Triángulo de Reuleaux

El triángulo de Reuleaux [*1] es el área de intersección de tres circunferencias iguales con centros en los vértices de un triángulo regular y radios iguales a su lado [1] [2] . La curva cerrada no suave que limita esta figura también se llama triángulo de Reuleaux.

El triángulo de Reuleaux es la figura más simple de ancho constante después del círculo [1] . Es decir, si se dibuja un par de líneas de referencia paralelas [* 2] al triángulo de Reuleaux , entonces la distancia entre ellas no dependerá de la dirección elegida [3] . Esta distancia se llama el ancho del triángulo de Reuleaux.

Entre otras figuras de ancho constante, el triángulo de Reuleaux se distingue por una serie de propiedades extremas: el área más pequeña [1] , el ángulo más pequeño posible en el vértice [4] , la simetría más pequeña alrededor del centro [5] . El triángulo se ha generalizado en la tecnología: en base a él, se crearon mecanismos de leva y bivalva , el motor de pistón rotativo Wankel e incluso taladros que permiten perforar ( fresar ) agujeros cuadrados [6] .

El nombre de la figura proviene del apellido del mecánico alemán Franz Rehlo . Probablemente fue el primero en investigar las propiedades de este llamado triángulo curvilíneo; también lo utilizó en sus mecanismos [7] .

Historia

Reuleaux no es el descubridor de esta figura, aunque la estudió en detalle. En particular, consideró la cuestión de cuántos contactos (en pares cinemáticos ) son necesarios para evitar el movimiento de una figura plana y, utilizando el ejemplo de un triángulo curvo inscrito en un cuadrado , demostró que incluso tres contactos pueden no ser suficientes. para evitar que la figura gire. [8] .

Algunos matemáticos creen que Leonhard Euler fue el primero en demostrar la idea de un triángulo de arcos iguales de círculo en el siglo XVIII [9] . Sin embargo, una figura similar se encuentra antes, en el siglo XV: Leonardo da Vinci la utilizó en sus manuscritos . El triángulo de Reuleaux se encuentra en sus manuscritos A y B, conservados en el Institut de France [10] , así como en el Codex Madrid [9] .

Alrededor de 1514, Leonardo da Vinci creó uno de los primeros mapas del mundo de este tipo . La superficie del globo en él estaba dividida por el ecuador y dos meridianos (el ángulo entre los planos de estos meridianos es de 90 °) en ocho triángulos esféricos , que se mostraban en el plano del mapa por triángulos de Reuleaux, reunidos cuatro alrededor del postes [11] .

Incluso antes, en el siglo XIII, los creadores de la Iglesia de Nuestra Señora de Brujas utilizaron el triángulo de Reuleaux como forma para algunas de las ventanas [9] .

Propiedades

El triángulo de Reuleaux es una figura geométrica plana convexa [12] .

Características geométricas básicas

Si el ancho del triángulo de Reuleaux es , entonces su área es [13]

perímetro

radio del circulo inscrito

y el radio de la circunferencia circunscrita

. Simetría

El triángulo de Reuleaux tiene simetría axial . Tiene tres ejes de simetría de segundo orden, cada uno de los cuales pasa por el vértice del triángulo y el medio del arco opuesto, así como un eje de simetría de tercer orden, perpendicular al plano del triángulo y que pasa a través de su centro [* 3] . Por lo tanto, el grupo de simetría del triángulo de Reuleaux consta de seis aplicaciones (incluida la identidad ) y es el mismo que el grupo de simetría de un triángulo regular .

Construyendo con una brújula

El triángulo de Reuleaux se puede construir solo con un compás , sin recurrir a una regla . Esta construcción se reduce al dibujo secuencial de tres círculos iguales . El centro del primero se elige arbitrariamente, el centro del segundo puede ser cualquier punto del primer círculo y el centro del tercero puede ser cualquiera de los dos puntos de intersección de los dos primeros círculos.

Propiedades comunes a todas las formas de ancho constante

Dado que el triángulo de Reuleaux es una figura de ancho constante, tiene todas las propiedades generales de las figuras de esta clase. En particular,

  • con cada una de sus líneas de apoyo, el triángulo de Reuleaux tiene un solo punto común [14] ;
  • la distancia entre dos puntos cualesquiera del triángulo de Reuleaux ancho no puede exceder [15] ;
  • el segmento que conecta los puntos de contacto de dos líneas de referencia paralelas al triángulo de Reuleaux es perpendicular a estas líneas de referencia [16] ;
  • por cualquier punto de la frontera del triángulo de Reuleaux pasa al menos una línea de referencia [17] ;
  • a través de cada punto del límite del triángulo de Reuleaux pasa un círculo envolvente de radio [* 4] , y la línea de referencia trazada al triángulo de Reuleaux a través del punto es tangente a este círculo [18] ;
  • el radio de un círculo que tiene al menos tres puntos comunes con el límite del triángulo de Reuleaux de ancho no excede [19] ;
  • según el teorema Hanfried Lenz sobre conjuntos de ancho constante, el triángulo de Reuleaux no puede dividirse en dos figuras cuyo diámetro sea menor que el ancho del propio triángulo [20] [21] ;
  • el triángulo de Reuleaux, como cualquier otra figura de anchura constante, puede inscribirse en un cuadrado [22] , así como en un hexágono regular [23] ;
  • por el teorema de Barbier , la fórmula para el perímetro del triángulo de Reuleaux es válida para todas las figuras de ancho constante [24] [25] [26] .

Propiedades extremas

Área más pequeña

Entre todas las figuras de ancho constante , el triángulo de Reuleaux tiene el área más pequeña [1] . Este enunciado se denomina teorema de Blaschke-Lebesgue [27] [28] (por los nombres del geómetra alemán Wilhelm Blaschke , que publicó el teorema en 1915 [29] , y del matemático francés Henri Lebesgue , que lo formuló en 1914 [30 ] ). En varios momentos, Matsusaburo Fujiwara (1927 y 1931) [31] [32] , Anton Mayer (1935) [33] , Harold Eggleston (1952) [34] , Abram Besikovich (1963) [35 ] propusieron variantes de su prueba . ] , Donald Chakerian (1966) [36] , Evans Harrell (2002) [37] y otros matemáticos [5] .

Para encontrar el área de un triángulo de Reuleaux, puedes sumar el área del triángulo equilátero interior

y el área de los tres segmentos circulares idénticos restantes en base a un ángulo de 60 °

eso es

[38]

Una figura que tiene la propiedad del extremo opuesto es un círculo . Entre todas las figuras de un ancho constante dado, su área es

máximo [39] [* 5] . El área del triángulo de Reuleaux correspondiente es menor en ≈10,27%. Dentro de estos límites se encuentran las áreas de todas las demás figuras de un ancho constante dado.

Ángulo más pequeño

A través de cada vértice del triángulo de Reuleaux, a diferencia del resto de sus puntos límite, no hay una línea de referencia , sino un número infinito de líneas de referencia. Intersectándose en la parte superior, forman un "paquete". El ángulo entre las líneas rectas extremas de este "haz" se llama ángulo de vértice . Para figuras de ancho constante, el ángulo en los vértices no puede ser menor de 120°. La única figura de ancho constante que tiene ángulos exactamente de 120° es el triángulo de Reuleaux [4] .

Simetría mínima central

De todas las figuras de ancho constante, el triángulo de Reuleaux tiene el menor grado de simetría central [5] [40] [41] [42] [43] . Hay varias maneras diferentes de definir el grado de simetría de una figura. Una de ellas es la medida de Kovner-Besikovich. En el caso general, para una figura convexa, es igual a

donde  es el área de la figura, es la figura convexa centralmente simétrica de área máxima  contenida en . Para el triángulo de Reuleaux, tal figura es un hexágono con lados curvos, que es la intersección de este triángulo de Reuleaux con su imagen con simetría central sobre su centro [* 3] . La medida de Kovner-Besicovich para el triángulo de Reuleaux es

[5] [40]

Otra forma es la medida de Estermann

donde  es la figura centralmente simétrica contenedora de área mínima. Para un triángulo de Reuleaux  , este es un hexágono regular , por lo que la medida de Estermann es

[5] [36]

Para figuras centralmente simétricas, las medidas de Kovner-Besikovich y Estermann son iguales a uno. Entre las figuras de ancho constante, solo el círculo [25] tiene simetría central , lo que (junto con el triángulo de Reuleaux) limita el rango de valores posibles de su simetría.

