Loxódromo

Loxódromo , o loxódromo [1] (del otro griego "λοξός"  - "oblicuo", "inclinado" y "δρόμος"  - "camino" [2] ) - una curva en la superficie de revolución que intersecta todos los meridianos en un ángulo constante , llamado ángulo de seguimiento loxodrómico.

Historia

Introducido por el matemático portugués Nonio en 1529 [3] .

En el trabajo " Tiphys batavus " (1624), el matemático holandés Willebrord Snell llamó a la curva que corta todos los meridianos en un ángulo constante "loxódromo" y la estudió. El trabajo constaba de dos partes: ejercicios teóricos y prácticos con recomendaciones [4] .

En geodesia y cartografía

En la superficie de la Tierra, las loxódromos son todos los paralelos (el ángulo de seguimiento puede ser de 90°, 270°, etc.) y todos los meridianos (el ángulo de seguimiento de 0°, 180°, etc.). Las loxódromos en otros ángulos son espirales que dan un número ilimitado de vueltas, acercándose a los polos . Sin embargo, si el viajero se mueve a lo largo de cualquier loxódromo (excepto paralelos) a una velocidad constante sin detenerse, entonces definitivamente llegará a uno de los polos en un tiempo finito. Una proyección cartográfica en la que todas las loxódromos se dibujan como líneas rectas se denomina proyección de Mercator .

En navegación

Si te mueves con un ángulo de seguimiento fijo en la Tierra, que se toma condicionalmente como una esfera o un geoide , entonces la trayectoria del movimiento del objeto será una loxódromo [5] . Loxódromo no es el camino más corto entre dos puntos (la excepción son los meridianos y el ecuador). Sin embargo, en los viejos tiempos, los barcos y los viajeros a menudo se movían a lo largo de loxódromos, ya que es más fácil y conveniente ir en un ángulo constante con la Estrella Polar . Con la invención de la brújula , los navegantes pasaron a moverse a lo largo de "loxódromos magnéticos", es decir, a lo largo de líneas con un ángulo constante al norte magnético, lo que hizo posible continuar moviéndose incluso con tiempo nublado. Pero tan pronto como se descubrieron las declinaciones magnéticas en todos los lugares de la Tierra, la gente volvió a cambiar a loxódromos ordinarios. Incluso en el siglo XX, el loxódromo se utilizó para calcular el rumbo requerido al trazar la ruta de aviones y barcos. Con el tiempo, cuando aparecieron dispositivos con suficiente poder de cómputo para calcular el ángulo de seguimiento requerido actual, los grandes círculos (el camino más corto) comenzaron a usarse activamente, especialmente para rutas de aeronaves de larga distancia [6] .

Construcción de la loxódromo de la esfera

Para trazar una ruta loxodrómica en los mapas de vuelo, es necesario conectar los puntos finales de la ruta con una línea recta y medir el ángulo de seguimiento en el meridiano central. Más precisamente, el ángulo de seguimiento loxódromo se calcula como el ángulo promedio tomado desde los puntos de inicio y final de la ruta. Después de eso, el ángulo de seguimiento resultante se construye secuencialmente en todos los meridianos del mapa, comenzando desde el punto de partida. La línea quebrada obtenida durante la construcción está casi cerca del loxódromo. Más precisamente, el ángulo de seguimiento loxódromo se puede calcular mediante la fórmula:

,

ejemplo _ Determine el verdadero ángulo de trayectoria loxódromo al volar de Reims a Potsdam .

Solución _ Determinamos las coordenadas:

 — Reims  — Potsdam

latitud media ; . Como consecuencia,

, .

El resultado será correcto si el punto final de la ruta se encuentra en el primer cuarto (0 - 90°). Si el punto final se encuentra en el segundo cuarto (90° - 180°), el ángulo de seguimiento deseado se obtiene restando el número de grados resultante de 180°. Si el punto final está en el tercer cuarto (180° - 270°), al ángulo resultante se le suma 180°, y si en el cuarto cuarto (270° - 360°), al ángulo resultante se le resta 360°.

La longitud de la loxódromo en km está determinada por las fórmulas:

a) Para ángulos cercanos a 0° o 180°,

kilómetros,

donde y  son las latitudes de los puntos de salida y llegada, expresadas en minutos, o

kilómetros,

donde y se expresan en grados.

b) Para ángulos próximos a 90° o 270°,

kilómetros

La diferencia entre las longitudes loxodrómica y ortódrómica DS alcanza su valor máximo cuando se vuela a lo largo del paralelo.

Entonces, por ejemplo, la longitud de la loxódromo entre Reims y Potsdam del ejemplo anterior se puede calcular aproximadamente mediante la fórmula:

kilómetros

Fórmulas en coordenadas cartesianas

Las fórmulas paramétricas que definen la loxodrómica con el ángulo de trayectoria sobre la esfera de radio en el sistema de coordenadas cartesianas son:

donde el parámetro va de 0 a y es la longitud del punto. Aquí y  son coseno hiperbólico y tangente .

Véase también

Notas

  1. ↑ Loxodrome // Libro de referencia enciclopédico marino / Ed. N. N. Isanina. - Leningrado: Construcción naval, 1987. - T. 1. - S. 398. - 512 p. — 30.000 copias.
  2. ↑ Diccionario histórico de galicismos de la lengua rusa. - M.: Editorial de diccionarios ETS. Nikolái Ivánovich Epishkin. 2010
  3. ↑ Chal, Michel . Una revisión histórica del origen y desarrollo de los métodos geométricos . cap. III, n. 39.
  4. ↑ MacTutor .
  5. ↑ Esto no es difícil de probar usando las definiciones del ángulo de trayectoria y la definición de loxódromo.
  6. ↑ Para ahorrar combustible y reducir el tiempo de viaje.

Enlaces