Súper fórmula (ecuación)

 La superfórmula es una generalización de la superelipse y fue desarrollada por primera vez por Johan Gielis  en 2003. [1] Gielis propuso usar la fórmula para describir las formas y curvas complejas que ocurren en la naturaleza.

En un sistema de coordenadas polares con radio y ángulo, la superfórmula se ve así:

Al elegir diferentes valores de los parámetros , se obtienen diferentes formas.

La fórmula se obtiene generalizando la superelipse, que, a su vez, fue derivada por el matemático francés Gabriel Lame , y nombrada y popularizada por el matemático danés Piet Hein .

Generalización

La superfórmula se puede generalizar reemplazando el parámetro m con dos nuevos parámetros y  y z : [2]

Esto le permite crear estructuras asimétricas y anidadas. En los siguientes ejemplos, y son iguales a 1:

Edificios

Un programa de ejemplo en  GNU Octave  para generar estas formas:

función sf2d ( n,a ) u =[ 0 : .001 : 2 * pi ]; raux = abs ( 1 / a ( 1 ) .* abs ( cos ( n ( 1 ) * u / 4 ))) .^ n ( 3 ) + abs ( 1 / a ( 2 ) .* abs ( sin ( n ( 1 ) * u / 4 ))) .^ n ( 4 ); r = abs ( raux ) .^ ( - 1 / n ( 2 )); x = r .* cos ( u ); y = r .* sin ( u ); parcela ( x , y ); final

Súper fórmula tridimensional: a  = b  = 1; m , n 1 , n 2 y n 3 se muestran en las imágenes.

Un programa de ejemplo en GNU Octave para generar estas formas:

función sf3d ( n, a ) u =[ - pi : .05 : pi ]; v =[ - pi / 2 : .05 : pi / 2 ]; nu = longitud ( u ); nv = longitud ( v ); para i = 1 : nu para j = 1 : nv raux1 = abs ( 1 / a ( 1 ) * abs ( cos ( n ( 1 ) .* u ( i ) / 4 ))) .^ n ( 3 ) + abs ( 1 / a ( 2 ) * abs ( sin ( n ( 1 ) * u ( yo ) / 4 ))) .^ n ( 4 ); r1 = abs ( raux1 ) .^ ( - 1 / n ( 2 )); raux2 = abs ( 1 / a ( 1 ) * abs ( cos ( n ( 1 ) * v ( j ) / 4 ))) .^ n ( 3 ) + abs ( 1 / a ( 2 ) * abs ( sin ( n ( 1 ) * v ( j ) / 4 ))) .^ n ( 4 ); r2 = abs ( raux2 ) .^ ( - 1 / n ( 2 )); x ( i , j )= r1 * cos ( u ( i )) * r2 * cos ( v ( j )); y ( i , j )= r1 * sin ( u ( i )) * r2 * cos ( v ( j )); z ( i , j )= r2 * sin ( v ( j )); final para ; final para ; malla ( x , y , z ); función final ;

Notas

  1. ↑ Gielis, Johan (2003), Una transformación geométrica genérica que unifica una amplia gama de formas naturales y abstractas , American Journal of Botany , volumen 90 (3): 333–338, ISSN 0002-9122 , doi : 10.3732/ajb.90.3 .333 , < http://www.amjbot.org/cgi/content/abstract/90/3/333 > 
  2. ↑ Stöhr, Uwe (2004), SuperformulaU , < http://fkurth.de/uwest/usti/Superformel/SuperformulaU.pdf > Archivado el 16 de junio de 2016 en Wayback Machine . 

Enlaces