Figuras inscritas y circunscritas para un triángulo.

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Un componente importante de la geometría de un triángulo es la teoría de figuras y curvas inscritas en un triángulo o descritas alrededor de él: círculos , elipses y otros.

Círculos inscritos y circunscritos de un triángulo

Círculos que pasan por los vértices de un triángulo

• El círculo circunscrito (ver la figura de la izquierda) es un círculo que pasa por los tres vértices del triángulo. La circunferencia circunscrita es siempre única a menos que el triángulo esté degenerado de una manera especial, es decir, dos de sus tres vértices no coincidan.

• Círculo de Johnson : cualquiera de los tres círculos (ver figura a la derecha) que pasa por dos vértices del triángulo y por su ortocentro . Los radios de los tres círculos de Johnson son iguales. Los círculos de Johnson son círculos circunscritos de triángulos hamiltonianos que tienen dos vértices de un triángulo acutángulo dado como dos vértices y cuyo ortocentro es un tercer vértice .

Círculos que tocan los lados de un triángulo o sus extensiones

• El círculo inscrito (ver la figura de la derecha) es un círculo tangente a los tres lados del triángulo. Ella es la única. El centro de la circunferencia inscrita se llama incentro .
  • Los segmentos de línea que conectan los puntos tangentes del círculo inscrito con los vértices se cortan en un punto, llamado punto de Gergonne . El punto de Gergonne es isotómicamente conjugado con el punto de Nagel (ver más abajo).
• Un excírculo (ver la figura de la derecha) es un círculo tangente a un lado de un triángulo y la extensión de los otros dos lados. Hay tres círculos de este tipo en un triángulo. Su centro radical es el centro de la circunferencia inscrita del triángulo mediano , llamado centro de Spieker o punto de Spieker .
  • Los segmentos de recta que conectan los vértices con los puntos tangentes de las excircunferencias con los vértices se cortan en un punto, llamado punto de Nagel .

• Los tres círculos del triángulo de Malfatti (ver figura a la derecha). Cada uno de estos toca dos lados del triángulo y otros dos círculos de Malfatti .
  • Si dibuja tres líneas rectas que conectan el centro de cada círculo de Malfatti con el punto de contacto entre los otros dos, se cruzarán en un punto: en el punto de Ajima-Malfatti (Ajima-Malfatti) [1] .

• Tres círculos semi-inscritos o círculos de Verrier (ver la figura de la izquierda). Cada uno de ellos toca dos lados del triángulo y el circuncírculo internamente .
  • Los segmentos de línea que conectan los vértices del triángulo y los puntos de tangencia correspondientes de los círculos de Verrier con el circuncírculo se cruzan en un punto, llamado punto de Verrier . Sirve como el centro de la homotecia G , que asigna el círculo circunscrito al incírculo (consulte la figura gris a continuación).

• Lema de Verrier [2] . Los puntos de tangencia de los círculos de Verrier (semicírculos) con los lados se encuentran en una línea recta que pasa por el centro del círculo inscrito ( incentro ) (Ver figura gris a continuación).

Radios de circunferencias inscritas y circunscritas

Las siguientes fórmulas incluyen los radios de los círculos R circunscritos y R inscritos :

,

donde está el semiperímetro del triángulo, h a , etc., las alturas dibujadas a los lados correspondientes; [3] :p.70

[cuatro]

y

.

El producto de dos lados de un triángulo es igual al producto de la altura por el tercer lado multiplicado por el diámetro del círculo circunscrito. [3] :p.64 :

.

• Si la mediana m , la altura h y la bisectriz interna t salen del mismo vértice del triángulo, alrededor del cual se circunscribe una circunferencia de radio R , entonces [3] :p.122,#96

Círculos que se tocan entre sí dentro de un triángulo

• Tres círculos de Malfatti se tocan de dos en dos dentro del triángulo. (véase más arriba)
• La circunferencia de nueve puntos o circunferencia de Euler es tangente a la circunferencia interior del triángulo en el punto de Feuerbach .

Círculos que son mutuamente tangentes fuera de un triángulo

• Tres círculos de Verrier son tangentes al círculo circunscrito fuera del triángulo.
• El círculo de nueve puntos o círculo de Euler es tangente a tres excírculos fuera del triángulo de manera externa ( teorema de Feuerbach , ver figura).

