Epicicloide

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Epicicloide (del otro griego ὲπί - sobre, sobre, en y κύκλος - círculo, círculo) - una curva plana formada por un punto fijo de un círculo que rueda a lo largo del lado exterior de otro círculo sin deslizarse. Según Leibniz, a principios de 1676, Ole Römer hizo un descubrimiento prácticamente importante: los dientes epicicloides en una rueda dentada producen la menor fricción.

Ecuaciones

Si el centro de un círculo fijo está en el origen de coordenadas, su radio es , el radio del círculo que rueda a lo largo de él es , entonces el epicicloide se describe mediante ecuaciones paramétricas con respecto a : $R$ $r$ $\varphi$

{\begin{casos}x=(R+r)\cos \varphi -r\cos(\alpha +{\frac {R+r}{r))\varphi )\\y=(R+r)\ sin \varphi -r\sin(\alpha +{\frac {R+r}{r}}\varphi )\end{casos}}

donde es el ángulo de rotación del punto que describe el epicicloide en relación con el centro del círculo en movimiento en el momento del inicio del movimiento (en sentido antihorario desde el eje x), es un parámetro, pero de hecho este es el ángulo de inclinación de el segmento entre los centros al eje . $\alfa$ $\varphi$ $BUEY$

Puede ingresar el valor , luego las ecuaciones aparecerán en la forma $\textstyle k={\frac{R}{r}}$

{\begin{casos}x=r(k+1)\left(\cos \varphi -{\frac {\cos((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\\y =r(k+1)\left(\sin \varphi -{\frac {\sin((k+1)\varphi )}{k+1}}\right)\end{casos}}

El valor determina la forma de la epicicloide. Cuando una epicicloide forma una cardioide , y cuando forma una nefroide . Si es una fracción irreducible de la forma ( ), entonces es el número de vértices del epicicloide dado y es el número de rotaciones completas del círculo rodante. Si es un número irracional , entonces la curva no está cerrada y tiene un número infinito de cúspides que no coinciden. $k$ $k=1$ $k=2$ $k$ ${\frac{m}{n}}$ $m,n\in \mathbb {N}$ $metro$ $norte$ $k$

Epicicloides para diferentes valores del parámetro k:
$k=1$ ( cardioide )
$k=2$ ( nefroide )
$k = 3$
$k={\frac{3}{4))$
$k={\frac {1}{3}}$
$k=0.5={\frac{1}{2))$
$k=2.1={\frac{21}{10}}$
$k=3.8={\frac{19}{5}}$
$k=5.5={\frac{11}{2}}$
$k=7.2={\frac {36}{5}}$

Conseguir

Sea - el punto deseado, - el ángulo de desviación del punto desde el punto de contacto de dos círculos, - el ángulo de desviación entre los centros de estos círculos.

PAGS

\alfa

PAGS

\ theta

Como el círculo rueda sin deslizarse, entonces

\ell_{R}=\ell_{r}

Por definición de la longitud del arco de un círculo :

\ell _{R}=\theta R\land \ell _{r}=\alpha r

De estas dos afirmaciones se sigue que

{\ estilo de visualización \ theta R = \ alfa r}

Obtenemos las proporciones de :

\alfa

{\ estilo de visualización \ alfa = {\ frac {R} {r}} \ theta}

Sea el centro del círculo fijo , el centro del segundo círculo . Es obvio que

A

B

{\overrightarrow {AB}}+{\overrightarrow {BP}}={\overrightarrow {AP}}

Reescribamos en coordenadas :

{\overrightarrow {AP}}={\overrightarrow {(\left(R+r\right)\cos \theta ;\left(R+r\right)\sin \theta )))+{\overrightarrow {(r\cos \left(\pi +\theta +\alpha \right);r\sin \left(\pi +\theta +\alpha \right))))={\overrightarrow {(\left(R +r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right);\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \Correcto))}}

Por lo tanto, la posición del punto es: $pags$

x=\left(R+r\right)\cos \theta -r\cos \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\cos \theta -r\ porque \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

y=\left(R+r\right)\sin \theta -r\sin \left(\theta +\alpha \right)=\left(R+r\right)\sin \theta -r\ sin \left({\frac {R+r}{r}}\theta \right)

Véase también

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio