Trisector de Maclaurin

La trisectriz de Maclaurin es un cubo , destacable por su propiedad de trisección , ya que se puede utilizar para trisecar un ángulo. Se puede definir como el lugar geométrico de los puntos de intersección de dos rectas, cada una de las cuales gira uniformemente alrededor de dos puntos diferentes (polos) con una relación de velocidades angulares de 1:3, mientras que las rectas inicialmente coinciden con la recta que pasa por estos polos. . Una generalización de esta construcción se llama Maclaurin Seantant . La secante lleva el nombre de Colin Maclaurin , quien examinó la curva en 1742.

Ecuaciones

Deje que dos líneas rectas giren alrededor de los puntos y , de modo que la línea que gira alrededor tenga un ángulo con el eje x , y la línea que gira alrededor tenga un ángulo . Sea el punto de intersección, entonces el ángulo formado por las rectas en el punto es igual a . Por la ley de los senos ${\ estilo de visualización P = (0,0)}$ ${\ estilo de visualización P_ {1} = (a, 0)}$ $PAGS$ $\ theta$ $P_1$ ${\ estilo de visualización 3 \ theta}$ $q$ $q$ $2 \ theta$

{r \over\sin 3\theta}={a \over\sin 2\theta}

, por lo que en coordenadas polares esto daría

r=a{\frac {\sin 3\theta }{\sin 2\theta ))={a \over 2}{\frac {4\cos ^{2}\theta -1}{\cos \theta }}={a \over 2}(4\cos \theta -\sec \theta )

Por lo tanto, la curva pertenece a la familia Sluz de conchoides .

En un sistema de coordenadas rectangulares, la ecuación se ve como

2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2})

Si el origen se desplaza a ( a , 0), entonces una conclusión cercana a la anterior muestra que la ecuación en coordenadas polares se convierte en

{\displaystyle r={\frac {a}{2\cos {\theta \over 3))))

convirtiéndolo en un ejemplo de una epispiral .

Propiedad de trisección

Para un ángulo dado , dibuje un rayo de modo que el ángulo con el eje sea . Dibuja un rayo desde el origen hasta el punto de intersección del primer rayo con la curva. Construyendo la curva, el ángulo entre el segundo rayo y el eje es . $\fi$ ${\ estilo de visualización (a, 0)}$ $X$ $\fi$ $X$ ${\ estilo de visualización \ phi / 3}$

Puntos destacados y propiedades

La curva tiene una intersección con el eje x en un punto y un punto fijo doble en el origen. La línea vertical es una asíntota. La curva corta la línea en los puntos correspondientes a la trisección del ángulo recto. Como cubo principal, tiene género cero. ${\ estilo de visualización 3a \ más de 2}$ $x={-{a \sobre 2}}$ $x=a$ $(a,{\pm {1 \over {\sqrt {3))}a})$

Relación con otras curvas

La trisectriz de Maclaurin se puede definir como una sección cónica de tres maneras. Específicamente:

Es la inversión de la hipérbola con respecto al círculo unitario.

2x=a(3x^{2}-y^{2})

es un cisoide de un circulo

{\ estilo de visualización (x+a)^{2}+y^{2}=a^{2))

y recto con respecto al origen.

x={a \over 2}

Es la recta de la parábola con respecto al origen .

y^{2}=2a(x-{\tfrac{3}{2}}a)

Además,

La inversión sobre un punto es la trisectriz coclear . ${\ estilo de visualización (a, 0)}$
La trisectriz de Maclaurin está relacionada con la hoja cartesiana por una transformación afín .

Literatura

J.Dennis Lawrence. Un catálogo de curvas planas especiales . - Publicaciones de Dover, 1972. - S. 36 , 95, 104-106 . - ISBN 0-486-60288-5 .
Weisstein, Eric W. Maclaurin Trisectrix (inglés) en el sitio web de Wolfram MathWorld .

Enlaces

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio