, 60, 467, 3617, 25883, 248881, 2165288, 19016617…Se ha planteado la hipótesis (aún no probada) de que existe un conjunto infinito de números cíclicos [2] . De acuerdo con la conjetura de Emil Artin [3] , esta secuencia contiene 37.395..% de números primos (para b de la secuencia A085397; secuencia A085397 en OEIS ).
Otros sistemas numéricos
Usando la técnica anterior, puede encontrar números cíclicos en otros sistemas numéricos.
En binario, la secuencia de números cíclicos comienza con: (secuencia A001122 en OEIS )
11 2 = 3 10 → 01 2 101 2 = 5 10 → 0011 2 1011 2 = 11 10 → 0001011101 2 1101 2 = 13 10 → 000100111011 2 10011 2 =19 10 → 000011010111100101 2 11101 2 =29 10 → 0000100011010011110111001011 2 100101 2 = 37 10 → 000001101110101100111110010001010011 2Ternario : ( secuencia A019334 en OEIS )
2 3 = 2 10 → 1 3 12 3 = 5 10 → 0121 3 21 3 = 7 10 → 010212 3 122 3 = 17 10 → 0011202122110201 3 201 3 =19 10 → 001102100221120122 3 1002 3 = 29 10 → 0002210102011122200121202111 3 1011 3 = 31 10 → 0002121112210202222010111001202 3En el sistema cuaternario:
(sin números cíclicos)En quinario: (secuencia A019335 en OEIS )
2 5 = 2 10 → 2 5 3 5 = 3 10 → 13 5 12 5 = 7 10 → 032412 5 32 5 = 17 10 → 0121340243231042 5 43 5 = 23 10 → 0102041332143424031123 5 122 5 = 37 10 → 003142122040113342441302322404331102 5 133 5 = 43 10 → 002423141223434043111442021303221010401333 5En hexadecimal: (secuencia A167794 en OEIS )
15 6 = 11 10 → 0313452421 6 21 6 = 13 10 → 024340531215 6 25 6 = 17 10 → 0204122453514331 6 105 6 = 41 10 → 0051335412440330234455042201431152253211 6 135 6 = 59 10 → 0033544402235104134324250301455220111533204514212313052541 6 141 6 = 61 10 → 003312504044154453014342320220552243051511401102541213235335 6 211 6 =79 10 → 002422325434441304033512354102140052450553133230121114251522043201453415503105En septenario: (secuencia A019337 en OEIS )
2 7 = 2 10 → 3 7 5 7 = 5 10 → 1254 7 14 7 = 11 10 → 0431162355 7 16 7 = 13 10 → 035245631421 7 23 7 = 17 10 → 0261143464055232 7 32 7 = 23 10 → 0206251134364604155323 7 56 7 = 41 10 → 0112363262135202250565543034045314644161 7En octal : (secuencia A019338 en OEIS )
3 8 = 3 10 → 25 8 5 8 = 5 10 → 1463 8 13 8 = 11 10 → 0564272135 8 35 8 = 29 10 → 0215173454106475626043236713 8 65 8 = 53 10 → 0115220717545336140465103476625570602324416373126743 8 73 8 = 59 10 → 0105330745756511606404255436276724470320212661713735223415 8 123 8 = 83 10 → 0061262710366576352321570224030531344173277165150674112014254562075537472464336045 8En sistema decimal:
2 9 = 2 10 → 4 9 (ningunos otros)En unix 11: (secuencia A019339 en OEIS )
2 11 = 2 10 → 5 11 3 11 = 3 10 → 37 11 12 11 = 13 10 → 093425A17685 11 16 11 = 17 10 → 07132651A3978459 11 21 11 = 23 10 → 05296243390A581486771A 11 27 11 = 29 10 → 04199534608387A69115764A2723 11 29 11 = 31 10 → 039A32146818574A71078964292536 11En duodecimal : (secuencia A019340 en OEIS )