• El círculo de Apolonio toca internamente tres excírculos fuera del triángulo (ver figura)

• Los tres círculos de Johnson (ver arriba) son tangentes externamente al círculo anti-complementario (rojo en la figura de la derecha arriba, radio 2r) del triángulo ΔABC. Los centros de los círculos de Johnson se encuentran en los segmentos (naranja) que conectan el punto común de intersección de las alturas H y los puntos de contacto de estos tres círculos con el círculo anticomplementario. . Estos puntos de contacto forman un triángulo anticomplementario o (lo que es lo mismo) anticomplementario (verde en la figura de arriba).

Otros círculos

• Los centros de los círculos circunscritos de los seis triángulos en los que el triángulo está dividido por las medianas se encuentran en un círculo, que se llama círculo de Lamun .

• Si desde cada vértice colocamos triángulos en líneas rectas que contienen lados, segmentos de igual longitud que los lados opuestos, entonces los seis puntos resultantes se encuentran en un círculo: el círculo de Conway .

Círculos que intersecan los lados de un triángulo

• El círculo de nueve puntos es un círculo que pasa por los puntos medios de los tres lados de un triángulo y por las tres bases de sus alturas.
• La circunferencia de Taylor es una circunferencia que pasa por seis puntos en forma de seis proyecciones de las tres bases de las alturas del triángulo, cortando cada lado, sobre los dos lados restantes.

Definición de la perspectiva de una cónica

• En un triángulo se pueden inscribir infinitas cónicas ( elipses , parábolas o hipérbolas ).
• Si una cónica arbitraria se inscribe en un triángulo y los puntos de contacto se conectan a vértices opuestos, las líneas resultantes se intersecarán en un punto, llamado perspectiva de la cónica .
• Para todo punto del plano que no esté sobre un lado o sobre su prolongación, existe una cónica inscrita con perspectiva en ese punto [5] .

Elipses de un triángulo

Definición de una elipse de Steiner inscrita

• En un triángulo se pueden inscribir un número infinito de elipses . Además, los focos de cada una de las elipses inscritas son conjugados isogonalmente.
• Una sola elipse se puede inscribir en un triángulo que toca los lados en sus puntos medios. Tal elipse se llama elipse de Steiner inscrita (su perspectiva será el baricentro del triángulo) [6] .
• "Determinación de la perspectiva de una cónica " (incluyendo la cónica-elipse) véase más arriba.

Definición de la elipse circunscrita de Steiner

• Un número infinito de elipses se pueden circunscribir alrededor de un triángulo .
• Cerca de un triángulo se puede describir una sola elipse , que es tangente a las rectas que pasan por los vértices y paralela a los lados. Tal elipse se llama elipse de Steiner circunscrita .
• Los focos de la elipse de Steiner descrita se denominan puntos de Skutin .
• Los cevianos dibujados a través de los focos de la elipse circunscrita de Steiner ( puntos de Skutin ) son iguales ( teorema de Skutin )

Transformación afín de la elipse de Steiner

• Si por una transformación afín ("sesgo") traducimos un triángulo escaleno arbitrario en un triángulo regular , entonces sus elipses de Steiner inscritas y circunscritas irán a los círculos inscritos y circunscritos [7] .

Elipse de Brocard

• Una elipse con focos en los puntos de Brocard se llama elipse de Brocard . Su perspectiva es el punto de Lemoine [8] .

Ellipse Mandart (Mandart en elipse)

• Elipse Mandart (o Mandara) del triángulo ABC - una elipse inscrita en un triángulo, tocando sus lados en los puntos de contacto con los excírculos (en los vértices del triángulo de Nagel ) (ver figura a la derecha).
• El círculo descrito alrededor del triángulo de Nagel T A T B T C se llama círculo de Mandart (un caso especial de la elipse de Mandart ).

Elipse de Johnson

• Seis puntos, los vértices del triángulo de referencia y los vértices de su triángulo de Johnson , se encuentran en la elipse de Johnson (fig. a la izquierda), que tiene un centro en el centro de nueve puntos y el punto X (216) de la referencia el triángulo es su punto de perspectiva . La elipse circunscrita y el círculo circunscrito tienen cuatro puntos comunes: tres vértices del triángulo de referencia y el punto X (110).

