Polígono

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Un polígono  es una figura geométrica , generalmente definida como parte de un plano delimitado por una polilínea cerrada . Si el polígono límite no tiene puntos de auto-intersección , el polígono se llama simple [1] . Por ejemplo, los triángulos y los cuadrados son polígonos simples, pero un pentagrama no lo es.

Los puntos de ruptura de la polilínea se denominan vértices del polígono y sus enlaces se denominan lados del polígono. El número de lados del polígono es igual al número de sus vértices [2] .

Variantes de definiciones

Hay tres opciones diferentes para definir un polígono; la última definición es la más común [1] .

• Una línea quebrada plana y cerrada  es el caso más general;
• Una polilínea plana cerrada sin autointersecciones , de las cuales dos enlaces adyacentes no se encuentran en la misma línea recta;
• La parte del plano delimitada por una polilínea cerrada sin autointersecciones es un polígono plano ; en este caso, la polilínea misma se denomina contorno del polígono.

También hay varias opciones para generalizar esta definición, permitiendo un número infinito de líneas quebradas, varias polilíneas de contorno desconectadas, líneas quebradas en el espacio, segmentos arbitrarios de curvas continuas en lugar de segmentos de líneas rectas, etc. [1]

Definiciones relacionadas

• Los vértices de un polígono se llaman vecinos si son los extremos de uno de sus lados.
• Los lados de un polígono se llaman adyacentes si son adyacentes al mismo vértice.
• La longitud total de todos los lados de un polígono se llama su perímetro .
• Las diagonales son segmentos que conectan vértices no vecinos de un polígono.
• El ángulo (o ángulo interior ) de un polígono plano en un vértice dado es el ángulo entre dos lados que convergen en ese vértice. El ángulo puede exceder si el polígono no es convexo. El número de vértices de un polígono simple es igual al número de sus lados o vértices.
• El ángulo exterior de un polígono convexo en un vértice dado es el ángulo adyacente al ángulo interior del polígono en ese vértice. En el caso de un polígono no convexo , el ángulo exterior  es la diferencia entre y el ángulo interior, puede tomar valores desde hasta .
• Una perpendicular que cae del centro de la circunferencia inscrita de un polígono regular a uno de sus lados se llama apotema .

Tipos de polígonos y sus propiedades

• Un polígono con tres vértices se llama triángulo , con cuatro, un cuadrilátero , con cinco, un pentágono , y así sucesivamente. Un polígono con vértices se llama -gon .

• Un polígono convexo es un polígono que se encuentra en un lado de cualquier línea que contiene su lado (es decir, las extensiones de los lados del polígono no intersecan sus otros lados). Hay otras definiciones equivalentes de un polígono convexo . Un polígono convexo siempre es simple , es decir, no tiene puntos de auto-intersección.
• Un polígono convexo se llama regular si tiene todos los lados y todos los ángulos iguales, como un triángulo equilátero , un cuadrado y un pentágono regular . El símbolo de Schläfli de un -gon regular es .
• Un polígono que tiene todos los lados y todos los ángulos iguales, pero que tiene autointersecciones, se llama polígono regular estrellado , por ejemplo, pentagrama y octagrama .
• Se dice que un polígono está inscrito en una circunferencia si todos sus vértices pertenecen a la misma circunferencia. El círculo mismo se llama circunscrito , y su centro se encuentra en la intersección de las perpendiculares mediales a los lados del polígono. Todo triángulo está inscrito en alguna circunferencia.
• Un polígono se llama circuncircunferencia si todos sus lados tocan alguna circunferencia. El círculo mismo se llama inscrito , y su centro se encuentra en la intersección de las bisectrices de los ángulos del polígono. Todo triángulo está circunscrito a alguna circunferencia.
• Un cuadrilátero convexo se llama no circunscrito cerca de un círculo si las extensiones de todos sus lados (pero no los lados mismos) son tangentes a algún círculo. [3] El círculo se llama excírculo . También existe un excírculo para un triángulo arbitrario .

Propiedades generales

La desigualdad triangular

La desigualdad del triángulo establece que la longitud de cualquier lado de un triángulo siempre es menor que la suma de las longitudes de sus otros dos lados: . La desigualdad del triángulo inverso establece que la longitud de cualquier lado de un triángulo siempre es mayor que el módulo de la diferencia entre las longitudes de sus otros dos lados.

La desigualdad del cuadrilátero

• Desigualdad del cuadrilátero : el módulo de la diferencia de dos lados cualesquiera de un cuadrilátero no excede la suma de los otros dos lados : .
• Equivalentemente: en cualquier cuadrángulo (incluido uno degenerado) la suma de las longitudes de sus tres lados no es menor que la longitud del cuarto lado, es decir: ; ; ; .

