Parqué hexagonal

mosaico hexagonal
Tipo de	Mosaico correcto
figura de vértice	6.6.6 (6 3 )
Símbolo Schläfli	{6,3} y {3,6}
Símbolo de Wythoff	3 | 6 2 2 6 | 3 3 3 3 |
Gráfico de Coxeter
grupo de simetría	p6m , [6,3], (*632)
Simetría rotacional	p6 , [6,3] + , (632)
Azulejos dobles	mosaico triangular
Propiedades	Vertex-transitive , Edge-transitive , face-transitive

El parquet hexagonal ( parquet hexagonal [1] ) o mosaico hexagonal es un mosaico de un plano con hexágonos regulares iguales ubicados uno al lado del otro.

El mosaico hexagonal es el dual del mosaico triangular : si conecta los centros de los hexágonos adyacentes, los segmentos dibujados formarán un mosaico triangular [1] [2] . El símbolo de Schläfli de un parquet hexagonal es {6,3} (lo que significa que tres hexágonos convergen en cada vértice del parquet), o t {3,6} si el mosaico se considera un mosaico triangular truncado.

El matemático inglés Conway llamó al embaldosado hextille (seis-parquet).

El ángulo interior de un hexágono es de 120 grados, por lo que tres hexágonos en el mismo vértice suman 360 grados. Este es uno de los tres mosaicos planos regulares . Los otros dos mosaicos son parquet triangular y parquet cuadrado .

Aplicaciones

El teselado del plano con hexágonos regulares es la base del ajedrez hexagonal y otros juegos sobre tablero de ajedrez , polihexágonos , variantes del modelo Life y otros autómatas celulares bidimensionales , flexágonos de anillos , etc.

El mosaico hexagonal es la forma más densa de empaquetar círculos en el espacio 2D. La conjetura del panal que un mosaico hexagonal es la mejor manera de dividir una superficie en áreas de igual área con el perímetro total más pequeño. Lord Kelvin exploró la estructura tridimensional óptima para los panales (más bien pompas de jabón) , quien creía que la estructura de Kelvin (o red cúbica centrada en el cuerpo ) era óptima. Sin embargo, la estructura Waeaire-Phelan menos regular es ligeramente mejor.

Esta estructura existe en la naturaleza en forma de grafito , donde cada capa de grafeno se asemeja a una malla de alambre, donde el papel del alambre lo juegan fuertes enlaces covalentes. Se han sintetizado láminas tubulares de grafeno y se conocen como nanotubos de carbono . Tienen muchas aplicaciones potenciales debido a su alta resistencia a la tracción y propiedades eléctricas. El siliceno es similar al grafeno .

• El empaque más denso de círculos tiene una estructura similar a un teselado hexagonal.

• Red para pollitos

• Grafeno

• Los nanotubos de carbono se pueden ver como un mosaico hexagonal en una superficie cilíndrica

El mosaico hexagonal aparece en muchos cristales. En el espacio 3D, a menudo se encuentran en los cristales una estructura cúbica centrada en las caras y una estructura compacta hexagonal . Son las esferas más densas en el espacio 3D. Estructuralmente, consisten en capas paralelas de un mosaico hexagonal similar a la estructura del grafito. Difieren en el tipo de cambio de nivel entre sí, mientras que la estructura cúbica centrada en las caras es más correcta. El cobre puro , entre otros materiales, forma una red cúbica centrada en las caras.

Coloraciones uniformes

Hay tres colores uniformes diferentes del mosaico hexagonal, todos obtenidos de la simetría especular de las construcciones de Wythoff . La entrada ( h , k ) representa una repetición periódica de un mosaico coloreado con distancias hexagonales h y k .

k-homogéneo	1- homogéneo			2- homogéneo		3- homogéneo
Simetría	p6m, (*632)		p3m1, (*333)	p6m, (*632)		p6, (632)
Imagen
Colores	una	2	3	2	cuatro	2	7
(h,k)	(1.0)	(1.1)		(2.0)		(2.1)
Schläfli	{6,3}	{3,6}	t{3 [3] }
Wiethoff	3 | 6 2	2 6 | 3	3 3 3 |
coxeter
Conway	H	tΔ		CH

Un mosaico de 3 colores está formado por un poliedro de permutación de orden 3.

