Curva de gosper

La curva de Gosper , o la curva de Peano-Gosper [1] , llamada así por el descubridor Bill Gosper , es una curva que llena el espacio . Es una curva fractal similar a las curvas de dragón y de Hilbert .

Cuarta etapa de la curva de Gosper La línea discontinua del punto rojo al verde muestra un paso de la construcción de la curva de Gosper.

Algoritmo

Sistema Lindenmayer

La curva de Gosper se puede representar usando el sistema de Lindenmeier con las siguientes reglas:

En este caso, A y B significan avanzar, + significa girar 60º a la izquierda y - significa girar 60º a la derecha usando el estilo de programación "tortuga" como en Logo o Python3 .

Logotipo

Programa de logotipo para dibujar curvas de gosper usando gráficos de tortugas ( versión en línea ):

to rg :st :ln make "st :st - 1 make "ln :ln / sqrt 7 if :st > 0 [rg :st :ln rt 60 gl :st :ln rt 120 gl :st :ln lt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln rg :st :ln lt 60 gl :st :ln rt 60] if :st = 0 [fd :ln rt 60 fd :ln rt 120 fd :ln lt 60 fd :ln lt 120 fd :ln fd :ln lt 60 fd :ln rt 60] end to gl :st :ln make "st :st - 1 make "ln :ln / sqrt 7 if :st > 0 [lt 60 rg :st :ln rt 60 gl :st :ln gl :st :ln rt 120 gl :st :ln rt 60 rg :st :ln lt 120 rg :st :ln lt 60 gl :st :ln] if :st = 0 [lt 60 fd :ln rt 60 fd :ln fd :ln rt 120 fd :ln rt 60 fd :ln lt 120 fd :ln lt 60 fd :ln] end

El programa se puede iniciar, por ejemplo, con el comando rg 4 300o gl 4 300.

Python3

importar tortuga tortuga _ tortuga escondida () tortuga . rastreador ( 0 ) tortuga . penup () tortuga . setposition ( 180 , 240 ) tortuga . pendown () axioma , tempAx , lógica , iteraciones = 'A' , '' , { 'A' : 'AB--B+A++AA+B-' , 'B' : '+A-BB--B-A+ + A+B' }, 5 para i en rango ( iteraciones ): para j en axioma : tempAx += lógica [ j ] si j en lógica else j axioma , tempAx = tempAx , '' para k en axioma : si k == '+' : tortuga . izquierda ( 60 ) elif k == '-' : tortuga . derecha ( 60 ) más : tortuga . adelante ( 4 ) tortuga _ actualizar () tortuga . bucle principal ()

Propiedades

Los fragmentos llenos de curvas del avión se llaman islas de Gosper . Las primeras iteraciones se muestran a continuación:

Gosper's Island puede pavimentar el avión . De hecho, siete copias de Gosper's Island se pueden unir para formar una figura similar, pero aumentada por un factor de √7 en todas las direcciones. Como puede ver en la figura a continuación, esta operación da como resultado una versión más pequeña de la siguiente iteración de la curva. Continuar el proceso infinitamente da un mosaico del plano. La curva en sí también se puede extender hasta el infinito para llenar todo el plano.

Véase también

  • Lista de fractales por dimensión de Hausdorff

Notas

  1. ↑ Weisstein, Eric W. Peano-Gosper Curve . mundo matemático . Consultado el 31 de octubre de 2013. Archivado desde el original el 20 de abril de 2019.

Enlaces