La relación para una elipse arbitraria inscrita en un triángulo

Si una elipse arbitraria está inscrita en el triángulo ABC y tiene focos P y Q , entonces la relación [9] es válida para ella :

Parábolas inscritas en un triángulo

• En un triángulo se pueden inscribir un número infinito de parábolas .

• Las perspectivas de las parábolas inscritas en el triángulo se encuentran en la elipse de Steiner descrita (ver arriba) [10] . El foco de la parábola inscrita se encuentra en el círculo circunscrito y la directriz pasa por el ortocentro [11] .

Parábola de Kiepert

Una parábola inscrita en un triángulo con la directriz de la línea de Euler se llama parábola de Kiepert . Su perspectiva  es el cuarto punto de intersección del círculo circunscrito y la elipse circunscrita de Steiner , llamado punto de Steiner .

Hipérbolas circunscritas a un triángulo

• Cerca de un triángulo, se pueden describir infinitas hipérbolas .
• Si la hipérbola descrita cerca del triángulo pasa por el punto de intersección de las alturas, entonces es equilátera (es decir, sus asíntotas son perpendiculares) [12] . El punto de intersección de las asíntotas de una hipérbola equilátera se encuentra en el círculo de nueve puntos [12] .

La hipérbole de Cypert

• Una hipérbola de Kiepert es una hipérbola circunscritaque pasa por un baricentro y un ortocentro . Si construye triángulos isósceles similares en los lados del triángulo (hacia afuera o hacia adentro) y luego conecta sus vértices a los vértices opuestos del triángulo original, entonces tres de esas líneas se intersecarán en un punto, que se encuentra en la hipérbola de Kiepert . En particular, en esta hipérbola se encuentran los puntos de Torricelli y los puntos de Napoleón (puntos de intersección de Cevian que conectan los vértices con los centros de triángulos regulares construidos en lados opuestos) [13] .

La hipérbole de Enzhabek

• Una hipérbola de Enzhabek es una hipérbola circunscrita que pasa por el ortocentro y el punto de Lemoine . El centro del círculo circunscrito se encuentra en él .

Hipérbola de Feuerbach y punto de Feuerbach

• Una hipérbola de Feuerbach es una hipérbola circunscrita que pasa por el ortocentro y el centro de la circunferencia inscrita . Su centro se encuentra en el punto de Feuerbach . Los círculos de poder y ceviano de puntos en una hipérbola de Feuerbach pasan por un punto de Feuerbach .
• En particular, un círculo pasa por el punto de Feuerbach , dibujado a través de las bases de las bisectrices . [catorce]

Cónica de nueve puntas

La cónica de nueve puntos de un cuadrilátero completo es una sección cónica que pasa por tres puntos diagonales y seis puntos medios de los lados de un cuadrilátero completo. En la fig. la cónica de Bocher para cuatro puntos de un cuadrilátero completo se muestra como tres vértices de un triángulo y un punto independiente:

Sean dados un triángulo ABC y un punto P en el plano. Una sección cónica se puede dibujar a través de los siguientes nueve puntos: los puntos medios de los lados del triangulo ABC , los puntos medios de los segmentos que conectan P con los vértices del triángulo, los puntos donde estas líneas que pasan por P y los vértices del triángulo se cruzan con los lados del triángulo.

• El famoso círculo de nueve puntos es un ejemplo de una cónica de Bocher .

Cubos

• Catálogo de Triángulos Cúbicos) es un recurso en línea que contiene información detallada sobre más de 1200 curvas cúbicas en el plano del triángulo de referencia. El recurso es mantenido por Bernard Gilbert. A cada dado en el recurso se le asigna un número de identificación único de la forma "Knnn", donde "nnn" representa tres dígitos. El número de identificación de la primera entrada en el directorio es "K001", que es el cubo de Neuberg del triángulo de referencia ABC. El catálogo contiene, entre otras cosas, la siguiente información sobre cada uno de los cubos que se relacionan a continuación:
• Ecuación de la curva baricéntrica
• Lista de centros de triángulos que se encuentran en una curva
• Puntos singulares en una curva que no son centros triangulares
• Propiedades geométricas de una curva
• Propiedades del lugar geométrico de la curva
• Otras propiedades de curvas especiales
• Otras curvas relacionadas con la curva cúbica
• Un montón de figuras limpias y ordenadas que ilustran varias propiedades.
• Referencias bibliográficas de Curve

• Un cubo (curva cúbica ) es una curva de tercer orden (dada por una ecuación de tercer grado). Muchos de los cubos maravillosos asociados con un triángulo se construyen de la siguiente manera: se fija un punto en el plano (posiblemente en el infinito). Entonces el conjunto de puntos tal que la recta pasa por este punto es un cubo circunscrito a un triángulo (aquí , un punto isogonalmente conjugado a ). Dichos cubos también pasan por los centros de las circunferencias inscritas y excircunferencias, así como por el propio punto fijo y su conjugado isogonal [15] .

• El cubo de Darboux se obtiene fijando un punto simétrico al ortocentro con respecto al centro de la circunferencia circunscrita. Pasa por los puntos: incentro , ortocentro , centro de la circunferencia circunscrita, punto de Longchamps X(20), otros puntos, y también por los vértices A, B, C, por los centros de las excircunferencias, por las antípodas de los vértices A, B, C en el círculo circunscrito. Pasa por el ortocentro y el centro de la circunferencia circunscrita. En la lista , el cubo en el plano del triángulo de Gibert (Bernard Gibert) del cubo de Darboux aparece como K004 [16] .
• Cubo de Lucas . Pasa por los puntos: baricentro , ortocentro , punto de Gergonne , punto de Nagel , punto de Longchamp , vértices del triángulo anticomplementario y por los focos de la elipse de Steiner descrita y otros. En la lista , el cubo en el plano del triángulo del cubo de Lucas aparece como K007 [17] .
• El cubo de McKay se obtiene si tomamos como punto fijo el centro de la circunferencia circunscrita. También pasa por el ortocentro y el centro de la circunferencia circunscrita.
• Cubo de Napoleón-Feuerbach . Pasa por los puntos: incentro , ortocentro , centro de la circunferencia circunscrita, punto de Gergonne , punto de Nagel , punto de Longchamp , primer y segundo punto de Napoleón , otros puntos, así como por los vértices A, B, C, así como por el centros de excírculos, proyecciones centroides a las alturas, los centros de seis triángulos equiláteros construidos sobre los lados del triángulo ABC (externamente o internamente). En la lista , el cubo en el plano del triángulo del cubo de Napoleón-Feuerbach aparece como K005 [18] .
• El cubo de Neuberg es el conjunto de puntos tal que es la recta de Euler (su punto en el infinito es fijo). Hay más de 15 puntos notables en este cubo, en particular, los puntos de Torricelli, Apolonio, el ortocentro, el centro del círculo circunscrito, los vértices de triángulos regulares construidos en los lados (externa o internamente), puntos simétricos al vértices con respecto a los lados, dos puntos de Fermat , dos puntos isodinámicos , el punto infinito de Euler, así como los centros de las circunferencias inscritas y excircunferencias que se encuentran en todos los cubos. En la lista , el cubo en el plano del triángulo del cubo de Neuberg aparece como K001 [19] .
• El Cubo de Thomson se obtiene eligiendo un baricentro como punto fijo. El cubo de Thomson pasa por el baricentro, el punto de Lemoine, el ortocentro, el centro de la circunferencia circunscrita, los puntos medios de los lados y los puntos medios de las alturas de los vértices A, B, C, por los centros de las excircunferencias. En la lista , el cubo en el plano del triángulo del cubo de Thomson aparece como K002 [20] .
• El primer cubo de Brocard . Pasa por los puntos: baricentro , punto de Lemoine , punto de Steiner X(99), dos puntos isodinámicos , punto de Parry y otros, así como por los vértices del 1° y 3° triángulos de Brocard. En la lista de cubos en el plano de un triángulo, el primer cubo de Brocard aparece como K017 [21] .
• El segundo cubo de Brocard . Pasa por puntos: baricentro , punto de Lemoine , dos puntos de Fermat , dos puntos isodinámicos , punto de Parry y otros, así como por los vértices del 2° y 4° triángulos de Brocard. En la lista de cubos en el plano de un triángulo, el segundo cubo de Brocard aparece como K018 [22] .
• El primer cubo de áreas iguales (1º cúbico de áreas iguales) . Pasa por puntos: incentro , punto de Steiner X(99), primer y segundo puntos de Brocard , centros de excircunferencias del triángulo. En la lista de cubos en el plano de un triángulo, el primer cubo de áreas iguales aparece como K021 [23] .
• El segundo cubo de áreas iguales (2º cúbico de áreas iguales) . Pasa a través de puntos: incentro , otros puntos, y también a través de los siguientes puntos en la notación de la Enciclopedia Clark Kimberling de Centros de Triángulos : X(31), X(105), X(238), X(292), X(365) , X(672), X(1453), X(1931), X(2053) y otros. En la lista de un cubo en el plano de un triángulo, el segundo cubo de áreas iguales aparece como K155 [24] .
• Hay dos curvas cúbicas interesantes descritas en la literatura , que pasan por los vértices del triángulo de apoyo y su triángulo de Johnson , así como por el centro de la circunferencia circunscrita , el ortocentro y el centro de nueve circunferencias :
  • La primera curva se conoce como la curva de Musselmann - K026 . Esta curva también pasa por los vértices del triángulo mediano y el triángulo mediano del triángulo de Johnson .
  • La segunda curva se conoce como la curva central de Euler - K044 . Esta curva también pasa por seis puntos: las bases de las alturas y las bases de las alturas del triángulo de Johnson .