Baldosas hexagonales achaflanadas

Al achaflanar un mosaico hexagonal, se reemplazan los bordes con nuevos hexágonos y se convierte en otro mosaico hexagonal. En el límite, las caras originales desaparecen y los nuevos hexágonos se convierten en rombos, convirtiendo el teselado en rómbico .

Hexágonos (H)	Hexágonos biselados (CH)			Rombos (daH)

Mosaicos relacionados

Los hexágonos se pueden dividir en 6 triángulos. Esto da como resultado dos mosaicos de 2 uniformes y un mosaico triangular :

Mosaico correcto	terrible	2 mosaicos homogéneos		Mosaico correcto
Inicial		roto 1/3 hexágonos	2/3 hexágonos rotos	partición completa

Se puede pensar en un mosaico hexagonal como un mosaico rómbico alargado , en el que cada vértice del mosaico rómbico se "estira" para formar un nuevo borde. Esto es similar a la conexión de teselaciones por un dodecaedro rómbico y un dodecaedro hexagonal rómbico en un espacio tridimensional.

mosaico rómbico

mosaico hexagonal

Cuadrícula que muestra dicha conexión

También se pueden dividir los prototipos de algunos mosaicos hexagonales en dos, tres, cuatro o nueve pentágonos idénticos:

Mosaico pentagonal tipo 1 con hexágonos regulares superpuestos (cada hexágono consta de 2 pentágonos).

Mosaico pentagonal tipo 3 con hexágonos regulares superpuestos (cada hexágono consta de 3 pentágonos).

Mosaico pentagonal tipo 4 con hexágonos semirregulares superpuestos (cada hexágono consta de 4 pentágonos).

Mosaico pentagonal tipo 3 con hexágonos regulares superpuestos de dos tamaños (los hexágonos constan de 3 y 9 pentágonos).

Opciones de simetría

Este mosaico está relacionado topológicamente con una secuencia de mosaicos regulares con caras hexagonales que comienza con un mosaico hexagonal. Los mosaicos de secuencia infinita tienen el símbolo de Schläfli {6,n} y el diagrama de Coxeter .

Familia de antiprismas homogéneos n .3.3.3

* n 62 opciones de simetría para mosaicos regulares: {6, n }
Esférico	euclidiana	Teselaciones hiperbólicas
{6,2}	{6,3}	{6,4}	{6,5}	{6,6}	{6,7}	{6,8}	...	{6,∞}

El mosaico hexagonal está relacionado topológicamente (como parte de una secuencia) con poliedros regulares con figura de vértice n 3 .

* n 32 opciones de simetría para mosaicos regulares: n 3 o { n ,3}

Esférico				euclidiana	Compacto hiperbólico.		paracompacto .	Hiperbólico no compacto.
{2,3}	{3,3}	{4,3}	{5,3}	{6,3}	{7,3}	{8,3}	{∞,3}	{12i,3}	{9i,3}	{6i,3}	{3i,3}

De manera similar, el teselado se relaciona con poliedros truncados uniformes con figura de vértice n .6.6.

* n 32 mutaciones de simetría de mosaico truncado: n .6.6
Simetría * n 32 [n,3]	esférico		euclidiana	Hiperbólico compacto				Paracompacto.	Hiperbólico no compacto
	*232 [2,3]	*332 [3,3]	*432 [4,3]	*532 [5,3]	*632 [6,3]	*732 [7,3]	*832 [8,3]...	*∞32 [∞,3]	[12i,3]	[9i,3]	[6i,3]
Cifras truncadas
Conf.	2.6.6	3.6.6	4.6.6	5.6.6	6.6.6	7.6.6	8.6.6	∞.6.6	12i.6.6	9i.6.6	6i.6.6
n-kis figuras
Conf.	V2.6.6	V3.6.6	V4.6.6	V5.6.6	V6.6.6	V7.6.6	V8.6.6	V∞.6.6	V12i.6.6	V9i.6.6	V6i.6.6

El mosaico también es parte de poliedros rómbicos truncados y mosaicos con simetría de grupo de Coxeter [n,3]. El cubo puede verse como un hexaedro rómbico en el que todos los rombos son cuadrados. Las formas truncadas tienen n-ágonos regulares en lugar de los vértices truncados y las caras hexagonales irregulares.

Simetrías de teselaciones cuasiregulares duales duales: V(3.n) 2

	Esférico			euclidiana	Hiperbólico
*n32	*332	*432	*532	*632	*732	*832...	*∞32
Mosaico
Conf.	V(3.3) 2	V(3.4) 2	V(3.5) 2	V(3.6) 2	V(3.7) 2	V(3.8) 2	V(3.∞) 2

Construcción de mosaicos hexagonales y triangulares de Wythoff

Al igual que los poliedros uniformes , hay ocho mosaicos uniformes basados ​​en mosaicos hexagonales regulares (o mosaicos triangulares duales ).

Si coloreamos los mosaicos de las caras originales de rojo, los vértices originales (los polígonos resultantes) de amarillo y los bordes originales (los polígonos resultantes) de azul, hay 8 formas, 7 de las cuales son topológicamente distintas. ( El mosaico triangular truncado es topológicamente idéntico al mosaico hexagonal).

Embaldosados ​​homogéneos hexagonales/triangulares
Dominios fundamentales	Simetría : [6,3], (*632)							[6,3] + , (632)
	{6,3}	t{6,3}	r{6,3}	{3,6}	{3,6}	{6,3}	{6,3}	Sr{6,3}
Configuración	6 3	3.12.12	(6.3) 2	6.6.6	3 6	3.4.6.4	4.6.12	3.3.3.3.6

Teselaciones hexagonales convexas monoédricas

Hay 3 tipos de mosaicos monoédricos [3] hexagonales convexos [4] . Todos son isoédricos . Cada uno tiene variantes paramétricas con simetría fija. El tipo 2 contiene simetrías deslizantes y mantiene distintos los pares quirales.

3 tipos de mosaicos hexagonales convexos monoédricos

una	2		3
p2, 2222	pgg, 22×	p2, 2222	p3,333
b=e B+C+D=360°	b=e, d=f B+C+E=360°		a=f, b=c, d=e B=D=F=120°
cuadrícula de dos fichas	cuadrícula de cuatro fichas		cuadrícula de tres fichas

Teselaciones topológicamente equivalentes

Los mosaicos hexagonales pueden ser idénticos a la topología de mosaico regular {6,3} (3 hexágonos en cada vértice). Hay 13 variantes del mosaico hexagonal con caras isoédricas . Desde el punto de vista de la simetría, todas las caras tienen el mismo color, mientras que el color de las figuras representa la posición en la cuadrícula [5] . Las cuadrículas de un color (1 mosaico) consisten en paralelogonos hexagonales .

13 mosaicos isoédricos hexagonales

pág (××)		p2 (2222)	p3 (333)	pmg (22*)
pgg (22x)			p31m (3*3)	p2 (2222)	mmm (2*22)	p6m (*632)

Otros mosaicos hexagonales topológicamente isoédricos aparecen como cuadrangulares y pentagonales, sin tocarse de lado a lado, pero cuyos polígonos pueden pensarse como si tuvieran lados adyacentes colineales:

Cuadriláteros con mosaicos isoédricos

pmg (22*)		pgg (22x)			mmm (2*22)	p2 (2222)
Paralelogramo	Trapecio	Paralelogramo	Rectángulo	Paralelogramo	Rectángulo	Rectángulo

Pentágonos de mosaico isoédrico

p2 (2222)	pgg (22x)	p3 (333)

Los teselados de 2 y 3 uniformes tienen un grado de libertad de rotación que deforma 2/3 de los hexágonos, incluido el caso de los lados colineales, que pueden verse como mosaicos de hexágonos y triángulos grandes con lados que no coinciden (no de lado a lado). -lado) [6] .

El mosaico se puede torcer en patrones entrelazados quirales de 4 colores en tres direcciones, y algunos de los hexágonos se convierten en paralelogramos . Los patrones entrelazados con 2 caras de colores tienen una simetría de rotación 632 (p6) .

correcto	girado	correcto	vinculado
p6m, (*632)	p6, (632)	p6m (*632)	p6 (632)
p3m1, (*333)	p3, (333)	p6m (*632)	p2 (2222)

Círculos de embalaje

Se puede usar un mosaico hexagonal para empaquetar círculos colocando círculos del mismo radio centrados en los vértices del mosaico. Cada círculo toca otros 3 círculos del paquete ( número de contacto ) [7] . Los círculos se pueden pintar en dos colores. El espacio dentro de cada hexágono permite colocar un círculo, creando el mosaico triangular más denso , con cada círculo tocando tantos círculos como sea posible (6).

Infinitos complejos regulares relacionados

Hay 2 apeirogons complejos regulares que tienen los mismos vértices hexagonales de mosaico. Las aristas de los apeirogons complejos regulares pueden contener 2 o más vértices. Los apeirogons regulares p { q } r tienen la restricción: 1/ p + 2/ q + 1/ r = 1. Las aristas tienen p vértices y las figuras de los vértices son r - gons [8] .

El primer apeirogon consta de 2 aristas, tres alrededor de cada vértice, el segundo tiene aristas hexagonales, tres alrededor de cada vértice. El tercer apeirogon complejo, que tiene los mismos vértices, es casi regular y alterna entre 2 aristas y 6 aristas.

2{12}3 o	6{4}3 o

Véase también

• Enrejado hexagonal
• Panal prismático triangular
• Mosaicos de polígonos regulares convexos en el plano euclidiano
• Lista de mosaicos uniformes
• Lista de poliedros y compuestos multidimensionales regulares
• Panales de mosaico hexagonal

Notas

1. ↑ 1 2 Golomb, 1975 , pág. 147.
2. ↑ Weisstein, Eric W. Dual Tessellation  en el sitio web de Wolfram MathWorld .
3. ↑ Un mosaico se llama monoédrico si consta de mosaicos congruentes.
4. ↑ Grünbaum y Shephard 1987 , p. Segundo. 9.3 Otros mosaicos monoédricos por polígonos convexos.
5. ↑ Grünbaum y Shephard 1987 , p. 473–481, lista de 107 mosaicos isoédricos.
6. ↑ Grünbaum y Shephard 1987 , p. mosaicos uniformes que no son de borde a borde.
7. ↑ Critchlow, 1987 , pág. 74–75, patrón 2.
8. ↑ Coxeter, 1991 , pág. 111-112, 136.

Literatura

• S.V. Golomb. Poliomino \ u003d Poliominoes / Per. De inglés. V. Firsova. Prefacio y ed. I. Yagloma. - M. : Mir, 1975. - S. 147. - 207 p.
• HSM Coxeter . Politopos complejos regulares. — 2ed. - Nueva York, Port Chester, Melbourne, Sydney: Cambridge University Press, 1991. - ISBN 0-521-39490-2 .
• HSM Coxeter . Cuadro II: Panales regulares //Politopos regulares . — 3er. - Dover, 1973. - S.  296 . — ISBN 0-486-61480-8 .
• B. Grünbaum , G. C. Shephard. Mosaicos y Patrones . - Nueva York: W. H. Freeman & Co., 1987. - S.  58-65 . - ISBN 0-7167-1193-1 .
• R.Williams. La base geométrica de la estructura natural: un libro de consulta de diseño . - Nueva York: Dover Publications , 1979. - Pág  . 35 . — ISBN 0-486-23729-X .
• John H. Conway , Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. Las simetrías de las cosas . - 2008. - ISBN 978-1-56881-220-5 . Archivadoel 19 de septiembre de 2010 enWayback Machine
• Keith Critchlow. Orden en el espacio: un libro fuente de diseño. - Nueva York: Thames & Hudson, 1987. - ISBN 0-500-34033-1 .

Enlaces

• Weisstein, Eric W. Hexagonal Grid  (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .
  • Weisstein , Eric W. Teselación regular  en Wolfram MathWorld .
  • Weisstein, Eric W. Teselación uniforme  (inglés) en el sitio web Wolfram MathWorld .
• Klitzing, Richard. Teselaciones euclidianas 2D o3o6x-hexat-O3
• Amit Patel. Matemáticas de cuadrícula: cuadrado, hexágono, triángulo . — Algoritmos para la representación de cuadrículas hexagonales y triangulares en juegos de estrategia por ordenador. (indefinido)

Panales regulares y uniformes convexos fundamentales en espacios de dimensiones 2–10

Familia / / Mosaico homogéneo {3 [3] } δ3 _ hδ 3 qδ 3 Hexagonal Panales convexos homogéneos {3 [4] } δ4 _ hδ 4 qδ 4 panal de cinco dimensiones uniforme {3 [5] } δ5 _ hδ 5 qδ 5 Panal de 24 celdas panal de seis dimensiones uniforme {3 [6] } δ6 _ hδ 6 qδ 6 panal uniforme de siete dimensiones {3 [7] } 7 _ hδ 7 qδ 7 222 _ panal de ocho dimensiones uniforme {3 [8] } 8 _ hδ 8 qδ 8 1 33 • 3 31 panal uniforme de nueve dimensiones {3 [9] } δ9 _ hδ 9 qδ 9 1 52 • 2 51 • 5 21 Panales n -dimensionales uniformes {3 [n] } n _ hδn_ _ qδn_ _ 1 k2 • 2 k1 • k 21

mosaicos geometricos
Periódico	pitagórico Rómbico Triángulo de Schwartz rectangular dominó Pentagonal Mosaico homogéneo panales Colorear convexo Mosaico dividido Grupo cristalográfico plano construcción
aperiódico	Ammann-Binker Conjunto aperiódico de mosaicos Lista Desafío de una ficha Sokolara — Taylor gilberto penrose molinillo abovedado División y autopegado de conjuntos Esfinge Trucha
Otro	No isoédrico e isoédrico Arquitectónico y reflexivo Límite del círculo III Gráficos de computadora panales Borde transitivo Paquete Tareas camioneta jejeje cuadrar Azulejos de mosaico criterio de Conway Girih División regular del plano. Celosía regular sustituciones diagrama de Voronoi Foderberg
Por configuración de vértice	Esférico 2n_ _ 3 3 norte V3 3.n _ 42.n _ _ V4 2.n _ correcto 2∞ _ 3 6 4 4 6 3 semi- correcto 3 2 .4.3.4 V3 2.4.3.4 _ 3 3 .4 2 3 3 .∞ 3 4 .6 V3 4.6 _ 3.4.6.4 (3.6) 2 3.12 2 4 2 .∞ 4.6.12 4.8 2 Hiperbólico _ 3 2 .4.3.5 3 2 .4.3.6 3 2 .4.3.7 3 2 .4.3.8 3 2 .4.3.∞ 3 2 .5.3.5 3 2 .5.3.6 3 2 .6.3.6 3 2 .6.3.8 3 2 .7.3.7 3 2 .8.3.8 3 3 .4.3.4 3 2 .∞.3.∞ 3 4 .7 3 4 .8 3 4 .∞ 3 5 .4 3 7 3 8 3∞ _ (3.4) 3 (3.4) 4 3.4.6 2.4 _ 3.4.7.4 3.4.8.4 3.4.∞.4 3.6.4.6 (3.7) 2 (3.8) 2 3.14 2 3.16 2 (3.∞) 2 3.∞ 2 4 2 .5.4 4 2 .6.4 4 2 .7.4 4 2 .8.4 4 2 .∞.4 4 5 4 6 4 7 4 8 4∞ _ (4.5) 2 (4.6) 2 4.6.12 4.6.14 V4.6.14 4.6.16 V4.6.16 4.6.∞ (4.7) 2 (4.8) 2 4.8.10 V4.8.10 4.8.12 4.8.14 4.8.16 4.8.∞ 4.10 2 4.10.12 4.12 2 4.12.16 4.14 2 4.16 2 4.∞ 2 (4.∞) 2 5 4 5 5 5 6 5∞ _ 5.4.6.4 (5.6) 2 5.8 2 5.10 2 5.12 2 (5.∞) 2 6 4 6 5 6 6 6 8 6.4.8.4 (6.8) 2 6.8 2 6.10 2 6.12 2 6.16 2 7 3 74 _ 7 7 7.6 2 7.8 2 7.14 2 8 3 8 4 8 6 8 8 8 12 8.6 2 8.16 2 ∞ 3 ∞ 4 ∞ 5 ∞∞ _ ∞.6 2 ∞.8 2