5 12 = 5 10 → 2497 12 7 12 = 7 10 → 186A35 12 15 12 = 17 10 → 08579214B36429A7 12 27 12 = 31 10 → 0478AA093598166B74311B28623A55 12 35 12 = 41 10 → 036190A653277397A9B4B85A2B15689448241207 12 37 12 = 43 10 → 0342295A3AA730A068456B879926181148B1B53765 12 45 12 = 53 10 → 02872B3A23205525A784640AA4B9349081989B6696143757B117 12Trece: (secuencia A019341 en OEIS )
2 13 = 2 10 → 6 13 5 13 = 5 10 → 27A5 13 B 13 = 11 10 → 12495BA837 13 16 13 = 19 10 → 08B82976AC414A3562 13 25 13 = 31 10 → 055B42692C21347C7718A63A0AB985 13 2B 13 = 37 10 → 0474BC3B3215368A25C85810919AB79642A7 13 32 13 = 41 10 → 04177C08322B13645926C8B550C49AA1B96873A6 13Hexadecimal : (secuencia A019342 en OEIS )
3 14 = 3 10 → 49 14 13 14 = 17 10 → 0B75A9C4D2683419 14 15 14 = 19 10 → 0A45C7522D398168BB 14 19 14 = 23 10 → 0874391B7CAD569A4C2613 14 21 14 = 29 10 → 06A89925B163C0D73544B82C7A1D 14 3B 14 = 53 10 → 039AB8A075793610B146C21828DA43253D6864A7CD2C971BC5B5 14 43 14 = 59 10 → 03471937B8ACB5659A2BC15D09D74DA96C4A62531287843B21C80D4069 14Hexadecimal : (secuencia A019343 en OEIS )
2 15 = 2 10 → 7 15 D 15 = 13 10 → 124936DCA5B8 15 14 15 = 19 10 → 0BC9718A3E3257D64B 15 18 15 = 23 10 → 09BB1487291E533DA67C5D 15 1E 15 = 29 10 → 07B5A528BD6ACDE73949C6318421 15 27 15 = 37 10 → 061339AE2C87A8194CE8DBB540C26746D5A2 15 2B 15 = 41 10 → 0574B51C68BA922DD80AE97A39D286345CC116E4 15En hexadecimal :
(sin números cíclicos)Hexadecimal : (secuencia A019344 en OEIS )
2 17 = 2 10 → 8 17 3 17 = 3 10 → 5B 17 5 17 = 5 10 → 36DA 17 7 17 = 7 10 → 274E9C 17 B 17 = 11 10 → 194ADF7C63 17 16 17 = 23 10 → 0C9A5F8ED52G476B1823BE 17 1E 17 = 31 10 → 09583E469EDC11AG7B8D2CA7234FF6 17Hexadecimal : (secuencia A019345 en OEIS )
5 18 = 5 10 → 3AE7 18 B 18 = 11 10 → 1B834H69ED 18 1B 18 = 29 10 → 0B31F95A9GDAE4H6EG28C781463D 18 21 18 = 37 10 → 08DB37565F184FA3G0H946EACBC2G9D27E1H 18 27 18 = 43 10 → 079B57H2GD721C293DEBCHA86CA0F14AFG5F8E4365 18 2H 18 = 53 10 → 0620C41682CG57EAFB3D4788EGHBFH5DGB9F51CA3726E4DA9931 18 35 18 =59 10 → 058F4A6CEBAC3BG30G89DD227GE0AHC92D7B53675E61EH19844FFA13H7 18Hexadecimal : (secuencia A019346 en OEIS )
2 19 = 2 10 → 9 19 7 19 = 7 10 → 2DAG58 19 B 19 = 11 10 → 1DFA6H538C 19 D 19 = 13 10 → 18EBD2HA475G 19 14 19 = 23 10 → 0FD4291C784I35EG9H6BAE 19 1A 19 = 29 10 → 0C89FDE7G73HD1I6A9354B2BF15H 19 1I 19 = 37 10 → 09E73B5C631A52AEGHI94BF7D6CFH8DG8421 19En vigesimal : (secuencia A019347 en OEIS )
3 20 = 3 10 → 6D 20 D 20 = 13 10 → 1AF7DGI94C63 20 H 20 = 17 10 → 13ABF5HCIG984E27 20 13 20 = 23 10 → 0H7GA8DI546J2C39B61EFD 20 1H 20 = 37 10 → 0AG469EBHGF2E11C8CJ93FDA58234H5II7B7 20 23 20 = 43 10 → 0960IC1H43E878GEHD9F6JADJ17I2FG5BCB3526A4D 20 27 20 = 47 10 → 08A4522B15ACF67D3GBI5J2JB9FEHH8IE974DC6G381E0H 20En sistema de 21 decimales: (secuencia A019348 en OEIS )
2 21 = 2 10 → UN 21 J 21 = 19 10 → 1248HE7F9JIGC36D5B 21 12 21 = 23 10 → 0J3DECG92FAK1H7684BI5A 21 18 21 = 29 10 → 0F475198EA2IH7K5GDFJBC6AI23D 21 1A 21 = 31 10 → 0E4FC4179A382EIK6G58GJDBAHCI62 21 2B 21 = 53 10 → 086F9AEDI4FHH927J8F13K47B1KCE5BA672G533BID1C5JH0GD9J 21 38 21 = 71 10 → 06493BB50C8I721A13HFE42K27EA785J4F7KEGBH99FK8C2DIJAJH356GI0ID6ADCF1G5D 21En sistema de 22 decimales: (secuencia A019349 en OEIS )
