Verziera Agnesi

Verziera (versiera) Agnesi (a veces la cerradura de Agnesi ) es una curva plana , el lugar geométrico de los puntos para los que se cumple la relación , donde es el diámetro del círculo, es la semicuerda de este círculo, perpendicular a . La Agnesi versiera recibió su nombre en honor a la matemática italiana Maria Gaetana Agnesi , quien estudió esta curva. $METRO$ $\textstyle {\frac {BM}{BC}}={\frac {OA}{OB}}$ $OA$ $antes de Cristo$ $OA$

Historia

Pierre Fermat en 1630 encontró el área de la región entre la curva y su asíntota. En 1703, Guido Grandi , independientemente de Fermat, describió la construcción de esta curva, y en su obra de 1718 la llamó versiera ( italiano Versiera , del latín Versoria ), ya que en su construcción se utilizó la función seno-versus . [una]

En 1748, Maria Agnesi publicó la conocida obra generalizadora Instituzioni analitiche ad uso della gioventù italiana , en la que la curva, como en la obra de Grandi, se denominaba versier. Coincidentemente, la palabra italiana Versiera/Aversiera , derivada del latín Adversarius , también tenía el significado de "bruja" ( bruja inglesa ) [2] . Quizás por esta razón, el profesor de Cambridge John Colson, quien tradujo el trabajo de Agnesi al inglés, tradujo mal esta palabra, como resultado de lo cual la curva se refiere a menudo en la literatura inglesa como la bruja de Agnesi .

Ecuaciones

$O=(0,0)$ , $A=(0,a)$

En un sistema de coordenadas rectangulares :

y={\frac{a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Conclusión

Las coordenadas del punto que se encuentra sobre el versier son , . y por definición construimos la proporción $METRO$ $x=BM$ $y = OB$ $OA=a$

\textstyle {\frac {x}{BC}}={\frac {a}{y}}

De aquí

\textstyle BC={\frac {xy}{a}}

Por otro lado se puede encontrar a partir de la ecuación del círculo: $antes de Cristo$

\textstyle \left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}+x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}

Lo sabemos , por lo que expresamos : $y = OB$ $x^{2}$

\textstyle x^{2}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac {a}{2}}\right)^{2}

Igualar ambas expresiones para : $antes de Cristo$

\textstyle {\frac {x^{2}y^{2}}{a^{2}}}={\frac {a^{2}}{4}}-\left(y-{\frac { a}{2}}\derecho)^{2}

Cuadrar, traducir y paréntesis: $y^{2}$

\textstyle \left({\frac {x^{2}}{a^{2}}}+1\right)y^{2}=ay

Expresamos y (y=0 no es adecuado por definición):

\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+x^{2}}}

Si - esto no es el diámetro , sino el radio del círculo, entonces la ecuación es: $a$

\textstyle y={\frac {8a^{3}}{4a^{2}+x^{2}}}

Ecuación paramétrica:

{\begin{casos}x=a\,\operatorname {tg}\,\varphi \\y=a\cos ^{2}\varphi \end{casos))

, donde es el ángulo entre y

\varphi

OA

jefe

Conclusión

Las coordenadas de un punto están determinadas únicamente por el ángulo entre y . Si , y , entonces por la definición de un versier, uno puede componer la proporción $METRO$ $\varphi$ $transmisión exterior$ $jefe$ $OB=y$ $MB=x$

\textstyle {\frac {OA}{y}}={\frac {x}{BC}}

$OA$ por suposición es igual a . Del triángulo : , entonces $a$ $OBC$ $BC=y\,\nombre del operador {tg}\,\varphi$

\textstyle {\frac {a}{y}}={\frac {x}{y\,\operatorname {tg}\,\varphi }}

desde aquí Sustituimos esta fórmula en la ecuación de la curva: $x=a\,\nombre del operador {tg}\,\varphi$

\textstyle y={\frac {a^{3}}{a^{2}+a^{2}\,\operatorname {tg}^{2}\,\varphi }}

\textstyle y={\frac {a}{1+\,\operatorname {tg}^{2}\,\varphi }}

Usando la identidad , obtenemos

y=a\cos ^{2}\varfi

En el sistema polar , la ecuación de versiera es bastante complicada: para encontrarla, necesitas resolver la ecuación cúbica :

\textstyle \rho \sin {\varphi }={\frac {a^{3}}{a^{2}+\rho ^{2}\cos ^{{2}}\varphi }}

\textstyle \rho ^{3}(\cos ^{2}\varphi \sin \varphi )+\rho (a^{2}\sin \varphi )-a^{3}=0

Sin embargo, la fórmula resultante será demasiado compleja y engorrosa para tener algún valor práctico.