Teorema de la suma de los ángulos de los polígonos

La suma de los ángulos interiores de un gon llano simple es [4] . La suma de los ángulos externos no depende del número de lados y siempre es igual a

Número de diagonales

• El número de diagonales de cualquier -gon es .

Área

Sea  una secuencia de coordenadas de los vértices del -gon adyacentes entre sí sin autointersecciones. Entonces su área se calcula por la fórmula de Gauss :

, donde .

Dadas las longitudes de los lados del polígono y los ángulos acimutales de los lados, entonces el área del polígono se puede encontrar usando la fórmula de Sarron [5] .

El área de un -gon regular se calcula mediante una de las fórmulas [6] :

• la mitad del producto del perímetro -gon y apotema :

• .

• 

• 

donde es la longitud del lado del polígono, es el radio de la circunferencia circunscrita, es el radio de la circunferencia inscrita.

Cuadratura de figuras

Con la ayuda de un conjunto de polígonos, se determina el cuadrado y el área de una figura arbitraria en el plano. Una figura se llama cuadratura si para alguna hay un par de polígonos y , tal que y , donde denota el área .

Variaciones y generalizaciones

• Un poliedro  es una generalización de un polígono de dimensión tres, una superficie cerrada compuesta de polígonos, o un cuerpo delimitado por ella.

Notas

1. ↑ 1 2 3 Polygon // Enciclopedia matemática (en 5 volúmenes) . - M .: Enciclopedia soviética , 1982. - T. 3. - S. 749-752.
2. ↑ 1 2 3 Matemáticas elementales, 1976 , p. 383-384.
3. ↑ Kartaslov.ru
4. ↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 499.
5. ↑ Khrenov L. S. Calcular las áreas de polígonos usando el método de Sarron Copia de archivo del 19 de julio de 2020 en Wayback Machine // Mathematical Education. 1936. Número 6. S. 12-15
6. ↑ Matemáticas elementales, 1976 , p. 503-504.

Literatura

• Zaitsev V. V., Ryzhkov V. V., Skanavi M. I. Matemáticas elementales. Repetir curso. - Tercera edición, estereotipada. — M .: Nauka, 1976. — 591 p.

Enlaces

• Weisstein, Eric W. Polygon  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .

polígonos
Por número de lados	monógono Grande en Triángulo Cuadrilátero Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono Decágono Endecágono Dodecágono Trece tetradecágono Pentágono Hexágono De diecisiete octágono Diecinueveagón Dodecágono Veintiún lados Veintidós ángulo veintetrigon veinte cuadrangular Veinte pentágono Veinte octágono Tridecágono Thirty-Biagon Cuarenta cuadrados Cuarenta bicagón pentecostal pentecostal Hexágono Sesenta y cuatro heptágono octágono nonágono [ es Millagón Diezmil-gon cienmilésima Milliogon infinito
correcto	convexo Triángulo Cuadrado Pentágono Hexágono Heptágono Octágono pentágono tetradecágono De diecisiete 257-gon 65537-gon 4294967295-gon estrellado Pentagrama hexagrama Heptagrama Octagrama ( Estrella de Lakshmi ) Eneagrama Decagrama Endecagrama dodecagrama
triangulos	Isósceles Derecha Rectangular
cuadriláteros	inscrito descrito no descrito Paralelogramo antiparalelogramo Rectángulo rectángulo dorado Rombo Romboidal Trapecio Deltoides Cuadrado unidad cuadrada lamberto saccheri
ver también	Lista de polígonos Punto perteneciente a un polígono Teorema de Bolyai-Gervin Teorema de Brahmagupta Teorema de Gauss-Wanzel Fórmula pico Teorema de la suma de los ángulos del polígono Relación Bretschneider

Símbolo Schläfli
polígonos	{una} {2} {3} {cuatro} {5} {6} {7} {ocho} {9} {diez} {once} {12} {catorce} {quince} {17} {Dieciocho} {veinte} {treinta} {51} {257} {65537} {4294967295} {∞}
polígonos estrella	{5/2} {6/2} {7/2} {7/3} {8/2} {8/3} {9/2} {9/3} {9/4}
Parqués planos _	{3,6} {4,4} {6,3}
Poliedros regulares y parquets esféricos	{2, n } {3,3} {4,3} {3,4} {5,3} {3,5} { n ,2}
Poliedros de Kepler-Poinsot	{5/2.5} {5.5/2} {5/2,3} {3.5/2}
panales	{4,3,4}
Poliedros de cuatro dimensiones	{3,3,3} {4,3,3} {3,3,4} {3,4,3} {5,3,3} {3,3,5}

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En catálogos bibliográficos	BNF : 12266998h TIERRA : 4175197-8 J9U : 987007563260005171 LCCN : sh85104637 NKC : ph327599