Curva Viviani

La curva de Viviani es una curva tridimensional, la intersección de un cilindro circular con una esfera centrada en la superficie del cilindro y con un radio igual al diámetro del cilindro.

Nombrado en honor a Vincenzo Viviani , quien realizó un estudio detallado de esta curva en 1692 y fue el primero en notar que las dos regiones delimitadas por ella en el hemisferio admiten una cuadratura simple : su área total es tal que la superficie de la parte restante del hemisferio es igual al área del cuadrado construido sobre el diámetro de la esfera [1] . Antes de Viviani, esta curva fue estudiada por De la Loubert, Simon y Gilles Roberval (1666).

Ecuaciones

La curva de Viviani es la línea de intersección de la superficie del cilindro . ${\displaystyle (xa)^{2}+y^{2}=a^{2))$

con una esfera de dos veces el radio, cuyo centro se encuentra en la superficie del cilindro:

x^{2}+y^{2}+z^{2}=4\cdot a^{2}\,.

Ecuación paramétrica: $\left(a\cdot (1+\cos t),\ a\cdot \sin t,\ 2\cdot a\cdot \sin {\tfrac {t}{2}}\right).$

Ecuaciones de proyección en el plano , , : ${\ estilo de visualización (x \, y)}$ ${\ estilo de visualización (y \, z)}$ ${\ estilo de visualización (x \, z)}$ $x(z)=2\,r-{\dfrac {z^{2}}{2\,r}}\,,$ $y(z)=\pm z\,{\sqrt {1-{\dfrac {z^{2}}{4\,r^{2}}}}}\,,$ $y(x)=\pm {\sqrt {x(2\,rx)))\,,$ $z(x)=\pm {\sqrt {2\,r\,(2\,rx)))\,,$ $x(y)=r\pm {\sqrt {r^{2}-y^{2))}\,,$ $z(y)=\pm {\sqrt {2\,r^{2}\pm 2\,r\,{\sqrt {r^{2}-y^{2))))}\ ,.$

Propiedades

La proyección de la curva de Viviani sobre la tangente común del cilindro y la esfera es la lemniscata de Gerono .
La curva de Viviani en el hemisferio que corta al cilindro separa dos regiones de manera que el área de la parte restante del hemisferio es igual al área del cuadrado construido sobre el diámetro de la esfera.

Prueba Encuentre el área de superficie delimitada por la curva de Viviani integrando en coordenadas .

{\displaystyle f(x,y)={\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2))))

{\ estilo de visualización (x \, y)}

El área superficial se determina de la forma habitual a través de la integral:

S_{\text{VC}}=\int \limits _{\Omega }{\sqrt {1+\left({\dfrac {\parcial z}{\parcial x}}\right)^{2 }+\left({\dfrac {\parcial z}{\parcial y))\right)^{2))}\,\mathrm {d} x\,\mathrm {d} y\,,

donde está la región delimitada por la curva de Viviani.

\Omega

Calculemos el integrando:

{\sqrt {1+\left({\dfrac {\parcial z}{\parcial x))\right)^{2}+\left({\dfrac {\parcial z}{\parcial y} }\right)^{2))}={\dfrac {2\,r}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y^{2))))\,.

Continuando con el cálculo y teniendo en cuenta la simetría de la región de integración respecto al eje (obteniendo así cuatro partes idénticas), encontramos:

X\,

S_{\text{VC}}=4\cdot 2\,r\,\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\int \limits _{0} ^{\sqrt {x\,(2\,rx)}}\mathrm {d} y\,{\dfrac {1}{\sqrt {4\,r^{2}-x^{2}-y ^{2))))=8\,r\int \limits _{0}^{2\,r}\mathrm {d} x\,\mathrm {arctg} {\sqrt {\dfrac {x}{ 2\,r}}}=8\,r\,(-2\,r\,(-2\,r+4\,r\,\mathrm {arctg} \,1)=8\,\pi \,r^{2}- 16\,r^{2}={\dfrac {1}{2}}\,\pi \,(4\,r)^{2}-(4\,r)^{2}\,.

El primer término en la expresión resultante es el área de un hemisferio de diámetro , el segundo término es el área de un cuadrado con un lado igual al mismo diámetro.

{\ estilo de visualización 4 \, r}

Así, la diferencia entre las áreas de la semiesfera y la superficie considerada es igual al área del cuadrado construido sobre el diámetro de la esfera:

S_{\text{hemisferio}}-S_{\text{VC}}=(4\,r)^{2}\,,

QED

Literatura

Berger M. Geometría, vols. 1-2. M: Mir, 1984.
Loria G. Curve sghembe speciali, Ed. Zanichelli, Bolonia, 1925.
Roero CS L'intérêt international d'un problème proposé par Viviani, Actes de l'Univ. d'Été Hist. des Math., IREM Toulouse, 1986.
Roero CS El desafío italiano al cálculo leibnitziano en 1692. Leibnitz y Viviani: una comparación de dos epistemologías, V Int. Congreso Leibnitz, Hannover, 1988.

Notas

↑ La cinta de Mobius y las ventanas de Viviani . Consultado el 15 de agosto de 2017. Archivado desde el original el 8 de marzo de 2014. (indefinido)

Curvas

Definiciones

transformado

no plano

algebraica plana

Secciones cónicas

3er orden ( cúbico )

Elíptico	curva elíptica Funciones elípticas de Jacobi Integral elíptica Funciones elípticas
Otro	Verziera Agnesi hoja cartesiana Trisector de Maclaurin Chirnhaus Ofiurida estrofoides parábola semicúbica Tridente Cisoide de Diocles

4to orden

lemniscatas

Aproximación

Ranura
- B-spline
- Cúbico
- monospline
- Suavizado
- Perfecto
- hermita
Béziers

cicloidal

Otro

granja torcida

Plana
trascendental

Espirales	Arquímedov Granja galilea hiperbólico "Varita mágica" Dorado clotoide logarítmico sinusoidal
cicloidal	trocoide Cicloide epitrocoide epicicloide hipotrocoide hipocicloide cuasitrocoide "Rosa" cuadrifolio Descenso rápido (braquistocrona, arco cicloide)
Otro	cuadratriz cocleoide Perseguir tractor trocoide línea de cadena arco invertido ancho constante sinusoide Ribokura Súper fórmula superelipse Triángulo de Reuleaux polígono figuras de lissajous

fractales

Simple	gilberto Gosper curva de dragón Koch Exacción Minkowski Peaño Sierpinsky
topológico	Servilleta Sierpinski alfombra sierpinski Esponja Menger fractal circular alfombra apolonio