Rollo cuadrado

Cualquier figura de ancho constante se inscribe en un cuadrado con un lado igual al ancho de la figura, y la dirección de los lados del cuadrado se puede elegir arbitrariamente [22] [* 6] . El triángulo de Reuleaux no es una excepción, está inscrito en un cuadrado y puede girar en él, tocando constantemente los cuatro lados [44] .

Cada vértice del triángulo durante su rotación "pasa" casi todo el perímetro del cuadrado, desviándose de esta trayectoria solo en las esquinas; allí, el vértice describe el arco de una elipse . El centro de esta elipse se encuentra en la esquina opuesta del cuadrado, y sus ejes mayor y menor giran en un ángulo de 45° con respecto a los lados del cuadrado y son iguales

donde  es el ancho del triángulo [45] . Cada una de las cuatro elipses toca dos lados adyacentes del cuadrado a una distancia

desde la esquina [38] .

El centro del triángulo de Reuleaux durante la rotación se mueve a lo largo de una trayectoria formada por cuatro arcos de elipses idénticos. Los centros de estas elipses están ubicados en los vértices del cuadrado, y los ejes giran en un ángulo de 45 ° con respecto a los lados del cuadrado y son iguales a

[45] .

A veces, para los mecanismos que implementan tal rotación de un triángulo en la práctica, no se elige un pegado de cuatro arcos de elipses, sino un círculo cercano a él como la trayectoria del centro [46] .

El área de cada una de las cuatro esquinas no afectadas por la rotación es igual a

[47]

y restándolos del área del cuadrado, se puede obtener el área de la figura que forma el triángulo de Reuleaux cuando gira en él

[38] [47] [48]

La diferencia con el área cuadrada es de ≈1,2%, por lo tanto, en base al triángulo de Reuleaux, se crean taladros que permiten obtener agujeros casi cuadrados [45] .

Aplicación

Perforación de agujeros cuadrados en sección transversal al eje de los agujeros de corte

“Todos hemos oído hablar de llaves diseñadas para tuercas zurdas , tuberías de agua anudadas y bananas de hierro fundido. Consideramos esas cosas como baratijas ridículas y nos negamos incluso a creer que alguna vez las encontraríamos en la realidad. ¡Y de repente hay una herramienta que te permite perforar agujeros cuadrados!

Folleto de Watts Brothers Tool
Works [49] [* 7]

Un cortador de sección en forma de triángulo de Reuleaux y cuchillas de corte coincidentes con sus vértices permite obtener agujeros casi cuadrados. La diferencia entre tales agujeros de un cuadrado en sección transversal es solo en esquinas ligeramente redondeadas [50] . Otra característica de un cortador de este tipo es que su eje durante la rotación no debe permanecer en su lugar, como es el caso de las brocas helicoidales tradicionales, sino que describe una curva en el plano de sección, que consta de cuatro arcos de elipses . Por lo tanto, el mandril , en el que se sujeta el cortador, y el soporte de la herramienta no deben interferir con este movimiento [45] .

Por primera vez, Harry Watts, un ingeniero inglés que trabajaba en los EE . UU ., logró implementar un diseño de portaherramientas de este tipo . Para ello, utilizó una placa guía con un orificio en forma de cuadrado, en el que podía moverse radialmente un taladro, sujetado en un "mandril flotante" [50] . Watts obtuvo las patentes del mandril [51] y el taladro [52] en 1917. Los nuevos taladros fueron vendidos por Watts Brothers Tool Works [53] [54] . En 1978 se emitió otra patente estadounidense para una invención similar [55] .

Motor Wankel

Otro ejemplo de uso se puede encontrar en el motor Wankel : el rotor de este motor tiene la forma de un triángulo de Reuleaux [6] . Gira dentro de la cámara, cuya superficie está hecha de acuerdo con el epitrocoide [56] . El eje del rotor está rígidamente conectado a la rueda dentada , que está engranada con un engranaje fijo . Tal rotor triédrico rueda alrededor del engranaje, todo el tiempo tocando las paredes internas del motor con las tapas y formando tres regiones de volumen variable , cada una de las cuales a su vez es una cámara de combustión [6] . Gracias a esto, el motor realiza tres ciclos completos de trabajo en una revolución.

El motor Wankel permite realizar cualquier ciclo termodinámico de cuatro tiempos sin el uso de un mecanismo de distribución de gas . La formación de la mezcla, el encendido , la lubricación, el enfriamiento y el arranque en él son fundamentalmente los mismos que en los motores alternativos de combustión interna convencionales [56] .

Mecanismo de concha

Otra aplicación del triángulo de Reuleaux en la mecánica es un mecanismo de concha que mueve la película cuadro por cuadro en los proyectores de películas . El agarre del proyector Luch-2, por ejemplo, se basa en el triángulo de Reuleaux, que está inscrito en un marco cuadrado fijado en un paralelogramo doble . Al girar alrededor del eje de transmisión , el triángulo mueve el marco con el diente ubicado en él . El diente entra en la perforación de la película, lo arrastra un cuadro hacia abajo y sale hacia atrás, luego asciende hasta el comienzo del ciclo. Su trayectoria es cuanto más cerca del cuadrado, más cerca de la parte superior del triángulo se fija el eje (idealmente, la trayectoria cuadrada permitiría proyectar el marco durante ¾ del ciclo) [6] [57] [58] .

Hay otro diseño de grapa, también basado en el triángulo de Reuleaux. Como en el primer caso, el marco de esta cuchara realiza un movimiento alternativo, pero no es movido por una, sino por dos levas , cuyo funcionamiento está sincronizado mediante un tren de engranajes [28] .

Tapas de registro

Las tapas de alcantarilla se pueden fabricar con la forma del triángulo de Reuleaux  ; debido al ancho constante, no pueden caer en la escotilla [59] .

En San Francisco , para un sistema de recuperación de agua , los cuerpos de las alcantarillas tienen forma de triángulo de Reuleaux, pero sus tapas tienen forma de triángulos equiláteros.

Mecanismo de levas

El triángulo de Reuleaux se utilizó en los mecanismos de leva de algunas máquinas de vapor de principios del siglo XIX . En estos mecanismos, el movimiento de rotación de la manivela hace girar el triángulo de Reuleaux unido a la varilla de empuje mediante palancas de transmisión, lo que hace que la varilla de empuje se mueva alternativamente [63] . Según la terminología de Reuleaux , esta conexión forma un par cinemático "superior" , ya que el contacto de los eslabones se produce a lo largo de la línea, y no a lo largo de la superficie [64] . En tales mecanismos de leva, el empujador, cuando alcanza la posición extrema derecha o izquierda, permanece inmóvil durante un tiempo finito [63] [10] .

Anteriormente, el triángulo de Reuleaux se usaba mucho en los mecanismos de leva de las máquinas de coser en zigzag .

El triángulo de Reuleaux fue utilizado como leva por los relojeros alemanes en el movimiento de reloj de pulsera "Lange 31" [65] de A. Lange & Söhne .

Pista de patinaje

Para mover objetos pesados ​​en distancias cortas, puede usar no solo ruedas, sino también estructuras más simples, por ejemplo, rodillos cilíndricos [66] . Para hacer esto, la carga debe colocarse sobre un soporte plano montado sobre rodillos y luego empujarse. A medida que los rodillos traseros se liberan, deben transportarse y colocarse al frente [67] [66] . La humanidad utilizó este método de transporte antes de la invención de la rueda .

En este movimiento, es importante que la carga no se mueva hacia arriba y hacia abajo, ya que la sacudida requerirá un esfuerzo adicional por parte del empujador [67] . Para que el movimiento a lo largo de los rodillos sea rectilíneo , su sección transversal debe ser una figura de ancho constante [67] [68] . La mayoría de las veces, la sección era un círculo , porque los troncos ordinarios servían como rodillos . Sin embargo, una sección en forma de triángulo de Reuleaux será igual de buena [ aclarar ] y permitirá que los objetos se muevan en la misma línea recta [6] [67] .

Aunque los rodillos en forma de triángulo de Reuleaux permiten el movimiento suave de los objetos, esta forma no es adecuada para la fabricación de ruedas, ya que el triángulo de Reuleaux no tiene un eje fijo de rotación [69] .

Púa

El triángulo de Reuleaux es una forma común de púa (púa): una placa delgada diseñada para tocar las cuerdas de instrumentos musicales pulsados .

En diseño

El triángulo de Reuleaux se utiliza como elemento en los logotipos de empresas y organizaciones, por ejemplo: FINA ( Petrofina ) [70] , Bavaria [71] , Colorado School of Mines [72] .

En los EE . UU ., el sistema nacional de senderos y el sistema de rutas ciclistas están decorados con triángulos de Reuleaux [73] .

La forma del botón central del teléfono inteligente Samsung Corby es un triángulo de Reuleaux anidado en un marco plateado de la misma forma. El botón central, según los expertos, es el principal elemento de diseño de la parte frontal de Corby [74] [75] .

El triángulo de Reuleaux en el arte

Arquitectura

La forma del triángulo de Reuleaux también se utiliza con fines arquitectónicos . La construcción de sus dos arcos forma un arco apuntado característico del estilo gótico , pero es bastante raro en su totalidad en los edificios góticos [76] [77] . Se pueden encontrar ventanas en forma de triángulo de Reuleaux en la Iglesia de Nuestra Señora en Brujas [9] así como en la Iglesia Escocesa en Adelaida [77] . Como elemento ornamental , se encuentra en las rejas de las ventanas de la abadía cisterciense en la comuna suiza de Hauterives [76] .

El triángulo de Reuleaux también se utiliza en la arquitectura no gótica. Por ejemplo, construida en 2006 en Colonia , una torre de 103 metros llamada “ Triángulo de Colonia ” en sección transversal es exactamente esta figura [78] .

Algunos casos de uso
Ventana de la Iglesia de Nuestra Señora en Brujas Ventana de la Catedral de San Salvador en Brujas Ventana de la catedral de Notre Dame " Triángulo de Colonia "
Ventana de la Iglesia de San Miguel en Luxemburgo Ventana de la Iglesia de Nuestra Señora en Brujas Ventana de la Catedral de los Santos Miguel y Gudula en Bruselas Ventana de la Catedral de San Bavón en Gante
Véase también la categoría " Triángulos de Reuleaux en arquitectura " en Wikimedia Commons

Forma y color

Según el curso previo de Johannes Itten , en el modelo de correspondencia "ideal" , parte del espectro de cada color está en eso, con una forma (figura geométrica). El color verde es un “derivado”: ​​resultado de mezclar azul transparente y amarillo claro (sin incluir los acromáticos ), y como en este modelo corresponden a un círculo y un triángulo regular, es la figura denominada por I. Itten a triángulo esférico, el triángulo de Reuleaux, que corresponde al verde.

Literatura

En el cuento de ciencia ficción de Poul Anderson "The Triangular Wheel" [79] , una tripulación de terrícolas se estrelló en un planeta cuya población no usaba ruedas , ya que todo alrededor estaba prohibido por motivos religiosos. A cientos de kilómetros del lugar de aterrizaje, la expedición terrestre anterior dejó un almacén con repuestos, pero desde allí fue imposible trasladar el generador nuclear de dos toneladas necesario para la nave sin ningún mecanismo. Como resultado, los terrícolas lograron observar el tabú y transportar el generador utilizando rodillos con una sección en forma de triángulo de Reuleaux.

Variaciones y generalizaciones

Polígono de Reuleaux

La idea subyacente del triángulo de Reuleaux se puede generalizar utilizando para crear una curva de ancho constante no un triángulo equilátero , sino un polígono estrellado formado por segmentos de línea de igual longitud [80] . Si de cada vértice de un polígono en forma de estrella dibujamos un arco de círculo que conecta dos vértices adyacentes , entonces la curva cerrada resultante de ancho constante consistirá en un número finito de arcos del mismo radio [80] . Estas curvas (así como las figuras delimitadas por ellas) se denominan polígonos de Reuleaux [81] [82] .

Una familia de polígonos de Reuleaux de un cierto ancho forma un subconjunto denso en todas partes en el conjunto de todas las curvas de ancho constante (con la métrica de Hausdorff ) [81] . En otras palabras, con su ayuda es posible aproximar cualquier curva de ancho constante arbitrariamente con precisión [83] [82] .

Entre los polígonos de Reuleaux, existe una clase de curvas construidas a partir de polígonos regulares estrellados. Esta clase se llama polígonos regulares de Reuleaux . Todos los arcos que componen dicho polígono no solo tienen el mismo radio, sino también la misma longitud [84] [* 8] . El triángulo de Reuleaux, por ejemplo, es correcto. Entre todos los polígonos de Reuleaux con un número fijo de lados y el mismo ancho, los polígonos regulares encierran el área más grande [84] [85] .

La forma de tales polígonos se utiliza en la acuñación : las monedas de varios países (en particular, 20 [86] y 50 peniques [87] Gran Bretaña ) se fabrican en forma de heptágono Reuleaux regular. Hay una bicicleta hecha por un oficial chino , cuyas ruedas tienen la forma de un triángulo regular y un pentágono de Reuleaux [88] .

Análogos 3D

El análogo tridimensional del triángulo de Reuleaux como la intersección de tres círculos es el tetraedro de Reuleaux  : la intersección de cuatro bolas idénticas , cuyos centros están ubicados en los vértices de un tetraedro regular , y los radios son iguales al lado de este tetraedro. Sin embargo, el tetraedro de Reuleaux no es un sólido de ancho constante : la distancia entre los puntos medios de los bordes curvilíneos opuestos que conectan sus vértices es

veces mayor que la arista del tetraedro regular original [89] [90] .

Sin embargo, el tetraedro de Reuleaux se puede modificar para que el cuerpo resultante sea un cuerpo de ancho constante. Para ello, en cada uno de los tres pares de aristas curvilíneas opuestas, se “alisa” una arista de cierta manera [90] [91] . Dos sólidos diferentes obtenidos de esta manera (las tres aristas en las que se realizan los reemplazos pueden tomarse saliendo del mismo vértice o formando un triángulo [91] ) se denominan sólidos de Meissner o tetraedros de Meissner [89] . La hipótesis formulada por Tommy Bonnesen y Werner Fenchel en 1934 [92] establece que son estos cuerpos los que minimizan el volumen entre todos los cuerpos de un ancho constante dado, pero (a partir de 2011) esta hipótesis no ha sido probada [93 ] [94] .

Finalmente, el cuerpo de revolución obtenido al girar el triángulo de Reuleaux alrededor de uno de sus ejes de simetría de segundo orden es un cuerpo de ancho constante. Tiene el volumen más pequeño entre todos los cuerpos de revolución de ancho constante [90] [95] [96] .

Comentarios

  1. ↑ Existen otras variantes de la transcripción del apellido Reuleaux. Por ejemplo, I. M. Yaglom y V. G. Boltyansky en el libro "Convex Figures" lo llaman el "triángulo Rello".
  2. ↑ La línea de referencia pasa por un punto del borde de la figura sin dividir la figura en partes.
  3. ↑ 1 2 El centro de un triángulo de Reuleaux es el punto de intersección de todas las medianas , bisectrices y alturas de su triángulo regular.
  4. ↑ Para un triángulo de Reuleaux, este círculo coincide con uno de los tres círculos que forman su límite.
  5. ↑ Esta afirmación se deriva de la combinación de dos teoremas: el problema isoperimétrico clásico de Dido y el teorema de Barbier .
  6. ↑ Esta propiedad caracteriza completamente las figuras de ancho constante. En otras palabras, cualquier figura alrededor de la cual se pueda "rotar" el cuadrado descrito será una figura de ancho constante.
  7. ↑ Original: "Todos hemos oído hablar de llaves inglesas para zurdos, bañeras forradas de piel, plátanos de hierro fundido. ¡Todos hemos clasificado estas cosas con el ridículo y nos negamos a creer que algo así podría suceder, y justo en ese momento aparece una herramienta que perfora agujeros cuadrados!"
  8. ↑ En otras palabras, los ángulos centrales de estos arcos son iguales.

Notas

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  2. ↑ Yaglom, Boltyansky. Figuras convexas, 1951 , p. 91.
  3. ↑ Yaglom, Boltyansky. Figuras convexas, 1951 , p. 90.
  4. ↑ 1 2 Rademacher, Toeplitz, 1962 , p. 206-207.
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