Polígonos inscritos en un triángulo dado

Triángulos inscritos en un triángulo dado

• Un triángulo con vértices en las bases de tres cevianos dibujados a través de un punto dado se llama el triángulo ceviano de ese punto.
• Un triángulo con vértices en las proyecciones de un punto dado sobre los lados se llama triángulo subdérmico o pedal de este punto.
• Un triángulo con vértices en los segundos puntos de intersección de rectas trazadas por los vértices y un punto dado, con una circunferencia circunscrita, se denomina triángulo circunferencial-ceviano . Teorema : un triángulo circunferencial-ceviano es similar a uno subdérmico [25] .
• El triángulo de las bases de las medianas A′B′C′ de un triángulo dado ABC , es decir, un triángulo cuyos vértices son los puntos medios de los lados del triángulo ABC , se llama adicional , o punto medio , para este triángulo.
• Un ortotriángulo es un triángulo cuyos vértices están en las bases de las alturas del triángulo. Los lados de un ortotriángulo son antiparalelos a los lados correspondientes del triángulo dado.
• El triángulo excírculo tangente para el triángulo ABC (a veces llamado triángulo de Nagel ) está definido por los vértices T A , T B y T C , que son los puntos tangentes de los excírculos con los lados correspondientes del triángulo ABC . Por ejemplo, el punto T A es opuesto al lado A , etc.
• El triángulo de Gergonne para el triángulo ABC está definido por los vértices T A , T B y T C , que son los puntos tangentes de la circunferencia inscrita con los lados correspondientes del triángulo ABC . El triángulo de Gergonne T A T B T C también se conoce como el triángulo tangencial del triángulo ABC .
• En cualquier triángulo ABC se pueden inscribir 2 triángulos con 3 lados paralelos a las 3 mediatrices del triángulo ABC. Estos triángulos tienen un círculo común del tipo círculo de Euler, es decir, 6 de sus vértices se encuentran en 1 círculo. [26]

Triángulos circunscritos a un triángulo de referencia dado

• El triángulo A″B″C″ cuyos lados pasan por los vértices del triángulo ABC y son paralelos a sus lados opuestos se llama anticomplementario para el triángulo ABC dado .
• Si describimos un círculo alrededor de un triángulo acutángulo dado ∆ ABC y dibujamos líneas tangentes al círculo en tres vértices del triángulo, entonces la intersección de estas líneas forma el llamado triángulo tangencial Δ A′B′C′ con respecto al triángulo dado Δ ABC . Los lados del triángulo tangencial Δ A′B′C′ son antiparalelos a los lados opuestos correspondientes del triángulo dado y paralelos a los lados correspondientes del ortotriángulo .
• Si fuera de un triángulo dado ∆ ABC , tres de sus bisectrices exteriores pasan por sus vértices, entonces se intersecarán en los tres centros de las excircunferencias, formando un triángulo de tres bisectrices exteriores .

Otros triángulos dentro del triángulo de referencia dado

• Tres segmentos de línea que conectan el ortocentro con los vértices de un triángulo agudo lo dividen en tres triángulos de Hamilton que tienen radios iguales de los círculos circunscritos.
• El triángulo de Euler o triángulo de Feuerbach es un triángulo cuyos vértices son los puntos medios de tres segmentos que conectan el ortocentro y sus vértices.

Cuadrados inscritos en un triángulo de referencia dado

Cada triángulo acutángulo tiene tres cuadrados inscritos (los cuadrados están inscritos en él de tal manera que los cuatro vértices del cuadrado están en lados diferentes del triángulo, de modo que dos de ellos están en el mismo lado y, por lo tanto, uno lado del cuadrado coincide con parte de un triángulo, y los dos vértices restantes del cuadrado tocan los dos lados restantes del triángulo de referencia). En un triángulo rectángulo, dos de estos cuadrados coinciden y tienen dos lados que emergen de un vértice con un ángulo recto del triángulo, y el cuarto vértice de dos de esos cuadrados coincidentes se encuentra en el punto medio de la hipotenusa. Otro tipo de cuadrado inscrito en un triángulo rectángulo tiene un lado y dos de sus vértices que descansan sobre la hipotenusa, y los dos vértices restantes del cuadrado descansan sobre catetos diferentes del triángulo rectángulo. Por lo tanto, un triángulo rectángulo tiene solo dos tipos diferentes de cuadrados inscritos. Un triángulo obtuso tiene un solo cuadrado inscrito, con un lado que coincide con parte del lado más largo del triángulo. Dentro de un triángulo dado, el lado más largo del triángulo contiene por completo uno de los lados del cuadrado inscrito. Si el cuadrado inscrito tiene un lado de longitud q a , y uno de sus lados está enteramente en el lado de un triángulo de longitud a ; la altura caída hacia este lado es h a , y el área del triángulo es S , entonces según [27] [28]

Hexágonos inscritos en un triángulo de referencia dado

• El primer (segundo) hexágono de Lemoine es un hexágono alrededor del cual se puede circunscribir un círculo. Sus vértices son los seis puntos de intersección de los lados de un triángulo con tres rectas paralelas (respectivamente: antiparalelas) a los lados y que pasan por su punto de Lemoine. En cualquier triángulo, el primer (segundo) hexágono de Lemoine está dentro de un triángulo con tres pares de vértices que se encuentran en pares a cada lado del triángulo.
• El hexágono de Euler es un hexágono alrededor del cual se puede circunscribir un círculo ( círculo de Euler ). Sus vértices son seis puntos: tres bases de las medianas y tres bases de las alturas de este triángulo de referencia.

Véase también

• Excluir
• Cuadrilátero no circunscrito
• círculo inscrito
• Sección cónica inscrita
• La esfera inscrita es una generalización del círculo inscrito.
• Altura del triángulo
• Glosario de planimetría
• Maravillosos triángulos rectos
• Puntos notables del triángulo.
• Incentro o Centro de la circunferencia inscrita
• Circulo
• círculo circunscrito
• Cuadrilátero circunscrito
• Ortocentro
• Grado de un punto relativo a un círculo
• teorema de la mansión
• teorema del tridente
• Teorema de Tebo 2 y 3
• teorema de harcourt
• Puntos de Apolonio
• Centroide
• Centroide del triángulo
• Elipse Mandart
• Elipse Steiner