Propiedades

Verzier es una curva de tercer orden.
El diámetro es el único eje de simetría de la curva. $OA$
La curva tiene un máximo - y dos puntos de inflexión - $A(0;a)$ $\textstyle P_{{1,2}}\left(\pm {\frac {a}({\sqrt {3))));{\frac {3a}{4}}\right)$
En las proximidades del vértice , el versier se aproxima a un círculo de diámetro . Se toca el punto , y la curva coincide con el círculo. Esto se muestra por el valor del radio de curvatura en el punto : . $A$ $OA$ $A$ $A$ $\textstyle R_{A}={\frac{a}{2}}$
El área bajo el gráfico . Se calcula integrando la ecuación sobre todo . $S=\pi a^{2}$ $\textstyle {\mathbb{R}}$
El volumen del cuerpo de rotación del versier alrededor de su asíntota (eje ) . $BUEY$ $\textstyle V={\frac {\pi ^{2}a^{3}}{2}}$

Edificio

Se construye una circunferencia de diámetro y una tangente a ella. En una tangente, se selecciona un sistema de referencia con el origen en el punto de contacto. Se construye una línea recta a través del punto tangente seleccionado y el punto circular opuesto al punto tangente. Esta línea se cruza con el círculo en algún punto. Por este punto se traza una recta paralela a la tangente . El punto versier se encuentra en la intersección de esta línea y la perpendicular a la tangente en el punto seleccionado. $a$

Datos interesantes

Trampolín : la rampa del portaaviones ruso Almirante de la Flota de la Unión Soviética Kuznetsov fue formada por el versier Agnesi. Cuando el avión sale de la rampa, se encuentra en el ángulo de ataque ideal a una velocidad de 180-200 km/h (para el Su-27 ). Teóricamente, un avión de cualquier peso de despegue puede despegar desde un trampolín. [3]

Véase también

Literatura

Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas superiores. — M .: AST : Astrel , 2006.

Enlaces

I. M. Vinogradov. Agnesi curl // Enciclopedia Matemática. — M.: Enciclopedia soviética . - 1977-1985. (Ruso)
Colección unificada de recursos educativos digitales . Recuperado: 13 de enero de 2012. (indefinido)
Animación de la Construcción . Fecha de acceso: 13 de enero de 2012. Archivado desde el original el 14 de marzo de 2012.
Artículo en Encyclopédie des Formes Mathématiques Remarquables (fr.) . Consultado el 15 de junio de 2010. Archivado desde el original el 14 de marzo de 2012.
Artículo en el sitio web de Wolfram MathWorld . Consultado: 15 de junio de 2010.
XahLee.org (inglés) . Recuperado: 13 de enero de 2012.
Leslie Pacher. La "Bruja" matemática (ing.) (enlace no disponible) . Fecha de acceso: 13 de enero de 2012. Archivado desde el original el 14 de marzo de 2012.

Notas

↑ C. Truesdell . Corrección y adiciones para 'Maria Gaetana Agnesi // Archivo de Historia de las Ciencias Exactas. - 1991. - vol. 43. - Pág. 385-386. -doi : 10.1007/ BF00374764 .
↑ Pietro Fanfani . Vocabolario dell'uso toscano, p. 334 Archivado el 2 de mayo de 2014 en Wayback Machine .
↑ El rizo de una bella y la ballesta de un gigante: el simulador de hilos: el pasado y el futuro . Consultado el 21 de agosto de 2012. Archivado desde el original el 20 de abril de 2012. (indefinido)

diccionarios y enciclopedias	gran noruego Britannica (en línea) Treccani

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea Hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio