Fractal circular

Un fractal circular es una clase de fractales  geométricos (constructivos) (ver, por ejemplo, [1] [2] ) construidos inscribiendo repetidamente otros círculos de menor radio en un círculo. (ver Fig. 1a, 1b, 1c).

Aplicación

Los fractales circulares constructivos se pueden utilizar como modelos de diversas estructuras naturales en química, biología, tecnología de materiales, etc. Los fractales de este tipo se propusieron en [3] [4] como modelos de agrupaciones de tubos de flujo magnético en las capas superiores de la convección solar. zona. También se han considerado estructuras más complejas de este tipo, por ejemplo, fractales circulares con elementos superpuestos que simulan tubos de flujo magnético retorcidos [5] , véase también [6] [7] [8] . También es posible construir estructuras multifractales de este tipo para modelar estructuras más complejas. A diferencia de las alfombras de Sierpinski , estos fractales no se construyen a partir de elementos rectangulares o triangulares, sino circulares.

Los tres primeros de una secuencia potencialmente infinita de tales fractales circulares se muestran en la Fig. 1a, 1b y 1c.

Para calcular las dimensiones de Hausdorff ( d ) de estos objetos, puedes utilizar la conocida fórmula de los fractales constructivos: . En el caso de la Fig. 1a, valor n =3. El parámetro a es la relación de las longitudes características de las escalas vecinas. En este caso, es ; donde  es el radio del círculo más grande,  es el radio del círculo de la escala vecina más pequeña. A partir de consideraciones geométricas simples, encontramos: a = 0.4641. Sustituyendo estos valores en la fórmula, obtenemos d≈1.43. Para la variante de la Fig. 1b, respectivamente, n=4, a=0.4142…, d≈1.57… 1c, tenemos: n=7, a=1/3 y, dimensión d≈1.77… Aumentando el número de círculos inscritos, obtenemos una secuencia infinita de objetos fractales, con dimensiones de Hausdorff d → 2.

Ejemplo

Siete círculos de radio R/3 están inscritos en un círculo de radio R de tal manera que todos se tocan, pero no se cortan entre sí. Siete círculos R/9 están inscritos en cada uno de estos siete círculos, y así sucesivamente.

Notas

  1. ↑ Morozov A. D. Introducción a la teoría de los fractales. - Moscú-Izhevsk. Instituto de Investigación Informática, 2002, 160 p.
  2. ↑ Bozhokin S. V., Parshin D. A. Fractales y multifractales. — Izhevsk. Centro de Investigación "Dinámicas Regulares y Caóticas", 2001, 128 p.
  3. ↑ Chumak O. V. Dimensiones fractales de las asociaciones MFT. - Circular Astronómica, No. 1546, 1990
  4. ↑ Chumak O. V. Entropía y fractales en el análisis de datos. - M.-Izhevsk: Centro de Investigación "Dinámicas Regulares y Caóticas", 2011, 164p.
  5. ↑ Chumak O. V. Fractales autosimilares con elementos superpuestos como modelo de estructuras magnéticas fotosféricas. - Circular Astronómica, No. 1546, 1990
  6. ↑ Chumak OV, Zhang H. - Relación tamaño-flujo en regiones activas. — Diario chino Astron. y Astroph., vol. 3, núm. 2, 2003, págs. 175-182
  7. ↑ Chumak O. V. Dimensiones fractales y relaciones de "área-flujo" para campos magnéticos locales en el Sol. - Circular Astronómica N° 1545, 1990.
  8. ↑ Chumak O. - Estructuras autosimilares y autoafines en datos observacionales sobre actividad solar - Asrton&Astroph. Trans. V. 24, N° 2, 2005, págs. 93-99

Literatura