Espiral dorada

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La espiral áurea o espiral de Fibonacci es una espiral logarítmica cuyo factor de crecimiento es φ 4 , donde φ  es la proporción áurea . El coeficiente de crecimiento de una espiral logarítmica muestra cuántas veces ha cambiado el radio polar de la espiral cuando se gira en un ángulo de 360 ​​° [1] . Esta espiral obtuvo su nombre debido a su conexión con una secuencia de rectángulos anidados con una relación de aspecto igual a φ , que comúnmente se denominan dorados . Una espiral dorada puede inscribirse en un sistema de tales rectángulos y describirse a su alrededor. La espiral dorada ganó popularidad debido al hecho de que la espiral, conocida desde principios del siglo XVI y utilizada en el arte [2] , construida según el método de Durero [3] [4] , resultó ser una buena aproximación para la espiral dorada (ver figura).

Fórmula

La ecuación de la espiral áurea en el sistema de coordenadas polares es la misma que para otras espirales logarítmicas , pero con un valor especial para el factor de crecimiento - φ 4 :

,

donde a  es una constante real positiva arbitraria y a  es la proporción áurea .

La propiedad principal de una espiral logarítmica: el ángulo entre el radio vector que emana del polo y la tangente a la espiral - μ - es constante, y para la espiral dorada está determinado por la fórmula:

, donde .

donde _

Aproximaciones de la espiral dorada

Hay varias espirales similares que son cercanas, pero no exactamente iguales a la espiral dorada [5] , con la que a menudo se las confunde.

Como ya se mencionó anteriormente, cuando se inscribe una espiral áurea en una secuencia de rectángulos áureos anidados, se aproxima a una espiral construida según el método de Durero. El rectángulo dorado se puede dividir en un cuadrado y un rectángulo similar, que, a su vez, se pueden dividir de la misma manera, y este proceso se puede continuar un número arbitrario de veces. Si los cuartos de círculos conectados entre sí se ingresan en estos cuadrados, se obtiene una espiral, que se muestra en la primera figura.

Otra aproximación es la espiral de Fibonacci , que se construye como la espiral de arriba, excepto que comienzas con un rectángulo de dos cuadrados y luego agregas un cuadrado de la misma longitud al lado más grande del rectángulo. A medida que la proporción entre los números de Fibonacci adyacentes se acerca a la proporción áurea, la espiral se acerca cada vez más a la espiral áurea a medida que se agregan cuadrados (ver la segunda figura).

Espirales en la naturaleza

En la naturaleza existen aproximaciones a espirales logarítmicas con un factor de crecimiento igual a φ k . Entonces, las conchas de los moluscos Nautilus pompilius y las amonitas fosilizadas están bien descritas en k = 2, y las conchas de algunos caracoles en k = 1. [ 6 ] Las galaxias espirales , a pesar de las afirmaciones existentes [8] , si están descritas por un logarítmico, entonces no por una espiral dorada. En este caso, la descripción hecha por ella es una manifestación de proximidad aleatoria. Un análisis reciente de las espirales encontradas en el epitelio corneal del ratón ha demostrado que allí se producen espirales logarítmicas tanto doradas como de otro tipo. [9]

Véase también

Notas

  1. ↑ Vygodsky M. Ya. Manual de matemáticas superiores. M.: Nauka, 1977, pág. 884.
  2. ↑ Prokhorov A. Espiral Dorada, Kvant, 1984, No. 9.
  3. ↑ Arakelian. G. Matemáticas e historia de la sección áurea, Moscú: Logos, 2014, p. cincuenta.
  4. ↑ Alberto Durero (1525): Unterweysung der Messung mit dem Zirkel und Richtscheyt, en Linien Ebnen und gantzen Corporen. Verlag Dr. Alfons Uhl (Reimpresión 2000), Nordlingen, ISBN 3 921503 65 5 (Traducción en inglés: The Painter's Manual, Abaris Books, Nueva York 1977).
  5. ↑ Madden, 1999 , pág. 14–16.
  6. ↑ AN Kovalev, Una vez más sobre espirales doradas // Academy of Trinitarianism, M., El No. 77-6567, publ.pdf Archivado el 13 de octubre de 2017 en Wayback Machine .
  7. ↑ Petukhov S. V. Genética de matrices, álgebras de códigos genéticos, inmunidad al ruido. - Moscú: Dinámicas regulares y caóticas, 2008. - P. 107.
  8. ↑ Gazale, 1999 , p. 3.
  9. ↑ Rhee, 2015 , pág. 22–38.

Literatura

 proporción áurea
Figuras "doradas"
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