5 22 = 5 10 → 48 HD 22 H 22 = 17 10 → 16A7GI2CKFBE53J9 22 J 22 = 19 10 → 13A95H826KIBCG4DJF 22 19 22 = 31 10 → 0FDAE45EJJ3C194L68B7HG722I9KCH 22 1F 22 = 37 10 → 0D1H57G143CAFA2872L8K4GE5KHI9B6BJDEJ 22 1J 22 = 41 10 → 0BHFC7B5JIH3GDKK8CJ6LA469EAG234I5811D92F 22 23 22 = 47 10 → 0A6C3G897L18JEB5361J44ELBF9I5DCE0KD27AGIFK2HH7 22En sistema de 23 decimales: (secuencia A019350 en OEIS )
2 23 = 2 10 → segundo 23 3 23 =3 10 → 7F 23 5 23 = 5 10 → 4DI9 23 H 23 = 17 10 → 182G59AILEK6HDC4 23 21 23 = 47 10 → 0B5K1AHE496JD4KCGEFF3L0MBH2LC58IDG39I2A6877J1M 23 2D 23 = 59 10 → 08M51CJK65AC1LJ27I79846E9H3BFME0HLA32GHCAL13KF4FDEIG8D5JB7 23 3K 23 = 89 10 → 05LG6ADG0BK9CL4910HJ2J8I21CF5FHD4327B8C3864EMH16GC96MB2DA1IDLM53K3E4KLA7H759IJKFBEAJEGI8 23En sistema de 24 decimales: (secuencia A019351 en OEIS )
7 24 = 7 10 → 3A6KDH 24 B 24 = 11 10 → 248HALJF6D 24 D 24 = 13 10 → 1L795CM3GEIB 24 H 24 = 17 10 → 19L45FCGME2JI8B7 24 17 24 = 31 10 → 0IDMAK327HJ8C96N5A1D3KLG64FBEH 24 1D 24 = 37 10 → 0FDEM1735K2E6BG54CN8A91MGKI3L9HC7IJB 24 1H 24 = 41 10 → 0E14284G98IHDB2M5KBGN9MJLFJ7EF56ACL1I3C7 24En el sistema de 25 años:
2 25 = 2 10 → C 25 (ningunos otros)Tenga en cuenta que para una base ternaria ( b = 3) el caso p = 2 da 1, que por las reglas no es un número cíclico (caso trivial, un dígito). Aquí, este caso se da para completar la teoría de que todos los números se obtienen de esta manera.
Se puede demostrar que los números cíclicos (aparte de los casos triviales de un dígito) no existen en los sistemas numéricos de base cuadrada, es decir, las bases 4, 9, 16, 25, etc.
Véase también
- fracción periódica
- El pequeño teorema de Fermat
- Permutación cíclica de dígitos de enteros
Notas
- ↑ Gardner, 2009 , pág. 114.
- ↑ 1 2 Vasilenko .
- ↑ Constante de Artin - de Wolfram MathWorld
Literatura
- S.L. Vasilenko. Patrones ocultos de formas numéricas cíclicas .
- Martín Gardner. Circo matemático: más acertijos, juegos, paradojas y otros entretenimientos matemáticos de Scientific American. Nueva York: The Mathematical Association of America, 1979. págs. 111–122.
- Martín Gardner. Los mejores juegos y acertijos matemáticos (O un verdadero circo matemático). - Moscú: AST Astrel, 2009. - S. 111–121. - ISBN 978-5-17-058244-0 ; 978-5-271-23247-3; UDC 159,9 BBK 88,37.
Lectura para leer más
- Dan Kalman. Fracciones con patrones de dígitos cíclicos // The College Mathematics Journal. - 1996. - marzo ( vol. 27 , número 2 ). — S. 109–115 .
- Juan Leslie. La filosofía de la aritmética: exhibición de una visión progresiva de la teoría y la práctica de .... . - Longman, Hurst, Rees, Orme, Brown, 1820. - ISBN 1-4020-1546-1 .
- David pozos. El Diccionario Pingüino de Números Curiosos e Interesantes . — Prensa del pingüino. — ISBN 0-14-008029-5 .
Enlaces
- Weisstein, Eric W. Cyclic Number (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
- Youtube: "Números cíclicos - Numberphile"