Notas

1. ↑ Punto Ajima-Malfatti . Consultado el 22 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 5 de agosto de 2015. (indefinido)
2. ↑ Efremov D. Nueva geometría de un triángulo . - Odessa, 1902. - S. 130. - 334 p.
3. ↑ 1 2 3 Altshiller-Court, Nathan, College Geometry , Dover, 2007.
4. ↑ Longuet-Higgins, Michael S., "Sobre la razón del inradio al circunradio de un triángulo", Mathematical Gazette 87, marzo de 2003, 119-120.
5. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria.- 2011. - S. 108.
6. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria - 2011. - Pág. 54.
7. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria - 2011. - Pág. 55.
8. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., suplemento.. - 2011. - Pág. 50.
9. ↑ Allaire, Patricia R.; Zhou, Jun Min; y Yao, Haishen, "Demostración de la identidad de una elipse del siglo XIX", Mathematical Gazette 96, marzo de 2012, 161-165.
10. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria - 2011. - Pág. 110.
11. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria.- 2011. - S. 27-28.
12. ↑ 1 2 Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., complementada.. - M. : MTSNMO , 2011. - 148 p. - ISBN 978-5-94057-732-4 .
13. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria.- 2011. - S. 125-126.
14. ↑ Akopyan A. V. , Zaslavsky A. A. . Propiedades geométricas de curvas de segundo orden. - 2ª ed., Complementaria - 2011. - S. 105.
15. ↑ Prasolov V.V. Tareas en planimetría. — M. : MTsNMO , 2004.
16. ↑ K004 en Cubics in the Triangle Plane de Berhard Gibert // . Consultado el 22 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2008. (indefinido)
17. ↑ K007 en Cubics in the Triangle Plane de Berhard Gibert // . Consultado el 22 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 18 de septiembre de 2008. (indefinido)
18. ↑ K005 en Cubics in the Triangle Plane de Berhard Gibert // . Consultado el 22 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 1 de junio de 2010. (indefinido)
19. ↑ K001 en Cubics in the Triangle Plane de Berhard Gibert // (enlace no disponible) . Consultado el 22 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 20 de agosto de 2009. (indefinido) 
20. ↑ K002 en Cubics in the Triangle Plane de Berhard Gibert // . Consultado el 22 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 22 de octubre de 2009. (indefinido)
21. ↑ K017 en Cubics in the Triangle Plane de Berhard Gibert // . Consultado el 22 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2008. (indefinido)
22. ↑ K018 en Cubics in the Triangle Plane de Berhard Gibert // . Consultado el 22 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2008. (indefinido)
23. ↑ K021 en Cubics in the Triangle Plane de Berhard Gibert // . Consultado el 22 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2008. (indefinido)
24. ↑ K155 en Cubics in the Triangle Plane de Berhard Gibert // . Consultado el 22 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 20 de septiembre de 2008. (indefinido)
25. ↑ Sistema de problemas de geometría por R. K. Gordin. Tarea 6480 . Consultado el 23 de mayo de 2016. Archivado desde el original el 4 de marzo de 2016. (indefinido)
26. ↑ Dmitri Efremov . Nueva geometría triangular Archivado el 25 de febrero de 2020 en Wayback Machine . - Odessa, 1902. - S. 26. Capítulo I. Ejercicios. p.33
27. ↑ Bailey, Herbert y DeTemple, Duane, "Cuadrados inscritos en ángulos y triángulos", Mathematics Magazine 71(4), 1998, 278–284.
28. ↑ Victor Oxman y Moshe Stupel, "¿Por qué las longitudes de los lados de los cuadrados inscritos en un triángulo están tan cerca unas de otras?", Forum Geometricorum 13 (2013) 113–115. http://forumgeom.fau.edu/FG2013volume13/FG201311index.html Archivado el 9 de diciembre de 2017 en Wayback Machine .

Literatura

• Hadamard J. Geometría elemental. Parte 1: Planimetría. ed. 4, Moscú: Uchpedgiz, 1957. 608 p.
• Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas elementales. — M .: Nauka, 1978.
  • Reedición: M.: AST, 2006, ISBN 5-17-009554-6 , 509 p.
• Efremov D. Nueva geometría triangular . - Odessa, 1902. - 334 p.
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Triángulo
tipos de triangulos	Rectangular Isósceles Equilátero Isósceles rectangular
Líneas maravillosas en un triángulo .	Mediana Altura Bisectriz medioperpendicular linea intermedia Circunferencias circunscritas e inscritas recta de simson línea de Euler Simediana Cheviana
Puntos notables del triángulo.	Ortocentro Centroide En el centro punto brocard punto de vecten Punta Gergonne punto limón punto miquel punto de Nagel puntos napoleón Puntos de Torricelli Centro del círculo de nueve puntos Centro Spieker Enciclopedia de Centros de Triángulos
Teoremas básicos	desigualdad triangular Signos de semejanza de triángulos resolver triángulos Teorema del ángulo exterior del triángulo Teorema de la suma de los ángulos del triángulo Teorema de pitágoras teorema del coseno teorema del seno El teorema de la proyección fórmula de garza
Teoremas adicionales	teorema de van obel Teorema de Menelao Teorema de Reuschle (Terkema) teorema de Stewart Teorema de la tangente teorema de la cotangente teorema de ceva Fórmulas de Mollweide
generalizaciones	triángulo esférico triángulo hiperbólico símplex